đồ họa cơ bản đại học Bách Khoa Hà Nội

Phần 1
HÌNH HỌA

1


Chương 1
Mở đầu
Cơ sở của biểu diễn

2


1.1 Giới thiệu môn học
Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng
trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật
thể đều là các vật thể 3 chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt
phẳng 2 chiều?

Gaspard Monge

Hình họa

Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt
phẳng
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng 3

1.2 – Cac phep chieu
1.2.1 Phép chiếu xuyên tâm

S

a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc
Π và một điểm A bất kỳ.
- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt
phẳng Π.
*Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu
+ Điểm S gọi là tâm chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm
A

A

A’
П
Hình 1.1 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm

4


b) Tính chất phép chiếu

П

S
C

S

B

A

C’

C
A

A’
E

F’

B

D

B’
F

D

C’=D’
A’

E’

B’
b)

П
a)

D’

T’

Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm

- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó
là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình
0.2.a)
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường
đồng quy. (Hình 0.2.b)
5


1.2.2- Phép chiếu song song
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s
không song song mặt phẳng Π và một

điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A

a
s

A

A’
П
Hình 1.3 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm

6


b) Tính chất phép chiếu

C

- Nếu đường thẳng AB không song song a)
với phương chiếu s thì hình chiếu song song
của nó là đường thẳng A’B’
- Nếu CD song song với phương chiếu s
thì hình chiếu song song của nó là một điểm
C’=D’
- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’
+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:
b)

D

A

C’=D’
A’
П

I' K' //IK

I' K' = IK

M’

N

A' M' AM
=
M' B' MB

- Nếu MN//QP thì: M' N' //P' Q'

M' N' MN
 P' Q' = PQ
- Nếu IK// Π thì:

s

B

M

M

Q

B’

K

I

s

P
N’

M’
П

Q’

I’

K’

P’

Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu
song song

7


1.2.3- Phép chiếu vuông góc

a

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc
a)
biệt của phép chiếu song song khi phương
chiếu vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu.
- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính
chất của phép chiếu song song, ngoài ra
có thêm các tính chất sau:
+ Chỉ có một phương chiếu s duy
nhất
b)
+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:

A’B’=AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương
pháp hình chiếu thẳng góc

s

A

A’
П
B
s

A

φ
П

A’

B’

Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc
8


Chương 2
Biểu diễn liên thuộc

9


2.1 – Điểm
2.1.1– Xây dựng đồ thức của 1 điểm
a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)
Π1

A1
A

- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П1 và П2.

x

Ax
A2

Π2

- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng.
- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao điểm của П1 và П2

b)

(x = П1∩П2 )
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2

Π1
x

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

A1 A
Ax

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay
A2

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2
trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm
A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Π2

Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
10


a)
* Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng

Π1

A1
A

- Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng

x

- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A1: hình chiếu đứng của điểm A

Ax
A2

Π2

- A2: hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng
(AA1A2)
- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.

b)

Π1
x

A1 A

Ax
A2

Π2
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu
11


* Độ cao của một điểm
- Ta có: AxA1 = A2A gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П2

a)

Π1

A1
A

x

Ax
A2

Π2

+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П2.
b)
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên
trục x
+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Π1
x

A1 A
Ax
A2

Π2
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
12


* Độ xa của một điểm
- Ta có: AxA2 = A1A gọi là độ xa của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П1
+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía
sau П1.

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới
trục x
+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian
có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2.
Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể
xây dựng lại điểm A duy nhất trong
không gian. Như vậy đồ thức của một
điểm A có tính phản chuyển

a)

Π1

A1
A

x

Ax
A2

Π2

b)
A1
x

Ax

A2

Π2
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu

13


b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu a)
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng
П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một.

Π1

+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2)
x

+ Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3)
+ Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 ,
A2 và A3

A1

Az
A3

A

Ax

O

Ay

A 2 A2

Π2

y

Π3

b)
Π1

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng
П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3
quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên
Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng
với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A
trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

z

x

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O

Ay
y

Ay
Π2

A2

y

Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một
14 điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b) Các định nghĩa và tính chất
a)
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh

Π1

x

- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A3: hình chiếu cạnh của điểm A
- Gọi

z

A1

A3

A

Ax

O

Ay

A2 A2

Π2

Ax = x ∩ (A1AA2)
Ay = y ∩ (A2AA3)

Az

y

Az = z ∩ (A1AA3)

Π3

- Trên đồ thức:
+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường

b)

Π1

thẳng vuông góc với trục x gọi là đường
dóng thẳng đứng
+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường

x

thẳng song song với trục x gọi là đường
dóng nằm ngang.

