[tailieulovebook.com] - Chinh phục hệ phương trình

Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0

Lovebook.vn

CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHIÊN BẢN 2.0 do GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn
Anh em tham gia: Bùi Văn Cường, Lương Văn Thiện, Nguyễn Xuân Tùng, Mai Văn Chinh,
Phan Ngọc Đức, Lê Nhất Duy, Đinh Thị Thu Hà, Ngô Lương Thanh Trà, Ngô Lương Thanh
Trà, Hoàng Trung Hiếu
Một số thông tin phiên bản 2.0:
Số trang: 500 trang khổ A4 (phiên bản 1.0 – 368 trang)
Ngày phát hành: 25/09/2015

Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: />Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook: />Tài liệu Lovebook chọn lọc: />Kênh bài giảng Lovebook: />Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG

1


LỜI NÓI ĐẦU
Các
bạn
đang
cầm
trên
tay một
tham khảo
về trình
luyệnnữa!”.
thi Đại
– chắn
Cao
Đẳng

phần
Hệ
Phương
Trình!
lại cuốn
lànghĩ
mộtsách
quyển
phương
TôiHọc
chắc
là
sẽ
có
không
ít
bạn,
thậm
chí“Vâng,
là
phần
lớncó
các
bạn
học
sinh
sẽ
cóthì
suy
như

vậyHệ
khi
cầm
quyển
sách
này
trong
tay!
Thực
ra
suy
nghĩ
đólượng
rất
đúng;
lý do
là
vì
trên
thịxin
trường
hiện
nay,
có điều
quá
nhiều,
tìm
ở
đâu–
cũng

thấy
những
quyển
sách
tham
khảo
về
phần
Hệ
Phương
Trình
luyện
thibạn
Đại
Học
Cao
Đẳng.
Và
chất
các
sách
do
có
quá
nhiều
sách
nên
các
quyển
sách

cũng
có
chất
lượng
bình
bình
với
nhau.
Nhưng,
tôi
nhấn
mạnh
một
rằng
không
nên
coi
quyển
sách
này
giống
các
quyển
sách
khác.
Nói
ít
làm
nhiều,
xin

mời
bạn
cùng
theo
dõibiệt
và đánh
bài tập
dụ đã
mẫu
saucả
đây.
Bài
được
trích
đề chỉ
thi
Đại
Học
khối
A năm
2014.
Bàivígiải
tậpngay
hợp tất
tâm
lựctập
củanày
chúng
tôi.
Bạntrong

sẽ nhận
ra
sự khác
nằm
ởgiá
đây.
2
x√12 − y + √y. (12 − x ) =
12 (1)

{

x 3 − 8x − 1 = 2√y − 2 (2)

Hướng
dẫn:

Bài
này
một
phương
trình
nhiều
chú
đó là(1)
trình
(1).
Các
12 xuất
hiệntoán

nhiều
lần
trong
phương
trình
(1)
không
phảiý,
ngẫu
nhiên,
khi
mà
trí
xuất
của
chúng
luôn
đicó
kèm
với
dấuquả
+.
Do gây
đó chắc
chắn
chúng
taphương
sẽ
xử vị
lý

phương
trình
(1)
trước;
sau
đó
mới
thay
kết
thu
được
từ phương
trình
vàophải
phương
trình
(2).sốhiện
 Xử lý phương trình (1).
Một lời khuyên là: khi bế tắc ở một phương trình, chúng ta hãy nghĩ đến Bất đẳng thức!
Và khi đã nghĩ đến
Bất đẳng thức, chúng ta có thể nhanh chóng nhận thấy các cách giải quyết phương trình
(1) lần lượt xuất
hiện
.
 Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Với những bạn có kiến thức về Bất đẳng thức ở mức khá, sẽ không quá khó để có thể
nhận ra rằng nếu sử
dụng Bất đẳng thức này vào phương trình (1), ta sẽ thấy ngay được kết quả mà không
phải thông qua một
bước biến đổi lắt léo nào. Cụ thể

biến đổi:
2
[√12 − y. x + √y. (12 − ≤ (x 2 + 12 − x 2 )(12 − y + y) = 144
x 2 )]
⇒ x√12 − y + √y. (12 − x 2 ) ≤ 12
Vậy là dấu “=” sẽ phải xảy ra! Phương trình (1) được giải quyết trong 1 dòng!
Các bạn có thể tìm dạng tổng quát của Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trong phương
pháp đánh giá bằng
Phương pháp tọa độ.
 Cách 2: Từ kết quả của cách 1, dựa vào điều kiện xảy ra dấu “=”, chúng ta có
thể tiến hành
nắn để sử dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Cụ
thể biến đổi:
2
 12  y

x 2
2
x 12  y  x 12  y 





 2

y  12  x

2

⇒ x√12 − y + √y. ) ≤ 12
(12 − x

y. 12 x


Do đó, dấu “=” phải
xảy ra. Cách giải 2
quyết này cũng rất dễ hiểu.
 Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Để tạo ra sự đồng bộ về bậc giữa các thành phần trong phương trình (1), chúng ta sẽ tiến
hành phép đặt ẩn
phụ là a = √12 − y. Khi đó y = 12 − a2 , cũng sẽ khớp với √12 − x 2 . Và một khi đã tiến
hành đặt ẩn phụ


không hoàn toàn, chúng ta chỉ còn lại cách xử lý là bình phương lên để khử căn, rồi tiến
hành biểu diễn các ẩn
qua nhau.
Phương trình (1) sẽ trở thành:
x. a + √(12 − x 2 )(12 − a2 )
=1
⇔ √(12 − x 2 )(12 − a2 ) = 12
− xa


⇔

12 ≥ x.

a
(12 − x 2 )(12 −2a2 ) = (12 −
xa)
12 ≥ x. a
xa ≤ 12
⟺ { 2
⟺ {
(x − a) = 0
x=a
2
12 −{ x > 0
⇒ x = √12 −x y =
⇒

