luận văn thạc sĩ toán học Số giao của các đường cong đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ ĐỨC ĐIỆP

SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ ĐỨC ĐIỆP

SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành:

ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHÓ ĐỨC TÀI

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục
Lời nói đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

1.2

2

Khái niệm về điểm bội và số giao trong mặt phẳng affine A2 . . .

4

1.1.1

Khái niệm về điểm bội

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Vành tọa độ và vành địa phương của một đa tạp . . . . . .

5

1.1.3

Số giao của hai đường cong tại một điểm . . . . . . . . . .

7

Khái niệm về điểm bội và số giao trong mặt phẳng xạ ảnh P2 . . 15
1.2.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Định lý Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Một số kết quả được chứng minh bằng lý thuyết số giao

19

2.1

Đường cong Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Đường cong đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Một phương pháp tìm song tiếp tuyến của đường cong trơn bậc
bốn

27

Kết luận

39

1


Lời nói đầu
Số giao của các đường cong đại số là một phần kiến thức cơ bản trong
Hình học đại số. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu bài toán tìm phương
trình song tiếp tuyến của đường cong trơn. Để giải quyết bài toán này, công cụ
chính của chúng tôi là số giao.
Qua ánh xạ Gauss (là một song ánh từ một đường cong vào đường cong đối
ngẫu của nó), ta có tương ứng một-một giữa các đường song tiếp tuyến của
đường cong và các kì dị node (là kì dị đơn giản nhất) của đường cong đối ngẫu.
Vì vậy việc nghiên cứu các đường song tiếp tuyến cho chúng ta thông tin về kì
dị node của đường cong đối ngẫu.
Luận văn trình bày tóm tắt lại một số kết quả trong lý thuyết về số giao
của các đường cong đại số và ứng dụng để tìm các song tiếp tuyến, cụ thể là
tìm các cặp điểm chung một tiếp tuyến, trên một đường cong trơn. Do việc tính
toán khá phức tạp, nên chúng tôi chỉ mới thực hiện được cho đường cong trơn
bậc bốn (trường hợp đầu tiên có xuất hiện song tiếp tuyến). Chúng tôi trình
bày cụ thể hai ví dụ, đường cong Fermat x4 + y 4 + z 4 = 0 và đường cong Klein

x3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày một số kiến thức cơ bản về đường
cong đại số, trọng tâm là về số giao.
Chương 2: Trên cở sở lý thuyết về số giao, chứng minh một số kết quả liên
quan đến đường cong Hessian và đường cong đối ngẫu.
2


Chương 3: Trong chương này chúng tôi tập trung trình bày phương pháp tìm
ra các song tiếp tuyến bằng cách tìm các cặp điểm chung một tiếp tuyến trên
một đường cong trơn. Cụ thể chúng tôi sẽ áp dụng để tính toán cho một số
đường bậc bốn.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Phó Đức Tài, Thầy đã tận
tình hướng dẫn tôi liên tục trong hơn một năm qua, để tôi có thể hoàn thành
bản luận văn này và có thêm những sự hiểu biết mới.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau Đại
Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường từ những
ngày còn là sinh viên.

Hà Nội, mùa hè năm 2012
Tác giả

Đỗ Đức Điệp

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm, tính chất và các định lí cơ bản về điểm
bội, số giao của hai đường cong tại một điểm. Tài liệu tham khảo chủ yếu là [2].
Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả thiết K là một trường
đóng đại số với đặc số bằng 0, ký hiệu A2 = A2 (K) và P2 = P2 (K) lần lượt là
mặt phẳng affine và mặt phẳng xạ ảnh trên K.

1.1

Khái niệm về điểm bội và số giao trong mặt
phẳng affine A2

1.1.1

Khái niệm về điểm bội

Trong A2 , một đường cong đại số là tập các không điểm của một đa thức
khác hằng số F ∈ K[x, y]. Để đơn giản, chúng tôi cũng dùng kí hiệu đường cong
F , chung với đa thức định nghĩa của nó. Trong luận văn này chỉ đề cập đến các

đường cong thu gọn, tức là các đường cong mà đa thức định nghĩa của chúng
chỉ có các nhân tử có bội bằng 1.
Định nghĩa 1.1.1. Cho F là một đường cong, điểm P ∈ F được gọi là một điểm
đơn nếu Fx (P ) = 0 hoặc Fy (P ) = 0. Ngược lại, ta gọi P là một điểm bội hoặc
điểm kì dị của F .

4

Với mọi đường cong F ta luôn có thể viết được dưới dạng
F = Fm + Fm+1 + · · · + Fn .

Trong đó m ≥ 0, Fi là các dạng bậc i (tức là các đa thức thuần nhất bậc i theo
các biến). Khi đó, số m được gọi là số bội của điểm P (0, 0) trên đường cong F
và được kí hiệu là mp (F ) = m. Dễ thấy m = 0 khi P ∈ F , m = 1 khi P là một
điểm đơn trên F .
Vì K là một trường đóng đại số nên ta có phân tích Fm =

ei
i Li

với Li là

các dạng bậc một. Khi đó Li được gọi là một tiếp tuyến bội ei của F tại P . Như
vậy tại một điểm bội m, đường cong luôn có đủ m tiếp tuyến (đếm cả bội).
Trên đây ta vừa đưa ra các khái niệm với điểm P (0, 0), với điểm Q(a, b) bất
kì thì bội của điểm Q trên đường cong F (x, y) được định nghĩa là bội của điểm
P (0, 0) trên đường cong F (x + a, y + b), nếu Li (x, y) là một tiếp tuyến bội ei của

đường cong F (x + a, y + b) tại P thì Li (x − a, y − b) là một tiếp tuyến bội ei của
đường cong F (x, y) tại Q.
Nếu Q(a, b) là một điểm đơn của đường cong F thì F có một tiếp tuyến duy
nhất tại Q, được xác định bởi công thức:
Fx (Q)(x − a) + Fy (Q)(y − b) = 0.

