Chuyên đề phương trình lượng giác ôn thi đại học

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn
Giáo viên Trường THPT Đội Cấn
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12
Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết
NỘI DUNG
Chương I. Kiến thức cơ sở
Công thức biến đổi lượng giác
• Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
• Các hằng đẳng thức lượng giác
• Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
• Công thức biến đổi
Chương II.
Các bài toán cơ bản (số tiết 12)
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.
Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx
Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox.
Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực
Trang số 1
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Chương I. Kiến thức cơ sở
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
0
6
π
4

π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0

cos 1
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan 0
3
3
1
3
||
-
3
-1
3
3
−
0

cot
||
3
1
3
3
0 -
3
3
-1 -
3
||
B. Các hằng đẳng thức lượng giác
( )
2 2
2 2
2 2
sin cos a 1 tana.cota 1
2
1 1
1 tan 1 cot
cos 2 sin
a a k
a a k a a k
a a
π
π
π π
 
+ = = ≠

 ÷
 
 
+ = ≠ + + = ≠
 ÷
 
C. Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
2x k
π
+
x k
π
+
x−
x
π
−
2
x
π
−
x
π
+
2
x
π
+
sin sinx
( )

1 sinx
k
−
-sinx sinx cosx -sinx cosx
cos cosx
( )
1 cos
k
x−
cosx cosx sinx -cosx -sinx
tan tanx tanx -tanx -tanx cotx tanx -cotx
cot cotx cotx -cotx -cotx tanx cotx -tanx
D. Công thức biến đổi
1. Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos
sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b asinb
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
− = −
+ = −
− = +
tan tan tan tan
tan( ) tan( )
1 tan .tan 1 tan .tan

a b a b
a b a b
a b a b
+ −
+ = − =
− +
2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
os2 os sin 2 os 1 1 2sinc a c a a c a a= − = − = −

Trang số 2
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
3. Công thức nhân ba:
sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
cos3x = 4cos
3
x – 3cosx

3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a
−
=
−
4. Công thức hạ bậc:

2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=

2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=

3
3cos cos3
cos
4
a a
a
+
=

3
3sin sin 3
sin
4
a a
a
−
=
Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng)

sin 3 4sin .sin .sin
3 3
a a a a
π π
   
= − +
 ÷  ÷
   
os3 4 os . os . os
3 3
c a c a c a c a

π π
   
= − +
 ÷  ÷
   
tan3 tan .tan .tan
3 3
a a a a
π π
   
= − +
 ÷  ÷
   
5. Công thức biến tích thành tổng:

( )
( )
( )
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b

= − + +
= − − +
= − + +
6. Công thức biến tổng thành tích:

sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− =

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− = −

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =

sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
− =

sin( )
cot cot

sin .sin
b a
a b
a b
−
+ =
Trang số 3
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

2
tan cot
sin 2
a a
a
+ =

cot tan 2cot 2a a a− =
7. Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo
tan
2
a


2
2t
sin
1 t
a =
+

2
2
1 t
cos
1 t
a
−
=
+

2
2t
tan
1 t
a =
−
8. Một số công thức thường dùng khác
sin cos 2 sin 2 os
4 4
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 os
4 4
a a a c a
π π
   

− = − =− +
 ÷  ÷
   
sin 3 cos 2sin 2 os
3 6
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin 3 cos 2sin 2 os
3 6
a a a c a
π π
   
− = − = +
 ÷  ÷
   
3 sin cos 2sin 2 os
6 3
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
3 sin cos 2sin 2 os
6 3
a a a c a

π π
   
− = − =− +
 ÷  ÷
   

Chương II.
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
Trang số 4
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Phương trình sinx = sinα
a/
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

= +
= ⇔ ∈

= − +

α π
α
π α π
b/

sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Ñieàu kieän a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin

2
u v u v
 
= − ⇔ = −
 ÷
 
π
* Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= − ⇔ = − + ∈
π
π
2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
π
π
2. Phương trình cosx = cosα
a/
cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈

α α π
b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Ñieàu kieän a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c/
cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π
d/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π


cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
π
3. Phương trình tanx = tanα
a/
tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
b/
tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π
c/
tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = −
d/
tan cot tan tan
2
u v u v
 

= ⇔ = −
 ÷
 
π

e/
tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Trang số 5
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
* Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π

Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
5. Một số điều cần chú ý:
a/Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc
chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
( ).
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )x k k Z≠ ∈
π
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z≠ ∈
π
* Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0)

•
sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
cos 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong
các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
Ví dụ 1.1.
Giải phương trình lượng giác:
2 3
os10 2 os 4 6 os3 .cos cos 8cos . os 3c x c x c x x x x c x
+ + = +
(1)
Giải.

