Các trạng thái tạp chất trong graphene

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO VĂN LIM

CÁC TRẠNG THÁI TẠP CHẤT
TRONG GRAPHENE

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO VĂN LIM

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến
GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Thầy luôn tận tình chỉ dạy tôi những kiến thức về vật lý, luôn tạo điều kiện tốt

CÁC TRẠNG THÁI TẠP CHẤT

nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Sau một thời gian làm việc với Thầy, tôi
may mắn học được ở Thầy đức tính giản dị và gần gũi trong cuộc sống, sự

TRONG GRAPHENE

quan tâm giúp đỡ hết lòng với học viên.

Tôi xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Thị Thùy Nhung ở viện Vật Lý,
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Mã số: 60 44 01 03

Tôi xin cảm ơn các Thầy cô ở khoa Vật Lý, trường đại học Sư Phạm Hà
Nội II, đã trực tiếp giảng dạy và cung cấp cho tôi những kiến thức về vật lý lý
thuyết trong thời gian tôi tham gia học tập ở khoa.

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người
luôn bên tôi những lúc kho khăn, cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học
tập. Xin chân thành cảm ơn!
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.
Liễn11 năm 2015
Hà Nội,Nguyễn
ngày 30Văn
tháng

Đào Văn Lim

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến

GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Thầy luôn tận tình chỉ dạy tôi những kiến thức về vật lý, luôn tạo điều kiện tốt
nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Sau một thời gian làm việc với Thầy, tôi
may mắn học được ở Thầy đức tính giản dị và gần gũi trong cuộc sống, sự
quan tâm giúp đỡ hết lòng với học viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Thị Thùy Nhung ở viện Vật Lý,
người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các Thầy cô ở khoa Vật Lý, trường đại học Sư Phạm Hà
Nội II, đã trực tiếp giảng dạy và cung cấp cho tôi những kiến thức về vật lý lý
thuyết trong thời gian tôi tham gia học tập ở khoa.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người
luôn bên tôi những lúc kho khăn, cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học
tập. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Đào Văn Lim


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Tác giả luận văn


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 5
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 5

2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 6
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 6
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 6
6. Đóng góp mới.................................................................................................. 6
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE .......................................................... 7
1.1 Giới thiệu về Graphene ............................................................................... 7
1.2 Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene ............................................... 8
1.2.1. Cấu trúc tinh thể ................................................................................... 8
1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính .................................................................... 10
1.2.3. Chirality ............................................................................................. 17
1.2.4.
1.2.4.1.

Truyền dẫn ballistic .......................................................................... 19
Chui ngầm Klein .......................................................................... 19

1.2.4.2. Giới hạn độ dẫn lượng tử................................................................. 23
1.2.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường .................................................. 25
1.3

Graphene pha tạp ..................................................................................... 28

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỘ DẪN BẰNG HÀM GREEN HỒI QUI .. 30
2.1 Công thức Kubo-Greenwood ..................................................................... 30
2.2

Tính cho mật độ trạng thái bằng hàm Green hồi qui ........................... 35

2.2.1

Hàm Green hồi qui ............................................................................ 35

2.2.2

Tính mật độ trạng thái định xứ ......................................................... 37

Tóm tắt chương 2 .................................................................................................. 38


CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TRUY HỒI ............................................................................................................. 39
3.1

Phương pháp truy hồi ............................................................................. 39

3.1.1

Khai triển toán tử trên các đa thức trực giao ...................................... 39

3.1.2 Độ rộng bình phương trung bình ......................................................... 42
3.2 Một số kết quả số về các trạng thái tạp chất của graphene ...................... 46
Tóm tắt chương 3 .................................................................................................. 54
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 56