1.1.2

Vành tọa độ và vành địa phương của một đa tạp

Giả sử S là một tập các đa thức trong K[x1 , ..., xn ], ta kí hiệu
V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S},

tức là V (S) = ∩F ∈S V (F ).
Một tập X ⊂ An (K) được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào
đó.
Một tập đại số được gọi là khả quy nếu nó là hợp của hai hay nhiều tập đại số
nhỏ hơn. Trong trường hợp ngược lại, ta gọi là một tập đại số bất khả quy hay
5


một đa tạp affine (xạ ảnh).
Giả sử V là đa tạp khác rỗng trong An (K). Ký hiệu I(V ) là tập các đa thức
triệt tiêu trên V. Ta thấy rằng đây là một iđêan nguyên tố của K[x1 , x2 , ..., xn ].
Do đó vành thương
Γ(V ) = K[x1 , x2 , ..., xn ]/I(V )

là một miền nguyên và được gọi là vành tọa độ của V.
Với một tập V ⊂ An (K), ta kí hiệu F (V, K) là tập hợp tất cả các hàm
từ V tới K. F (V, K) là một vành với các phép toán định nghĩa như sau: Nếu
f, g ∈ F (V, K), (f + g)(x) = f (x) + g(x) và (f.g)(x) = f (x).g(x) với mọi x ∈ V . Ta

xem K như một vành con của F (V, K) nếu đồng nhất K với vành con chứa tất
cả các hàm hằng của F (V, K).
Trở lại trường hợp V ⊆ An (K) là một đa tạp, một hàm f ∈ F (V, K) được gọi là
một hàm đa thức trên V , nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức F ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ]
với f (a1 , ..., an ) = F (a1 , ..., an ) với mọi (a1 , ..., an ) ∈ V . Khi đó ta cũng nói rằng
đa thức F xác định hàm f. Như vậy, hai đa thức F và G cùng xác định hàm đa
thức f nếu và chỉ nếu (F − G)(P ) = 0 với mọi P ∈ V (nghĩa là F − G ∈ I(V )).

Ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, tập các hàm đa thức làm thành một
vành con của F (V, K), hơn nữa, vành con này chứa K.
Trở lại với vành tọa độ trên đa tạp V. Như đã nói ở trên, Γ(V ) là một miền
nguyên nên tồn tại trường thương và trường này được gọi là trường các hàm
hữu tỉ trên V, kí hiệu là K(V ). Mỗi phần tử của K(V ) là một hàm hữu tỉ trên V.
Nếu f là một hàm hữu tỉ trên V và P ∈ V, ta nói rằng f xác định tại P nếu

a
và b(P ) = 0. Còn nếu tại P mà f không xác
b
định thì ta nói P là một điểm cực của f.

tồn tại a, b ∈ Γ(V ) sao cho f =

Có thể chứng minh được rằng tập hợp các hàm hữu tỉ xác định tại một điểm
P ∈ V làm thành một vành con của K(V ), vành này được gọi là vành địa phương

của V tại P và kí hiệu là OP (V ). Hơn nữa, do mỗi phần tử của Γ(V ) xác định

6


với mọi P ∈ V nên Γ(V ) ⊂ OP (V ) và ta có bao hàm thức
K ⊂ Γ(V ) ⊂ OP (V ) ⊂ K(V ).

1.1.3

Số giao của hai đường cong tại một điểm

Cho F và G là hai đường cong trong mặt phẳng A2 . Số giao của F và G tại

một điểm bất kì P ∈ A2 được kí hiệu là IP (F, G) và được xác định thông qua 7
tính chất sau.
Các tính chất xác định số giao:
1. IP (F, G) ≥ 0,

∀F, G và ∀P ∈ A2 .

IP (F, G) = ∞ nếu F và G có thành phần chung đi qua P .

2. IP (F, G) = 0 nếu P ∈ F ∩ G.
3. Nếu T là một phép thay đổi tọa độ affine mà T (Q) = P thì IP (F, G) =
IQ (F T , GT ).

4. IP (F, G) = IP (G, F ).
5. IP (F, G) ≥ mP (F ).mP (G). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F và G không
có tiếp tuyến chung tại P .
6. Giả sử F =

ei
i Fi ,

G=

s

j

Gj j khi đó IP (F, G) =

i,j ei sj IP (Fi , Gj ).

7. IP (F, G) = IP (F, G + HF ), ∀H ∈ K[x, y].
Ví dụ 1.1.1. 1. Tính số giao của F và G tại điểm P (0, 0) với F = y − x2 , G =
x + y(y − x2 ).
IP (F, G) = IP (y − x2 , x)

(theo tính chất (7))

= IP (y, x)

(theo tính chất (7))

=1

(theo tính chất (5)).

7


2. Tính số giao của A và B tại điểm P (0, 0) với A = x + y 2 − x3 , B = y 2 − x3 .
IP (A, B) = IP (x, y 2 − x3 )

(theo tính chất (7))

= IP (x, y 2)

(theo tính chất (7))

= 2IP (y, x)

(theo tính chất (6))

= 2.

Tính đúng đắn của định nghĩa số giao và công thức tính được thể hiện thông
qua định lý sau:
Định lý 1.1.1. (Xem [2], định lý 3, trang 37) Tồn tại duy nhất một số giao
IP (F, G) xác định cho mọi cặp đường cong F và G và mọi điểm P ∈ A2 , thỏa

mãn 7 tính chất trên. Ngoài ra
IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)).

Chứng minh. Chứng minh tính tồn tại duy nhất. Giả sử IP (F, G) được xác định
theo 7 tính chất trên. Chúng ta sẽ xây dựng một chương trình tính IP (F, G) mà
chỉ sử dụng 7 tính chất này, điều đó đủ để chỉ ra tính xác định duy nhất của
IP (F, G).

Ta có thể giả thiết P (0, 0) (theo tính chất (3)) và IP (F, G) < ∞ (theo (1)).
Giả sử cần tính IP (F, G) = n > 0, còn nếu P ∈ F ∩ G thì IP (F, G) = 0 (theo (2)).
Dùng phương pháp quy nạp với giả thiết quy nạp là IP (A, B) < n tính được với
mọi A, B ∈ K[x, y]. Gọi bậc của các đa thức bậc nhất F (x, 0),G(x, 0) lần lượt là
r và s, giả thiết r ≤ s, nếu không ta dùng (4) để đảo lại.

