bài tạp toán 2

TỔNG CỤC KỸ THUẬT
TRƯỜNG SỸ QUAN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
TẬP 2

TP. HỒ CHÍ MINH - 2010


TỔNG CỤC KỸ THUẬT
TRƯỜNG SỸ QUAN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
TẬP 2
(Dùng cho đối tượng sỹ quan kỹ thuật, cao đẳng kỹ thuật)

TP. HỒ CHÍ MINH - 2010


Trường Sỹ quan Kỹ thuật Quân sự mong được bạn đọc góp ý kiến phê bình
(Quyết định ban hành số: . . . . . /QĐ-SQKTQS ngày . . . . tháng . . . . năm 2010)

TÁC GIẢ
Chủ biên: Đại úy, Cử nhân Trần Hoài Nhân
Tham gia biên soạn: Thiếu tá CN, Cử nhân Phạm Thị Kim Huệ
Trung úy, Cử nhân Đoàn Vũ Ngọc Hiền
Trung úy, Cử nhân Tạ Minh Trung


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Lời nói đầu

2

Chương I: HÀM SỐ
§1. Khái niệm hàm số
§2. Giới hạn hàm số
§3. Hàm số liên tục

3
3
20
45

Chương II: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
§1. Đạo hàm và vi phân của hàm số
§2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
§3. Ứng dụng của phép tính vi phân
§4. Cực trị của hàm nhiều biến

54
54
70
76
84

B

B

B

Chương III: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ
§1. Nguyên hàm và tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Tích phân kép
§4. Tích phân đường

92
92
101
114
130

Chương IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2

141
141
156

Gợi ý và đáp số

172

Tài liệu tham khảo

217

1


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách Bài tập Toán cao cấp tập 2 phần Giải tích được biên soạn theo sát
chương trình Toán cao cấp dành cho học viên và sinh viên của trường SQKT Quân
sự, nhằm mục đích nâng cao chất lượng đào tạo, giúp học viên thuận lợi hơn trong
việc học tập và nghiên cứu môn Toán tại nhà trường.
Nội dung các chương mục được trình bày theo đúng phân phối chương trình
mới nhất đã được nhà trường thông qua. Giáo trình gồm 4 chương :
Chương I

: Hàm số

Chương II : Phép tính vi phân của hàm số
Chương III : Phép tính tích phân của hàm số
Chương IV : Phương trình vi phân
Ở mỗi chương có phần tóm tắt lý thuyết chủ yếu, các bài tập giải sẵn chi tiết
và cuối cùng là các bài tập đề nghị có gợi ý và đáp án. Ở phần bài tập, các tác giả
đã sắp xếp từ mức độ dễ, trung bình đến khó và cố gắng đưa ra hầu hết các dạng bài
tập tương ứng với mỗi phần.
Tuy nhiên các phương pháp giải ở đây không phải là duy nhất và càng không
phải là phương pháp chung cho phép giải các tất cả các bài toán khác mà chỉ là
phương tiện để tham khảo hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu.
Thông qua cuốn giáo trình này tác giả hy vọng minh họa được một phần các
phương pháp chủ yếu của Toán học và gợi ý để bạn đọc có điều kiện tiếp thu được
những kỹ năng cần thiết cho việc tư học và nghiên cứu môn Toán.

Việc biên soạn tập sách này là kết quả của công trình sưu tập, chọn lọc và
sáng tạo của các tác giả sau nhiều năm giảng dạy cho học viên và sinh viên. Mặc dù
đã có nhiều cố gắng trong biên soạn nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để nội dung ngày càng
hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin gửi về Bộ môn Toán - Khoa KHCB.
CÁC TÁC GIẢ

2


Chương I
B

HÀM SỐ
B

§1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1.1. Tóm tắt lý thuyết:
1.1.1. Khái niệm hàm số một biến:
a. Định nghĩa:
Ánh xạ:
f : XR

x

 YR
 y  f (x)