Cách giải quyết này rất không có sự góp mặt của môt yếu tố cao siêu nào như hai cách
đầu. Tuy nhiên để có
thể nhìn ra sự “đẳng cấp” giữa x và √12 − y thì cũng không phải dễ dàng.
 Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp.
- TH1: Nếu x. √12 − y = √(12 − x 2 )y; từ phương trình (1) ta suy ra:
> x02 (12 − y) =x 36
>0
x. √12{− y = √(12 − x 2 )y = 6 ⇔x {
⟺
2
x

y(12 − x 2 ) =

Thử lại không thỏa mãn phương

=y=6

36

trình (2).
- TH2: Với x. √12 − y − √(12 − x 2 )y
≠ 0;

Nhân cả 2 vế phương trình (1) với x. √12 − y − √(12 − x 2 )y ta được:
[x. √12 − y + √(12 − x 2 )y] [x. √12 − y − √(12 − x 2 )y] = 12 [x. √12 − y − √(12 −
x 2 )y]
⇔ x 2 (12 − y) − (12 − x 2 )y = 12 (x. √12 − y − √(12 − x 2 )y)
⇔ x 2 − y = x. √12 − y − √(12 − x 2 )y (3)
Kết hợp giữa (1) và (3) ta có:
2

x  y  12
x 12  y 
2

2

 (12  x 2 )y 


12  y  x



x


0
2

 y  12  x

2

Cách xử lý này có lẽ sẽ ít được nghĩ đến, vì khó có thể định hình được rằng sẽ tạo ra được
một hệ phương

x√12 −
y
trình với hai ẩn {
.
√(12 −
x 2 )y
 Xử lý phương trình (2).
Sau khi đã xử lý xong phương trình (1) bằng một trong số các cách giải quyết trên, kết quả
thu được là:
y = 12 −
x2
Đem thế vào phương trình (2), chúng ta thu được một phương trình vô tỉ không mấy dễ
nhìn:


x 3 − 8x − 1 = 2√10
− x2
Đến đây, chúng ta sẽ tiến hành “ép nghiệm” để giải quyết bài toán. Ngoài ta chúng ta
còn có thể giải quyết

bài toán bằng cách “khảo
sát hàm số”; cách này sẽ được trình bày ở những phần sau:
x 3 − 8x − 1 = 2√10 − x 2 ⇔ (x 3 − 8x − 3) − (2√10 − x 2 − 2) = 0
⇔ (x − 3) [x 2 + 3x + 1 +

] =0

2(x + 3)
√10 − x 2 + 1
2(x + 3)
Do x ≥ 0 nên x 2 + 3x + 1 +
>0
2
√10 − x + 1
Vậy là bài toán đã được giải quyết hoàn toàn bằng nhiều hướng suy nghĩ hoàn toàn khác
nhau.

Bài giải chi
tiết

 Biến đổi phương trình (1).
 Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si:
Áp dụng bất đẳng thứcxCô
2 si cho 2 số không âm ta có:
+ 12 − y
x√12 − y ≤ |x|√12 − y ≤

2

√y. (12 − x 2 ) y + 12 −
x2
2

≤

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức lại, ta x 2 + 12
có:

−y
x√12 − y + √y.

x ≥ 20

y + 12 −
+

x2

(12 − x 2 ) ≤ 2
x = |x|
Dấu bằng xảy2 ra khi và chỉ khi: ⟺ {
y = 12 − x
{
x = 12 − y
 Cách 2: Bất đẳng thức Bu-nhi-

= 12

2

≤ (x 2 + 12 − x 2 )(12 − y + y) = 144

a-cốp-xki:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
ta có:
2
[√12 − y. x + √y. (12 − x 2 )]
⇒ x√12 − y + √y. (12 − x 2 ) ≤ 12
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi:

x
√12 −

x√y = √(12 −

⇔ {
= √12 − y
√y
x≥0

x 2 y = (12 − x 2 )(12 − y)

⟺ {

x 2 )(12 − y)
x≥0
y = 12 − x 2

 Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Đặt a = √12 − y, ta có:
x. a + √(12 − x 2 )(12 − a2 ) = 12
⇔

⇔ √(12 − x 2 )(12 − a2 ) = 12 − xa
1
2
≥
x
.
a
(12 2− x 2 )(12
)
(12
− a =2
− xa)
x. a ≤ 12
⇔
12 ≥{x.
a
(x − a)2 x = a
=0
⟺ {
⇒
=−
√12 − y ⇒ {
x 2 = x12

x>0

 Cách 4:

=y=6

Nhân

Nhân cả 2 vế phương trình 1 với x. √12 − y − √(12 − x 2 )y ta được:

biểu

[x. √12 − y + √(12 − x 2 )y] [x. √12 − y − √(12 − x 2 )y] = 12 [x.

thức

√12 − y − √(12 − x 2 )y]
⇔ x 2 (12 − y) − (12 − x 2 )y = 12 [x. √12 − y − √(12 − x 2 )y]
⇔ x 2 − y = x. √12 − y − √(12 − x 2 )y (3)
Kết hợp giữa (1) và (3) ta có:

liên
hợp:
-

TH1:
Nếu
x.

x√12 − y =

x2 − y +

12
2 y
12x2+
−
2
√(12 − x )y =

x≥0
⟺
y =2 {12 − x

√12
−y
{
2
=
 Biến đổi phương
trình (2).
2
√(12 Thay y = 12 − x vào phương trình (2) ta được:
−
x 2 )y
x 3 − 8x − 1 = 2√10 − x 2
Từ phương
trình (1) ta
suy ra:
x
y

√
x

y
x
Thử
lại
không
thỏa
mãn
phươ
ng
trình
(2):
-

T
H
2
:
x
.
√
1
2
−
y
−

⇔

{
−
36
⟺
x
{
√
(
1
2
−
x
2
)
y
≠
0

2


⇔ (x 3 − 8x − 3) − (2√10 − x 2 − 2) = 0
⇔ (x − 3) (x 2 + 3x + 1 +

2(x
) =0

+ 3)
√10 − x 2 + 1
2(x + 3)