Trường hợp 1. Nếu r = 0. Vì F (0, 0) = F (P ) = 0 nên F = yH với H nào đó
thuộc K[x, y]. Từ (6) suy ra IP (F, G) = IP (y, G) + IP (H, G). Vì G(0, 0) = 0 nên ta
có thể phân tích G(x, 0) = xm (a0 + a1 x + · · · + as−m xs−m ) với a0 = 0, 1 ≤ m ≤ s.
Khi đó IP (y, G) = IP (y, G(x, 0) + G.y) với G nào đó thuộc K[x, y] (vì G(0, 0) = 0
nên luôn tồn tại G để G = G(x, 0) + Gy ).
8

Theo (7) ta có IP (y, G) = IP (y, G(x, 0)). Theo (6) thì
IP (y, G(x, 0)) = IP (y, xm ) + IP (y, a0 + a1 x + · · · + as−m xs−m ) = m.IP (y, x) + 0 = m.

Trong đó IP (y, x) = 1 được tính theo (5).
Vậy ta có được
IP (F, G) = IP (y, G) + IP (H, G) = m + IP (H, G).

Vì m > 0 nên IP (H, G) < IP (F, G) = n. Theo giả thiết quy nạp thì IP (H, G) tính
được nên IP (F, G) cũng tính được.
Trường hợp 2. Nếu r ≥ 0. Ta có thể giả thiết F (x, 0), G(x, 0) là các đa thức
có hệ số dẫn đầu (hệ số của đơn thức bậc cao nhất) bằng 1. Khi đó ta đặt
H = G − xs−r F , theo (7) thì IP (F, G) = IP (F, H). Dễ thấy degH(x, 0) < degG(x, 0).

Ta lặp lại quá trình sử lý trên để tính IP (F, H). Sau hữu hạn bước ta sẽ thu được
một cặp đường cong A, B nào đó thỏa mãn trường hợp 1 và IP (F, G) = IP (A, B).
Tới đây ta đã hoàn thành chương trình tính IP (F, G).
Chứng minh công thức IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)). Ta sẽ chứng minh
công thức này thỏa mãn cả 7 tính chất trên.
Rõ ràng dimK (OP (A2 )/(F, G)) ≥ 0. Giả sử F và G có nhân tử chung là H đi
qua P . Ta sẽ chứng minh dimK (OP (A2 )/(F, G)) = ∞. Vì (F, G) ⊂ (H) nên ánh xạ
tuyến tính sau là một toàn cấu:
ϕ:

OP (A2 )/(F, G) −→ OP (A2 )/(H),

với ϕ(Q) = Q.

Do đó dimK OP (A2 )/(F, G) ≥ dimK OP (A2 )/(H) . Mặt khác, xét ánh xạ
ψ:

OP (A2 )/(H) −→ OP (H),

với ψ ( fg ) =

f
.
g

Dễ thấy ψ là một toàn cấu, ta sẽ chứng minh ψ là một đơn cấu. Thật vậy,
ψ(( fg )) = 0 ⇔

1
f
= 0 ⇔ f = 0 ⇔ f ∈ (H). Suy ra f ∈ (H), nên ( fg ) = 0 trong
g
g
9


OP (A2 )/(H).

Vậy ψ là một đẳng cấu, nên dimK OP (A2 )/(H) = dimK (OP (H)). Mà OP (H) ⊃
Γ(H) = K[x, y]/(H), mặt khác dimK (Γ(H)) = ∞ (xem trong [2]), suy ra
dimK (OP (A2 )/(H)) = ∞, nên dimK (OP (A2 )/(F, G)) = ∞.

Tiếp theo ta chứng minh tính chất (2). Giả sử P ∈ F ∩ G, khi đó tồn tại
1
∈ (F, G).
AF + BG

OP (A2 )/(F, G) = 0.

A, B ∈ K[x, y] sao cho (AF +BG)(P ) = 0, suy ra 1 = (AF +BG)

Vậy (F, G)OP (A2 ) = OP (A2 ), suy ra dimK

Chứng minh tính chất (3). Giả sử T là một phép thay đổi tọa độ trong A2 ,
thỏa mãn T (Q) = P . Khi đó ánh xạ
π : OP (A2 )/(F, G) −→ OQ (A2 )/(F T , GT ),

với π(A) = AT ,

là một đẳng cấu. Do đó dimK OP (A2 )/(F, G) = dimK OQ (A2 )/(F T , GT ) .
Tính chất (4) là hiển nhiên.
Để chứng minh tính chất (6) ta chỉ cần chứng minh
dimk (OP (A2 )/(F, GH)) = dimk (OP (A2 )/(F, G)) + dimk (OP (A2 )/(F, H)).

Ở đây ta có thể giả sử F và GH không có nhân tử chung.
Xét dãy các K-không gian vec tơ và các ánh xạ tuyến tính sau:
0

✲

OP (A2 )/(F, H)

Trong đó ψ(A) = GA,

ψ

✲

OP (A2 )/(F, GH)

ϕ

✲

OP (A2 )/(F, G)

ϕ(GA) = GA.

Ta sẽ chứng minh ψ là một đơn cấu, ϕ là một toàn cấu, từ đó suy ra dãy
trên là một dãy khớp ngắn của các K-không gian véc tơ. Giả sử ψ(A) = 0, khi
đó GA = F1 F + F2 GH với F1 , F2 nào đó thuộc OP (A2 ). Chọn S ∈ K[x, y] với
S(P ) = 0, sao cho SF1 = M ∈ K[x, y], SF2 = N ∈ K[x, y] và SA = Q ∈ K[x, y] (ta

có thể lấy S là tích của 3 mẫu thức của F1 , F2 và A ).
Vì G(A − F2 H) = F F1 nên G(Q − NH) = MF ∈ K[x, y]. Do F và G không có
nhân tử chung nên tồn tại E ∈ K[x, y] để Q − NH = EF . Vậy ta có SA − SF2 H =
10

✲

0.


N
E
F + H , dẫn tới A = 0. Do đó ψ là một đơn cấu.
S

S
Vì (F, GH) ⊂ (F, G) nên ϕ là một toàn cấu.