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Một số dạng thù hình của Carbon từ trái qua phải, từ trên xuống dưới:

tấm graphene, than chì (graphite), ống nanô carbon, fullerence (quả cầu C60) ...... 7
Hình 1.2 Mô hình mạng tinh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A và B
giống nhau, lồng vào nhau…….……………………………………………………………9
Hình 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brillouin của graphene: (a)Các vector cơ sở
 
 
mạng thuận  a1 , a2  , (b) các vector cơ sở mạng đảo b1 , b2 và vùng Brillouin thứ





nhất. ...................................................................................................................... 10
Hình 1.4 Mạng tinh thể graphene. Mỗi nguyên tử carbon có 3 nguyên tử lân cận gần
nhất và 6 nguyên tử lân cận tiếp theo. .................................................................... 12
Hình 1.5 Mô tả cấu trúc vùng (a), phóng to cấu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các
trạng thái giả spin (c) và mật độ trạng thái (d). ..................................................... 14
Hình 1.6: Cấu trúc vùng nhận được bằng phương pháp tight-binding và phương
pháp ab-initio ........................................................................................................ 15
Hình 1.7 Khối lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ
điện tử n. ............................................................................................................... 17
Hình 1.8: (a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic. ...... 20
Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein. ...................................................................... 20
Hình 1.10: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm. .................... 22
Hình 1.11: Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu
diển độ dẫn theo công thức (1.4.19), các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu
thực nghiệm tương ứng của nhóm Miao (2007) và nhóm Danneau (2008). ............ 25

Hình 1.12: Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường, (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T=
4K,B=14T. ........................................................................................................... 26
Hình 1.13: Hiệu ứng Hall lượng tử của graphene ở nhiệt độ T=300K,B=29T
.............................................................................................................................. 28
Hình 3.1 : DOS theo năng lượng với nồng độ tạp khác nhau, V = 2t,  d = −t/16
............................................................................................................................ ..47
Hình 3.2: Hình phóng to hình 3.1 trong khoảng năng lượng

................ 48

Hình 3.3: Hệ số khuếch tán theo thời gian với E=-0.73eV. Thời gian được tính theo
đơn vị  e ............................................................................................................ 49
Hình 3.4: Hệ số khuếch tán theo thời gian với E=0.27eV. Thời gian được tính theo
đơn vị  e . ........................................................................................................... 50
Hình 3.5: Hệ số khuếch tán theo năng lượng với nồng độ tạp na  1% ................... 51
Hình 3.6: Hệ số khuếch tán theo năng lượng với nồng độ tạp
Hình 3.7: Hệ số khuếch tán theo năng lượng E với nồng độ tạp

.................. 52
khác nhau tại

thời điểm t4 = 1000 ............................................................................................... 53


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Công nghệ bán dẫn với transistor truyền thống đã phát triển hết sức mạnh mẽ
suốt từ thập kỷ 50. Tuy nhiên mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các
nguyên lý hoạt động của transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó là vấn đề mà
các nhà vật lý và công nghệ quan tâm khi tiếp tục giảm kích thước.Thúc đẩy về
khoa học kỹ thuật khai sinh ra khoa học nano và công nghệ nano. Công nghệ nano
đặt ra các yêu cầu mới cho vật liệu. Việc tìm kiếm vật liệu mới làm cơ sở cho linh
kiện nano đóng vai trò then chốt trong cuộc các mạng công nghệ hiện đại. Trong
quá trình nghiên cứu các nhà khoa học hy vọng rằng chính Carbon, với những tính
chất độc đáo sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Có thể trong tương lai, Carbon sẽ thay
thế Silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ nano
trên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano hiện dựa trên ống nano Carbon và
Graphene đang thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà khoa học. Graphene không
đơn giản là vật liệu carbon mà nó còn mở đầu cho cuộc cách mạng nghiên cứu tinh
thể hai chiều.
Graphene có cấu trúc siêu mỏng, chỉ gồm một lớp các nguyên tử Carbon, nó
có những tính chất vật lý mới lạ so với vật liệu bán dẫn truyền thống: bền vững, dẫn
điện và dẫn nhiệt rất tốt. Các tính chất này có nguyền gốc từ hệ thức tán sắc tuyến
tính rất đặc trưng xung quanh điểm Dirac trong cấu trúc vùng năng lượng của
Graphene. Graphene được kỳ vọng là loại vật liệu lý tưởng để thay thế cho các vật
liệu bán dẫn truyền thống trong các linh kiện điện tử tốc độ cao.
Tuy nhiên, Graphene cũng như vật liệu bán dẫn khác không thể tránh khỏi
tâm tạp. Các tâm tạp này ảnh hưởng đến tính chất của Graphene. Bởi vậy chúng tôi
chọn đề tài “ Các trạng thái tạp chất trong Graphene” cho luận văn cao học này.


