Chuyen de PT lượng giác ôn thi quốc gia 2016

Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Chương I: Công thức lượng giác
Bài 1: Chứng minh rằng:

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào

Bài 4: Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho tam giác ABC tùy ý với ba góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 7: Cho hàm số
Tìm giá trị của

để

xác định với mọi .

Bài 8: Chứng minh rằng:

Bài 9: Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

Bài 11: Chứng minh rằng:

Bài 12: Chứng minh rằng:

Bài 13: Chứng minh rằng:

Bài 14: Chứng minh rằng:

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 1


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 15: Chứng minh rằng:
Bài 16: Chứng minh rằng:

Bài 17: Tính giá trị biểu thức
Bài 18: Chứng minh rằng:

Bài 19: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

Bài 20: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
Bài 21: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

Bài 22: Cho tan giác ABC chứng minh rằng:

Bài 23: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

Bài 24: Chứng minh rằng:

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 2

Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Chương II: Phương trình lượng giác cơ bản.
PP: Dùng các phép biến đổi lượng giác để rút gọn phương trình, đưa phương trình lượng giác về
phương trình lượng giác cơ bản.(Thông qua phương trình có dạng tích các biểu thức nhị thức bậc
nhất).
Bài 1: Tìm nghiệm

nghiệm đúng phương trình

Bài 2: Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Tìm các nghiệm thỏa mãn

của phương trình:

Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Bài 9: Giải phương trình:
Bài 10: Giải phương trình:
Bài 11: Giải phương trình:
Bài 12: Giải phương trình:
Bài 13: Giải phương trình:
Bài 14: Giải phương trình:

Bài 15: Giải phương trình:

Chú ý: Khi giải các phương trình lượng giác có chứa

có chứa ẩn ở mẫu hay chứa căn

bậc chẵn … ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng một trong các cách sau để
kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không.
+) Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện và thử lại xem có thỏa.
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 3


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

+) Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và điểm ngọn của các cung tìm được trên cùng một
đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn của cung điều
kiện,
+) So sánh với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
+) Giải phương trình vô định để loại những cung trùng nhau.
Bài 16: Giải phương trình:
Giải

+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

+) Kiểm tra điều kiện:
Cách 1: Thay vào điều kiện ban đầu:

Cách 2: Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và
cung nghiệm tìm được trên đường tròn lượng giác
ta thấy: Điểm ngọn của cung nghiệm tìm được và

điểm ngọn của cung nghiệm không trùng nhau do
đó giá trị x tìm được là nghiệm của phương trình đã
cho.
Cách 4: Xét phương trình

Bài 17: Giải phương trình:

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 4


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 18: Giải phương trình:

Bài 19: Giải phương trình:
Giải

+) Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:

Bài 20: Giải phương trình:

Bài 21: Giải phương trình:

Bài 22: Giải phương trình:

Bài 23: Giải phương trình:

Bài 24: Giải phương trình:

Bài 25: Giải phương trình:
Bài 26: Giải phương trình:

Bài 27: Giải phương trình:
Bài 28: Giải phương trình:

Bài 29: Giải phương trình:
Bài 30: Giải phương trình:
Bài 31: Giải phương trình:
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 5


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 32: Giải phương trình:

Giải

+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

+) Kiểm tra điều kiện: Biểu diễn điểm ngọn của cung nghiệm và cung điều kiện trên đường tròn lượng
giác ta được:

Nhìn trên đường tròn lượng giác ta thấy phương trình nhận nghiệm ứng với điểm
Vậy pt nhận nghiệm:

Bài 33: Giải phương trình

Giải

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 6


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

+) Với điều kiện trên phương trình tương đường với:

+) Kiểm tra điều kiện

Vậy phương trình nhận nghiệm

Bài 34: Giải phương trình:
Giải

+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với

+) So sánh với điều kiện
a) Xét phương trình:

b) Xét phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 7

Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Chương III: – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC


Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

asin2 x + bsinx + c = 0
acos2 x + bcosx + c = 0

t = sinx
t = cosx

- 1£ t £ 1
- 1£ t £ 1

atan2 x + btanx + c = 0

t = tanx

acot2 x + bcot x + c = 0

t = cot x

p
+ kp , (k Î ¢)
2
x ¹ kp , ( k Î ¢ )

x¹

Nếu đặt t = sin2 x hoặc t = sinx thì điều kiện là 0 £ t £ 1

(tương tự cho cosx )