Do x ≥ 0 nên x 2 + 3x + 1 +
>0
√10 − x 2 + 1
Suy ra x = 3. Từ đó suy ra y = 3. Thay vào thỏa mãn
x = 3đề bài. Vậy x = y = 3
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {
y=3
Nguồn gốc: Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này được ta ra dựa
trên tinh thần của
việc sử dụng Bất đẳng thức; nếu bắt nguồn ý tưởng từ cách 3 và 4 thì khó lòng mà căn
chỉnh sao cho sẽ tạo
ra được các kết quả như ý muốn.
Vậy là chúng ta đã theo dõi xong. Suy nghĩ của bạn bây giờ cảm thấy thế nào?
Quyển sách này khác
những quyển sách khác về Hệ phương trình mà bạn đã từng đọc qua ở điểm nào? Những
điều này chắc hẳn
mỗi người sẽ có một câu trả lời cho riêng mình. Và tôi xin nói với bạn rằng, khi bạn đã cầm
quyển sách này
lên trên tay, có nghĩa là bạn có duyên với quyển sách, và không nên lãng phí duyên nợ
này. Tôi tin chắc bạn
sẽ không cảm thấy thất vọng trong quá trình sử dụng quyển sách này như những quyển
sách đã từng làm
bạn thất vọng trước đây! Các bạn hãy coi chúng tôi như là một người bạn vô hình để có
thể chỉ đường, dẫn
lối cho các bạn khi các bạn gặp phải vướng mắc trong quá trình sử dụng quyển sách!
Quyển sách này trình bày đa số các bài tập theo một khung mẫu: Đề bài – Hướng
dẫn – Bài giải chi
tiết – Nguồn gốc. Các bài tập trong sách đều được nêu rõ nguồn gốc xuất xứ để tạo ra
(nếu có). Việc này có
tác dụng gì trong quá trình luyện thi? Chúng tôi sẽ định hướng lời giải trước trong phần

Hướng dẫn, sau đó
tiến hành giải chi tiết bài toán trong phần Bài giải chi tiết, cuối cùng là nêu ra Nguồn gốc
và cách để có thể
tạo ra một bài toán như vậy. Tác dụng của phần Nguồn gốc lớn hơn nhiều so với phần Bài
giải chi tiết; vì khi
đã biết được nguồn gốc xuất xứ và cách tạo ra bài toán, bạn không những có thể giải được
bài toán một cách
chuẩn xác, mà còn có thể hiểu được rõ bản chất của bài toán và có thể tạo ra vô số các
bài toán tương tự
khác để phục vụ luyện tập thêm. Đôi khi bạn còn có thể biến tấu một hoặc một số thành
phần nào đó của
quá trình tạo ra bài toán để có thể tạo ra một bài toán có hình dạng khác đi so với bài
toán ban đầu; điều
này có tác dụng rất lớn để hình thành phản xạ giải toán của bản thân bạn. Bạn sẽ không
thấy quá bỡ ngỡ khi
người ra đề chỉ biến đổi đôi chút những đề bài cũ; vì bạn đã “đi guốc trong bụng” họ rồi.


Về cách sử dụng quyển sách làm sao cho đạt được hiệu quả cao nhất có thể, tôi
xin nêu ra một
cách thức sử dụng quyển sách này, bao gồm hai loại hình là Cá nhân và Nhóm! Các bạn
có thể tham khảo
hoặc tự tìm ra cho mình cách sử dụng cuốn sách sao cho hiệu quả nhất đối với bản thân.
Về mặt cá nhân: Bạn nên đọc qua hết phần lý thuyết tôi nêu ra ở đầu những
phương pháp. Khi
nghiên cứu các ví dụ, bạn không nên xem ngay những phần diễn thuyết của tôi bên dưới
đề bài, việc làm
này sẽ làm hạn chế tư duy của bạn nếu bạn quá làm dụng vào lời giải. Bạn nên nháp để
tìm lời giải cho riêng
mình, vì không có gì có thể tốt bằng lời giải do chính bạn tự thân nghĩ ra! Khi không nghĩ

được ra lời giải
cho riêng mình, bạn có thể xem phần Hướng dẫn. Bạn nên xem từ từ, vừa xem vừa nghĩ
xem suy nghĩ của
mình bị mắc ở chỗ nào mà không thể giải được; vì có thể suy nghĩ của bạn bị mắc ở một
chi tiết nào đó mà
chúng tôi nêu ra trong phần hướng dẫn. Sau khi đọc xong phần hướng dẫn, thay vì đọc
tiếp Bài giải chi tiết,
bạn nên tự mình tìm lời giải cho bài toán trên tinh thần đã đọc và hiểu phần Hướng dẫn.
Khi vẫn gặp vướng
mắc trong quá trình trình bày lời giải, bạn có thể xem phần Bài giải chi tiết. Phần này
cũng nên xem từ từ
xem mình đang mắc ở chỗ nào. Sau khi đã tiếp thu được lời giải chuẩn của bài toán, bạn
nên tự trình bày lại
lời giải của bài toán theo ý mình; hoặc cũng có thể tự tìm cho mình một cách giải quyết
khác cho bài toán.
Nếu bạn có thể tìm được thì đó là một điều rất đáng quý! Cuối cùng, khi đã trình bày xong,
bạn hãy nên suy
nghĩ xem “do đâu mà lại có những bài toán như vậy, người ra đề tạo ra bài toán này như
thế nào, liệu có thể
tạo ra những bài toán tương tự cùng những biến thể khác không,….?”! Rồi bạn hãy trình
bày các suy nghĩ đó
của bạn về bài toán ra một chỗ riêng. Sau khi đã xong (hoặc chưa nghĩ ra được nguồn
gốc), các bạn hãy xem
phần Nguồn gốc được nêu ra ở sau cùng của bài toán để xem suy nghĩ của chúng ta có
giống nhau không!
Bạn có thể tiếp thu thêm được các khía cạnh về nguồn gốc mà tôi đã nêu ra, hoặc cũng có
một số khía cạnh
khác về nguồn gốc của bài toán mà tôi không biết nhưng bạn lại tự mình tìm ra được!