6

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về các tính chất electron của Graphene khi có các tâm tạp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Cấu trúc năng lượng của Graphene khi có pha tạp
- Xây dựng công thức tính mật độ trạng thái.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tinh thể Graphene pha tạp.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp hàm Green hồi qui.

6. Đóng góp mới
- Tìm hiểu thêm về các tính chất điện tử của Graphene pha tạp và từ đó có
thể góp phần ứng dụng Graphene trong các linh kiện điện tử.


7

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE
1.1 Giới thiệu về Graphene
Carbon là nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ mới. Có thể trong tương lai, carbon sẽ
thay thế silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ
nano trên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano của nguyên tố carbon như
quả cầu Fullerenes C60 , ống nano carbon, dải nano carbon đã và đang được nghiên
cứu trong lĩnh vực vật lí nano.

Hình 1.1 Một số dạng thù hình của carbon từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: tấm graphene,
than chì (graphite), ống nanô carbon, fullerence (quả cầu C60)

Graphene đơn giản là một lớp đơn nguyên tử của mạng tinh thể than chì. Mặc

dù vậy, năm 2004 người ta mới tạo được một lớp đơn nguyên tử như vậy trên đế

SiO2 phục vụ cho nghiên cứu [1,2]. Cấu trúc của graphene chính là cơ sở của các
cấu trúc nano Carbon. Từ mặt phẳng graphene ta có thể hình thành nên ống nano
carbon bằng cách cuộn mặt phẳng mạng theo một chiều nào đó với một chu kỳ nào
đó, để thu được các ống nano carbon khác nhau. Hoặc có thể cắt mặt graphene theo
một đường nào đó, với độ rộng nào đó, để thu được các dải nano carbon.


8

Graphene có nhiều tính chất đặc biệt thú vị so với các vật liệu thông thường: ở
nhiệt độ thấp, các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính không khối
lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ vào khoảng 1/300 vận tốc ánh sáng. Hàm sóng
của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của các spinor có liên quan
đến hướng của xung lượng là nguyên nhân chính của tính chirality. Đặc biệt
graphene có khả năng truyền dẫn nhiệt tốt. Độ linh động của electron trong
Graphenecó thể đạt tới 105 cm 2 Vs , cao hơn hẳn so với độ linh động của electron
trong Silicon (cỡ 1350cm2 Vs ), hay GaAs (cỡ 8600cm 2 Vs ). Bởi vậy, graphene
được kỳ vọng sẽ thay thế vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng dụng, từ
sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến các cảm biến hóa sinh học.

1.2 Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene
1.2.1. Cấu trúc tinh thể
Graphene là một mạng tinh thể hai chiều được tạo thành do sự liên kết giữa
các nguyên tử carbon sắp xếp tại đỉnh các ô lục giác, hai đỉnh gần nhất cách nhau
1.42

. Có thể xem mạng này là hai mạng con tam giác lồng vào nhau (ký hiệu là

A và B) như hình 1.2. Nguyên tố carbon có cấu hình electron 1s 2 2 s 2 2 p 2 với bốn
điện tử ở lớp ngoài cùng. Ba trong bốn điện tử này hình thành các orbital lai hóa
sp 2 , thực hiện các liên kết  với các nguyên tử lân cận, đảm bảo tính bền vững của

mạng. Điện tử cuối cùng thực hiện liên kết  không định xứ trên toàn mạng tạo
thành khí điện tử hai chiều quyết định các tính chất electron của graphene [3].


9

Hình 1.2 Mô hình mạng tinh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A và B giống nhau, lồng
vào nhau.

Mạng tinh thể graphene được xác định bằng các vector cơ sở

 3 1
 3 1
a1  a 
,  và a2  a 
,   , trong đó a  3acc là hằng số mạng, với
2
 2 2
 2
0

acc  1.42 A là khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon gần nhau nhất. Từ các vector
cơ sở này ta có thể xây dựng các vector mạng đảo: b1 

b2 

2  1 
,1 ,
a  3 

2  1

, 1 và vùng Brillouin thứ nhất của graphene như hình 1.3b. Vùng

a  3


Brillouin thứ nhất của graphene có dạng lục giác đều với trục quay bậc 6 qua điểm

  2

2 

,
 . Trong 6 điểm của vùng Brillouin chỉ có hai điểm K 
 và
 3a a 3 
  2 2 
K 
,
 là không tương đương, các điểm còn lại thu được bằng cách tịnh
 3a a 3 
tiến các điểm này một số nguyên lần vector mạng đảo.
Chính tính đối xứng của mạng tinh thể graphene quyết định các tính chất đặc
biệt của vật liệu này. Hai tính chất điện tử quan trọng nhất làm nên một graphene
nổi trội là hệ thức tán sắc tuyến tính và tính chirality.