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hê
● 1 + sin2x = sin2 x + cos2 x + 2sinx cosx = ( sinx + cosx)
● 1- sin2x = sin2 x + cos2 x - 2sinx cosx = ( sinx - cosx)
● sinx cosx =

2

2

sin2x
2

3
3
● sin x + cos x = ( sinx + cosx) ( 1- sinx cosx)
3
3
● sin x - cos x = ( sinx - cosx) ( 1 + sinx cos x )

● tanx + cot x =

sinx cosx sin2 x + cos2 x
2
+
=
=
cosx sinx
sinx cosx
sin2x

cosx sinx cos2 x - sin2 x 2cos2x
=
=
= 2cot x
sinx cosx
sinx cosx
sin2x
1
1 1
3 + 1cos4x
● sin4 x + cos4 x = 1- sin2 2x = + cos2 2x =
2
2 2
4
● cot x - tanx =

(

)(

)

4
4
2
2
2
2
● cos x - sin x = sin x + cos x cos x - sin x = cos2x

● sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x - sin2 x cos2 x = 1-

(

3 2
5 + 3cos4x
sin 2x =
4
8

)

6
6
4
4
2
2
● cos x - sin x = cos2x sin x + cos x + sin x cos x

x
1
=
2 cosx
æ pö
æ pö
÷
ç
÷
÷
x
±
=
2cos
xm ÷
ç
ç
● sinx ± cosx = 2sinç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
4ø
4ø
è
è
● 1+ tanx tan

cosx
cos2 x
1- sin2 x
1 + sinx
=
=
=
●
(mối liên hệ giữa sinx và cosx)
1- sinx cosx ( 1- sinx)
cosx
cosx ( 1- sinx)
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 8


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao


2
Bai 1. Gii phng trỡnh: cos4x + 12sin x - 1 = 0

( *)

(tuyờn sinh Cao ng khụi A, B, D nm 2011)
Trong bi toỏn toỏn cú cha hai cung x v 4x nờn ta a v cựng mt cung l 2x bng cụng thc
nhõn ụi ca cos4x = 2cos2 2x - 1 v cụng thc h bc sin2 x =

1- cos2x
. T ú, a ta v
2

phng trỡnh bc hai theo cos2x .
Gii

( *)

2cos2 2x - 1+ 6( 1- cos2x) - 1 = 0 cos2 2x - 3cos2x + 2 = 0

ùỡù t2 - 3t + 2 = 0
ớ

ùù t = cos2x, t Ê 1
ùợ

ột = 1 t = 2
ờ
ờt = cos2x, t Ê 1 cos2x = 1 x = kp , ( k ẻ Â ) .
ờ
ở

4
4
Bai 2. Gii phng trỡnh: cos x - sin x + cos4x = 0

( *)

(ờ thi tuyờn sinh Cao ng Xõy dng sụ 2 nm 2007

Trong vớ d ny, cung tụn ti hai cung khỏc nhau x v 4x nờn ta a v cựng mt
cung l 2x , nhng ln ny cn phi kờt hp gia hng ng thc v cụng thc nhõn ụi:

( cos x) - ( sin x)
2

2

2

2

(

)(

)

= cos2 x - sin2 x sin2 x + cos2 x = cos2x . Cũn cos4x ta se

ỏp dng cụng thc nhõn ụi nh trờn c phng trỡnh bc hai theo cos2x .
Gii

( *) ( cos x 2

)(

)

sin2 x cos2 x + sin2 x + 2cos2 2x - 1 = 0

ộcos2x = - 1
ờ
2
2cos 2x + cos2x - 1 = 0 ờ

ờcos2x = 1
ờ
2
ở

ộ
ờx = p + kp
ờ
2
( k,l ẻ Â ) .
ờ
ờx = p + lp
ờ
6
ở

ổ
cos3x + sin3x ử
ữ
ữ
sinx
+
= 3 + cos2x
ỗ

Bai 3. Gii phng trỡnh: 5ỗ
ữ
ỗ
ữ
1+ 2sin2x ứ
ố

( *)

, " x ẻ ( 0;2p)

(Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2002
Trong bi toỏn ny, cú cha ụng thi ba cung x,2x,3x v ta khụng th a cung x ca sinx v
cung 2x c (khụng cú cụng thc lng giỏc no), do ú chi cũn cỏch duy nht l a ba cung ny
v cựng cung x . Nhn thy rng, trong vờ trỏi phng trỡnh cú cha cos3x + sin3x , ta nờn phõn
tớch hai thnh phn ny trc trỏnh lp li v di dũng khi gii phng trỡnh. Cũn cos2x tt
nhiờn a v cung x bng cụng thc nhõn ụi:
cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x , nhng trong ba cụng thc ú, ta se ỏp
dng cụng thc no ? Cõu tr li l "da vo s biờn ụi ca vờ trỏi chn cụng thc phự hp".
Gii
iu kin: 1+ 2sin2x ạ 0 sin2x ạ Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

1
.
2
Page 9


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao

(

) (
)
= - 3( cosx - sinx) + 4( cos x - sin x)
= - 3( cosx - sinx) + 4( cos x - sin x)
= ( cosx - sin x) ộ
- 3 + 4( cos x + cosx sin x + sin x) ự
ờ
ỳ
ở
ỷ

3
3
Ta cú: cos3x + sin3x = 4cos x - 3cosx + 3sinx - 4sin x
3

3

3

3

2

2

= ( cosx - sinx) ( 1+ 2sin2x) .

ổ
( cosx - sinx) ( 1 + 2sin2x) ửữ
ỗ
ữ
ỗ
= 3 + cos2x
ữ
( *) 5ỗỗsin x +
ữ
ữ
1+ 2sin2x
ữ
ỗ
ố
ứ
5( sinx + cosx - sinx) = 2cos2 x - 1

ộ
ờcosx = 1
p
2
2cos x - 5cosx - 1 = 0 ờ
x = + k2p , ( k ẻ Â ) .
2
ờ
3
cosx = 2 ( L )
ờ
ở
Kờt hp vi iu kin, ta c h nghim l x =

sin2x =

p
+ k2p,( k ẻ Â ) do
3

3
1
ạ - .
2
2

ộ
ờx = p
ờ
3
Do x ẻ ( 0;2p) nờn ờ
5
ờx = p
ờ
3
ở

sin3x sin5x
=
( *)
3
5
( ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2000)

: T vic xut hin hai cung 3x, 5x = x + 4x , ta cú th a chỳng v cựng mt cung x theo
cụng thc nhõn ba v cng cung xut hin nhõn t chung (cỏch gii 1). Hn na, trong bi xut
hin s 3 v 5 , ta cung cú th tỏch 5 = 2 + 3 v nhúm chỳng mt
cỏch khộo lộo li vi nhau, ỏp dng cụng thc tụng thnh tớch (cỏch gii 2).

Bai 4. Gii phng trỡnh:

Gii

( *)

(

)

5sin3x = 3sin( x + 4x) 5 3sinx - 4sin3 x = 3( sinx cos4x + cosxsin4x)

(
)
5sinx ( 3 - 4sin x) = 3sinx ( cos4x + 4cos xcos2x)
sin x ộ
5 3 - 4sin x) - 3( cos4x + 4cos x cos2x) ự
=0
ờ
ỳ
ở(
ỷ
sinx ( - 12cos 2x + 4cos2x + 8) = 0 sinx ( 3cos 2x + cos2x - 2) = 0

5sinx 3 - 4sin2 x = 3( sinxcos4x + 2cosxsin2x cos2x)

2

2

2

Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

2

2

2

Page 10


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

.Bài 5. Giải phương trình:

sin5x
=1
5sinx

( *)
Giải

Điều kiện: sinx ¹ 0
● Cách giải 1

( *) Û

sin5x - sinx = 4sinx Û 2cos3x sin2x = 4sinx Û 4cos3x sinx cosx - 4sinx = 0

Û 4sinx ( cos3x cosx - 1) = 0 Û 2sinx ( cos4x + cos2x - 1) = 0

ésinx = 0 ( L )
Û sinx 2cos2 2x + cos2x - 3 = 0 Û ê
ê2cos2 2x + cos2x - 3 = 0
ê
ë
écos2x = 1
2
Û ê
êcos2x = - 1,5 L Û 1- cos2x = 0 Û 2sin x = 0 Û sinx = 0 ( L )
( )
ê
ë
Vậy phương trình vô nghiệm.