-

Về
mặt
nhóm:
Các
bạn
cóthức
thể
tự
lập
ra theo
cho
mình
một
nhóm
các
bạn
cùng
sử
dụng
sách
để
có
thể
luyện
tập
thêm
được
nhiều

hơn
nữa
(lợikèm
ích
ngoài
lềtrình
là
rèn
khả
năng
làm
việc
nhóm).
Các
bạn
sẽ
cùng
nhau
sử
dụng
quyển
sách
này,
mỗi
bạn
sẽ
phải
hoàn
thành
phần

“cách
sử
dụng
cánó
nhân
mà
tôi
đã
bày
ởkhông
trên.
Sau
đó,
mỗi
bạn
hãy
tạonhiều
ra
nhiều
đề
bài
tương
tự
đi
các
biến
thể
do
bạn
tùy

chỉnh,
rồi
gửi
cho
nhau
làm;
người
này
sẽ
làm
ví
dụ”đương
do
người
khác
đặt
ra.
Càng
nhiều
người
thì
càng
có
biến
thể
xuất
hiện.
Và
nhiên
cũng

không
nên
biến
thể
bài
toán
thành
“quá
khích”
mà
biến
thành
đố!
Điều
này
có
chút
tác
dụng
nào
trong
việc
luyện
tập,
dễ
gây
tâm
lýđánh
sợ
sệt

khi
giải
toán!

1. Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief. Allow life to replenish
you.
When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void.
Sự mất mát khiến chúng ta trống rỗng - nhưng hãy học cách không để sự đau khổ đóng lại trái tim và tâm hồn
mình. Hãy để cuộc đời đổ đầy lại bạn. Dưới đáy u sầu, dường như điều đó là không thể - nhưng những niềm vui
mới đang chờ đợi để lấp đầy khoảng trống.
Pam Brown

2. Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop.
Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, và kết thúc bằng giọt nước mắt.
Khuyết danh


Phản xạ hệ phương trình
Cuốn
sách
này
là
sự
đúc
kết
nhiều
kinh
nghiệm,
kỹ
năng

và
tất
cả “mẹo”
của
các
anh
chị
sau
nhiều
năm
gắn
bó rất
với
HPT.
Đây
có
đây
sẽ
là một
trong
những
cuốn
sách
HPT
hay,
đầy
đủ,
chi
tiết
và

mang
nhiều
tâm
huyết
tình
cảm
của
những
người
viết
nhất
hiện
nay.
Nhưng
giữa
vô
vàn
những
phương
pháp
đã
được
phân
tích,
trình
bày
ở
đây,
khi
gặp

một
HPT
kì
chắc
hẳn
thật
khó
khăn
để
lựa
chọn
được
một
phương
pháp
để
sử
dụng.
Đầu
tiên
là
cóem
thể
giải
được
bài
toán
và
hơn
cả

làcác
sẽ
giải
bài
toán
một
cách
thật
“đẹp”.
Chính
vìbất
líduy
do
ấy,
bài
viết
này
nhằm
cung
cấp
cho
em
một
cách
nhìn
tổng
quan
nhất,
một
lối

tư
logic
nhất
khi
tìm
kiếm
lời
giải
cho
một
HPT
bất
kì.
Bài
viết
này
nhằm
hướng
dẫn
cho
các
cách
quan
sát,
tư
duy
và
đưa
ra
những

nhận
định,
đánh
giá
và
rút
ra
chìa
khóa
của
bài
toán.
Do
đó
bài
viết
chưa
thực
sự
đầy
đủ
các
phương
pháp
(PP).
Vì
vậy
các
em
hãy

tự
rèn
luyện
để
hình
thành
một
“PHẢN
XẠ”
nhanh
và
đầy
đủ
nhất
của
riêng mình!
Bài viết này gồm 2 phần:
A.Điểm lại một số phương pháp thường dùng nhất trong đề thi Đại Học, Học Sinh
Giỏi.
B.

Tư duy giải Hệ Phương Trình

A. Tổng quan một số phương pháp giải hệ phương trình

Trong đề thi đại học có một số PP thường gặp:
- Phân tích thành nhân tử.
- Đặt ẩn phụ.
- Hàm số.
Vì một số phương pháp như phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… đã được đề cập đến

rất chi tiết trong
cuốn sách này cũng như hầu hết cái tài liệu về Phương trình, Hệ phương trình và đã quá
quen thuộc. Cùng
với xu hướng hiện nay của đề thi khá “ưu ái” cho phương pháp hàm số nên ở đây tôi xin
trình bày một số
điểm chú ý về các phương pháp khác và tập trung kĩ hơn ở phương pháp hàm số.
1. Phân tích thành nhân tử
Chỉ xin đề cập tới 2 phương pháp thường gặp nhất:
- Phương pháp nhẩm nghiệm, đặc biệt là dùng máy tính để nhẩm nghiệm như đã trình
bày ở phần Phụ lục
2: Hướng tư duy PNĐ.
- Phương pháp dùng phương trình bậc 2 để giải Hệ phương trình:
Đây là một phương pháp khá hữu ích trong các bài Hệ phương trình ở mức độ thi đại học.
* Đặc điểm nhận dạng: Khi trong Hệ phương trình có xuất hiện phương trình bậc 2 với 1 ẩn
(giả sử là ẩn x),
ta xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y và giải bình thường như một phương
trình bậc 2.
Lưu ý: Nếu tính ∆ mà không biểu diễn được dưới dạng bình phương thì phương pháp này
không dùng
được.
I

xy + x − 2 = 0 (1)
(D–2012) Giải hệ phương trình:3{
2
2x − x y + x 2 + y 2 − 2xy − y = 0(2)

Nhận
trình (1)
bậcbậc

1 với
cả y,
x và
phương
Do đóthấy
xemphương
(2) là phương
trình
2 với
x lày,tham
số: trình (2) bậc 3 với x, bậc 2 với y.
(2) ⇔ y 2 − (x 2 + 2x + 1)y + (2x 3 + x 2 ) = 0


