04 nguyen ham cua ham huu ti p2 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫

P ( x)
dx
Q( x)

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x).

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng Q( x) = ( ax + b ) 
→I = ∫

P( x)

2

( ax + b )2

dx

1

 dx = a d ( ax + b )
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau 
 du = − 1 + C
 ∫ u 2
u
m
bm
ax + b ) + n −
(
mx + n
dx
bm 
dx

a dx = m
Nếu P ( x) = mx + n 
→I = ∫
dx = ∫ a
+n −
∫
∫
2
2
a ax + b 
a  ( ax + b ) 2
( ax + b )
( ax + b )

bm
n−
d
ax
b
+
(
)+
m
a d ( ax + b ) = m ln ax + b −  na − bm  . 1 + C
= 2∫


2
ax + b
a ∫ ( ax + b )2 a 2
a
 a
 ax + b
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Chú ý:
t −b

x =
→
Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt t = ax + b 
a
dt = adx

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
dx
c) I 3 =
2
6x + 9x + 1
25 x − 10 x + 1
Hướng dẫn giải:
2dx
dx
d ( x − 1)
2
2
a) I1 = 2
=2
=2
=−
+ C 
→ I1 = −
+ C.
2
2
x
−
1
x
−1
x − 2x + 1
( x − 1)

( x − 1)
dx
dx
1 d (3x + 1)
1
1
b) I 2 = ∫ 2
=∫
= ∫
=−
+ C 
→ I2 = −
+ C.
2
2
6x + 9x + 1
(3 x + 1)
3 (3 x + 1)
3(3 x + 1)
3(3 x + 1)
dx
dx
1 d (5 x − 1)
1
1
c) I 3 = ∫
=∫
= ∫
=−
+ C 

→ I3 = −
+ C.
2
2
2
25 x − 10 x + 1
(5 x − 1)
5 (5 x − 1)
5(5 x − 1)
5(5 x − 1)

a) I1 =

∫x

∫

2

2dx
− 2x + 1

b) I 2 = ∫

∫

∫

2

∫

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 4 =

∫

2x −1
dx
2
4x + 4x + 1

b) I 5 = ∫

4x2 − 3
dx
4 x 2 + 12 x + 9
Hướng dẫn giải:

c) I 6 =

∫ 9x

2

1 − 5x
dx
− 24 x + 16

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a) I 4 =

∫ 4x

2x − 1
dx =
+ 4x + 1

2

2x −1

∫ ( 2 x + 1)

2

Facebook: LyHung95

dx

Cách 1:
2 x = t − 1
Đặt t = 2 x + 1 
→

→ I4 =
 dt = 2dx

2x −1

∫ ( 2 x + 1)

2

dx =

∫

t − 2 dt 1  dt
2dt  1
1
= 
−
= ln t + + C
2
2 
t
t 2 2 t
t  2

∫

1
1

→ I 4 = ln 2 x + 1 +
+ C.

2
2x + 1
Cách 2:
1
(8 x + 4 ) − 2
(8 x + 4 ) dx − 2
2x −1
1
4
=
I4 =
dx
dx =
2
2
4 4 x2 + 4 x + 1
4x + 4x + 1
4x + 4x + 1

∫

=

∫

(

)

∫

∫

dx

∫ ( 2 x + 1)

2

(

)

2
d ( 2 x + 1)
1 d 4x + 4x + 1
=
−
2
4
4x + 4x + 1
( 2 x + 1)2

∫

∫

2
d ( 2 x + 1) 1
1 d 4x + 4x + 1

1
1
1
−
= ln 4 x 2 + 4 x + 1 +
+ C = ln 2 x + 1 +
+ C.
2
2
4
4
2
x
+
1
2
2
x
+1
4x + 4x + 1
( 2 x + 1)

∫

b) I 5 = ∫
c) I 6 =

∫

d ( 2 x + 3)

4x2 − 3
12 x + 12 
dx
6

dx = ∫ 1 − 2
= x − 6∫
=x+
+ C.
 dx = ∫ dx − 12 ∫
2
2
4 x + 12 x + 9
2x + 3
 4 x + 12 x + 9 
( 2 x + 3)
( 2 x + 3)

∫ 9x

2

2

1 − 5x
dx =
− 24 x + 16

1 − 5x

∫ ( 3x − 4 )