10

Hình 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brillouin của graphene: (a)Các vector cơ sở mạng thuận

 

 

 a1 , a2  , (b) các vector cơ sở mạng đảo  b1 , b2  và vùng Brillouin thứ nhất.
1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính
Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đã được nghiên cứu chi tiết bằng
phương pháp gần đúng liên kết mạnh (tight−binding) và ab−initio. Ở đây, để đơn
giản chúng tôi giới thiệu tính toán bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh và so
sánh kết quả nhận được với phương pháp ab−initio [4].
Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được tìm dưới dạng tổ
hợp tuyến tính của hai hàm Bloch trên hai mạng con:

  C A A  CB B

(1.1)

Trong đó:


 

1
N0

 

1
N0

A k , r 

 

B k , r 


 
pZ r  R A  R







 
ikR
e
 pZ r  RB  R



e


R


ikR



R


với pZ  r  là hàm nút nguyên tử trong vật lý chất rắn (orbital của nguyên tử
carbon), N 0 là số ô nguyên tố mà trên đó ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn BornKarman. Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng của trạng thái điện tử (E) là trị riêng
của Hamiltonian liên kết mạnh (phươngpháp LCAO- trựcgiao)


11

H
H   AA
 H BA

H AB 

H BB 

có thể xác định từ phương trình

det

H AA  E
H *AB

H AB
0
H BB  E

(1.2)

Các yếu tố ma trận được tính trực tiếp theo định nghĩa:
H AA 

H AB 

1
N0

e

 

  
ik R  R 



pZA, R H pZA, R

  
ik R  R



pZA, R H pZB, R











R ,R

1
N0

e

 



R ,R

Trong đó



 
pZA, R  pZ r  RA  R







 
pZB,R  pZ r  RB  R





Thực hiện tính toán đối với các mạng vô hạn  N    (nghĩa là các mạng đủ
lớn sao cho số các nguyên tử ở biên là không đáng kể so với tổng số các nguyên tử
của toàn mạng), ta lưu ý rằng trong các biểu thức trên, khi cho một trong hai chỉ số
 
R, R biến đổi, ta thấy tổng có tính đối xứng đối với tất cả các vị trí khác nhau





trên mạng của chỉ số kia, kết quả là thừa số 1/N0 sẽ tự động triệt tiêu khi thực hiện
lấy tổng theo một chỉ số, do đó có thể viết lại các số hạng này dướidạng:

H AA  
e


  
ik R  R













pZA, R H pZA, R

R

H AB  
e

R

  
ik R  R





pZA, R H pZB, R


12

Hình 1.4 Mạng tinh thể graphene. Mỗi nguyên tử carbon có 3 nguyên tử lân cận gần nhất và 6
nguyên tử lân cận tiếp theo.

Khai triển hệ thức trên và chỉ tính đến tương tác của lân cận thứ 2 như minh
họa trên hình 1.4:
6

H AA  pZA,0 H pZA ,0   e


ikR j


A, R j

pZA,0 H pZ

j 1













H AB  eik 1 pZA,0 H pZB,1  eik  2 pZA,0 H pZB, 2  eik  3 pZA,0 H pZB, 3

Bên cạnh đó, do tính đối xứng của hai mạng thành phần nên H AA  H BB , và
*
do tính liên hợp Hermite của toán tử Hamilton mà ta có H AB  H BA
.