∆= (x 2 + 2x + 1)2 − 4. (2x 3 + x 2 ) = (−x 2 + 2x + 1)2
2

Do đó PT (2) có 2 nghiệm: [
=x

xy + x − 2 =
0

y

y = 2x + 1
+ Với y = x 2 hệ phương trình đã cho tương

x3 + x − 2 = 0
⇔ { ⇔ {

y=1
y=

y=

đương với: {
+
Với yvới:
= 2x + 1 hệ phương trình đã cho tương
đương

x=1

x2

x2
x =−1 + √5

xy + x − 2 =
0
{

(2x + 1)x + x − 2

2x 2 + 2x − 2

=0

=0

y = 2x + 1
⇔

y = 2x + 1
{

⇔

y = 2x + 1

{
⇔

y=2
√5

x =−1 − √5

{
{
1

x 1 x
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:;
y 1

y

2

5

5

; x

1

y

[
2

5

2
y = −√5

5

Đây
chính
là cách
xửhợp
lý mà
tôi muốn
đếnCác
trong
dụthể
6 trong

thành
nhân
tử - Nhân
liên
– Hằng
đẳngnói
thức.
bạnvícó
tham phần
khảo Phân
hướngtích
xử lý
kháccũng
tại
đó.
2. Đặt ẩn phụ
Phương pháp này rất quen thuộc, đặc biệt chú ý đến Phương pháp chia để làm xuất hiện

ẩn phụ:
Kĩ thuật này có 1 số dấu hiệu nhận dạng như phương trình có các tích xy, x 2 y 2 , f(x)g(y)
… tuy nhiên tất
cả các dấu hiệu này đều không đặc trưng mà chủ yếu dựa trên kinh nghiệm và tư duy của
người giải. Do đó
hãy tự làm một số ví dụ và rút ra kinh nghiệm cho mình:
1) { 2 + 1 + y(y + x) =
x
4y
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
x(x + y + 1) − 3
=0

5
3) (x + y)2 − + 1 = (D − 2009)
x2
{

1+
= 19x 3
x3y3
2) {
y + xy 2 = −6x 2
(x 4 − 2x 3 + x2 )(1 + y 2 − 2y) = 16y

4) {

2x2 y − 2xy + y 2 − 10y + 1 = 0

0

Cách xác định biểu thức đem chia sẽ được giới thiệu trong Phương pháp Đặt ẩn phụ.
3. Hàm số


*Cơ sở lý thuyết:
Với f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên � ta có:
1.Hàm số f(x) đơn điệu trên � thì:
+) f(x) = a có không quá 1 nghiệm trên � (nếu f(α) = a thì x = α (α ∈��))
+) f(u) = f(v)  u = v ∀ u, v ∈ �.
2.f(x) và g(x) đơn điệu và ngược chiều biến thiên trên � thì f(x) = g(x) có không quá 1
nghiệm trên ��.
3.+) f(x) đồng biến trên � thì f(u) > f(v)  u > v ∀ u, v ∈��.

+) f(x) nghịch biến trên � thì
f(u) > f(v) ⇔ u < v ∀ u, v ∈ �
*Phương pháp làm:
- Từ Hệ phương trình biến đổi về dạng f(u) = f(v)
- Chứng minh hàm đặc trưng f(t) đơn điệu trên ��. Suy ra f(u) = f(v) ⇔ u = v
- Từ u=v kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ phương trình để giải Hệ phương
trình.
*Những chú ý khi làm bài bằng phương pháp này:


1.

Cố gắng cô lập biến để chuyển phương trình thành F(x) = G(y) nếu có thể.

II

Giải hệ phương

(x + 2)√x 2 + 4x + 7 + y√y 2 + 3 + x + y + 2
= 0 (1)
√x 2 + y + 1 = x − y + 1
(2)

trình: {

Cô lập biến phương trình (1): (1) ⇔ (x + 2)√x 2 + 4x + 7 + x + 2 = −y√y 2 + 3 − y

2.

Nếu có thể, hãy cố định một vế làm hàm đặc trưng và biến đổi vế còn lại theo

hàm đặc trưng này
Xét tiếp ví dụ II sau khi cô lập biến ta được PT (1)⇔ (x + 2)√x 2 + 4x + 7 + x + 2 =
(−y)√(−y)2 + 3 +
(−y)
Dế thấy VP đơn giản và gọn hơn. Do đó cố định VP và chọn f(t) = t√t 2 + 3 + t là hàm đặc
trưng.
Khi đó VP = f(−y).
Ta tìm cách biến đổi VT về dạng f(u(x)).
Dễ thấy ở đây u(x) = x + 2 khi đó VT = (x + 2)√(x + 2)2 + 3 + (x + 2) = f(x + 2)
Phương trình trở thành f(x + 2) = f(−y)
Bài giải chi
tiết
(x + 2)√x 2 + 4x + 7 + y√y 2 + 3 + x + y + 2
= 0 (1)
{
Điều kiện: x − y + 1 ≥ (∗)
{

√x 2 + y + 1 = x − y + 1 (2)

0
x2 + y + 1 ≥ 0

Với x; y thỏa mãn (∗): (1) ⇔ (x + 2)√x 2 + 4x + 7 + x + 2 = (−y)√(−y)2 + 3 + (−y)(3)
2
+ 1 > 0∀ t ∈ ℝ.
′
2
2

Xét hàm số f(t) = t√t + 3 + t trên ℝ có f (t) = √t + 3
t
+
√t 2 + 3
Do đó f(t)đồng biến trên ℝ.
Lại có (3) ⇔ f(x + 2) = f(−y) ⇔ x + 2 = −y ⇔ y
y = −x − 2
⇔ {
= −x − 2
y = −x − 2
Kết hợp với phương trình (2)ta được {
y = −x −
2
⇔ {
2x + 3 ≥ 0
x 2 − x − 1 = 4x 2 + 12x
+9

√x 2 + (−x − 2) + 1 = x − (−x −
2) + 1
x = −1
⇔ y{= −1

√x 2 − x − 1 = 2x +
3


Kết hợp với điều kiện (∗)ta suy ra hệ phương trình có nghiệm (−1; −1).