( )
3
1 os10 1 os8 cos 2cos (4 os 3 3 os3 )
2 os9 .cos 1 cos 2cos . os9
cos 1 2 .
c x c x x x c x c x
c x x x x c x
x x k
π
⇔ + + = + −
⇔ + = +
⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x = k2π.
Ví dụ 1.2.
Giải phương trình:
2 2
2 inx.sin os 2 sin 2 (0 )
2
s x c x x x
π
π
 
+ = − < <
 ÷
 
(2)
Trang số 6
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Giải

( )
{ }
(2) 2sin x cos os4 sin 2 os4
12 3
sin 2 sin 4 .
2
4
0 0;1;2 ; 1.
x c x x c x
k
x
x x k l
x l
x k l
π π
π
π
π
π
⇔ = ⇔ =

= +

 
⇔ = − ⇔ ∈

 ÷
 

= +



< < ⇒ = =
¢
Vậy phương trình có nghiệm là:
5 3
; ;
12 12 4
x
π π π
 
=
 
 
.
Ví dụ 1.3. (KD – 2002)
Tìm
[ ]
0;14x ∈
nghiệm đúng phương trình: cos3x – 4.cos2x +3 cosx – 4 = 0 (3)
Giải
Ta có:

( ) ( )
( )
3 2
3 2 2
4 os 3cos 4 2 os 1 3cos 4 0
4 os 8 os 0 4 os cos 2 0
cos 0

cos 2
2
c x x c x x
c x c x c x x
x
x k
x
π
π
− − − + − =
⇔ − = ⇔ − =
=

⇔ ⇔ = +

=

Ta có:
[ ]
1 14 1
0;14 0 14 3,9
2 2 2
x k k
π
π
π
∈ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − ≈
Mà:
{ }
3 5 7

0;1;2;3 ; ; ;
2 2 2 2
k k x
π π π π
 
∈ ⇒ = ⇒ =
 
 
¢
Ví dụ 1.4. (KD – 2004)
Giải phương trình:
( ) ( )
2cos 1 2sinx cos sin 2 sinxx x x− + = −
(4)
Giải. Ta có:
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( )
(4) 2cos 1 2sinx osx sinx(2cos 1)
2cos 1 2sinx osx sinx 0
2cos 1 sinx osx 0
x c x
x c
x c
⇔ − + = −
⇔ − + − =
⇔ − + =
1
2

2
cos
3
3
2
sinx osx t anx 1
4
x k
x k
x
c
x k
π
π
π
π
π
π

= ± +



= ± +
=


⇔ ⇔





= − = −
= − +




Ví dụ 1.5.
Giải phương trình:
2 2
2cos 2 3 cos 4 4sin 1
4
x x x
π
 
− − = −
 ÷
 
.
Trang số 7
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
1 cos 4 3cos4 2(1 cos2 ) 1
2
x x x
π
 
+ − − = − −

 ÷
 
3cos4 sin 4 2cos2x x x⇔ − =
3 1
cos4 sin 4 cos2
2 2
x x x⇔ − =
cos 4 cos2 4 2 2
6 6
x x x x k
π π
 
⇔ + = ⇔ + = ± + π
 ÷
 
, ,
12 36 3
x k x k k
π π π
= − + π = − + ∈¢
Ví dụ 1.6. (KA – 2009)
Giaûi phöông trình:
(1 2sin x)cosx
3
(1 2sin x)(1 sin x)
−
=
+ −
.
Giải.

ĐK:
1
sin
2
x
−
≠
, sinx ≠ 1
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin
cos 3sin sin2 3cos2
⇔ − = + −
⇔ − = + −
⇔ − = +
Pt x x x x
x x x x x
x x x x

1 3 1 3
cos sin sin2 cos2 cos cos 2
2 2 2 2 3 6
   
⇔ − = + ⇔ + = −
 ÷  ÷
   
x x x x x x
π π

2 2
2 ( )
3 6
2
2
( )
2 2
18 3
3 6
x x k
x k l
x k tm
x x k
π π
π
π
π
π π
π π
π


+ = − +
⇔ = −


⇔ ⇔





= − +
+ = − + +




Vậy phương trình có nghiệm là:
2
,
18 3
x k k
π π
= − + ∈¢

Ví dụ 1.7. (KD – 2011)
Giải phương trình:
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+