EF suy ra A =

Từ đó ta có dãy trên là một dãy khớp ngắn nên tính chất (6) được chứng
minh.
Tính chất (7) là hiển nhiên vì (F, G) = (F, G + HF ).

Việc chứng minh tính chất (5) là phức tạp nhất.
Đặt m = mp (F ),

n = mp (G), I = (x, y) ⊂ K[x, y]. Xét biểu đồ của các K-không

gian véc tơ và các ánh xạ tuyến tính sau:
K[x, y]/I n × K[x, y]/I m

ψ

✲

K[x, y]/I n+m

ϕ

✲

K[x, y]/(I n+m , F, G)

✲

0

✲

0

α

❄
2

OP (A )/(F, G)

π✲

2

OP (A )/(I n+m , F, G)

Trong đó ϕ, π, α là các đồng cấu tự nhiên, còn ψ định nghĩa bởi ψ(A, B) =
AF + BG. Vì V (I n+m , F, G) = P (có thể giả sử m và n đều lớn hơn 0 vì nếu

ngược lại thì tính chất (5) được chứng minh đơn giản) nên K[x, y]/(I n+m , F, G) ∼
=
OP (A2 )/(I n+m , F, G) (theo [2], hệ quả 2, trang 27), ở đây ta gọi α là đẳng cấu

đó.
Ta sẽ chứng minh hàng trên của biểu đồ là một dãy khớp.
Chứng minh ϕ là một toàn cấu. Vì ∀H ∈ K[x, y]/(I n+m , F, G) ta có thể chọn

H ′ = H + H1 F + H2 G với H1 , H2 nào đó thuộc K[x, y]. Khi đó ϕ(H ′ ) = H , vậy ϕ

là một toàn cấu.
Chứng minh Imψ = Kerϕ. Dễ thấy Imψ ⊆ ϕ, mặt khác ∀N ∈ Kerϕ ta
có ϕ(N) = 0 tương đương với N = N1 NI + N2 F + N3 G với N1 , N2 , N3 nào đó
thuộc K[x, y], NI thuộc I n+m . Xét ảnh của N trong K[x, y]/(I n+m ), ta có N =
N2 F + N2 G ∈ Imϕ.

Vậy hàng trên của biểu đồ là một dãy khớp. Nên ta có
dimK (K[x, y]/I n × K[x, y]/I m) ≥ dimK (Imψ) = dimK (Kerϕ).
11


Suy ra
dimK (K[x, y]/I n × K[x, y]/I m) = dimK (Kerϕ).

Dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra nếu ψ là một đơn cấu (khi đó Kerψ = 0).
Vì ϕ là một toàn cấu nên:
dimK (K[x, y]/(I n+m, F, G)) = dimK (K[x, y]/(I n+m )) − dimK (Kerϕ).

Vì (F, G) ⊂ (I n+m , F, G) nên dễ dàng kiểm tra được π là một toàn cấu và do
đó ta có:
IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G))
≥ dimK (OP (A2 )/(I n+m , F, G))
= dimK (K[x, y]/(I n+m, F, G))
= dimK (K[x, y]/I n+m) − dimK (Kerϕ)
≥ dimK (K[x, y]/I n+m ) − dimK (K[x, y]/I n) − dimK (K[x, y]/I m ).

Theo [[2], bài tập 2.46] thì dimK (K[x, y]/I n ) =

n(n + 1)
nên ta thu được
2

IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)) ≥ mn.

Bây giờ ta cần phải chứng minh dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra khi
và chỉ khi F và G không có tiếp tuyến chung tại P .
Qua chứng minh trên ta thấy dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi ψ là một đơn cấu và π là một đẳng cấu, tức là I n+m ⊂ (F, G)OP (A2 ). Những
điều cần chứng minh này là hệ quả của bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.1. (a). Nếu F và G không có tiếp tuyến chung tại P thì
I t ⊂ (F, G)OP (A2 ) với t ≥ m + n − 1.
(b). ψ là một đơn cấu khi và chỉ khi F và G có các tiếp tuyến phân biệt tại P .

Chứng minh. Chứng minh (a). Giả sử F và G không có tiếp tuyến chung
tại P . Đặt L1 , L2 , . . . , Lm là các tiếp tuyến của F tại P , M1 , M2 , . . . , Mn là các
tiếp tuyến của G tại P . Đặt L0 = M0 = 1, Li = Lm nếu i > m, Mj = Mn nếu
12


j > n, Aij = L1 L2 . . . Li .M1 M2 . . . Mj . Vì Li = λMj ,

∀i, j, λ nên theo [[2], bài tập

2.35] thì {Aij |i + j = t} là một cơ sở của K-không gian vec tơ bao gồm tất cả
các dạng bậc t trong K[x, y]. Do vậy, để chứng minh (a) ta chỉ cần chứng minh
Aij ∈ (F, G)OP (A2 ),

∀(i + j) ≥ m + n − 1. Nhưng nếu i + j ≥ m + n − 1 thì kéo

theo hoặc i ≥ m hoặc j ≥ n. Giả sử i ≥ m thì Aij = Am0 .B , với B là một dạng
bậc t = i + j − m. Vì L1 , L2 , . . . , Lm là tất cả các tiếp tuyến của F tại P nên ta có
thể viết F = Am0 + F ′, trong đó tất cả các số hạng của F ′ đều có bậc ≥ m + 1.
Vậy Aij = Am0 B = BF −BF ′ , trong đó mỗi số hạn của BF ′ đều có bậc ≥ i+ j + 1.
Tiếp theo ta chứng minh I t ⊂ (F, G)OP (A2 ) với mọi t đủ lớn. Đặt V (F, G) =
P, Q1 , . . . , Qs . Theo [[2], bài tập 1.17], tồn tại một đa thức H sao cho H(P ) =
0,

H(Qi ) = 0,

∀i = 1, s. Mà Hx và Hy đều thuộc I(V (F, G)) nên theo định

lý không điểm của Hilbert (xem trong [2]) thì tồn tại n để (Hx)n và (Hy)n đều
thuộc (F, G) ⊂ K[x, y]. Do H n (P ) = 0 nên ta có
xn =