3.

Tìm các dấu hiệu đối xứng: bậc, căn bậc 2, bậc 3, hệ số…
Kí hiệu: deg(f(x)): bậc của hàm f(x)
VD: deg(x 2 + 3x − 1) = 2, deg(√x

1
… ..
2

+ 1) =

III

2x + 4x√1 + 4x 2 − √y = 2√y + y 2 (1)
Giải hệ phương trình: {
3x 2 + √y + 3 = √y (2)


Chương I: Bổ sung kiến thức khi giải hệ phương trình
Hệ phương trình gồm hai hay nhiều phương trình (thường là hai). Thực chất của
việc đi giải hệ
phương trình là việc tìm ra liên hệ giữa hai phương trình trong hệ với nhau. Ta có thể làm
việc đó bằng cách
xử lý từng phương trình riêng lẻ, hoặc là xử lý đồng thời cả hai phương trình. Để có thể xử
lý được thì ta
cần phải được trạng bị những phương pháp biến đổi cơ bản khi giải hệ phương trình. Bước
cuối cùng của
việc giải hệ phương trình là việc giải phương trình. Các kỹ thuật giải phương trình cũng cần
được đầu tư và
chú ý. Tôi sẽ không đề cập đến những thứ quá cơ bản, mà chỉ đề cập đến những thứ thực
sự cần thiết, tránh

gây dài dòng nhiều chữ.
Trong phần này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần sau:
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA.
I: BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG LẬP PHƯƠNG.
II: LƯỢNG GIÁC HÓA.
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN.
I: DẠNG ĐẶC BIỆT.
II: DẠNG TỔNG QUÁT (ĐỌC THÊM).
BÀI 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - NHÂN LIÊN HỢP – HẰNG ĐẲNG THỨC.
BÀI 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC.
I: ÉP NGHIỆM.
II: KHẢO SÁT HÀM SỐ.


Bài 1: Phương trình bậc ba
Như
các
bạn
đã của
biết,
không
có
công
thức
nghiệm
cho
trình
bậc
ba nhầm
trong

chương
trình
THPHƯƠNG
TRÌNH;
do
đó
nếu
trong
quá
trình
giải
mà
bạn
chẳng
may
gặp
phải
phương
trình
bậc
ba
thìgặp
chắc
chắn
rằng
phương
trình
đó
luôn
có

thể
giải
được
bằng
những
kiến
thức
THPHƯƠNG
TRÌNH
(với
điều
kiện
làphương
không
được
lẫn). một
Ở
đây
ta
chỉxác
đề
cập
đến
những
phương
trình
bậc
ba
không
có

nghiệm
hữu
tỉ nó
(hoặc
không
nhẩm
được
nghiệm).
Khi
những
phương
trình
đó,
tađề
cóbài
thể
đánh
giá
vô
nghiệm
trong
tập
định,
lượng
giác
hóa,
biến
đổi
hai
vế

về
dạng
lập
phương,….
Việc
đánh
giá
phương
trình
bậc
ba
vô
nghiệm
trong
tập
xác
định
thực
ra
chỉ
là
khảo
sát hàmtrình
số bậc
ba đó trên
xácđịnh
định;
rồitrước.
từ bảng biến thiên, ta sẽ có thể suy
ra

phương
vô nghiệm
trongmiền
tập xác
cho
I: Biến đổi hai vế về dạng lập phương
của
phương
nàyítđa
là
đưa
phương
trình
bậc
bapháp
đã cho
đẳng
thức
cóCách
dạng
A3 =
B3không
(vớisựAcó
vàpháp
B là
lànăng
hai
thức
cùng
một

biến).
Cách
làm
nàyvề
tưởng
chừng
như
quá
cơ làm
bản,
nhưng
thật
rất
học
sinh
nghĩ
đến
phương
khimột
gặp
một
phương
trình
bậc
ba
khả
nhẩm
nghiệm!

1

( Trích 90 đề toán tập 2 – GSTT): Giải phương trình: 3x 3 + 6x 2 − 12x + 8 = 0
Hướng dẫn:
Chắc chắn là việc cố gắng tìm nghiệm chẵn cho phương trình này đã phá sản khi
mà máy tính không
thể cho ra nghiệm chẵn ở cả phần Equation và Solve. Điều này khiến đa số các bạn chán
nản. Nhưng thực
chất của bài toán là đây:
Phương trình ⇔ 3x 3 = −6x 2 +
12x − 8
⇔ 4x 3 = x 3 − 6x 2 + 12x − 8
⇔ 4x 3 = (x −
2)3
2
3
⇔ x − 2 = x √4 ⇔ x =
3
1 − √4
Với cái nghiệm lẻ thế kia thì máy tính không hiển thị chính xác cũng là đúng thôi. Nhưng
chúng ta lại có thể
hiển thị chính xác nghiệm đó trong bài giải! Điều đó chứng tỏ chúng ta có tư duy! Chúng
ta nhận thấy rằng
diễn biến hệ số trong phương trình là (3; 6; -12; 8); diễn biến này có nét giống với diễn
biến hệ số của khai
triển (x − 2)3 . Do đó, ta sẽ nhóm để tạo ra (x − 2)3 . Thật may mắn khi mà vế kia cũng là
một lập phương.
⇒ Để có thể sử dụng được phương pháp này trong giải phương trình bậc ba thì
điều quan trong và
bắt buộc là diễn biến hệ số của ba số cuối phải là thành phần của một khai triển lập
phương (trong trường

hợp diễn biến hệ số của ba số đầu trùng với hệ số trong khai triển lập phương thì bài toán
lại không có gì
đáng nói).
Nguồn gốc: Bài toán trên có thể tạo ra không khó. Người ra đề sẽ đi từ biểu thức A3
= B3 (với A và B
là hai hàm bất kỳ cùng biến số). Đương nhiên phương trình A = B phải luôn có thể giải
được. Để bài toán
trở nên khó khăn, người ra đề sẽ nắn để cho phương trình A = B có nghiệm lẻ.
Ví dụ như (x + 1)3 = 2x 3 ⇔ x 3 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 là một sản phẩm của quá trình.
Bạn hãy thử sức với bài tập tương tự sau.

