đề THI toán THPT QUỐC GIA(mới)

SỞ GD & ĐT SƠN LA

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỢT 1
MÔN THI: TOÁN
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

Câu 1(2 điểm).
y=

2x + 1
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
Câu 2 (1điểm)
sin α =

1) Cho

3
5

và

π
<α <π
2

.Tính giá trị của biểu thức:

2 ( 1 + i ) + 3 ( 1 − 2i )
1+ i

π

P = 10sin  α + ÷+ 25cos 2α
3


2

z=

2) Cho số phức
Câu 3( 1,5 điểm)

z

. Tìm

log 3 ( 2 − x ) + log 1 ( 4 + 2 x ) > 0
3

1) Giải bất phương trình sau:
2

I = ∫ x x − 1dx

2) Tính tích phân sau:
Câu 4 (1điểm)

1

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AC = a 3

,

·
ABC = 60o

. Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh
BC, cạnh bên tạo với đáy góc 30o. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mặt
phẳng (ACC’A’).
Câu 5 (1điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm
(α ) : 2 x + 2 y − z − 6 = 0

A ( −2;1;1)

và mặt phẳng

. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng

(α)

.

Tìm tọa độ tiếp điểm.

Câu 6 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là
trung điểm của BC và đường thẳng AN có phương trình
thuộc đoạn BD sao cho

BD = 4 DM

13 x − 10 y + 13 = 0

. Gọi H là điểm thuộc tia NB sao cho
3BD = 2 AD

, điểm

NH = BC

M ( −1; 2 )

. Tìm tọa

d : 2x - 3y = 0

độ các đỉnh của hình bình hành biết
và H thuộc đường thẳng
Câu 7 ( 1,5 điểm)
1) Một công ty cần tuyển 3 nhân viên mới. Có 5 nam và 4 nữ nộp đơn dự tuyển. Giả sử
khả năng trúng tuyển của mỗi người là như nhau. Tính xác suất để trong ba người được
tuyển có ít nhất 2 nam.
2) Giải bất phương trình:

( x − 3)

x − 1 + 3 2 x 2 − 10 x + 16 − 6 x ≥ x 2 x 2 − 10 x + 16 − x 2 − 9


Câu 8 ( 1điểm) Cho
P=

biểu thức:

x, y , z

là các số dương thỏa mãn:

xyz = 8

. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

1
1
1
+
+
2x + y + 6 2 y + z + 6 2z + x + 6

.....................................Hết.....................................

SỞ GD VÀ ĐT SƠN LA

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016

(Đápán- thangđiểmgồm 7trang)

Câu
1

Đápán

Điểm

1) (1,0điểm)

(2điểm)

y=

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

• Tậpxácđịnh:
• Sựbiếnthiên:

- Chiềubiếnthiên:

0,25

−5

( x − 2)

2

< 0 ∀x ∈ D

Hàmsốnghịchbiếntrêntừngkhoảng
- Giới hạn và tiệm cận:
lim y = lim y = 2

Ta có

x →−∞

lim y = +∞, lim− y = −∞

x → 2+

; tiệmcậnngang:

x→2

; tiệmcậnđứng :
- Bảngbiếnthiên:
x
y’
y

.

D = R \ { 2}

y' =

x →+∞

2x +1
x−2

−∞

−∞

và

( 2; +∞ )
0,25

y=2

x=2

+∞

2
-

2

( −∞; 2 )

-

0,25

+∞

2


0,25

• Đồthị
2) ( 1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
có tung độ bằng 3.

Giả sử tiếp điểm là
Từgiảthiết ta có
⇒

M o ( xo ; yo )

0,25

yo = 3

2 xo + 1
= 3 ⇔ 2 xo + 1 = 3 xo − 6 ⇔ xo = 7
xo − 2

y ' ( xo ) = y ' ( 7 ) =

0,25

−1
5

0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
y=

−1
1
22
( x − 7) + 3 ⇔ y = − x +
5
5
5

2
(1điểm)

M o ( 7;3)

sin α =

1) (0,5 điểm)Cho

3
5

và

π
<α <π
2

là

0,25

.Tính giá trị của biểu thức:

π

P = 10sin  α + ÷+ 25cos 2α
3


Áp dụng công thức
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 −

Mà

9 16
=
25 25

0,25

π 
4
α ∈  ;π ÷

⇒ cos α = −
 2  ⇒ cos α < 0
5

π
π

A = 10  sin α cos + cos α sin ÷+ 25 ( 1 − 2sin 2 α )
3
3


0,25


3 1 4 3
9 

= 10  . − .
+ 25 1 − 2. ÷ = 10 − 4 3
÷
÷
25 

5 2 5 2 

2 ( 1 + i ) + 3 ( 1 − 2i )
z=
1+ i
2

2) ( 0,5 điểm) Cho số phức
z=

3 − 2i ( 3 − 2i ) ( 1 − i ) 1 5
=
= − i
1+ i
2
2 2
2

z

. Tìm

0,25

2

26
1  5
z =  ÷ +− ÷ =
2
2  2

3

1) ( 0,5 điểm)