Ta đặt:

  pZA,0 H pZA,0






t  pZA,0 H pZB,1  pZA,0 H pZB, 2  pZA,0 H pZB, 3

A, R j

t   pZA,0 H pZ

Thay vào biểu thức trên ta được:
6

H AA  H BB    t  e


ikR j


   t f 2 k

 

j 1





*
H AB  H BA
 t eik 1  eik  2  eik 3  tf1 k





 

(1.3)


13

Tọa độ của 3 lân cận thứ nhất là:

1 

a
1, 3
2





2 

a
1,  3
2





 3  a 1,0 

và tọa độ của 6 lân cận thứ 2:




1   a1
 2   a2







 3    a2  a1 

 a
 a
Trong đó a1  3, 3 và a2  3,  3 , a  3acc là hằng số mạng
2
2









Ta tính được:
 ia

 kx  3k y  2ia  kx  3k y  iakx
f1 k  e 2
e
e



  
f 2 k  2 cos ka1  cos ka2  cos k  a2  a1 

 
    

 



 3ak y
 3ak x 
 4cos 
cos


 2
 2 



 f k


  2cos







3ak y



 


Nhận thấy f1 k

 

2


 3  f k , thay vào phương trình (1.2) ta thu được:

 




E k    t 3  f k  t f k

 

 

 

(1.4)

Ở đây:

 là gốc tính năng lượng, có thể chọn   0 .
t  2.8eV là năng lượng hopping giữa hai nguyên tử lân cận gần nhất
(nguyên tử thuộc hai mạng con A và B).

t    0.1eV là năng lượng hopping giữa hai nguyên tử lân cận gần thứ hai
(nguyên tử cùng một mạng con, AA hoặc BB).
Phương trình (1.4) được gọi là hệ thức tán sắc của electron trong cấu trúc mạng
đơn lớp graphene ở gần đúng liên kết mạnh.


14

Hình 1.5 Mô tả cấu trúc vùng (a), phóng to cấu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các trạng thái giả
spin (c) và mật độ trạng thái (d).

Do đóng góp của số hạng liên quan với lân cận thứ hai là rất nhỏ so với lân cận
gần nhất, nên trong lân cận điểm Dirac người ta thường chỉ dừng lại ở gần đúng lân
cận gần nhất, nghĩa là gần đúng xem t′=0. Khi đó, hệ thức (1.2.4) được viết như
sau:


E k  t 3  f k

 

 

(1.5)

Ở đây, dấu cộng ứng với cấu trúc vùng dẫn, dấu trừ ứng với cấu trúc vùng hóa trị.
Cấu trúc vùng năng lượng trong (1.5) được minh họa bằng đường gạch-gạch và
đường liên tục là kết quả tính bằng phương pháp ab – initio trên hình 1.6(a). Do
trong phương pháp gần đúng liên kết mạnh ta chỉ xét đến đóng góp của số hạng ở
lân cận gần nhất, nên dẫn đến sự không trùng khớp cấu trúc vùng năng lượng ở hai
phương pháp tính. Sự sai khác đó được mô tả trên Hình 1.6(b).


15

Hình 1.6: Cấu trúc vùng nhận được bằngp hương pháp tight-binding (đường nét đứt) và phương
pháp ab-initio (đường nét liền).

Ô cơ sở của mạng graphene có hai nguyên tử carbon nên có hai điện tử tự do,
do đó vùng hóa trị hoàn toàn lấp đầy và vùng dẫn hoàn toàn trống. Chúng tiếp xúc
nhau ở sáu điểm của vùng Brillouin như thể hiện ở hình1.5(a), trong đó chỉ có hai

điểm K và K ′ là không tương đương. Trong graphene tinh khiết (chưa pha tạp), mặt
fermi nằm ở giao điểm của vùng dẫn và vùng hóa trị. Như vậy, có thể kết luận
graphene là một bán kim. Hầu hết các tính chất điện tử quan trọng của graphene đều
được xác định bởi các trạng thái điện tử có năng lượng gần mức Fermi (năng lượng

thấp). Do đó, khai triển Taylor cấu trúc vùng năng lượng (1.5) xung quanh điểm K
  



hoặc K  : k  K  q với điều kiện q  K ta được



E  q    v F q ,

(1.6)

trong đó vF  3ta / 2  106 m / s là vận tốc fermi, hoàn toàn không phụ thuộc vào
nồng độ hạt tải (thực nghiệm đo được vF ≈ 106m/s). Ta thấy rằng, hệ thức tán sắc
(1.6) của điện tử trong graphene là tuyến tính với vector sóng mô tả trên hình
1.5(b), khác biệt hoàn toàn với hệ thức tán sắc parabol của điện tử tự do trong kim
loại hay bán dẫn hai chiều. Quy luật tuyến tính trong (1.6) là gần đúng tốt trong