2

Giải phương trình: x 3 − x 2 − x =

1
3


Hướng dẫn:
Sau khi quy đồng, bạn sẽ nhìn thấy diễn biến hệ số là (3; 3; 1).


1
Nghiệm: x = 3
√4 − 1
II: Lượng giác hóa
Tinh thần của phương pháp này xoay quanh hai công thức lượng giác sau (thực chất
chỉ cần sử dụng

3

3
t = sin x
một): { sin 3x = 3 sin x − 4 sin x . Nếu ta đặt {
thì từ phương trình bậc ba với ẩn t, ta có
cos 3x = 4 cos 3 x − 3
t = cos x
cos x
thể đưa về
phương trình lượng3 giác đơn giản. Để cụ thể, ta xét ví dụ sau.
Giải phương trình: x − 3x + 1 = 0

Hướng dẫn:
Việc tìm nghiệm hữu tỉ trong phương trình trên là không thể, vì Equation hiển thị
đúng 3 nghiệm
vô tỉ! Nên chắc chắn ta chỉ có thể giải bằng phương pháp nhẩm nghiệm thông thường.
Việc đưa hai vế về
dạng lập phương cũng không có kết quả, vì không có hạng tử bậc hai. Với hướng làm
Lượng giác hóa, tuy
rằng diễn biến bậc của phương trình đã thỏa mãn (3; 1), nhưng diễn biến hệ số của
phương trình không
phải (4; -3); vậy nên ta sẽ phải tạo ra diễn biến hệ số (4; -3). Muốn vậy, ta sẽ đặt x =
acos t rồi đi tìm a để
có được diễn biến hệ số thích hợp. Tuy nhiên, do |cos t| ≤ 1 nên giá trị tuyệt đối của tất cả
các nghiệm không
được vượt quá |a|.
a3 cos3 t − 3a cos t = α(4 cos 3 t − 3 cos t)
Điều này tương đương a = 4 ⇒ a = 2. Vậy ta có lời giải như sau:
3a 3

3

với

Bài giải chi
tiết


Trích
Trích
đoạn
đoạn
Chinh
Chinh
phục
phục
hệ phương
hệ phương
trình
trình
phiên
phiên
bảnbản
2.02.0

Lovebook.vn
Lovebook.vn

Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình
Giải hệ

phương
trình
làpháp
tìm
mối
liên
hệ
giữa
hai phương
trình
với hệ
nhau.
Ngoài
hệ
phương
trình
có được
phương
giải
quát
hệ nhau;
đối
xứng,
đẳng
cấp
thì
có
nhiều
phương
pháp

diễn
dưới
nhiều
bàinhư
toán
khác
nhưng
tóm
gọn
lạinhững
cũng
chỉ
những
phương
thế,
đặt
ẩntổng
phụ,
khảo
sátcác
hàm
diện,….
Bằng
việc
sử
dụng
các là
biến
đổi như:
đưapháp:

về biểu
phương
trình
tích,
dùng
hằng
đẳngđại
thức,
nhân
liên
hợp,
cân
bằng
bậc
– hệ
số,....

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tất cả các phương pháp để giải quyết một

hệ phương trình.
Bao gồm các phương pháp thường xuyên được sử dụng trong các đề thi thử và đề thi Đại
học.

BÀI 1: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN.
I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP.
II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I.
III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II.
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC HAI.
II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC CAO.

BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP THẾ.
BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẠI DIỆN.
BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA).
BÀI 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ (HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC).

Chân lý cuối cùng của ở cuộc đời này là tình yêu có nghĩa là sống và sống là yêu.
Voltaire


Bài 1: Các hệ phương trình cơ bản

I- Hệ phương trình đẳng cấp
Đây
làphương
những
hệ
phương
trình
mà nhất
ta trình.
sẽ có
thểđẳng
nhận
rađồng
tại
của những
yếu
tố
đồng

bậc
xuấttrình.
hiện
ở cả
hai
phương
Sự
cấp
ởđược
đây
có
thể
là bậc
tương
đồng
về
bậc
ở
hai
vế
ứng
của
hai
phương
hoặc
là
tương
vềsự
sựtồn
lệch

hai
vế
của
từng
Cách
đơn
giản
giải
quyết
những
hệ
phương
trình
này
là
thực
hiện
nhân
theo
vế
hai
phương
trình
chođể
nhau
để
cân
bằng
bậc,
hoặc

có
thể
chia
theo
vế
haitương
phương
trình
cho
nhau
rồi trình,
tiến
hành
đưa
phương
trình
thu
đượccũng
về giữa
một
ẩn.
Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:
Cái nhìn đầu tiên của chúng ta khi gặp hệ trên là từng vế tương ứng của hai
phương trình là đồng
bậc với nhau. Nên nếu ta tiến hành nhân để cân bằng bậc thì sẽ đưa về phương trình
đẳng cấp, và có thể
đơn giải biểu diễn x theo y (hoặc ngược lại). Cụ thể, ta sẽ nhân vế bậc cao của phương
trình này với vế bậc

thấp của phương trình kia.

Bài giải chi
tiết

Nhân chéo theo vế hai phương trình trong hệ với nhau, ta được:
Phương trình ⇔ 5x 2 (x 2 − y 2 ) = 12y 2 (x 2 + y 2 ) ⇔ 5x 4 − 17x 2 y 2
− 12y 4 = 0
⇔ (5x + 3y )(xx−=2y)(x
2y + 2y) = 0 ⇔
[
x = −2y
y=0⇒ x=0
2
 Với x = 2y; (1) ⇔ 2y. 3y = 6y ⇔ [
y = ±1 ⇒ x
= ±2
2
 Với x = −2y; (1) ⇔ −2y. 3y = 6y ⇔ y x==0 0⇒x =
x2
= 0 x = −2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {
;{
;{
y=0 y=
y = −1
1
2