0,25
log 3 ( 2 − x ) + log 1 ( 4 + 2 x ) > 0

(1,5 điểm)

3

Giải bất phương trình sau:

ĐK:

2 − x > 0
⇔ x ∈ ( −2; 2 )

4 + 2 x > 0

Bấtphươngtrình

0,25

⇔ log 3 ( 2 − x ) > log 3 ( 4 + 2 x )

⇔ 2 − x > 4 + 2x ⇔ x < −

2
3

Kếthợpđiềukiện, suyratậpnghiệmcủa BPT là

2


S =  −2; − ÷
3


0,25

2

I = ∫ x x − 1dx

2) ( 1 điểm) Tính tích phân sau:

1

x = t 2 +1
x −1 = t ⇒ x −1 = t 2 ⇒ 
dx = 2tdt

0,25

Đặt
Đổicận:

x
t

1
0

2
1

1

1

0

0

0,5

I = ∫ ( t 2 + 1) t .2tdt = 2∫ ( t 4 + t 2 ) dt

 t5 t3 
16
= 2  + ÷ 10 =
15
5 3

4
( 1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
·
AC = a 3 ABC = 60o

,
. Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng
(ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC, cạnh bên tạo với đáy
góc 30o. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mặt

0,25


phẳng (ACC’A’).

A’

C’
B’

K

A

M
C
H

B

A ' H ⊥ ( ABC ) = H ⇒

AH là hình chiếu của AA’ trên mp (ABC)

Suy ra góc giữa AA’ và (ABC) là góc
Xét tam giác vuông ABC có

·
A ' AH = 30o

0,25

AB
1
= cot 60o ⇔ AB = AC.cot 60 o = a 3.
=a
AC
3
BC =

AC
a 3
=
= 2a
o
sin 60
3
2

AH =

,

BC
=a
2

A ' H = AH .tan 30o =

Xét tam giác vuông AA’H có

a
3

1
1
a2 3
dt ∆ABC = AB. AC = a.a 3 =
2
2
2

VABC . A ' B 'C ' = A ' H .dt ∆ABC =

0,25

a a 2 3 a3
.
=
2
3 2

do BB '/ / ( ACC ' A ' )

⇒ d ( B ', ( ACC ' A ' ) ) = d ( B, ( ACC ' A ' ) ) = 2d ( H, ( ACC ' A ' ) )

Kẻ

 HM / / AB


HM ⊥ AC ⇒ 
1
a
 HM = 2 AB = 2

A ' H ⊥ AC

AC ⊥ ( A ' HM )

Lại có
, Suy ra
(ACC’A’) vuông góc với (A’HM) theo giao tuyến A’M

0,25


Suy ra nếu kẻ

HK ⊥ A ' M = K

⇒ d ( H , ( ACC ' A ') = HK

thì

HK ⊥ ( ACC ' A ') = K

1
1
1

1
1
7
=
+
=
+
= 2
2
2
2
2
2
HK
HM
A'H
a
a  a 
 ÷ 
÷
2  3

Có

⇒ HK =

a 7
2a 7
⇒ d ( B, ( ACC ' A ') ) =
7

7

d ( B ', ( ACC ' A ' ) ) =

0,25
Vậy

2a 7
7

5
A ( −2;1;1)
và mặt phẳng
(1 điểm) Trong hệ trục Oxyz cho điểm
(α ) : 2 x + 2 y − z − 6 = 0

với mặt phẳng

(α )

. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc

. Tìm tọa độ tiếp điểm.

Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
⇔R=

⇒

2.(−2) + 2.1 − 1 − 6

2 + 2 + ( −1)
2

2

PT mặtcầulà:

Gọi H là tiếpđiểm
⇒

⇒

2

bán kính

R = d ( A, ( α ) )

0.25

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 9
2

2

Phươngtrình AH :

(α)

là

uur
nα ( 2; 2; −1)

0.25

làm VTCP

 x = −2 + 2t

 y = 1 + 2t
z = 1− t
⇒ H ( −2 + 2t ;1 + 2t ;1 − t )


H ∈ ( α ) ⇒ 2 ( −2 + 2t ) + 2 ( 1 + 2t ) − ( 1 − t ) − 6 = 0

⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ t = 1

0,25

⇒ H ( 0;3;0 )

6
(1điểm)

0,25

⇒ AH ⊥ ( α ) = H

AH nhận VTPT của

Mà

⇒

=3

2

( x + 2)

(α)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N
là trung điểm của BC và đường thẳng AN có phương trình
13x − 10 y + 13 = 0

, điểm

M ( −1; 2 )

thuộc đoạn BD sao cho

. Gọi H là điểm thuộc tia NB sao cho
của hình bình hành biết

NH = BC

3BD = 2 AD

BD = 4 DM

. Tìm tọa độ các đỉnh

và H thuộc đường thẳng


d : 2x - 3y = 0

C
N
I
B

M

D

G

H
A
MB =

Ta có

⇒ ∆HMN

3

AD BC HN
BD =
=
=
4
2
2
2

vuôngtại M

Do HN = 2 BN nên
BG =

Dễthấy
MG =

0,25

d ( H , AN ) = 2d ( B, AN )