(

)

2
2
Bài 6. Giải phương trình: cos 3x cos2x - cos x = 0

( 1)

Giải

( 1) Û

1 + cos6x
1+ cos2x
.cos2x = 0 Û cos6x cos2x - 1 = 0
2
2

( 2) Û ( 4cos 2x 3

( 2)

)

3cos2x cos2x - 1 = 0 Û 4cos4 2x - 3cos2 2x - 1 = 0

écos2 2x = 1
ê
Û ê 2
êcos 2x = - 1
ê
4

ë
Cách giải 2

( L)

( 2) Û 21( cos8x + cos4x) -

Û sin2x = 0 Û 2x = kp Û x =

kp
, ( k Î ¢) .
2

1 = 0 Û cos8x + cos4x - 2 = 0 Û 2cos2 4x + cos4x - 3 = 0

écos4x = 1
ê
kp
Û ê
Û 4x = k2p Û x =
, ( k Î ¢) .
3
êcos4x = 2
L
(
)
ê
2
ë
Cách giải 3. Phương trình lượng giác không mẫu mực

écos6x = cos2x = 1
( 2) Û êêcos6x = cos2x = - 1 Û x = k2p , ( k Î ¢ ) .
ê
ë
Cách giải 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực

kp
, ( k Î ¢) .
2
æ pö
æ
pö
3
4
4
÷
ç
÷
÷
x- ÷
sin
3x
- = 0 ( *)
ç
ç
Bài 7. Giải phương trình: cos x + sin x + cosç
÷
÷
ç

÷ è
÷ 2
ç
4ø
4ø
è

( 2) Û

cos8x + cos4x - 2 = 0 Û cos8x = cos4x = 1 Û x =

(đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005)
Giải
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 11


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao

( *)

1-

ự 3
1 2
1ộ ổ
pử
ữ
ỗ

ỳ- = 0
ữ
sin 2x + ờ
sin
4x
+
sin2x
ỗ
ữ
ỳ 2
ỗ
ữ
2
2ờ
2
ứ
ờ
ỳ
ở ố
ỷ

1 2
sin 2x 2
1
- sin2 2x 2

1
1
- cos4x + sin2x) - = 0
(

2
2
1
1
1
1- 2sin2 2x + sin2x - = 0
2
2
2
ộsin2x = 1
p
sin2 2x + sin2x - 2 = 0 ờ
ờsin2x = - 2 L x = 4 + kp,( k ẻ
( )
ờ
ở
ổ
ổ 7pử
5p ử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
2x
+
3cos
x= 1+ 2sinx; " x ẻ
ỗ
ỗ

Bai 8. Gii phng trỡnh: sinỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
2ứ
2ứ
ố
ố
-

(

T vic xut hin cỏc s

)

Â) .
ổ
ử
p
ữ
ỗ
ữ
;2
p
ỗ
( *)

ữ
ỗ
ữ
ố2 ứ

5p 7p
p
l nhng bi s ca , lm ta liờn tng ờn cõu "cos i sin
,
2 2
2

bự ph chộo", tht vy, cỏc bn ý cỏch gii sau:
Gii

ộp
ự
ộp
ự
sin ờ - ( - 2x - 2p) ỳ- 3cos ờ - ( - x + 4p) ỳ= 1+ 2sinx
ờ2
ỳ
ờ2
ỳ
ở
ỷ
ở
ỷ
ự- 3sin( - x + 4p) = 1+ 2sinx cos2x + 3sinx = 1+ 2sinx
cos ộ

ờ- ( 2x + 2p) ỷ
ỳ
ở

( *)

ộx = kp
ờ
ộsinx = 0
ờộ
ờ
ờờx = p + l2p
2
- 2sin x + sinx = 0 ờ

ờờ
( k;l;m ẻ Â ) .
6
ờsinx = 1
ờờ
ờ
5p
ờờ
2
ở
+ m2p
ờờx =
ờ
6
ởở

ỡù x = kp
ỡù p
ỡ
ùù
ùù < kp < 2p ùùù 1 < k < 2
ổ
ửị ớ 2
ớ2
ị k = 1ị x = p .
Vi ùớ
p
ùù k ẻ Â,x ẻ ỗ
ùù k ẻ Â
ùù k ẻ Â
ữ
ỗ ;2pữ
ữ
ỗ
ùùợ
ố2 ữ
ứ ùợù
ùợù
ỡù
ùù x = p + l2p
ù
6
ị
Vi ùớ
ổ
ử

p
ùù
ữ
ỗ
;2pữ
ùù l ẻ Â,x ẻ ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố
ứ
ùợ
loi nghim x =