Trang số 8
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Giải

ĐK : tan
3x ≠ −
; cosx ≠ 0
Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = 0
⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= 0 ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = 0
1
2
cos
3
2
sin 1
2
2
x k
x
x
x k
π
π
π
π

= ± +


=

⇔ ⇔




= −
= − +




Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của pt :
2 ( )
3
x k k
π
π
= + ∈Z
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1.
Giải các phương trình lượng giác sau:
1.1.
2
2 3 os2 tan 4sin ( ) cot 2
4
c x x x x
π
− = − +

1.2.
( )
3 3 5 5
sin os 2 sin osx c x x c x+ = +

1.3.
sinx sin 2 sin 3
3
cos os2 os3
x x
x c x c x
+ +
=
+ +

1.4.
2
1 cos
tan
1 sinx
x
x
+
=
−

1.5.
2
4
os os
3
x
c c x=

1.6. 2

1 1
2 sin
4 sinx cos
x
x
π
 
+ = +
 ÷
 

1.7.
1 3 cos3 1
tan 2
2sin 2 sin 2
x
x
x x
π −
 
+ − =
 ÷
 

1.8.
)
2
sin(2
cossin
2sin

cot
2
1
π
+=
+
+ x
xx
x
x

1.9. tan2x + cotx = 8cos
2
x
1.10.
sinx.cot 5
1
os9
x
c x
=

1.11.
16.sin x.cos . os2 . os4 2x c x c x =

1.12.
( )
4 4
1
sin os 3 os6

4
x c x c x+ = −

Trang số 9
Tỏc gi: Nguyn Ngc Tun Trng THPT i Cn Vnh Tng Vnh Phỳc
1.13. (KB 02)
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x =

1.14. (KB 05)
sinx cos 1 sin 2 os2 0x x c x+ + + + =

1.15. (KD -03)
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c


=
ữ


1.16. Cho phng trỡnh:
( ) ( )
2
2. inx 1 2 os2 2sinx 3 4 oss c x m c x + + =
a. Gii phng trỡnh khi m=1.
b. Tỡm m phng trỡnh cú ỳng hai nghim trờn

[ ]
0;

1.17. Tỡm m phng trỡnh:
2 sin
4
x m


+ =
ữ

cú nghim
0;
2
x



ữ

Dng 2.
Phng trỡnh bc 2, bc 3 vi mt hm s lng giỏc.
* Cn nh:
Daùng ẹaởt ẹieu kieọn
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t
2

cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z +


2
cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z

Vớ d 2.1. (KB 2011)
Giai phng trinh:
sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x
+ = + +

Gii
Phng trỡnh ó cho tng ng :
2sinxcos
2
x + sinxcosx = 2cos
2
x 1 + sinx + cosx
sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) 1 + sinx
cosx(2cosx + 1)(sinx 1) sinx + 1 = 0

sinx = 1 hoc cosx(2cosx + 1) 1 = 0
x =
2
2
k


+
hoc 2cos
2
x + cosx 1 = 0
x =
2
2
k


+
hoc
cos 1
cos 1/ 2
x
x
=


=


Trang s 10

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
⇔ x =
2
2
k
π
π
+
hoặc
2
cos 2
3
x k
k
x k
π π
π
π
= +


∈

= ± +

¢
Ví dụ 2.2.
Giải phương trình lượng giác:
4 4
4

sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
− +

Giải
+) ĐK:
,
4 2
x k k
π π
≠ + ∈¢
) tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1
4 4 4 4
x x x x
π π π π
+ − + = − − =
4 4 2 2
4 2
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
2cos 4 os 4 1 0

x c x x c x
pt x c x
+ = − = +
⇔ − − =
+) Giải pt được cos
2
4x = 1 hoặc cos
2
4x = -1/2 (loại)
cos
2
4x = 1
⇔
cos8x = 1
⇔
4
x k
π
=

+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x k k
π
= ∈
¢
Ví dụ 2.3. Giải phương trình:
2
sin

2
1
3
cos
4
1
22
xx
=+
.
Giải
cos
cos
cos cos
x
x
PT
x
x
+
−
⇔ + =
⇔ + + = −
2
1
1 1
3
4 2 4
2
1 2 2 1