2

dx

Cách 1:
5(t + 4)
t+4

1−
x
=
1
−
5
1 5t + 17
x
dt

3
Đặt t = 3 x − 4 
→
→ I6 =
dx =
=−
dt
3 
2
2

3
9
t
t2
( 3x − 4 )
 dt = 3dx
1
17 
1
17 
5
17
= −  5ln t −  + C 
→ I 6 = −  5ln 3 x − 4 −
+ C.
 + C = − ln 3 x − 4 +
9
t 
9
3x − 4 
9
9(3x − 4)
Cách 2:
5
17
− ( 3x − 4 ) −
1 − 5x
dx
17
dx

5 d ( 3 x − 4 ) 17 d ( 3x − 4 )
3
3 dx = − 5
I6 =
dx =
−
=−
−
2
2
2
3 3x − 4 3 ( 3 x − 4 )
9
3x − 4
9 ( 3x − 4 )2
( 3x − 4 )
( 3x − 4 )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

5
17 1
5
17
= − ln 3x − 4 + .
+ C 
→ I 6 = − ln 3x − 4 +
+ C.
9
9 3x − 4
9
9 ( 3x − 4 )

TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm
2

b  4ac − b 2
2

Khi đó, Q(x) được biểu diễn dưới dạng Q( x) = ax + b + c = a  x +
≡ ( mx + n ) + k 2
 +
2a 
4a


1

 dx = a d ( ax + b )
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau 
du
1
u

= arctan   + C
∫
2
2
 u + a
a
a
Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:
α
bα
( 2ax + b ) + β −
αx + β
dx
2
a
2a dx = α ( 2ax + b ) dx dx +  β − bα 
I =∫ 2
dx = ∫

∫ 2
∫

2
2
2a ax + bx + c
2a  ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

bα
2
β−
α d ax + bx + c
bα 
dx
α
dx

2a
=
dx +  β −  ∫
=
ln ax 2 + bx + c +

∫
∫
2
2
2
2
2a
2a  
2a
a
ax + bx + c

b  4ac − b
b  4ac − b 2

a x +
x
+
+


 +
2a 
4a
2a 
4a 2


b 
bα 



bα
2β − 
dx+
β−

α
α
2ax + b
2a 
2a 

2a
=
ln ax 2 + bx + c +
=
ln ax 2 + bx + c + 
arctan
+ C.
∫
2
2
2
2a
a
2a
b  4ac − b

4ac − b

4ac − b 2
x+
 +
2a 
4a 2

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học.

(

)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
dx
c) I 3 =
2
4x + 4x + 2
9 x + 24 x + 20
Hướng dẫn giải:
d
x
+
1
(

)
dx
dx
1
 x +1
a) I1 = 2
=
=
=
arctan 
 + C.
2
2
2
x + 2x + 3
2
 2 
( x + 1) + 2 ( x + 1) + 2

a) I1 =

∫x

dx
+ 2x + 3

2

∫

b) I 2 = ∫
c) I 3 =

b) I 2 = ∫

∫

∫

∫

2

( )

d ( 2 x + 1)
dx
dx
1
1
=∫
= ∫
= arctan ( 2 x + 1) + C.
2
2
2
4x + 4x + 2
( 2 x + 1) + 1 2 ( 2 x + 1) + 1 2
2

∫ 9x

2

dx
=
+ 24 x + 20

dx

∫ ( 3x + 4 )

2

+4

=

d ( 3x + 4 )

∫ ( 3x + 4 )

2

1
 3x + 4 
= arctan 
 + C.
2
 2 

+2
2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 4 =

∫

3x + 5
dx
2
2 x + x + 10

b) I 5 = ∫

3x + 5
a) I 4 =
dx =
2
2 x + x + 10
2

∫

+ x + 10

) + 17

)

∫

c) I 6 =

∫

2 x4 − x
dx
x2 + 2x + 7

3
17
( 4 x + 1) +
dx
4
4 dx = 3 ( 4 x + 1) dx + 17
2
2
2
4 2 x + x + 10 4 2 x + x + 10
2 x + x + 10

∫

∫

(

)

dx
3
17
dx
= ln 2 x 2 + x + 10 +
2
x
8 
2 x + x + 10
1  79
x2 + + 5 4
 x + 4  + 16
2


1

dx+ 
3
17
3
17 4
 4x + 1 
4

= ln 2 x 2 + x + 10 +
= ln 2 x 2 + x + 10 + .
arctan 
 + C.
2

2
4
8 
4
8 79
 79 
1   79 

 x +  + 
4   4 

3
17
 4x + 1 
Vậy I 4 = ln 2 x 2 + x + 10 +
arctan 
 + C.
4
2 79
 79 
1
(12 x + 9 ) − 4
4x − 1
1 (12 x + 9 ) dx
dx
3
b) I 5 = ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫ 2
dx − 4∫ 2