1
BD
3

0,25

1
1
5

5
BI + BI = BI = BD
2
3
6
12

BG =

4
4
MG ⇒ d ( B, AN ) = d ( M , AN )
5
5

8
32
⇒ d ( H , AN ) = d ( M , AN ) =
5
269

Mà
⇒

H ∈ d : 2 x − 3 y = 0 ⇒ H ( 3t ; 2t )

13.3t − 10.2t + 13
269

Với

t = 1 ⇒ H ( 3; 2 )
t=−

Với
AN)

45
 135 90 
⇒ H −
;− ÷
19
 19 19 

Phươngtrình MH:
Vì

t = 1
32
=
⇔
t = − 45
269
19


MN ⊥ MH ⇒

(loạivì H và M nằmcùngphíađốivới

y−2 = 0

phươngtrình MN:

x + 1 = 0 ⇒ N ( −1;0 )

0,25


Do B làtrungđiểmcủa HN

⇒ B ( 1;1)

Lạicó N làtrungđiểmcủa BC

0,25

⇒ C ( −3; −1)

uuuu
r
uuuu
r
 5 7
 1 5
 7 13 
BM = 3MD ⇒ D  − ; ÷ ⇒ I  − ; ÷ ⇒ A  ; ÷
 3 3
 3 3
3 3 

7
(1,5điểm)

Do
1) ( 0,5điểm) Một công ty cần tuyển 3 nhân viên mới. Có 5 nam và
4 nữ nộp đơn dự tuyển. Giả sử khả năng trúng tuyển của mỗi người
là như nhau. Tính xác suất để trong ba người được tuyển có ít nhất 2
nam.
n ( Ω ) = C93

Gọi A là biến cố: trong ba người được tuyển có ít nhất 2 nam.

0,25

⇒ n ( A ) = C52 .C41 + C53

C52 .C41 + C53 25
P ( A) =
=
C93
42

0,25

2) (1,0 điểm) Giải bất phương trình:

( x − 3)

x − 1 + 3 2 x 2 − 10 x + 16 − 6 x ≥ x 2 x 2 − 10 x + 16 − x 2 − 9

Điềukiện:

x ≥1

BPT ⇔ ( x − 3) x − 1 + ( x − 3) − ( x − 3) 2 x 2 − 10 x + 16 ≥ 0
2

⇔ ( x − 3)  x − 1 + x − 3 − 2 x 2 − 10 x + 16  ≥ 0



0,25

( *)

Áp dụng bất đắng thức Bunhicopxiki ta có

(

x − 1 + ( x − 3)

) ≤ ( 1 + 1 ) ( x − 1 + ( x − 3) ) = 2 x
2

2

2

2

2

− 10 x + 16

⇔ x − 1 + ( x − 3 ) ≤ 2 x 2 − 10 x + 16 ∀x ≥ 1

Dấubằngxảyra

0,5

⇔ x −1 = x − 3

x ≥ 3
 x ≥ 3
x ≥ 3

⇔
⇔  x = 2 ⇔ x = 5
2 ⇔  2
 x − 7 x + 10 = 0
 x = 5
 x − 1 = ( x − 3)


⇒ x − 1 + x − 3 − 2 x 2 − 10 x + 16 ≤ 0 ∀x ≥ 1

Dấu bằng xảy ra
Nên

⇔ x=5

0,25

( *) ⇔ x ≤ 3

Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm của BPT là
8
(1điểm)

Cho

x, y , z

là các số dương thỏa mãn:

S = [ 1;3] U{ 5}

xyz = 8

. Hãy tìm giá trị lớn


P=

nhất của biểu thức:

Ta có
Đặt

1
1
1
+
+
2x + y + 6 2 y + z + 6 2z + x + 6



÷
1
1
1
1
P= 
+
+
÷
2 x+ y +3 y+ z +3 z+ x +3÷

2
2
2


0,25

x
y
z

= a; = b; = c
⇒ abc = 1
2
2
2

1
1
1
1

P= 
+
+
÷
2  2a + b + 3 2b + c + 3 2c + a + 3 

Có

2a + b + 3 = ( a + b ) + ( a + 1) + 2 ≥ 2 ab + 2 a + 2

0,25

2b + c + 3 = ( b + c ) + ( b + 1) + 2 ≥ 2 bc + 2 b + 2
2c + a + 3 = ( c + a ) + ( c + 1) + 2 ≥ 2 ca + 2 c + 2

1
1
1
1


⇒P≤ 
+
+
2  2 ab + 2 a + 2 2 bc + 2 b + 2 2 ca + 2 c + 2 ÷

1
1
1
1

= 
+
+
÷
4  ab + a + 1
bc + b + 1
ca + c + 1 

0,25

 1
1
1
a
ab
= 
+
+
÷=

4  ab + a + 1 1 + ab + a
a + 1 + ab ÷
 4
⇒ MaxP =

1
⇔ a = b = c =1⇔ x = y = z = 2
4

0,25