3
cos cos
x
a a a
 
⇔ + = − =
 ÷
 
2 2 2 3
3
( ) ( )
( )
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
a a a
a a a
a a a
⇔ + − = − −
⇔ + − + − =
⇔ + − =
2 3
2 3
2
2 2 2 1 4 3
2 4 2 4 3 0
4 4 3 0
Trang số 11
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
( )

cos
cos
cos
.
cos cos
cos
0
3
0
3
1
3 3 2
2
2
6
2
3
3 3 3 3
loaïi
2
a
x x
k
x k
a
x x
x k
k
a
π

π
π
π
π π
π π
π


=
 
= = +


 
= +


⇔ = ⇔ ⇔ ⇔
 


 
= ± +
= = ± +


 
 

= −


Ví dụ 2.4.
Giải phương trình:
( )
2
cos 2 cos 2tan 1 2x x x+ − =
Giải.
ĐK:
cos 0 / 2x x k
π π
≠ ⇔ ≠ +
PT
2
2
1
(2cos 1) cos [2( 1) 1] 2
cos
x x
x
⇔ − + − − =
3 2
2cos 3cos 3cos 2 0x x x⇔ − − + =
2
(cos 1)(2cos 5cos 2) 0x x x⇔ + − + =
cos 1
2
cos 1/ 2
2
cos 2( )
3

x
x k
x
x k
x VN
π π
π
π
= −

= +



⇔ = ⇔


= ± +

=


Ví dụ 2.5.
Giải phương trình
2
17
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
π π
+ + = + +

x
x x x

Giải
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

os2 3sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =


os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =

2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
Giải được:
1
os( )
6 2
c x

π
+ = −
và
os( ) 2
6
c x
π
+ = −
(loại)
*Giải
1
os( )
6 2
c x
π
+ = −
được nghiệm
2
2
x k
π
π
= +
và
5
2
6
x k
π
π

= − +
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
2. 1.
2
3sin 2 sin 4 os4 4sin 2 . osx x c x x c x+ + =

2.2.
4 4
2
sin 2sin cos os 3
2sin 1
tan 2 1 2 4
x x x c x x
x
π
+ −
 
= + −
 ÷
−
 

Trang số 12
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
2.3. 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1
2.4. (KA – 05)
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =

2.5. (KD _ 05)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   

2.6. (KB – 04)
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −

2.7.
( )
2
5sinx 2 3 1 sinx tan x− = −

2.8.
1 1
2sin3 2 os3
sinx cos
x c x
x
− = +

2.9.
2
cos (2sinx 3 2) 2 os 1
1
1 sin 2
x c x
x
+ − −
=
+

2.10.
3 3 1
cos . os . os sin .sin .sin
2 2 2 2 2
x x x x
x c c x− =

2.11.
os 2 os 2 4sinx 2 2(1 sinx)
4 4
c x c x
π π
   
+ + − + = + −
 ÷  ÷
   
2.12.
2
sin 2 (cotx cot 2 ) 4 osx x c x+ =

2.13.
.03sin)
3
(sin8
3
=++ xx
π

2.14.
( )
4 4
2
1 cot 2 cot
2 sin cos 3
cos
x x
x x
x
+
+ + =

2.15.
sin 2 cos 2
cot
cos sin
x x
tgx x
x x
+ = −

2.16.
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =

2.17.
( )
4 4
1
(t anx.cot 2 1)sin 4 sin os
2 2
x x x c x
π
 
− + = − +
 ÷
 

2.18. (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình:

cos3 sin 3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+

 

2.19 Cho phương trình:
( )
os2 2 1 cos 1 0c x m x m− + + + =
a. Giải phương trinh khi
3
2
m =
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên
3
;
2 2
π π
 
 ÷
 

2.20. Cho phương trình:
( ) ( )
2
cos 1 os2 cos sinx c x m x m x+ − =
Trang số 13
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
a. Giải phương trình khi m = -2.
b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên
2
0;
3
π

 
 ÷
 
.
Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
• Cần nhớ:
Dạng: asinx + bcosx = c (a
2
+ b
2
≠ 0)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
α α
α π
α α


= =

+ +

 
∈
 

= =


+ +

2 2 2 2
2 2 2 2
sin , cos
0, 2
os , sin
a b
a b a b
a b
c
a b a b

phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b

+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π

π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2
x
x k≠ + ⇔ ≠
π π
Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =
Trang số 14
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vì
2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b vaø y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Ví dụ 3.1. Giải phương trình:
os7 3 sin 7 2c x x− = −
(*)
Giải

Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được:
(*)
1 3 2
os7 sin 7
2 2 2
c x x⇔ − = −

2
sin os7 os sin 7
6 6 2
c x c x
π π
⇔ − + =
sin 7 sin
6 4
x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 

5 2
84 7
11 2
84 7
x k
x l
π π
π π


= +

⇔


= +


Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
5 2 11 2
,
84 7 84 7
x k x l
π π π π
= + = +
Ví dụ 3.2.
Giải phương trình:
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x
 
+ + =
 ÷
 

Giải
Phương trình đã cho tương đương với:

1 sinx 3 cos 2 sinx 3 cos 1
2
1 3 1 1
6
sinx cos sinx
2 2 2 3 2
2
2
x x
x k
x x k
x k
π
π
π
π
π
+ + = ⇔ + =

= − +

 
⇔ + = ⇔ + = ⇔ ∈

 ÷
 

= +



¢
Trang số 15
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 3.3.
Giải phương trình:
2
sin sin cos sin 2cos 2 0x x x x x+ + + − =
Giải
2
sin sin cos sin 2cos 2 0x x x x x+ + + - =
2
cos (sin 2) sin sin 2 0x x x x+ + + - =Û
cos (sin 2) (sin 1)(sin 2) 0x x x x+ + - + =Û
(sin 2)(sin cos 1) 0x x x+ + - =Û
sin cos 1 0
sin 2 0 (lo¹i)
+ − =

⇔

+ =

x x
x
π 1
sin cos 1 0 cos
4
2
 
+ − = ⇔ − =

 ÷
 
x x x
2π
( )
π
2π
2
x k
k
x k
=


⇔ ∈

= +

¢
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
2π
( )
π
2π
2
x k
k
x k
=



∈

= +

¢
Ví dụ 3.4.
Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Giải
PT ⇔ 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin
2
x = 8
 6cosx(1 – sinx) – (2sin
2
x – 9sinx + 7) = 0
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0




=−+
=−
)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x

π
π

2
2
kx +=
Trang số 16
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 3. 5.
Tìm
);0(
π
∈x
thoả mãn phương trình: cotx – 1 =
xx
x
x
2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
.
Giải
®K:



−≠

≠
⇔



≠+
≠
1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
PT
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
−+
+
=

−
⇔

xxxxxx
x
xx
cossinsincossincos
sin
sincos
22
−+−=
−
⇔

⇔
)2sin1(sinsincos xxxx −=−

⇔
0)1sincos)(sinsin(cos
2
=−−− xxxxx


⇔
0)32cos2)(sinsin(cos
=−+−
xxxx

cos 0 cos 0 cos 0
2 sin(2 ) 3 0 2 sin(2 ) 3 2 sin(2 ) 3 ( )

4 4 4
x sinx x sinx x sinx
x x x VN
π π π
− = − = − =
  
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ − = + = + =
  

⇔
0sincos =− xx

⇔
tanx = 1
)(
4
Zkkx ∈+=⇔
π
π
(tm®k)
Do
( )
4
0;0
π
π
=⇒=⇒∈ xkx

Ví dụ 3.6. Giải phương trình:
cos 2 3sin2 6sin 4cos 3 0x x x x+ − − + =
Giải

2
2cos 1 6sin .cos 6sin 4cos 3 0PT x x x x x⇔ − + − − + =

( )
2
2cos 2 3sin 2 .cos 6sin 2 0x x x x⇔ + − − + =
Ta có:
( ) ( )
2
2
cos
' 3sin 2 2. 6sin 2 9sin
x
x x x∆ = − − − + =
2 3sin 3sin
cos 1 3sin
2
2 3sin 3sin
cos 1
2
x x
x x
x x
x
− −


= = −

⇒

− +

= =


•

( )
1 3 1 1
cos 3sin 1 cos sin cos
10 10 10 10
x x x x x
α
+ = ⇔ + = ⇔ − =
( )
1 1 1 3
arccos arccos 2 cos ,sin
10 10 10 10
x x k
α α π α α
 
⇔ − = ± ⇔ = ± + = =
 ÷
 
,

•

cos 1 2 ,x x k k
π
= ⇔ = ∈¢

Trang số 17
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Kết luận: PT có nghiệm
2 ,x k k
π
= ∈¢
;
1
arccos 2 ,
10
x k k
α π
= ± + ∈¢