16

miền |E|≤t
Các hệ quả trực tiếp nhận được từ hệ thức tán sắc tuyến tính là:

•Mật độ trạng thái trên một ô nguyên tố tính cho một phương của spin trong


graphene ở gần điểm K hoặc K  phụ thuộc tuyến tính vào năng lượng (hình
1.5d):

 E 

2 AC E
,
 vF2

(1.7)

a2 3
Với AC 
là diện tích ô nguyên tố của mạng graphene. Công thức này
2
cho thấy mật độ trạng thái trong graphene khác biệt với mật độ trạng thái trong
các vật liệu khác (khí điện tử hai chiều thông thường (ρ(E) = const) và carbon
nanotube

. Đối với graphene thuần khiết, mật độ trạng thái bằng

không tại năng lượng Fermi.

•Khối lượng cyclotron phụ thuộc vào căn bậc hai của nồng độ điện tử
m* 



vF

n,

(1.8)

Mối quan hệ này là kết quả của hệ thức tán sắc tuyến tính cho các hạt không
khối lượng được mô tả bằng phương trình Dirac. Kết quả được kiểm chứng
bởi nhóm Novoselov. Khối lượng cyclotron được trình bày trên hình 1.7 cho
thấy sự tồn tại của giả hạt Dirac không khối lượng trong graphene.
Phương trình mô tả các trạng thái kích thích năng lượng thấp trong graphene
giống phương trình Dirac cho các fermion không khối lượng. Nên các electron và lỗ
trống trong graphene được gọi là các fermion Dirac, và điểm giao nhau của các hình
nón tại mức fermi được gọi là các điểm Dirac.


17

Hình 1.7 Khối lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ điện tử n (các
đường vòng tròn là các giá trị thực nghiệm).

1.2.3. Chirality
Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho
electron trong graphene ở lân cận điểm K và K ′


 0
H K k  vF 
 k x  ik y

 


k x  ik y 

T

v

p


H
k
K
0  F

 

(1.9)


trong đó    x ,  y là các ma trận Pauli





Hamiltonian này có dạng giống với Hamiltonian Dirac hai chiều cho hạt tương
đối tính không khối lượng. Do đó, hàm sóng của điện tử trong graphene có cấu trúc

spinor hai thành phần, với điểm K (hình 1.5(c))


  ,K

 i 2

1 e k 
k 

,

2  eik 2 

 

Còn với điểm K 

(1.10)


18



  ,K 

i 2

1  e k 

k 

,

2  e ik 2 

 

(1.11)

dấu ± tương ứng với năng lượng E  vF k cho vùng dẫn và vùng hóa trị và

 ky 

 kx 

 k  arctan 


Tuy nhiên cần lưu ý:    x ,  y không phải đặc trưng cho spin thật mà nó





chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của cả hai mạng con, nên
được gọi là giả spin (pseudospins). Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên
quan đến biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một trong hai mạng con tương ứng, do đó
hàm sóng (1.10) và (1.11) được gọi là các giả spinor (pseudospinor).
Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan

tới xung lượng của hạt (Hình1.5(c)). Điều này có nghĩa là hàm sóng của các
electron trong graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất
cho biết hình chiếu của toán tử spin dọc theo hướng của xung lượng ). Toán tử đặc
trưng cho tính chất này là toán tử helicity

ˆh  . p
p

(1.12)



Theo định nghĩa này thì các trạng thái  K  r  và  K   r  cũng là vector riêng
của toán tử


hˆ K  r    K  r 


hˆ K   r    K   r 

Do đó, toán tử hˆ chỉ có hai trị riêng là ±1, điều này có nghĩa: trong các trạng thái
riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc đối song với
với xung lượng. Ở lân cận điểm K, electron có helicity dương và lỗ trống có helicity
âm, dấu helicity ngược lại khi electron ở gần K’. Tính chất này thể hiện tính đối


19

xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên hợp điện tích trong điện

động lực học lượng tử.
Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các
hiện tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các electron trong vật liệu thông
thường. Ở đây, chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality
là chui ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene.