ỡù p p
ùù < + l2p < 2p

ớ2 6
ùù l ẻ Â
ùợù

ỡù 1
11
ù
ùớ < l <
ị Khụng tụn ti l ẻ Â nờn
ùù l6ẻ Â 12
ùùợ

p
+ l2p .
6

ỡù
ùù x = 5p + m2p
ù
6
ị
Vi ùớ
ổ
ử
p
ùù
ữ
ỗ
;2pữ
ùù m ẻ Â,x ẻ ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
ố
ứ
ùợ

ùỡù p 5p
+ m2p < 2p
ùớ <

2
6
ùù m ẻ Â
ùợù

ùỡù 1
7
5p
ù- ị m= 0ị x =
.
ớ 6
12
ùù m ẻ Â
6
ợùù

2
Bai 59. Gii phng trỡnh: 5sinx - 2 = 3( 1- sinx) tan x

Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

( *)
Page 12


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004
Giải

Điều kiện: cosx ¹ 0 Û sinx ¹ ±1.

( *) Û 5sinx - 2 = 3( 1- sinx)

sin2 x
sin2 x
Û
5sinx
2
=
3
1
sinx
(
) 1- sin2 x
cos2 x

sin2 x
Û 5sinx - 2 = 3
Û 2sin2 x + 3sinx - 2 = 0
1+ sinx
é
é
1
êx = p + k2p
êsinx =
N
( ) Û êê 6
Û ê
( k,l Î ¢ ) .

2
ê
5
p
ê
sinx = - 2 ( L )
ê
+ l2p
êx =
ë
6
ë
2
æ
ö
p÷
ç
÷
sin2x
+
3cos2x
5
=
cos
2x
ç
Bài 10. Giải phương trình:
÷
ç
6÷

è
ø

(

)

( *)

Giải:
2

æ
ö
æ
ö
p÷
ç
÷
÷
5
=
cos
2x
ç
( *) Û 4çççcos2x cos p6 + sin2x sin p6÷
÷
ç
÷
÷

6÷
è
ø
è
ø

æ
æ
ö
pö
p÷
ç
÷
÷
Û 4cos2 ç
cos
2x
- 5= 0
ç2x - ÷
ç
÷
÷
ç
ç
6÷
6÷
è
ø
è
ø

é æ
êcosç
2x ê ç
ç
è
ê
Û ê
æ
êcosç
ê ç
ç2x ê
ë è

pö
÷
÷
=- 1
÷
÷
6ø
p
7p
Û 2x = p + k2p Û x =
+ kp ,( k Î ¢ ) .
pö
5
6
12
÷
÷

= > 1 ( L)
÷
÷ 4
6ø

Bài 11. Giải phương trình:

● Điều kiện:

(

)

2 cos6 x + sin6 x - sinx cosx

= 0 ( *)
2 - 2sinx
(đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006)
Giải

2 - 2sinx ¹ 0 Û sinx ¹

( *) Û 2( cos x + sin x) 6

6

2.
2

æ 1 2 ÷

ö 1
sinxcosx = 0 Û 2ç
- sin2x = 0
ç1- sin 2x÷
÷
÷
ç
è 2
ø 2

ésin2x = 1
p
Û - 2sin2 2x - 2sin2x + 4 = 0 Û ê
êsin2x = - 2 L Û x = 4 + kp , ( k Î ¢ )
( )
ê
ë

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 13


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao

ổ
ử
p
ữ
= 1 ạ

Thay vo k: sinỗ
ỗ + kpữ
ữ
ữ
ỗ
ố4
ứ

x=

2
nờn h nghim phng trỡnh l
2

p
+ kp , ( k ẻ Â ) .
4
ổ

Bai 12. Gii phng trỡnh:

ử

ữ
( 1+ sinx + cos2x) sinỗỗỗốx + p4ứữ
ữ
ữ

1

1+ tanx

2

=

cosx

( *)

Gii

ùỡù 1+ tanx ạ 0 ùỡù tanx ạ - 1
ớ
ùù cosx ạ 0
ùù sinx ạ 1
ợ
ợ
ổ pữ
ử
ổ sinx ữ
ử
ữ
2sinỗ
1+ sinx + 1- 2sin2 x = cosx ỗ
ỗx + ữ
ỗ1+
ữ
ữ
ỗ

ỗ
4ữ
ố
ứ
ố cosx ữ
ứ

iu kin: ớ

( *)

(

)