Ví dụ 3.7. (KA – 2011)
Giải phương trình :
2
1 sin2 cos 2
2.sin .sin2
1 cot
x x
x x
x
+ +

=
+
Giải
⇔
2 2
sin (1 sin2 cos2 ) 2 2sin cosx x x x x+ + =
(ĐK : sinx ≠ 0)
1 sin 2 cos2 2 2 cosx x x⇔ + + =
2
2cos 2sin cos 2 2 cos 0x x x x⇔ + − =

⇔

2cos (cos sin 2) 0x x x+ − =
⇔ cosx = 0 hoặc cosx + sinx =
2

⇔ cosx = 0 hoặc
sin 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
⇔ x =
2
k
π

π
+
hoặc x =
2
4
k
π
π
+
(k ∈ Z)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
3.1.
sinx sin 2
3
cos os2
x
x c x
−
=
−

3.2.
( ) ( )
2cos 1 sinx cos 1x x− + =

3.3.
2cos 6(cos sinx)x x= −

3.4.

3sinx=3 3 cos x−
3.5.
3
cos 3sinx
cos 3sinx+1
x
x
+ =
+
3.6.
3
3sin 3 3 os9 1 4sinx c x x− = +

3.7.
1
t anx sin 2 os2 2 2cos 0
cos
x c x x
x
 
− − + − =
 ÷
 

3. 8.
9sinx 6cos 3sin 2 os2 0x x c x
+ − + =

3.9.
3 1

8sinx
cos sinxx
= +

3.10.
(1 2sinx)cos
3
(1 2sin )(1 sinx)
x
x
−
=
+ −

Trang số 18
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
3.11. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010).
3.12. (sin2x + cos2x).cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB. 2010).
3.13.
sin 2 cos 3( os2 sinx)
0
2sinx 3
x x c x+ − +
=
−

3.14.
2sin(2 ) 4sinx 1 0
6
x

π
− + + =
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Cần nhớ:
Dạng: a.sin
2
x + b.sinx.cosx + c.cos
2
x = d
asin
3
x + bsin
2
x.cosx + ccosx.sin
2
x + dcos
3
x = 0
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm phương trình không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho

2
cos 0x ≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − −

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Ví dụ 4.1.
Giải phương trình:
2 2
4sin 3 3 sin x cos 2 os 4x x c x+ − =
Giải
+ cosx = 0
2
sin x=1PT ⇔

2

x k
π
π
= +
là nghiêm của phương trình
Trang số 19
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
+ cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta có:
2 2
4 tan 3 3 t anx 2 4(1 tan )
2 2
t anx arctan
3 3
x x
x k
π
+ − = +
⇔ = ⇒ = +
Vậy phương trình có nghiệm là:
2
x k
π
π
= +
2
arctan
3
x k

π
= +
Ví dụ 4. 2.
Giải phương trình:
3 2
os sinx 3sin .cos 0c x x x+ − =
Giải
+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.
+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos
3
x ta có:

( )
( )
2 2
3 2
2
1 t anx(1 tan ) 3tan 0
tan 3tan t anx 1 0
t anx 1 tan 2t anx 1 0
PT x x
x x
x
⇔ + + − =
⇔ − + + =
⇔ − − − =
t anx 1
4
t anx 1 2 arctan(1 2)
t anx 1 2 arctan(1 2)

x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

=



⇔ = + ⇔ = + +




= − = − +




Vậy phương trình có nghiệm là:
, arctan(1 2) , arctan(1 2)
4
x k x k x k
π
π π π

= + = + + = − +
Ví dụ 4.3.
Giải phương trình:
3
sinx.sin 2 sin3 6 osx x c x+ =
Giải
+ cosx = 0. không là nghiệm của phương trình.

