cac phuong phap tinh tich phan cua han can thuc 9117

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM
SỐ CĂN THỨC

Nguyễn Văn Trung
Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong

Điền

Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng và THCN chúng ta thường thấy có một bài toán tính phân mà phần
lớn là tính tích phân của các hàm số căn thức, để giúp các em học sinh lớp
12 ôn tập tốt các bài toán tích phân của các hàm số căn thức một cách hệ
thống, bản thân đã mạnh dạn viết một cách hệ thống các phương pháp
tính tích phân của các hàm số căn thức, một phần nào đó nhằm giúp các
em học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và
THCN năm học 2008 - 2009.
dx
Dạng 1: ∫
ax 2 + bx + c
0
dx
I
=
Ví dụ : 1.Tính tích phân
∫−1 x 2 + x + 4
Đặt t = x + x 2 + x + 4
2
2dt
⇒I =∫
1 2t + 1

dx
;a > 0
Tổng quát : Tính tích phân I = ∫
ax 2 + bx + c
Đặt t = a x + ax 2 + bx + c
2
2
dx
dx
=
2.Tính tích phân I = ∫
∫
1
− 3x 2 + 6 x + 1 1 4 − 3( x − 1) 2
π π
 2 2



Đặt 3 ( x − 1) = 2 sin t , t ∈  − ; 

Tổng quát : Tính tích phân
I =∫

dx

;a < 0

ax + bx + c
ax + bx + c = m 2 − nu 2

2

2

Đặt

 π π
n .u = m sin t ; t ∈  − ; 
 2 2

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

1


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009
Dạng 2:

∫

(mx + n)dx
ax 2 + bx + c
1

Ví dụ : Tính tích phân I = ∫

(4 x + 3)dx
x2 − x +1

0

(x2 – x + 1)’ = 2x – 1
4x + 3 = 2(2x – 1) + 5
1
1
(2 x − 1)dx
dx
⇒ I = 2∫ 2
+ 5∫ 2
0
0
x − x +1
x − x +1
(mx + n)dx
Tổng quát : Tính tích phân I = ∫
ax 2 + bx + c
TS = A(2ax + b) + B
(2ax + b)dx
dx
⇒ I = A∫
+ B∫
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
dx
Dạng 3: ∫
( ax + b)(cx + d ) 3
Ví dụ : Tính tích phân

3
dx
I =∫
0
(2 x + 3)( x + 1) 3
dx

3

=∫
0

Đặt : t =

( x + 1) 2

2x + 3
x +1

2x + 3
x +1

Tổng quát : Tính tích phân ∫

dx
n

( ax + b ) k ( cx + d ) 2 n−k

MS = (cx + d ) 2 n (

Đặt : t = n
Dạng 4:

∫

ax + b k
)
cx + d

ax + b
cx + d

ax + b
dx
cx + d
1

Ví dụ : Tính tích phân I = ∫
0

3− x
1+ x

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

2


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009

Đặt : t = 1 + x ⇒
Tổng quát : Tính tích phân
Đặt : t =
Dạng 5:

∫x

∫

3− x
dx = 2 4 − t 2 dt
1+ x
ax + b
dx
cx + d

ax + b
; t = cx + d
cx + d

dx
x2 + a

dx

Ví dụ : Tính các tích phân : I =

6

∫x

2

2 3

J=

∫

5

Giải :

dx
x2 − 3
dx

=

x x2 + 4

xdx

6

∫x
2

2

x2 − 3

(ĐT TSĐH KA 2003)

Đặt :
t = x2 − 3

⇒ t 2 = x2 − 3 ⇒ x2 = t 2 + 3
⇒ 2tdt = 2 xdx
⇒ xdx = tdt
3
3
tdt
dt
I
=
=
Do đó :
∫1 (t 2 + 3)t ∫1 t 2 + 3
dx
; ∫ x x 2 + a dx
Tổng quát : ∫
2
x x +a
Đặt : t = x 2 + a
P ( x)
dx
ax + b + c
Ví dụ : Tính các tích phân sau :
2
x

I =∫
dx
(ĐTĐH KA 2004)
x −1
1 1+
1
4x − 3
J =∫
dx
3x + 1
0 2+
P ( x)
dx
Tổng quát : ∫
ax + b + c
Dạng 6 :

∫

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

3


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009
Đặt t = ax + b + c
Ta được : ax + b = t − c ≥ 0
ax + b = t 2 − 2ct + c 2 ;
1

x = (t 2 − 2ct + c 2 − b)
a
1
dx = (2t − 2c)dt
a

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
dx

3

1) I = ∫

x 2 + 16

0

4

dx

2) J = ∫

x2 + 9

0

Bài 2 : Tính các tích phân sau :
1

dx

1) I = ∫

x2 − x +1

0

1

dx

2) J = ∫

− x − 2x + 3
2

0

Bài 3 : Tính các tích phân sau :
3

(3 x − 6)dx

1) I = ∫

x 2 − 4x + 5

2

0

2) J = ∫

(2 x − 8)dx
1− x − x2

−1

Bài 4 : Tính các tích phân sau :
0

1) I =

∫

−2

dx
3

(2 x + 1) 2 ( x + 1) 4

2

2) J = ∫
0

dx

(4 x + 1)( x + 1) 3

Bài 5 : Tính các tích phân sau :
8

1) I = ∫
3

4

2) J = ∫
0

3 xdx
1+ x
dx
x +1

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

4


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009
4

1+ x

3) K = ∫

x+ x

1
2

dx

dx

4) L = ∫

x 2x + 1

1

Bài 5 : Tính các tích phân sau :
2

dx

1) I = ∫

x 1+ x2

1

3

2) J =

1+ x2
dx
x2

∫
1
1

2
2
3) K = ∫ x 1 − x dx
0

2 2

4) L =

∫
2

dx
x x2 − 2

Bài 6 : Tính các tích phân sau :
7

1) I = ∫

2

1

2) J = ∫
0

dx
2 + x +1
xdx
2x + 1

6

3) K = ∫
2
10

4) L = ∫
5

dx
2x + 1 + 4x + 1
dx
x − 2 x −1

Trên đây là một số dạng toán về các tích phân của các hàm số căn thức
thường gặp trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN môn toán,
người viết đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy, một số dạng toán
này người viết đã đem ra giảng dạy ở các lớp 12 trường THPT Phong
Điền trong những năm gần đây, một phần nào đó đã giúp cho các em học
sinh ôn tập về tích phân của các hàm số căn thức một cách có hệ thống và

đạt kết quả cao trong kì thi Đại học, Cao đẳng và THCN.

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

5


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009

LỜI CẢM ƠN
Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong
Điền đã quan tâm giúp đỡ, về mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn các
ý kiến đóng góp hết sức thiết thực của quí thầy cô giáo trong tổ toán,
để bài viết được hoàn thành.

Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2009
Người viết sáng kiến kinh nghiệm

NGUYỄN VĂN TRUNG

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 
Phong §IÒn

6


S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 ­ 2009

NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT 

Phong §IÒn

7