được gọi là hàm số một biến. X được gọi là tập xác định của hàm f và thường được
ký hiệu là Df , xX gọi là biến số, y = f(x) Y được gọi là hàm số của biến x, y

còn được gọi là ảnh của x qua f.
Tập giá trị của hàm f được ký hiệu là Rf và được xác định bởi:
Rf = yY / xX để y = f(x)
Với tập E  X, ta gọi f(E) = f(x) / xE là ảnh của tập E qua f.
Dễ thấy f(X) = Rf  Y.
* Chú ý:
- Nếu hàm số y = f(x) cho ở dưới dạng công thức, thì tập xác định Df của hàm số
được hiểu là tập tất cả các giá trị của biến xR để biểu thức f(x) có nghĩa.
- Trong hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm M(x, f(x)) (xDf) tạo thành đồ thị
của hàm y = f(x).
b. Tính chất:
- Hàm bị chặn: Hàm y = f(x) được gọi là:

+ Bị chặn trên nếu  M  R để f(x)  M , x  Df = X.
+ Bị chặn dưới nếu  m  R để f(x)  M , x  Df = X.
+ Bị chặn nếu  M, m  R để m  f(x)  M , x  Df = X.
- Hàm chẵn, hàm lẻ: Hàm y = f(x) được gọi là:
+ Hàm chẵn nếu xDx thì -xDx và f(-x) = f(x).
+ Hàm lẻ nếu xDx thì -xDx và f(-x) = -f(x).
3


Dáng điệu đồ thị: Đồ thị hàm chẵn là đường cong đối xứng qua trục Oy. Đồ
thị hàm lẻ là đường cong đối xứng qua gốc toạ độ.
- Hàm tuần hoàn: Hàm y = f(x) được gọi là hàm tuần hoàn nếu  T > 0 thỏa:
+ x  Dx thì x  T Dx.
+ x  Dx thì f(x + T) = f(x).
Số dương To nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm tuần
hoàn f(x).
Dáng điệu đồ thị: Đồ thị hàm tuần hoàn là những đoạn cong được lặp đi lặp lại

sau 1 chu kỳ To. Do đó, để vẽ đồ thị hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ trong 1 chu kỳ, và
tịnh tiến phần đồ thị vẽ được dọc theo trục Ox một đoạn kTo (kZ).
- Hàm đơn điệu tăng, đơn điệu giảm: Hàm y = f(x) được gọi là:
+ Hàm đơn điệu tăng ngặt (không ngặt) trên miền A  Dx nếu x1, x2  A,
x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) (f(x1)  f(x2)).
+ Hàm đơn điệu giảm ngặt (không ngặt) trên miền A  Dx nếu x1, x2  A, x1
< x2 thì f(x1) > f(x2) (f(x1)  f(x2)).
Hàm đơn điệu tăng còn được gọi là hàm đồng biến, đơn điệu giảm còn được
gọi là hàm nghịch biến.
Dáng điệu đồ thị: Đồ thị hàm đồng biến là đường cong có hướng đi lên từ trái
qua phải. Đồ thị hàm nghịch biến là đường cong có hướng đi xuống từ trái qua
phải.
c. Hàm ngược, hàm hợp:
- Hàm ngược: Nếu ánh xạ:

f

:

XR
x



YR
 y  f (x)

là một song ánh, thì tồn tại ánh xạ ngược f-1, xác định bởi:
f 1

:

YR



XR

y  f(x)  x  f 1 (y)
Ánh xạ ngược này còn được gọi là hàm ngược của hàm f.
* Chú ý:
- Thông thường, ta quen gọi x là biến, y là hàm số nên ánh xạ ngược x = f-1(y) được
viết ở dạng y = f-1(x).
4


- Do hai điểm M (x, y) và N (y,x) đối xứng nhau qua đường y = x, nên đồ thị của
hàm y = f(x) và hàm ngược y = f-1(x) là hai đường cong đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x (là đường phân giác góc phần tư thứ I và III).
- Hàm hợp: Xét hai ánh xạ:
f : XR  ZR
g : ZR  YR
và
x
 y  f(x)
x
 y  g(x)
Ánh xạ hợp của g với f ký hiệu là g  f được xác định bởi:
gf

:

XR



x



YR

y  (g  f)(x)  g  f(x) 

d. Các hàm sơ cấp:
- Hàm sơ cấp cơ bản:

+ Hàm luỹ thừa: y = x, R
+ Hàm mũ: y = ax , 0 < a  1
+ Hàm lôgarit: y = logax , 0 < a  1, x > 0
+ Hàm lượng giác:
y = sinx