2 3 3
2sin .cos 3sin 4sin 6 osPT x x x x c x⇔ + − =
+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos
3
x ta có:
2 2 3
2 tan 3tanx(1+tan ) 4 tan 6 0PT x x x⇔ + − − =
( )
( )
3 2 2
tan 2 tan 3t anx 6 0 t anx 2 tan 3 0x x x⇔ − − + = ⇔ − − =
+
t anx 2 arctan 2x k
π
= ⇔ = +
+
t anx 3
3
x k
π
π
= ± ⇔ = ± +

Trang số 20
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
arctan 2x k
π
= +

,
3
x k k
π
π
= ± + ∈¢
Ví dụ 4.4. (KA – 03)
Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+

Giải
+ ĐK sin2x ≠0, tan2x ≠ -1. Ta có:
2 2
cos os sin
1 sinx(sinx cos )

sinx
sinx
1
cos
cos sinx
cos (cos sinx) sinx(sinx cos )
sinx
x c x x
PT x
x
x
x x x
−
⇔ − = + −
+
−
⇔ = − + −
( )
( )
( )
( )
2
2 2
cos sinx 1 sin x cos sin 0
cos sinx 2sin sin x cos os 0
x x x
x x x c x
⇔ − − + =
⇔ − − + =
2

t anx 1
4
2 tan t anx 1 0 ( )
x k
VN
π
π
=

⇔ = +

− + =

Vậy phương trình có nghiệm là:
4
x k
π
π
= +
Ví dụ 4.5.
Giải phương trình:
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2 sin x cosx x c x x− = +
Giải
+ ĐK: cosx ≠ 0.
Chia hai vế phương trình cho cos
2
x.
( )

( )
( )
2 2
3 2
2
3 2 2
2
os sin sin x cos
t an 2 tan 3
os
t an 2 tan 3 1 tan t anx
t anx 1 tan 3 0
c x x x
PT x x
c x
x x x
x
− +
⇔ − =
⇔ − = − +
⇔ + − =

t anx 1
4
( )
t anx 3
3
x k
k
x k

π
π
π
π

= − +

= −

⇔ ⇔ ∈


= ±


= ± +


¢
Trang số 21
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
, ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈¢

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
4.1. sin3x = cosxcos2x(tan
2
x + tan2x)
4.2.
2 2
3sin 5 os 2 os2 4sin 2 0x c x c x x+ − − =

4.3.
2 2
os 3 sin 2 1 sinc x x x− = +

4.4.
3 3 2
os 4sin 3cos .sin sinx 0c x x x x− − + =

4.5.
4 2 2 2 4
os 4sin . os 3cos .sin sin x 0c x x c x x x− − + =

4.6.
sinx 2t anx 3
+ =
4.7.
sin 3 os3 2cos 0x c x x+ + =
4.8.
3
5.sin 4 .cos
6sinx 2 os
2 os2

x x
c x
c x
− =

4.9.
3
sinx 4sin cos 0x x− + =
4.10.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2 sinx.cosx x c x x− = +
4.11.
( ) ( )
2
sin t anx 1 3 cos sinx 3x x+ = − +
4.12.
3 2 2 3
sin 5sin .cos 3sinx.cos 3cos 0x x x x x− − + =

4.13.
2 2
3tan 4 t anx 4cotx 3cot 2 0x x+ + + + =

4.14. Cho phương trình:
( )
2 2
sin 2 1 sinx.cos ( 1) osx m x m c x m+ − − + =
.
Tìm m để phương trình có nghiệm.

4.15. Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
3 2
6 sin 3 2 1 sinx+2( 2)sin . os 4 3 cos 0m x m m x c x m x
− + − − − − =
.
Tìm m để phương trình có nghiệm trên
0;
4
π
 
 
 

Trang số 22
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx.
Cần nhớ:
Dạng : a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
π
 
= ± = ≤
 ÷
 
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x tm
2 2
1

1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.
Giải phương trình này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
+ = − = +
 ÷  ÷
   
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
− = + = − −
 ÷  ÷
   
π π
.
Ví dụ 5.1.
Giải phương trình: 2cos
3

x – sinx – 2cos
2
x +1 = 0. (1)
Giải
(1) ⇔ 2. (1 – sin
2
x) cosx + 1 – sinx – 2(1 – sin
2
x) = 0

⇔
(1 – sinx) (2cosx – 2sinx + 2sinxcosx -1 ) = 0
TH
1
: sinx = 1
⇔
x =
2
2
k
π
π
+
, k
Z∈
TH
2
: 2(cosx – sinx) + 2sinxcosx – 1 = 0 (1)
đặt t = cosx – sinx , t
∈

]2;2[−

⇒
2sinxcosx = 1 – t
2

(1) 2t – t
2
= 0
⇔
0 ( )
2 ( )
t tm
t l
=


=


Trang số 23
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

⇒
cosx – sinx = 0
⇔
cos(x +
)
4

π
= 0
⇔
x =
;
4
k k
π
π
+ ∈¢
KL: Phương trình có 2 họ nghiệm là: x =
2 ; ;
2 4
k x k k
π π
π π
+ = + ∈¢
Ví dụ 5.2.
Giải phương trình:
2 2
2009
cos2 2 2 sin 4cos sin 4sin cos
4
x x x x x x
π
 
+ + = +
 ÷
 
.

