00 ki thuat su dung lien hop p1

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

KĨ THUẬT LIÊN HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

 x 2 + xy + 2 y 2 + y + 1 = ( x + y + 1) x 2 + 2 y 2 + 1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 x 2 + y 4 + 4 + x 2 − y 2 + 1 = 2 y 2 + 1 + 5 x3 + 1
A. Phân tích CASIO
Quan sát hệ phương trình, ta thấy phương trình (2) có ba căn rất khó khai thác.
Ta bắt đầu với phương trình (1) như sau:
Cho y = 100 khi đó (1) thành x 2 + 100 x + 2.1002 + 100 + 1 = ( x + 101) x 2 + 2.1002 + 1.
Nhập vào máy tính X 2 + 100 X + 2.1002 + 101 − ( X + 101) X 2 + 2.1002 + 1 = 0
Bấm SHIFT SOLVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 10000

)

(

Nhập vào máy tính X 2 + 100 X + 2.1002 + 101 − ( X + 101) X 2 + 2.1002 + 1 : ( X − 10000 ) = 0

Bấm SHIFT SOLVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy khi y = 100 ta chỉ được X = 10000
Giá trị 10000 này, ta viết lại X = 10000 = 100 2 = y 2

⇒ x = y 2 ⇒ x − y 2 = 0 ⇒ (1) có nhân tử x − y 2 mà chặt hơn, từ (1) ta chỉ thu được x = y 2 .
Với x = y 2 ⇒ x 2 + 2 y 2 + 1 = x 2 + 2 x + 1 =

( x + 1)

2

= x +1 .

Chú ý điều kiện xác định x3 + 1 ≥ 0 ⇔ x3 ≥ −1 ⇔ x ≥ −1 ⇔ x + 1 ≥ 0 nên ta được
x 2 + 2 y 2 + 1 = x + 1 ⇒ ta sẽ nhóm x 2 + 2 y 2 + 1 − ( x + 1) với nhau.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B.

Lời giải

2
2
2
2
 x2 − y 2 + 1 ≥ 0
 x − y + 1 ≥ 0
 x − y + 1 ≥ 0
ĐK:  3
⇔ 3
⇔
 x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
 x ≥ −1

Khi đó (1) ⇔ ( x + y + 1)
⇔ ( x + y + 1) .

(

(*)

)

x 2 + 2 y 2 + 1 − ( x + 1) = x 2 + xy + 2 y 2 + y + 1 − ( x + y + 1)( x + 1)

x 2 + 2 y 2 + 1 − ( x + 1)

2

x + 2 y +1 + x +1
2

2

( x + y + 1) ( 2 y 2 − 2 x )

= x 2 + xy + 2 y 2 + y + 1 − ( x 2 + x + xy + y + x + 1)

2 y 2 − 2 x = 0
⇔
= 2 y − 2x ⇔ 
x + 1 + x2 + 2 y 2 + 1
 x + y + 1 = x + 1 + x 2 + 2 y 2 + 1
 y2 = x
 y2 = x
2

y = x


⇔
⇔  y ≥ 0
⇔  y ≥ 0
⇔ y 2 = x.
2
2
 y = x + 2 y + 1
 y 2 = x2 + 2 y 2 + 1  x2 + y2 + 1 = 0


2

Thế vào (2) ta được x 2 + x 2 + 4 + x 2 − x + 1 = 2 x + 1 + 5 x 3 + 1

(3)


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

ab = ( x 2 − x + 1) ( x + 1) = x3 + 1

Đặt a = x − x + 1 ≥ 0, b = x + 1 ≥ 0 ⇒ 
a 2 + b 2 = ( x 2 − x + 1) + ( x + 1) = x 2 + 2
Khi đó (3) thành 2 ( a 2 + b 2 ) + a = 2b + 5ab ⇔ 2a 2 − ( 5b − 1) a + 2b 2 − 2b = 0
2

(4)

Coi (4) là phương trình bậc hai ẩn a tham số b ta có

∆ a = ( 5b − 1) − 8 ( 2b 2 − 2b ) = 9b 2 + 6b + 1 = ( 3b + 1) ≥ 0.
2

2

5b − 1 + ( 3b + 1)

= 2b
a =
 a = 2b
2.2
Do đó (4) ⇔ 
⇔
5b − 1 − ( 3b + 1) b − 1

 2a + 1 = b
=
a =
2.2
2


•

TH1. a = 2b ⇒ x 2 − x + 1 = 2 x + 1

 x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
5 ± 37
⇔ 2
⇔ 2
⇔x=
.
2
x
−
5
x
−
3
=
0
 x − x + 1 = 4 ( x + 1)


Từ y 2 = x ⇒ x ≥ 0 ⇒ x =
•

5 + 37
5 + 37
5 + 37
thỏa mãn ⇒ y 2 =
⇔ y=±
.
2
2

2

TH2. 2a + 1 = b ⇒ 2 x 2 − x + 1 + 1 = x + 1 ⇒ 4 ( x 2 − x + 1) + 1 + 4 x 2 − x + 1 = x + 1
2

5  39

⇒ 4 x 2 − 5 x + 4 + 4 x 2 − x + 1 = 0 ⇔  2 x −  + + 4 x 2 − x + 1 = 0.
4  16

Phương trình vô nghiệm.
 5 + 37
5 + 37 

Đ/s: ( x; y ) = 
;±


2
2


BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ:

2 x 2 + 3 x − y = y 2 + 4 x + x + 1
Câu 1: Giải hệ phương trình 
2
 y − 3 x − 3 + x + y = x − 4
2 x − 1 = 2 x − 2 y − 1 + 2 ( x − 1) y
Câu 2: Giải hệ phương trình 

 3 x − 2 − 4 x + y + 9 = 2 3 xy − 2 x + 2