Π2

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O

Ay
y

Ay
A2

y

Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một15
điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu


b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) a)

* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có: AzA1 = AyA 2 = OAx = A 3A

Π1

gọi là độ xa cạnh của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П3
+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П3.

x

z

A1

Az

A

A3

Ax

O
A2

Π2

A2

Ay

y

Π3

b)

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

Π1

phải trục z
+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái

x

A1

Ax

z

A

A3

Π3

Az
O

Ay
y

Ay

trục z
Π2

A2

y

Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một16
điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu


2.1.2 – Một số định nghĩa khác
a) Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)

+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV
Π1

( II ) Π1
(I)

( III )

Π2

A1

( IV )
Hình 2.3. Góc phần tư I, II, III, IV

A2
Π2

C2

B2

x
A2

B1

C1

D1
D2

Hình 2.4. Các điểm A,B,C,D thuộc
các góc phần tư I, II, III, IV
17


b) – Mặt phẳng phân giác
- Có hai mặt phẳng phân giác
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng
phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

( II )

Π1

Π1
(Pg1)

x
( III )

A1

x

C1 =C2
B2

Ax

Bx

A2

B1

Cx

Dx

(I)
Π2

A2
(Pg2)

Hình 2.5. Mặt phẳng phân giác I và II

( IV )

D1 =D2

Π2

Hình 2.6. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
18


2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức
Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu
cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức
z(+)

a)

Az

A1

Δ’
A3

Δ

z(+)

Δ’

b)

B1

B3

B2
x(+)

Ax

O

Bz

z(+)

c)
Δ

C2

Cy

By

Ay

x(+)

O

Cy

Cx

y(+)

y(+)
x(+)

Ay

A2

Bx
By

Dx

y(+)

O

E1=E2

Dy

Dz

z(+)

Δ’

e)
y(+)

D1

E3

Dy
y(+)

Ez=Ey

Δ

O

y(+)

Δ
D3

D2

Δ’

y(+)
z(+)

x(+)

Cz

C3

Δ
C1

y(+)

By

y(+)

d)

O

Δ’

x(+)

Ex
Ey

y(+)

19


2.2 Đường thẳng

2.2.1 Biểu diễn đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

Π1

B1
l1
l

x
A

AB ∈ l , A ≠ B

l2

B2

A2

A(A1, A2)
B(B1, B2)

B1

- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

của đường thẳng l
- l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng

B

A1

l1

A1

của đường thẳng l

l2

Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

Π2

B2
A2

Hình 2.7. Đồ thức của một đường thẳng
20

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng
a)- Trường hợp tổng quát
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh
là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.

A1 ∈ l1
A ∈ l
⇔

(l // ∏ 3 )
A 2 ∈ l 2
Π1

l1
A1

x

A1

l

l1

x

A
l2
A2

l2

Π2

Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng

A2

21


b)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П3 )
Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh
z

Π1
E1

x

z

p1

E

p1
F1

E3
α

p

O
E2

Π2

FA

p2
F2

α

E1

p3

Π3

p3

F1
x

F3

Ax

O

y

β

F3
y

E21

2

E3

F2

p2

y

Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.

22


Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

I1 ∈ P1Q1
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

I 2 ∈ P 2 Q 2
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:

I3 ∈ P3Q3 ⇔ I ∈ PQ
I3 ∉ P3Q3 ⇔ I ∉ PQ
z
P3

P1

I3

I1

Q1
x

O

Q3

y

P2
I2
Q2
y

Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh

23


P1

Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu: I P
IP
1 1
= 2 2 ⇔ I ∈ PQ
I1Q1
I 2Q 2

α
I1

I1P1
IP
≠ 2 2 ⇔ I ∉ PQ
I1Q1 I 2 Q 2

I

Q

I’1
t

- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với

Q1

P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90 ).
o

- Trên t lấy: P1 I = P2 I 2

x

IQ = P2 Q 2

P2

- Vẽ I I'1 // Q Q1
- Nếu I'1 ≡ I1 thì tỉ số đơn bằng nhau ⇔ I ∈ PQ
- Nếu I'1 ≠ I1 thì tỉ số đơn khác nhau ⇔ I ∉ PQ

I2
Q2

Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
24


c- Áp dụng. Tìm vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)

- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 ⇒ M1∈l1 , M2∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 ⇒ N1∈x , N2∈l2
Π1

M1

M1

l1

l1
l

N1

x

x

l2
N2

N1
M2

M2

l2

Π2

Hình 2.12. Vết của đường thẳng

N2
25