1
.(Hx)n ∈ (F, G)OP (A2 )
Hn

yn =

1
.(Hy)n ∈ (F, G)OP (A2 ).
Hn

Suy ra I 2n ⊂ (F, G)OP (A2 ).
Với những điều trên ta sẽ chứng minh Aik ∈ (F, G)OP (A2 ), với mọi i + j ≥
m + n − 1. Do Aij = BF − BF ′ , BF ∈ (F, G)OP (A2 ), nên để chứng minh

BF ′ ∈ (F, G)OP (A2 ) ta sẽ chứng minh Akl ∈ (F, G)OP (A2 ) với mọi k + l ≥ i + j + 1

vì bậc của mọi số hạng của BF ′ đều ≥ i + j + 1.
Tương tự với Aij ta có thể viết Akl = B1 F − B1 F1 với k + l = i + j + 1
và bậc của các số hạng trong B1 F1 đều ≥ k + l + 1 = i + j + 2. Để chứng minh
Akl ∈ (F, G)OP (A2 ) ta lại cần chứng minh Apq ∈ (F, G)OP (A2 ), với p+q = k+l+1 =
i + j + 2. Tiếp tục quá trình trên sẽ dẫn tới cần chứng minh Aαβ ∈ (F, G)OP (A2 )

với α + β = 2n, nhưng I 2n ⊂ (F, G)OP (A2 ) nên Aαβ ∈ (F, G)OP (A2 ).
Tới đây có thể khẳng định Aij ∈ (F, G)OP (A2 ) với mọi i + j ≥ m + n − 1 và
hoàn thành chứng minh (a).
13


Chứng minh (b). Giả sử các tiếp tuyến tại P của F và G khác nhau và
ϕ A, B

= AF + BG = 0. Ta cần phải chứng minh (AF + BG) = (0, 0). Do

AF + BG ∈ I n+m nên các số hạng của AF + BG phải có bậc ≥ m + n.

Giả sử r và s lần lượt là bậc nhỏ nhất của các số hạng trong A và trong B . Ta
viết A = Ar +(các số hạng bậc cao hơn); B = Bs +. . .; AF +BG = Ar Fm +Bs Gn +. . ..
Do bậc nhỏ nhất của của các số hạng trong AF + BG lớn hơn hoặc bằng m + n
và do Ar , Bs , Fm , Gn đều khác 0 nên r, s chỉ có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: r ≥ n và s ≥ m suy ra A ∈ I n ,

B ∈ I m hay (A, B) = 0.

Trường hợp 2: r < n và s < m, khi đó Ar Fm và Bs Fn đều có bậc < m + n nên

As Fm = −Bs Gn và r + m = s + n. Do F và G không có tiếp tuyến chung tại P

nên Fm và Gn không có nhân tử chung, suy ra s ≥ m,

r ≥ n và trở lại trường

hợp 1.
Do vậy ψ là một đơn cấu.
Chứng minh điều ngược lại bằng phản chứng. Giả sử F và G có một tiếp
′
tuyến chung tại P là L. Khi đó ta có thể viết Fm = LFm−1
,

Gn = LG′n−1 , suy

′
′
ra ψ(G′n−1 , −Fm−1
) = 0, nhưng (G′n−1 , −Fm−1
) = 0 nên ψ không là một đơn cấu.

Cuối cùng ta nhắc lại khẳng định đã được chứng minh xong:
IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)) = mP (F )mP (G)

khi và chỉ khi F và G không có tiếp tuyến chung tại P và kết thúc chứng minh
bổ đề và định lý tại đây.

Theo [2] thì có thể coi 7 tính chất trên như các tiên đề xác định số giao. Tuy
nhiên, trong nhiều trường hợp, tính số giao theo công thức trong định lý trên là
hiệu quả hơn.

Ví dụ 1.1.2. Sau đây ta sẽ áp dụng công thức trong định lý trên, tính lại các
14


số giao trong ví dụ 1.1.1.
1. Ta có dimK (OP (A2 )/(y − x2 , x + y(y − x2 ))) = 1 vì {1} là một cở sở của K-không
gian véc tơ OP (A2 )/(y − x2 , x + y(y − x2 )). Do vậy theo định lý trên IP (F, G) = 1.
2. Tương tự, dimK (OP (A2 )/(x + y 2 − x3 , y 2 − x3 )) = 2 vì hệ {1, y} là một cở sở của
K-không gian véc tơ OP (A2 )/(x + y 2 − x3 , y 2 − x3 ), nên IP (A, B) = 2.

1.2

Khái niệm về điểm bội và số giao trong mặt
phẳng xạ ảnh P2

1.2.1

Các định nghĩa

Đường cong xạ ảnh F trong P2 là tập các không điểm trong P2 của một dạng
F khác hằng số trong K[x, y, z]. Bậc của đường cong là bậc của dạng.
Giả sử F là một dạng trong K[x, y, z], kí hiệu F∗ là biểu thức (affine hóa) của
F khi thay biến thứ i bằng 1. Ngược lại, nếu G là một đa thức hai biến thì G∗

là biểu thức (xạ ảnh hóa) thu được khi ta nhân thêm vào mỗi đơn thức của G
biến thứ i với số mũ phù hợp để G∗ trở thành một dạng bậc d trong K[x, y, z].
Giả sử F là một đường cong xạ ảnh, P ∈ P2 có tọa độ thứ i bằng 1. Khi đó
định nghĩa số bội của điểm P trên F là: mP (F ) = mP∗ (F∗ ), với P∗ ∈ A2 có tọa
độ thu được khi ta bỏ đi tọa độ thứ i của P , để cho tiện thì khi xét trong A2

người ta dùng kí hiệu P thay cho P∗ . Theo [2] thì mP (F ) không thay đổi theo i
và phép thay đổi tọa độ, nên thông thường người ta lấy i = 3.
Nếu L là một tiếp tuyến bội e của F∗ tại P∗ thì L∗ (bậc 1) là một tiếp tuyến
bội e của F tại P .
Nếu P [a : b : c] là một điểm đơn của F thì F có một tiếp tuyến duy nhất (bội
1) tại P . Hơn nữa, phương trình của tiếp tuyến này là:
Fx (P )x + Fy (P )y + Fz (P )z = 0.