Giải
2 2
2009
cos2 2 2 sin 4cos sin 4sin cos
4
x x x x x x
π
 
+ + = +
 ÷
 
2 2
cos sin 2(sin cos ) 4sin .cos (sin cos )x x x x x x x x⇔ − + + = +
(cos sin )(cos sin 4cos .sin 2) 0x x x x x x⇔ + − − + =
cos sin 0 (1)
cos sin 4sin .cos 2 0 (2)
x x
x x x x
+ =

⇔

− − + =

+ Giải (1):
(1) tan 1
4
x x k
π
π

⇔ = − ⇔ = − +
+ Giải (2): Đặt
cos sin , 2x x t t− = ≤
ta có phương trình:
2
2 0t t+ =
.
0
1/ 2
t
t
=

⇔

= −

• Với
0t =
ta có:
tan 1
4
x x k
π
π
= ⇔ = +
• Với
1/ 2t = −
ta có:
arccos( 2 / 4) / 4 2

cos( ) 2 / 4
4
arccos( 2 / 4) / 4 2
x k
x
x k
π π
π
π π

= − − +
+ = − ⇔

= − − − +


KL: Vậy phương trình có 4 họ nghiệm:
4
x k
π
π
= − +
,
4
x k
π
π
= +
,
arccos( 2 / 4) / 4 2x k

π π
= − − +
,
arccos( 2 / 4) / 4 2x k
π π
= − − − +
.
Ví dụ 5.3.
Giải phương trình:
2 3
sinx sin os 0x c x+ + =
Giải
( )
( )
2
sinx 1 sinx cos 1 sin 0PT x x⇔ + = − =
Trang số 24
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
sinx 1 (1)
sinx - cos sinx.cos 0 (2)x x
= −


+ =

+
sinx 1
2
x k
π

π
= − ⇔ = − +
+ Xét (2): Đặt
sinx+cos 2 os
4
t x c x
π
 
= = −
 ÷
 
ĐK:
2t ≤

2
1 2sinx.cost x= +
Vậy (2)
2
2
1 2( )
1
0 2 1 0
2
1 2
t l
t
t t t
t

= +

−
⇔ − = ⇔ − − = ⇔

= −


Ta có:
( )
2
2 os 1 2 os 1 os
4 4 2
c x c x c
π π
α
   
− = − ⇒ − = − =
 ÷  ÷
   

2 ,
4
x k k
π
α π
= ± + ∈¢
Ví dụ 5.4.
Giải phương trình :
3 2
2
3(1 sinx)

3tan tanx 8 os
os 4 2
x
x c
c x
π
+
 
− + = −
 ÷
 
(*)
Giải
ĐK :
cos 0 sinx 1x
≠ ⇔ ≠ ±
Khi đó (*)
2 2
t anx(3t an x 1) 3(1 sinx)(1 tan ) 4 1 os( ) 4(1 sinx)
2
x c x
π
 
⇔ − + + + = + − = +
 
 
( )
( )
2
2

3t an x 1 sinx cos sin x cos 0
3tan 1 (1)
sinx cos sin x cos 0 (2)
x x
x
x x
⇔ − + + =

=
⇔

+ + =

2
1 3
(1) tan tanx
3 3 6
x x k
π
π
⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± +
Giải (2). Đặt t = sinx + cosx
( )
2
2 sin 2, 1 1 2sin x cos
4
x t t t x
π
 
= + ≤ ≠ ± ⇒ = +

 ÷
 
2
2
1 2 ( )
1
(2) 0 2 1 0
2
1 2
t l
t
t t t
t

= − −
−
⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= − +


Vậy
( )
2
2 1
4
sin sin
3
4 2
2

4
x k
x k
x k
π
ϕ π
π
ϕ
π
ϕ π

= − +

−
 
+ = = ⇔ ∈

 ÷
 

= − +


¢
Ví dụ 5.5. Giải phương trình :
2sinx cotx 2sin 2 1x+ = +
Giải.
ĐK :
sinx 0 cos 1x≠ ⇔ ≠ ±
Trang số 25