2

Lưu ý: Ta cũng có thể giải bằng cách chia tương ứng hai vế của hai phương trình
cho nhau rồi tiến
hành đặt ẩn t = x . Tuy nhiên để làm được theo cách này thì ta phải xét trường hợp y =
0. Do đó cách làm
y
này sẽ rườm rà hơn cách trên.
Nguồn gốc: Việc tạo ra một đề bài như trên không hề khó khăn; ta sẽ đi từ một
phương trình bậc cao
bất kỳ (và phải giải được) rồi thêm một ẩn nữa vào để nó thành đẳng cấp; cuối cùng là
tách thành hai phương
trình theo ý3 bạn muốn!
Ví dụ như t − 5t 2 − 2t + 6 = 0 ⇔ x 3 − 5x 2 y − 2xy 2 + 6y 3 = 0
x
⇒ { 3 —y = 6
5x
2


y 3 − xy 2 =
−3
Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:


Bài 3: Phương pháp thế
Nguyên
tắc
để

áptương
dụng
phương
pháp
Thế
là kết
nối
những
cáicho
tồn
tại
hai
phương
trình.
Cái
chung
đó
cólà
thể
đãnhững
có
trong
đề
bài;
có
thể
là bạn
phải
đổi
qua

một
vài
dấu
đương
làmsẵn
nó
xuất
Nhưng
dù
là
thế
nào
thì
công
việc
đầu
tiên
cũng
phải
tạolà
rađể
cáicòn
chung;
chung
ởchung
đây
có
thể
làởbiến
một

biểusơ
thức
bất
kỳ,
một
hạng
tử
chứa
biến,
đôi
khi
làhiện,….
hệ và
số cái
tựcũng
do.
67

(Trích “90 đề toán tập 1 – GSTT”): Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:
Ta có thể nhận ra cái chung đáng chú ý xuất hiện nhiều lần ở đây là tích xy. Nếu
tiến hành rút xy
theo y từ (2) rồi đem thế vào (1) thì ta sẽ thu được một phương trình chỉ có ẩn y. Tuy
nhiên, trước khi rút
thế, ta phải xét điều kiện mẫu bằng 0.
1 thì (2) ⇔ 08
(vô lý)
Với y =
5

5

Bài giải chi tiết

=
Với y

1
5

, (2) ⇔
xy =

≠
Thế (3) vào (1) ta

1+

(3)

3y
5y − 1
3y + 1

3

3y + 1

được:
(1) ⇔ (

+ 1) = 2y 3 (9 −
5y8y
−13

5y − 1)

5.
30y
14 −
⇔ 5y
( − 1) =

5y − 1

2y 3 .
60y
28
5y − 1
⇔ 521
3
(5y
−
1)
=
⇔ (5y − 1)2 (15y − 7) = 128

Khi đó: (3) ⇔ x

⇔ 75y 3 − 65y 2 + 17y − 27 = 0

1
⇔ (y − 1)(75y 2 + 10y + 27) = 0 ⇔ y = 1 (thỏa mãn y ≠ )
5

= 1.
x=1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {
y=1
Các bạn có thể tham khảo cách giải khác trong cuốn “90 đề toán tập 2 – GSTT”.
Nguồn gốc: Để tạo ra được hệ phương trình trên, ta cần đi từ một phương trình một
ẩn bất kỳ (1),


tiến hành thay một ẩn bất kỳ trong (1) bằng một hệ thức bất kỳ (2), khi đó ta sẽ thu được
phương trình (1’)
từ (1) bằng phép đặt (2). Kết hợp hai phương trình (1’) và (2) lại ta sẽ được hệ phương trình
cần lập.
Tiêu biểu ta có thể thử xây dựng
một hệ phương trình đơn giản như sau:
Từ phương trình (2x − 1)(x − 2)2 = 5, ta sẽ biến đổi lung tung như sau:
Phương trình ⇒ (x − 2)2 =

5

5
⇒ x−2=√

2x − 1
2x − 1
√2x − 1 + √5

2x − 6
⇒x=
=
√2x − 1
√2x − 1(√2x − 1 −
2
√5)
2

4( x − 3)

⇒ x2 =
(2x − 1 − √5(2x −
1))

2=

4( x − 3) Â
4x 2 + 6x − 4 − 2√5(2x − 1)3


Tiếp theo ta có thể thay thế theo ý thích, giả dụ như √5(2x − 1) = y + 1 hoặc một phép
thay thế bất kỳ. Khi
đó ta sẽ được hệ cần tạo ra
3

2
2

3

2 (1 − ) =
+ 3x − 2 − 2(y + 1)
{
x 2x
y 2 + 2y − 10x + 6
=0
Hệ này đương nhiên giải quyết từ phương trình thứ hai vì phương trình đầu của hệ có vẻ
cồng kềnh.
Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:
Việc xuất hiện số 9 ở (1) không giúp ta có thể tiến hành phân tích thành nhân tử. Do
đó, khi gặp một
số không có tác dụng, ta nên để nó sang một vế riêng. Đặc điểm tương tự cũng xuất
hiện tương tự ở số 6
trong
xử lý xong những số vô tác dụng, ta sẽ nhìn ra được điểm chung xuất
hiện là(2).
có Sau
chứakhi
một
x
x
. Do đó, ta sẽ biến đổi cả hai phương trình về đều chứa x
.
cái gì đó liên quan
y
y
đến x

Bài giải chi
tiết
Với x = 0 ⇒ y = 0. Nên (0; 0)
Với x ≠ 0, ta được:
y3
Hệ phương trình ⇔ + x 3 =
3
{ x
9
⇔
y
y (x + ) = 6
x

là nghiệm của hệ.
y
(x +
){ x

3

y
y (x x) = 6

y
— 3y (x ) =
+
x9

y

y (x ) = 6
+
x

y
x+ =3
y=2
⇔ {
x
⇔ {
y (x +
x 2 − 3x + 2 =
y
0
) =
6

+
⇔ {

y
(x +
)
x
⇔ { x y=2
=1
[

x=
2

x=1

y=2 y=2
(K.B – 2008): Giải hệ phương trình:

;{

= 27

(thỏa mãn)

x
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {

3

x=2