(
( sinx + cosx) ( - 2sin

)
x + sinx + 1) = 0

( sinx + cosx) - 2sin2 x + sinx + 2 = cosx + sinx


2

ộ
ờtanx = - 1 L
( ) ộờx = - p + k2p
ờ

ộsinx + cosx = 0
ờ
ờ
6
ờ
sinx = 1 ( L ) ờ
( k,l ẻ Â ) .
ờ- 2sin2 x + sinx + 1 = 0 ờ
7
p
ờ
ờ
ờ
ở
+ l2p
1
ờ
ờx =
6
N)
ở
ờsinx = (
ờ
2
ở
Bai 13. Gii phng trỡnh: 2sin3x -

1
1
= 2cos3x +

sinx
cosx

( *)

Gii

ỡù sinx ạ 0
ù
sin2x ạ 0
ùù cosx ạ 0
ợ

iu kin: ớ

( *) 2( sin3x -

cos3x) =

1
1
+
sinx cosx

sinx + cosx
sinx cosx
sinx + cosx
2ộ
3( sinx + cosx) - 4 sin3 x + cos3 x ự
=

ờ
ỳ
ở
ỷ
sinx cosx

(

)

2 3sinx - 4sin3 x - 4cos3 x + 3cosx =

(

)

(

+ cosx
) ựỳỷ= sinx
sinx cosx

2ộ
3( sinx + cosx) - 4( sinx + cosx) sin2 x - cosx sinx + cos2 x
ờ
ở
ự- sinx + cosx = 0
2( sinx + cosx) ộ
3
4

1
sinxcosx
(
)
ờ
ỳ
ở
ỷ sinx cosx
Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

Page 14


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao

ộ
ổ 1
ử
2 ự
ữ
ỗ
ỳ= 0
ữ
( sinx + cosx) ờ
3
4
1
sin2x
ỗ
ữ

ờ
ỳ
ỗ
ữ
2
sin2x
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ

(

)

( sinx + cosx) 2sin2 2x - sin2x - 1 = 0
ộtanx = - 1
ờ
ộsinx + cosx = 0
ờ
1
ờ
ờ

ờ2sin2 2x - sin2x - 1 ờsin2x = - 2
ờ
ờ
ở

ờsin2x = 1
ờ
ở
Vy h nghim cn tỡm l x =
Bai 14.

Gii phng trỡnh:

(

ộ
ờx = p + kp
ờ
4
ờ
ờx = - p + lp
ờ
12
ờ
ờ
7p
+ mp
ờx =
ờ
12
ở

( k,l,m ẻ Â ) .

p

p
7p
+ kp x = + lp x =
+ mp
4
12
12

)

cosx 2sinx + 3 2 - 2cos2 x - 1
1+ sin2x

=1

( *)

Bai 15.

x
3x
x
3x 1
Gii phng trỡnh: cosx cos cos
- sinx sin sin
=
2
2
2
2

2

Bai 16.

Gii phng trỡnh:

Bai 17.

2
2
Gii phng trỡnh: 3cot x + 2 2sin x = 2 + 3 2 cosx

Bai 18.

6
2
Gii phng trỡnh: 3cos4x - 8cos x + 2cos x + 3 = 0

Bai 19.

Gii phng trỡnh: cot x = tanx +

Bai 20.

Gii phng trỡnh: cot x - tanx + 4sin2x =

Bai 21.

2
2

Gii phng trỡnh: 2sin x + tan x = 2

Bai 22.

Gii phng trỡnh: sin8 x + cos8 x =

Bai 23.
Bai 24.

sin4 x + cos4 x 1
1
= cot2x 5sin2x
2
8sin2x

(

)

2cos4x
sin2x

2
sin2x

( *)

( *)
( *)

( *)

( *)

1
( *)
8
17 2
Gii phng trỡnh: sin8 x + cos8 x =
cos 2x
16
5x
x
Gii phng trỡnh: sin
= 5cos3 x sin
( *)
2
2

( *)

2
Gii phng trỡnh: sin2x ( cot x + tan2x) = 4cos x

Bai 26.

Gii phng trỡnh: 2cos2

6x
8x

+ 1 = 3cos
5
5
ổ pử
3
ữ
x- ữ
= tanx - 1
ỗ
Gii phng trỡnh: tan ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố

Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

( *)

( *)

Bai 25.

Bai 27.

( k,l,m ẻ Â ) .

( *)

( *)
( *)

Page 15


H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao

Bai 28.

sin4 2x + cos4 2x
= cos4 4x
ổ
ử ổ
ử
Gii phng trỡnh:
p
p
ữ
ữ
tanỗ
tanỗ
ỗ - xữ
ỗ + xữ
ữ
ữ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ4

ố4
ứ
ứ

Bai 29.