2
6x + 9x + 4
6x + 9x + 4
3 6x + 9x + 4
6x + 9x + 4
2
d ( 3 x + 1)
1 d (6x + 9x + 4)
dx
1
4
= ∫
dx − 4∫
= ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − ∫
2
2
3
6x + 9x + 4
3 ( 3 x + 1)2 + 3 2
( 3x + 1) + 3 3
=

3
4

∫
d (2x

4x −1
dx

6x2 + 9x + 4
Hướng dẫn giải:

∫

2

(

(

8 ∫

(

∫

)

)

( )

1
4 1
1
4
 3x + 1 
 3x + 1 
= ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − .

arctan 
+ C 
→ I 5 = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) −
arctan 

 + C.
3
3 3
3
3 3
 3 
 3 

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2 x4 − x
25 x − 7 
2 x3
25 x − 7
 2
dx
=
2
x
−

4
x
+
1
+
dx
=
− 2x2 + x + 2
dx


2
2
3
x + 2x + 7
x + 2x + 7 
x + 2x + 7

25
( 2 x + 2 ) − 32
dx
25 x − 7
25 ( 2 x + 2 ) dx
dx = 2 2
dx =
dx − 32 2
Đặt J = 2
2
2 x + 2x + 7
x + 2x + 7

x + 2x + 7
x + 2x + 7

c) I 6 =

∫

∫

∫

∫

(

)

2
25 d x + 2 x + 7
=
dx − 32
2
x2 + 2 x + 7

∫

∫

∫

dx

∫ ( x + 1)

2

+6

=

∫

(

)

25
ln x 2 + 2 x + 7 − 32
2

∫

d ( x + 1)

( x + 1)2 + (

6

)

2

25
32
x +1
2 x3
25
32
 x +1
ln x 2 + 2 x + 7 −
arctan

→ I6 =
− 2 x 2 + x + ln x 2 + 2 x + 7 −
arctan 
 + C.
2
3
2
6
6
6
 6 
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán
là xử lý mẫu số.
P ( x)
1 A
B 
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 

→ 2
= 
+

ax + bx + c a  x − x1 x − x2 

(

Nếu

)

P ( x)
ax + bx + c
2

(

)

du
1
u
= arctan + C
2
α
α
u +α
du
1

2
ax 2 + bx + c = ( mx + n ) 
→∫ 2 = − + C
u
u

ax 2 + bx + c = ( mx + n ) + k 2 
→∫
2

2

III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x).

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và
đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào
biểu thức của tử số là bậc mấy)
P ( x)
A
B
C
Ta có Q( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) 
→
=
+
+
Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên.
Chú ý:
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của
mẫ u s ố .
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
6 x2 + x − 2
3x 4 − x 2 + 3x − 7
a) I1 =
b)
I
=
dx
c)
I
=
dx
2
3
x x2 − 1
x x2 + x − 2
( x − 2) x2 − 9

∫

(

)

∫ (

)

∫ (

)

Hướng dẫn giải:
dx
a) I1 =
=
2
( x − 2 )( x + 3)( x − 3)
( x − 2) x − 9

∫

Ta có

dx

(

) ∫

1
A
B
C
=

+
+

→ 1 ≡ A( x 2 − 9) + B( x − 2)( x − 3) + C ( x − 2)( x + 3)
( x − 2 )( x + 3)( x − 3) x − 2 x + 3 x − 3

1

A = − 5
0 = A + B + C

1


⇔ 0 = −5B + C
⇔ B =
30
1 = −9 A + 6 B − 6C


1

C = 6

Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc
tính toán, suy nghĩ:

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
I1 =

dx

( x + 3) − ( x − 3)

1

1

Facebook: LyHung95

dx

1

dx

∫ ( x − 2)( x + 3)( x − 3) = 6 ∫ ( x − 2)( x + 3)( x − 3) dx = 6 ∫ ( x − 2 )( x − 3) dx − 6 ∫ ( x − 2 )( x + 3)

Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
6 x2 + x − 2
6 x2 + x − 2
=
b) I 2 =
dx
dx
x ( x + 1)( x − 1)

x x2 − 1

∫ (

∫

)

Cách 1: Ta có

A
B
C
6 x2 + x − 2
= +
+

→ 6 x 2 + x − 2 ≡ A( x 2 − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1)
x ( x + 1)( x − 1) x x + 1 x − 1