(xR)

y = cosx

(xR)

y = tgx




 x  R \  2  k  




y = cotgx (xR\k)
+ Hàm lượng giác ngược:


y
2
2
y = arccosx , 1  x  1 , 0  y  

y = arcsinx , 1  x  1 , 



y
2
2
y = arccotgx ,   x   , 0  y  

y = arctgx ,   x   , 




, arctgx + arccotgx =
2
2
xy
arctgx  arctgy = arctg
(xy  1)
1  xy

Trong đó: arcsinx + arccosx =

5


arctgx = arcsin

x
1 x

2

,    x  

+ Hàm Hyperbole:
ex  e x
e x  e x
y  shx 
, y  chx 
2
2

shx
1
y  thx 
, y  cothx 
chx
thx
1
1
2
Trong đó: ch 2 x  sh 2 x  1 ,

1

th
x
,
 coth 2 x  1
2
2
ch x
sh x

ch(x  y)  chx.chy  shx.shy , ch2x  ch 2 x  sh 2 x
sh(x  y)  shx.chy  chx.shy , sh2x  2chx.shx
- Hàm sơ cấp: Là hàm số được tạo thành từ một số hữu hạn các phép toán đại số
(cộng, trừ, nhân, chia, lấy luỹ thừa, lấy khai căn) và các phép lấy hàm hợp đối với
các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số.
* Chú ý: Tất cả các hàm số thường gặp đều là hàm sơ cấp.
1.1.2. Khái niệm hàm số nhiều biến:
a. Định nghĩa:

- Định nghĩa 1: Trong tập Rn , một phần tử x  Rn là một bộ số thực (x1, … , xn). Ta
cũng có thể xem (x1, … , xn) là tọa độ của một điểm M trong một hệ trục tọa độ nào
đó và viết M = (x1, … , xn). Ta gọi khoảng cách giữa hai điểm M = (x1, … , xn) và
N = (y1, … , yn) là d (M, N) và xác định bởi:
n

d(M, N) =

(x i  yi ) 2

i 1

- Định nghĩa 2: Ánh xạ:
f

:

D  Rn

R
M  (x1 ,..., x n )  f(M)  f(x1,..., x n )

được gọi là hàm n biến xác định trên tập D.
Với n = 2 ta gọi là hàm hai biến và thường ký hiệu hàm z = f(x,y).
Với n = 3 ta gọi là hàm 3 biến và thường ký hiệu là u = f(x,y,z).

6

b. Miền xác định, miền giá trị của hàm nhiều biến:
- Định nghĩa 1: Nếu hàm 2 biến cho ở dạng công thức z = f(x,y) thì tập xác định Df
của hàm số là tập tất cả các bộ (x,y) để biểu thức f(x,y) có nghĩa.
- Định nghĩa 2: Tập giá trị Rf của hàm z = f(x,y) là tập tất cả các giá trị hàm số
thu được khi (x,y) thay đổi trong miền xác định Df của hàm.

R f  z  R : (x, y)  D f , f (x, y)  z
1.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. y  3

x 1
x2  x

2. y  sin x

3. y  lg 1  lg(x 2  5x) 
5. y  arcsin

4. y  arcsin

2x
x 1

2x
x 1

6. y  arcsin(1  x)  lg(lg x)

Bài giải

x  0
x  0
 x  0


1. Hàm số y xác định   2
 x  x  0  x  0  x  1  x  1
Vậy tập xác định của hàm số là: Df  (0, 1)  (1,  )
 x  0
 x  0
2. Hàm số y xác định  

sin x  0 2k  x  (2k  1) , k  0,1,2,...

 4k 2 2  x  (2k  1) 2 2 , k  0,1,2,...
Vậy tập xác định của hàm số là: Df 



k 0,1,2,...