1.2.4.

Truyền dẫn ballistic

Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình le (quãng đường trung bình
electron di chuyển được mà momentum của nó chưa bị thay đổi) là một tham số rất
quan trọng. Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn le, electron có thể chuyển động hết
chiều dài của hệ mà mômen động lượng của nó vẫn giữ nguyên. Chuyển động như
vậy được gọi là truyền dẫn ballistic (Hình1.7(b)), ngược lại được gọi là truyền dẫn
khuếch tán (Hình1.7(a)). Với graphene, le có thể rất lớn (cỡ 1m ) nên cơ chế
ballistic đóng vai trò quan trọng [5].

1.2.4.1.

Chui ngầm Klein

Chui ngầm là hiện tượng electron chuyển động vào miền có bờ thế rất cao (so
với năng lượng của electron), mà theo quan niệm cơ học cổ điển lẽ ra phải là miền
cấm đối với electron. Trong cơ học lượng tử, chui ngầm lượng tử là quá trình mà
hàm sóng của hạt không tương đối tính có thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất
truyền qua giảm theo hàm e mũ theo chiều cao và độ rộng của bờ thế. Với bờ thế có
chiều cao hữu hạn, xác suất truyền qua nhỏ hơn một, bờ thế có chiều cao vô cùng
thì xác suất truyền qua bằng không.

20

Hình 1.8: (a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic.

Chui ngầm Klein: Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua phụ thuộc vào góc
tới. Trường hợp góc tới

(xung lượng ngang bằng 0) thì xác suất truyền qua

luôn bằng 1 kể cả khi bờ thế có chiều cao vô cùng. Điều này có thể giải thích dựa
trên tính chất của phương trình Dirac là phương trình nhận cả trạng thái năng lượng
âm (electron) và trạng thái năng lượng dương (lỗ trống). Do đó, với một bờ thế thì
trạng thái bên ngoài bờ thế (electron) và trạng thái bên trong bờ thế (lỗ trống) được
nối với nhau (Hình1.9a).

Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein: electron chuyển động ở vùng dẫn đến gặp bờ thế có chiều cao

V0
Trường hợp góc tới

và chuyển thành lỗ trống khi đi vào vùng hóa trị .

:


21

Nếu bờ thế dạng bậc thang, xác suất truyền qua có dạng
Tstep    cos 2 

(1.13)

Nêu bờ thế có dạng nghiêng như trong chuyển tiếp p-n được tạo ra bởi thế tĩnh điện,
thì dạng của xác suất truyền qua.
Td    exp    k F d   sin 2 

(1.14)

trong đó d là độ rộng bờ thế chuyển tiếp.
Từ các công thức (1.13), (1.14) ta nhận thấy rằng khi góc tới bờ thế   0 thì
xác suất chui ngầm của electron luôn bằng một, không phụ thuộc vào độ cao, độ
rộng cũng như hình dạng bờ thế. Kết quả này có được là do tính chất chirality trong
graphene. Trên (Hình 1.9b) mô tả chui ngầm của điện tử có xung lượng ngang bằng
không trong graphene qua bờ thế có độ cao V0 , độ rộng là D. Hình vẽ mô tả phổ
năng lượng, màu xanh và màu đỏ của các nhánh năng lượng tương ứng với hai
trạng thái giả spin cho hai mạng con A và B. Một electron với giả spin  , xung

lượng k đang ở nhánh màu đỏ, chuyển động tới gặp bờ thế, năng lượng tới E của
electron (đường chấm chấm) nằm trong vùng dẫn khi ở ngoài bờ thế và vùng hóa trị

khi bên trong bờ thế. Do tính chất chirality của hàm sóng, trạng thái electron  , k






khi vào bờ thế chuyển thành trạng thái lỗ trống  ,  k , cùng ở nhánh màu đỏ





(không thể chuyển sang trạng thái ở nhánh màu xanh vì trạng thái này yêu cầu giả
spin phải đổi hướng). Sự liên tục về trạng thái giả spin dẫn tới xác suất truyền qua
bờ thế của electron luôn bằng một mà không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng cũng
như hình dạng bờ thế [6].