15


Cho F và G là hai đường cong xạ ảnh, số giao của F và G tại một điểm
P ∈ P2 được xác định như sau: IP (F, G) = IP∗ (F∗ , G∗ ).

Số giao trong P2 cũng thỏa mãn 7 tính chất của số giao trong A2 , chỉ có thay
đổi ở tính chất thứ 7 và tính chất này được phát biểu như sau:
IP (F, G) = IP (F, G + AF ) với mọi A mà degA = degG − degF .

Nếu P là một điểm bội 2 và F có hai tiếp tuyến phân biệt tại P , ngoài ra số
giao của mỗi tiếp tuyến với F tại điểm P đều bằng 3, thì P còn được gọi là một
điểm node thường của F . Điểm cusp thường là một điểm bội hai, có một tiếp
tuyến duy nhất và số giao của tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó bằng 3.

1.2.2

Định lý Bezout

Định lý 1.2.1. (Định lý Bezout, xem [2], trang 57)
Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m và n tương ứng. Giả sử F và G
không có thành phần chung. Khi đó

IP (F, G) = mn.
P ∈P2

Chứng minh. Vì F ∩ G là hữu hạn (xem trong [2], bài tập 5.7) nên ta có thể giả
sử tất cả các điểm giao của F và G đều không thuộc đường thẳng z = 0 (nếu
cần, dùng phép thay đổi tọa độ). Khi đó
IP (F∗ , G∗ ) = dimK (K[x, y]/(F∗ , G∗ )).

IP (F, G) =
P ∈P2

P ∈A2

(Xem [2], mục 2.9, hệ quả 1).
Đặt Γ∗ = K[x, y]/(F∗, G∗ ),

Γ = K[x, y, z]/(F, G),

R = K[x, y, z], Γd và Rd lần

lượt là không gian vec tơ gồm các dạng bậc d trong Γ và trong R.
Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
dimK Γ∗ = dimK Γd = mn,

Bước 1: Chứng minh dimK Γd = mn,

∀d ≥ m + n.

∀d ≥ m + n.

Xét biểu đồ sau:
0

✲

Rd−m−n

ψ

✲

Rd−m × Rd−n
16

ϕ

✲

Rd

π

✲

Γd

✲

0

Trong đó ψ(C) = (GC, −F C),

ϕ(A, B) = AF + BG,

π(D) = D . Có thể kiểm

tra được dãy trên là một dãy khớp. Do đó ta có
dimK Rd−m−n − dimK (Rd−m × Rd−n ) + dimK Rd − dimK Γd = 0.
(d + 1)(d + 2)
nên ta có:
2
(d − m − n + 1)(d − m − n + 2)
(d − m + 1)(d − m + 2) (d − n + 1)(d − n + 2)
−
+
+
2
2
2
(d + 1)(d + 2)
− dimK Γd = 0.
+
2
Suy ra dimK Γd = mn.

Mặt khác, dimK Rd =

Bước 2: Ta chứng minh ánh xạ α :

Γ −→ Γ, với α(H) = zH là một đơn cấu.

Giả sử zH = 0 tương đương với zH = AF + BG, ta sẽ chứng minh H =
A′ F + B ′ G. Với J bất kì thuộc K[x, y, z], kí hiệu J0 = J(x, y, 0). Vì F, G, z không

có điểm chung nên F0 và G0 nguyên tố cùng nhau. Nếu zH = AF + BG thì
A0 F0 = −B0 G0 suy ra B0 = CF0 và A0 = −CG0 , với C nào đó thuộc K[x, y].

Đặt A1 = A + GC,
zA′ ,

B1 = B − F C . Vì (A1 )0 = (B1 )0 = 0 nên ta có A1 =

B1 = zB ′ . Vì zH = AF + BG = (A1 − GC)F + (B1 + F C)G = A1 F + B1 G =

z(A′ F + B ′ G) nên H = A′ F + B ′ G. Do đó α là một đơn cấu.

Bước 3: Chứng minh dimK Γd = dimK Γ∗ , với d ≥ m + n. Điều này tương đương
với việc chứng minh Γd ∼
= Γ∗ .
Chọn {A1 , A2 , . . . , Amn } ⊂ Rd sao cho ảnh (lớp tương đương) của nó là một
cơ sở của Γd . Đặt Ai∗ = Ai (x, y, 1) và gọi ảnh của Ai∗ trong Γ∗ là ai . Ta sẽ chứng
minh a1 , a2 , . . . , amn là một cơ sở của Γ∗ .
Vì dimK Γd = dimK Γd+1 (theo bước 1), mà theo bước 2 thì α là một đơn cấu,
vậy suy ra α là một đẳng cấu. Từ đó ta có {z r A1 , z r A2 , . . . , z r Amn } có ảnh là một
cơ sở của Γd+r ,

r ≥ 0.

Chứng minh {a1 , a2 , . . . , amn } là một tập sinh của Γ∗ . Giả sử h = H ∈ Γ∗ ,
H ∈ K[x, y], thì z n H ∗ là một dạng bậc d + r nào đó với r ≥ 0 và n đủ lớn, suy

ra z n H ∗ =
mn
i=1

mn

λi z r Ai + BF + CG với B, C nào đó thuộc R. Vì H = (z n H ∗ )∗ =

i=1

λi Ai∗ + B∗ F∗ + C∗ G∗ , suy ra h =

mn

λi ai .
i=1

17


Chứng minh {a1 , a2 , . . . , amn } độc lập tuyến tính. Giả sử
mn

mn

λi ai = 0 suy ra

i=1

λi Ai∗ = BF∗ + CG∗ với B, C nào đó thuộc K[x, y]. Theo [[2], mục 2.6, mệnh

i=1

đề 5] thì z r

mn

λi Ai = z s B ∗ F + z t C ∗ G, suy ra

i=1

z r A1 , z r A2 , . . . , z r Amn là một cở sở nên λi = 0,

mn

λi z r Ai = 0 trong Γd+r , mà hệ

i=1

∀i = 1, mn.