Gii phng trỡnh: 48 -

Bai 30.

Gii phng trỡnh: sin8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x +

( *)

1
2
( 1+ cot2x cot x) = 0
cos4 x sin2 x

(

)

( *)

5
cos2x
4

( *)

2
2
Bai 32. Gii phng trỡnh: tan x + cot x + 2( 1+ tanx + cot x) = 0

Gii

ỡù sinx ạ 0
ù
sin2x ạ 0 cos2x ạ 1.
ùù cosx ạ 0
ợ

iu kin: ớ
Cỏch gii 1

( *)

tan2 x + cot2 x + 2( 1+ tanx + cot x) = 0

ổ sinx cosx ử
sin2 x cos2 x
ữ
ỗ
ữ

+
+
2
1+

+
=0
ỗ
ữ
2
2
ỗ
ữ
cos x sin x
ố cosx sinx ứ
sin4 x + cos4 x + 2sin2 x cos2 x + 2sin3 x cosx + 2sinxcos3 x = 0
1 2
1
sin 2x + sin2 2x + sin2x = 0
2
2
p
sin2x = - 1 ( N) x = - + kp,( k ẻ Â ) .
4
Cỏch gii 2 (Phng trỡnh i xng theo tan v cot)
1-

2
2
2
t t = tanx + cot x ; t 2 ị tan x + cot x = t - 2 .

ột = 0 ( L )
( *) t - 2 + 2( 1+ t) = 0 t + 2t = 0 ờờt = - 2 N
( )

ờ
ở
2

2

tanx + cot x = 2

sinx cosx
p
+
= - 2 sin2x = - 1 ( N ) x = - + kp,( k ẻ Â )
cosx sinx
4

.
Bai 33. Gii phng trỡnh: sin4 x + cos4 x =

( *)

1-

11
- sin2x
8
Gii

( *)

1 2

11
sin 2x = - sin2x
2
8

4sin2 2x - 8sin2x + 3 = 0

Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang

Page 16


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

é
é
êsin2x = 1 ( N)
êx = p + kp
ê
ê
2
Û ê
Û ê 12
( k, l Î ¢ )
êsin2x = 3 L
êx = 5p + lp
( ) êë 12
ê
2
ë

( *)

5
5
2
Bài 34. Giải phương trình: 4sin xcosx - 4cos x sinx = sin 4x

Giải

( *) Û

(

)

4sinxcosx sin4 x - cos4 x = sin2 4x

(

)(

)

Û 2sin2x sin2 x - cos2 x sin2 x + cos2 x - sin2 4x = 0
Û - 2sin2x cos2x - sin2 4x = 0 Û sin2 4x + sin4x = 0
é
é4x = kp
êx = kp
ésin4x = 0

ê
ê
4
Û ê
Û ê
( k, l Î ¢ ) .
p
êsin4x = - 1 Û ê
ê
p
l
p
4x
=
+
l
2
p
ê
ê
ë
ê
ê4x = - +
2
ë
8 2
ë
æ
æ
pö

pö
÷
ç
÷
÷
+
cos
2x
+ 4sinx = 2 + 2( 1- sinx) ( *)
ç2x + ÷
ç
Bài 35. Giải phương trình: cosç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
4
4
è
ø
è
ø
Giải

p
p
p
p

+ 2x 2x + - 2x +
4
4 cos
4
4 + 4sinx = 2 + 2( 1- sinx)
( *) Û 2cos
2
2
p
Û 2cos2x cos + 4sinx - 2 - 2 + 2sin x = 0
4
2x +

2=0
(
)
Û 2 2sin x - ( 4 + 2) sinx + 2 = 0
Û

2cos2x + 4 + 2 sinx - 2 2

é
é
1
êx = p + k2p
êsinx =
ê
6
Û ê
Û ê

2
( k, l Î ¢ )
ê
5p
ê
êsinx = 2 > 1 ( L )
+ l2p
êx =
ë
6
ë
Bài 36. Giải phương trình: cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x =

3
2

( *)

Giải

( *) Û
Û

1+ cos2x 1+ cos4x 1+ cos6x
3
+
+
+ cos2 4x =
2
2

2
2

( cos2x + cos6x) + cos4x + cos 4x = 0 Û
2

2

2cos4x cos2x + cos4x + 2cos2 4x = 0

(

)

Û cos4x ( 2cos2x + 1+ 2cos4x) = 0 Û cos4x 4cos2 2x + 2cos2x - 1 = 0
.
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 17