A = 2
3
5 

6 = A + B + C

2

3

3
5


2
⇔ 1 = − B + C ⇔  B = 
→ I2 =  +
+ 2  dx = 2ln x + ln x + 1 + ln x − 1 + C .
2
2
2
 x x +1 x −1 
−2 = − A


5



C = 2

∫

Cách 2: I 2 =
=2

∫

(

d x3 − x
x −x
3

6 x2 + x − 2

∫ x(x

) dx +

)

−1

2

dx =

∫

(

)

2 3 x 2 − 1 + ( x − 1) + 1
x −x
3

dx

dx

∫ x( x + 1) + ∫ x( x − 1)( x + 1) = 2ln x

3

dx = 2

∫

( 3x

2

)

− 1 dx

x −x
3

dx +

∫

( x − 1) dx +
x −x
3

∫x

dx
=
−x

3

−x +J +K

( x + 1) − x
1 
x
1
dx =  −
 dx = ln x − ln x + 1 = ln
x( x + 1)
x +1
 x x +1
dx
( x + 1) − x
dx
dx
x − ( x − 1)
1 ( x + 1) − ( x − 1)
K=
=
dx =
−
=
dx −

dx =
x( x − 1)( x + 1)
x( x − 1)( x + 1)
x( x − 1)
x( x − 1)
( x + 1)( x − 1)
2 ( x + 1)( x − 1)

Với J =

dx

∫ x( x + 1) = ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

x − ( x − 1)
1 ( x + 1) − ( x − 1)

1
1  1
1 
x −1 1 x −1
 1
dx −
dx = 
−  dx −
−
− ln

 dx = ln
2 ( x + 1)( x − 1)
2  x −1 x +1 
2 x +1
x( x − 1)
x
 x −1 x 
x
x −1 1 x −1
Từ đó ta được I 2 = 2ln x3 − x + ln
+ ln
− ln
+ C.
x +1
x
2 x +1
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!



2
2
3x 4 − x 2 + 3x − 7
3x − 3 + 8 x − 3x + 7  dx = 3 x − 3 x + J
c) I 3 =
dx
=

2
x x2 + x − 2
x x2 + x − 2 


8 x 2 − 3x + 7
8 x 2 − 3x + 7
Với J =
dx
=
dx
x ( x − 1)( x + 2 )
x x2 + x − 2
=

∫

∫

Ta có

∫

∫ (

)

∫ (

)

∫

∫

(

)

∫

A
B
C
8 x 2 − 3x + 7
= +
+

→ 8 x 2 − 3 x + 7 ≡ A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1)
x ( x − 1)( x + 2 ) x x − 1 x + 2

7


15 
 7
A = − 2
8 = A + B + C
−2


4
7
15

⇔ −3 = A + 2 B − C ⇔  B = 4 
→J = 
+
+ 2  dx = − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C.
x −1 x + 2 
2
2
 x


15
7 = −2 A


C =
2

3x 2

7
15
V ậy I 3 =
− 3 x − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C.
2
2
2

∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I 7 = ∫

4x −1
dx
2
x + 2x + 1

b) I8 = ∫

3x + 7
dx
2
4x + 4x + 1

c) I 9 = ∫

3x 2 + 1
dx

9 x2 + 6 x + 1

Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) I10 = ∫

4 x 2 − 3x + 1
dx
4x2 − 4x + 1

Facebook: LyHung95

2 x 2 + 3x + 2
dx
x2 − 4 x + 4

c) I12 = ∫

3 − 2x
dx
x − 6x + 9

3x + 1
dx
x + x+2

c) I15 = ∫

dx
2x − x + 1

x +1
dx
4x + x + 1

c) I18 = ∫

4x + 1
dx
x − x +1

2x +1
dx
( x + 1)( x 2 − 9)

c) I 3 = ∫

x2 + x + 1
dx
( x + 2)( x 2 + 4 x + 3)

x +1
dx
x( x 2 − 4)

c) I 6 = ∫

x2
dx
( x 2 − 1)( x + 2)

b) I11 = ∫

2

Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I13 = ∫

2 − 3x
dx
x − 4x + 5
2

b) I14 = ∫

2

2

Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I16 = ∫

2x −1
dx
x −x+4
2

b) I17 = ∫

2

2

Bài 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫

dx
x( x 2 − 1)

b) I 2 = ∫

Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I 4 = ∫

5x + 2
dx
(1 + x)(4 − x 2 )

b) I 5 = ∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!