Như vậy định lý đã được chứng minh xong.

Hệ quả 1.2.1. Bậc của một đường cong xạ ảnh, bằng tổng số giao tại các giao
điểm của đường cong đó với một đường thẳng bất kỳ.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử P là một điểm đơn trên đường cong F, gọi L là tiếp
tuyến của F tại P. Khi đó P được gọi là một điểm uốn của F nếu IP (F, L) ≥ 3.

Nếu P là một điểm uốn mà IP (F, L) = 3 thì P được gọi là một điểm uốn thường.
Nếu IP (F, L) = d > 3 thì P còn được gọi là một điểm uốn bậc d − 2.
Ví dụ 1.2.1. Một đường thẳng L giao với một đường cong bậc bốn F , có thể
xảy ra các trường hợp sau:
(a) L giao F tại bốn điểm phân biệt, số giao tại mỗi điểm đều bằng một.
(b) L giao F tại ba điểm phân biệt, hai điểm có số giao bằng 1, một điểm có số
giao bằng 2 (L tiếp xúc với F tại một điểm và cắt F tại 2 điểm).
(c) L giao F tại hai điểm phân biệt, số giao tại mỗi điểm đều bằng 2 (L tiếp xúc
với F tại hai điểm).
(d) L giao F tại hai điểm phân biệt, một điểm có số giao bằng 3, điểm còn lại có
số giao bằng 1 (L tiếp xúc với F tại một điểm uốn thường và cắt F tại 1 điểm).
(e) L giao F tại một điểm, số giao tại điểm này bằng 4 (L tiếp xúc với F tại
một điểm uốn bậc 2).

18


Chương 2
Một số kết quả được chứng minh
bằng lý thuyết số giao
Chương này chứng minh lại một số kết quả liên quan đến điểm uốn, công
thức Pl¨
ucker, dựa trên lý thuyết về số giao.

2.1

Đường cong Hessian

Định nghĩa 2.1.1. Cho F là một đường cong xạ ảnh bậc n > 2 và không chứa
đường thẳng. Khi đó, đường cong xác định bởi phương trình :





Fxx Fxy Fxz

det Fyx Fyy Fyz  = 0
Fzx Fzy Fzz

được gọi là đường cong Hessian của đường cong F và được kí hiệu là HF , ma
trận trên được gọi là ma trận Hessian của đường cong F .
Mệnh đề 2.1.1.

1. Một điểm P ∈ HF ∩ F khi và chỉ khi P là một điểm kì dị

hoặc P là một điểm uốn của F . Ngoài ra, P là một điểm uốn thường khi
và chỉ khi IP (F, HF ) = 1.
2. Nếu P là một điểm uốn mà IP (L, F ) = 4 (L là tiếp tuyến của F tại P ) thì
IP (F, HF ) = 2.

19


3. Nếu P là một điểm node thường của F thì IP (F, HF ) = 6.
4. Nếu P là một điểm cusp thường của F thì IP (F, HF ) = 8.
Chứng minh. Chứng minh (1). Giả sử P (0 : 0 : 1), đặt f (x, y) = F (x, y, 1),
h(x, y) = HF (x, y, 1), khi đó IP (F, HF ) = IP (f, h).

Thực hiện phép biến đổi ma trận Hessian như sau: Cộng x lần hàng thứ nhất
và y lần hàng thứ hai vào hàng thứ ba, thực hiện tương tự với các cột rồi tính

định thức. Khi đó ta có IP (f, h) = IP (f, g) với g = fx2 fyy + fy2 fxx − 2fx fy fxy .
Nếu P là một điểm kì dị của f thì rõ ràng IP (f, g) ≥ mP (f )mp (g) > 1.
Giả sử P là một điểm đơn trên f và y = 0 là tiếp tuyến của f tại P . Khi đó
ta có thể viết f = y + ax2 + bxy + cy 2 + dy 3 + exy + (các số hạng bậc cao hơn), từ
đó g = 2a + 6dx + (8ac − 2b + 2e)y + . . .. Vậy P là một điểm uốn khi và chỉ khi
a = 0 tương đương với IP (f, g) ≥ 1, P là một điểm uốn thường khi và chỉ khi
a = 0 và d = 0 tương đương với IP (f, g) = 1 (Vì f và g không có tiếp tuyến chung

và mP (f ) = mP (g) = 1).
Chứng minh (2): Nếu P là một điểm uốn mà IP (L, F ) = 4, thì ta có thể giả sử
P (0 : 0 : 1) và f (x, y) = F (x, y, 1) = y +a1 y 2 +a2 yx+a3 y 3 +a4 y 2 x+a5 yx2 +a6 x4 +(các

số hạng bậc cao hơn). Trong đó L = y là tiếp tuyến của F tại P và hệ số a6 = 0.
Khi đó g = 2(a5 − a22 )y + 12a6 x2 + . . ..
Nếu a5 − a22 = 0 thì g không thể có tiếp tuyến chung với f ( do a6 = 0), bởi
vậy IP (F, HF ) = IP (f, g) = mp (f )mP (g) = 2.
Nếu a5 − a22 = 0 thì g − 2(a5 − a22 )f = 12a6 x2 + . . ., do vậy IP (F, HF ) = IP (f, g) =
IP (f, g − 2(a5 − a22 )f ) = 2.

Chứng minh (3): Nếu P là một điểm node thường của F thì ta có thể giả
sử P (0 : 0 : 1) và f = xy + ax3 + by 3 + cxy 2 + dx2 y + . . ., trong đó a, b đều khác
0. Khi đó g = −2yx + 6by 3 + 6ax2 + . . ., nên g + 2f = 8ax3 + 8by 3 + . . ., suy ra
IP (F, HF ) = IP (f, g) = IP (f, g + 2f ) = 2 × 3 = 6.

20


Chứng minh (4): Nếu P là một điểm cusp thường của F thì ta có thể giả
sử P (0 : 0 : 1) và f = y 2 + ax3 + by 3 + cx2 y + dxy 2 + . . ., trong đó a = 0. Khi đó
g = (24ax + 8cy)y 2 + 18a2 x4 + . . . nên g − (24ax + 8cy)f = −6a2 x4 + . . ., suy ra

IP (F, HF ) = IP (f, g) = IP (f, g − (24ax + 8cy)f ) = 2 × 4 = 8.