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Chương IV: Phương trình bậc nhất theo
PP: Biến đổi phương trình về phương trình tích trong đó một trong các biểu thức là biểu thức bậc
nhất với

hoặc từng vế của phương trình chứa biểu thức bậc nhất với

sử dụng cộng thức

từ đó

đưa phương trình về phương

trình lượng giác cơ bản.
Bài 1: Tìm

thỏa mãn phương trình:

Bài 2: Giải phương trình:
Giải

Bài 3: Giải phương trình:

Giải
+) Điều kiện:
+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

Bài 4: Giải phương trình:

Bài 5: Giải phương trình:
Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 18

Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 9: Giải phương trình:

Bài 10: Giải phương trình:
Bài 11: Giải phương trình:

Bài 12: Giải phương trình:
Bài 13: Giải phương trình:

Bài 14: Giải phương trình:
Bài 15: Giải phương trình:
Bài 16: Giải phương trình:

Bài 17: Giải phương trình:
Bài 18: Cho phương trình:
a) Tìm

để phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình với
Bài 19: Cho phương trình:

a) Giải phương trình khi
b) Tìm

để phương trình có nghiệm

Bài 20: Giải phương trình:
Giải

Bài 21: Giải phương trình:

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 19


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

Bài 22: Giải phương trình:
Bài 23: Giải phương trình:

Giải

+) Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

So sánh với điều kiện:

Vậy phương trình nhận nghiệm:

Bài 24: Giải phương trình:
Bài 25: Giải phương trình:
Bài 26: Giải phương trình:
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 20

Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 27: Giải phương trình:
Bài 28: Giải phương trình:

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 21


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Chương V: Phương trình đối xứng theo

và

Phương trình
pp
Đặt
, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải phương
trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.
Bài 1: Giải phương trình:
Giải phương trình

(8)

Lời giải.
Đặt

, suy ra

Với

. Phương trình (8) trở thành:

ta có

Bài 2: Giải phương trình:
Giải phương trình
Lời giải.
Đặt

. Khi đó

Phương trình trở thành

Với
Với
Bài 3: Giải phương trình:

Bài 4: Giải phương trình:
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 22


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 5: Giải phương trình:

Bài 6: Giải phương trình:

Bài 7: Giải phương trình:

Bài 8: Giải phương trình:

Bài 9: Giải phương trình:
sin x + sin 2 x + cos3 x = 0
Giải:
hay

(2)

Với
Với phương trình :
Đặt

=

Với điều kiện
Khi đó t2 =

hay

Vậy (2) trở thành

Ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Bài 10: Giải phương trình:

3
−1 + sin 3 x + cos3 = sin 2 x
2
*
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 23


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Giải:
(*)
Đặt

=

Với điều kiện
Khi đó t2 =

hay

Vậy phương trình thành

(

Giải phương trinh ta được t = 1 ,

(loại)

Bài 11: Giải phương trình:
2 ( s inx + cos x ) = tan x + cot x

Giải:
Điều kiện của phương trình:

Khi đó phương trình

sinx+cosx)
Đặt

=

Với điều kiện
Khi đó t2 =

hay

Khi đó phương trình thành :

Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 24


Hệ thống bài tập Phương trình lượng giác lớp 11 cơ bản và nâng cao

Vậy

Bài 12: Giải phương trình:

3(cot x − cos x) − 5 ( tan x − s inx ) = 2
Bài 13: Giải phương trình:
3 ( 1 + tan x )
π x 
3 tan 3 x − tan x +
= 8cos  − ÷
2
cos x
 4 2
Bài 14: Giải phương trình:
2sin 3 x − s inx = 2 cos 3 x − cos x + cos 2 x
Giải;
Phương trình

Với phương trình (2)
Đặt

=

Với điều kiện
Khi đó t2 =

hay

Bài 15: Giải phương trình:

1
1
1
1 

+
( s inx + cos x ) + 1 +  tan x + cot x +
÷= 0
2
2
sin x cos x 
Bài 16: Giải phương trình:
cos3 x + sin 3 x = 2 sin x.cosx
Bài 17: Giải phương trình:
tan 2 x ( 1 − sin 2 x ) + cos 3 x − 1 = 0

Bài 18: Giải phương trình:
sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
Bài 19: Giải phương trình:

2sin x + cot x = 2sin 2 x + 1
Biên soạn: Lê Anh Bình - Đào Duy Quang

Page 25