Hệ quả 2.1.1. Mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc ba, luôn có 9 điểm uốn và tất
cả đều là điểm uốn thường.
Chứng minh. Nếu gọi F là một đường cong trơn bậc ba bất kì thì F không có
điểm kì dị. Mặt khác các điểm uốn của F nếu có thì chỉ là các điểm uốn thường
vì IP (F, L) ≤ deg(F ) = 3. Vậy theo định lý trên và định lý Bezout ta có tổng số
các điểm uốn của F bằng deg(F )deg(HF ) = 3 × 3 = 9.

2.2

Đường cong đối ngẫu

Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , tương ứng với một đường thẳng L nào đó có
phương trình ax + by + cz = 0 ta đặt L∗ là điểm có tọa độ (a : b : c), tương ứng với
một điểm P (α : β : γ) ta đặt P ∗ là đường thẳng có phương trình αx + βy + γz = 0.
Đặt P = P2 , gọi P∗ là tập hợp các điểm tương ứng với các đường thẳng trong P
theo cách nêu trên, dễ thấy P∗ cũng là mặt phẳng xạ ảnh và được gọi là mặt
phẳng đối ngẫu với mặt phẳng P theo phép tương ứng trên. Có thể nhận thấy
phép tương ứng trên là 1 : 1 và (L∗ )∗ = L, (P ∗ )∗ = P , (P∗ )∗ = P.
Định nghĩa 2.2.1. Cho F là một đường cong không chứa đường thẳng trong
P, tập hợp tất cả các điểm trong P∗ tương ứng với các tiếp tuyến của F là một
đường cong trong P∗ . Nó được gọi là đường cong đối ngẫu của F và được kí hiệu
là F ∗ (xem [1], trang 253). Bậc của F ∗ được gọi là lớp của F .
Nhận xét 2.2.1. P ∈ L khi và chỉ khi L∗ ∈ P ∗ . L là một tiếp tuyến với F tại P
khi và chỉ khi L∗ ∈ F ∗ và P ∗ là một tiếp tuyến với F ∗ tại L∗ . F ∗∗ = F (xem [1],
trang 255).
21

Từ nhận xét trên ta có:
• Tương ứng với hai tiếp tuyến tại một điểm node của F sẽ là hai điểm trên
F ∗ có chung một tiếp tuyến và ngược lại.
• Tương ứng với tiếp tuyến tại điểm cusp của F sẽ là điểm uốn trên F ∗ và

ngược lại.
Như vậy trên một đường cong trơn F , các tiếp tuyến tại các điểm uốn, các tiếp
tuyến tiếp xúc với F từ hai điểm trở lên (khi tiếp tuyến tiếp xúc với đườn cong
tại hai điểm thì được gọi là song tiếp tuyến), tương ứng với nó là tất cả các điểm
kì dị của F ∗ .
Định nghĩa 2.2.2. (Đường cong Pl¨
ucker) Một đường cong xạ ảnh bất khả quy
F không có thành phần là đường thẳng, được gọi là một đường cong Pl¨
ucker khi

các điều kiện sau được thỏa mãn:
• Tất cả các điểm kì dị trên F chỉ là node thường hoặc cusp thường.
• Tất cả các điểm uốn trên F đều là điểm uốn thường.
• Một đường thẳng bất kì tiếp xúc với F nhiều nhất tại hai điểm phân biệt.

Từ những kết quả trên ta thấy, nếu F là một đường cong Pl¨
ucker thì F ∗ cũng
là một đường cong Pl¨
ucker.
Ví dụ 2.2.1. a) Tất cả các đường cong bất khả quy bậc 2 hoặc 3 đều là đường
cong Pl¨
ucker.
b) Đường cong Fermat F = x4 + y 4 + z 4 không phải là một đường cong Pl¨
ucker
vì chúng có 12 điểm uốn, nhưng đều không phải là điểm uốn thường.

Đường cong Klein F = x3 y + y 3 z + z 3 x là một đường cong trơn, có tất cả 24 điểm
uốn và đều là điểm uốn thường, do vậy nó là một đường cong Pl¨
ucker.

22


Định lý 2.2.1. (Công thức Pl¨
ucker) [xem trong [1], định lý 1, trang 283]
Giả sử F là một đường cong Pl¨
ucker. Gọi n và n′ lần lượt là bậc của F và
F ∗ , α và α′ lần lượt là số điểm node của F và F ∗ , γ và γ ′ lần lượt là số điểm

cusp của F và F ∗ , dẫn đến α và α′ lần lượt là số song tiếp tuyến F ∗ và F , γ và
γ ′ lần lượt là số điểm uốn của F ∗ và F . Khi đó ta có:

1. n′ = n(n − 1) − 2α − 3γ.
2. n = n′ (n′ − 1) − 2α′ − 3γ ′ .
3. γ ′ = 3n(n − 2) − 6α − 8γ.
4. γ = 3n′ (n′ − 2) − 6α′ − 8γ ′.
Chứng minh. Bậc n′ của F ∗ bằng tổng số giao của F ∗ với một đường thẳng
bất kì trong P∗ , bằng số tiếp tuyến kẻ từ một điểm bất kì trong P tới F . Gọi
P (x0 : y0 : 1) là một điểm bất kì trong P, một đường thẳng qua P luôn có dạng
Ax + By − (Ax0 + By0 )z = 0, với A, B thuộc K và A, B không đồng thời bằng
0. Đường thẳng này là tiếp tuyến của F khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm :


Fx = A




F = B
y


Fz = −(Ax0 + By0 )




F = 0.

Dùng phương pháp thế ta được:

x0 Fx + y0 Fy + Fz = 0
F = 0.

Đặt F là đường cong có phương trình x0 Fx + y0 Fy + Fz = 0. Dễ thấy rằng F
đi qua những điểm kì dị của F . Từ mỗi giao điểm của F và F ta sẽ tìm được
một phương trình tiếp tuyến kẻ từ P tới F , nếu điểm đó không phải là điểm kì
dị của F .
23