 4k 22 , (2k  1) 2 2 



1  lg(x 2  5x)  0  x 2  5x  10  0
3. Hàm số y xác định   2
 2

 x  5x  0
 x  5x  0
 5  56
5  56
x

 2
2
x  0  x  5

7


 5  56   5  56 
, 0    5,
Vậy tập xác định của hàm số là: Df  

2
2 

 
2x
 1 , x  1 (1)
1 x
* Nếu x < -1 thì 1 + x < 0. Suy ra bất phương trình (1) được viết dưới dạng:
4. Hàm số y xác định  1 

x  1

 x  1  2x  x  1  

1  Hệ vô nghiệm
x



3
* Nếu x > -1 thì 1 + x > 0. Suy ra bất phương trình (1) được viết dưới dạng:
1
 x  1  2x  x  1    x  1
3
 1 
Vậy tập xác định của hàm số là: Df    , 1
 3 
1  1  x  1
0  x  2


5. Hàm số y xác định   x  0
x  1
lg x  0

Vậy tập xác định của hàm số là: Df  1, 2

Bài 2: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
1. y 

2x
x2  9

3. y  arccos

2. y   x 2  2x  1
2x
x2  1

4. y  sin x  5cos x

Bài giải

2x
(1) với x là
x 9
ẩn số. Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định được x.
1. Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y 

2

1
1
Từ (1) suy ra: yx 2  2x  9y  0 có nghiệm x khi  '  1  9y 2  0    y 
3
3

8


 1 1
Vậy tập giá trị của hàm số là: R f    , 
 3 3
2. Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y   x 2  2x  1 (1)

với x là ẩn số. Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định
được x.
Từ (1) suy ra: y 2   x 2  2x  1

 x 2  2x  y 2  1  0 có nghiệm x khi  '   y 2  0  y  0
Vậy tập giá trị của hàm số là: R f  0
2x
(1)
x2  1
với x là ẩn số. Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định
được x.
3. Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y  arccos

Từ (1) suy ra:

2x
 cos y
x2  1

 (cos y)x 2  2x  cos y  0 có nghiệm x khi  '  1  cos 2 y  0  1  cos y  1 .
Theo định nghĩa của hàm arccos ta có: 0  y  
Vậy tập giá trị của hàm số là: R f   0, 
4. Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y  sin x  5cos x (1)
với x là ẩn số. Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định
được x.
Từ (1) suy ra: y  26 sin(x  ) (với tg  5) có nghiệm x khi y  26
Vậy tập giá trị của hàm số là: R f    26 , 26 
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
1. f (x)  3 (1  x) 2  3 (1  x) 2

9




2. f (x)  ln x  x 2  1



3. f (x)  sin x  cos x
Bài giải

1. x  R : f ( x)  3 [1  ( x)]2  3 [1  ( x)]2  3 (1  x) 2  3 (1  x) 2  f (x)
Vậy f(x) là hàm chẵn x  R



2. x  R : f ( x)  ln  x  x

 ln

x 

2

x 

 1   ln

1

x2  1







x2  1 x  x2  1

x 

x2  1







  ln x  x 2  1  f (x)

Vậy f(x) là hàm lẻ x  R
3. x  R : f ( x)  sin(  x)  cos(  x)   sin x  cos x  f (x) (f (  x))
Vậy f(x) là hàm không chẵn, lẻ x  R
Bài 4: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau:
1. f (x)  A cos x , f (x)  Asin x , f (x)  Atgx , f (x)  A cot gx (  0)
2. f (x)  sin n x , f (x)  cos n x
3. f (x)  A cos x  Bsin 2x  Ctg3x
4. f (x)  tg x

5. f (x)  sin x 2
6. f (x)  sin x  sin 2x
Bài giải

1. Để xét tính tuần hoàn của hàm số ta giải phương trình:
f(x + a) = f(x) để tìm a = const  0
 A cos (x  a)  A cos x  (x  a)  x  k2  a 

k2
 0 (k  0)


Vậy f (x)  A cos x là hàm tuần hoàn và số dương T nhỏ nhất để f(x + T) = f(x)
10


là T 

2


Tương tự: f (x)  Asin x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 

f (x)  Atgx là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 

2





f (x)  A cot gx là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 




2. Với f (x)  sin n x , lập luận tương tự như trên ta có: sin n (x  a)  sin n x (1)
 x  a  x  k2
* Nếu n lẻ thì từ (1) suy ra: sin(x + a) = sinx  
 a  k2
x
a
x
k2







 f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  2
* Nếu n chẵn thì từ (1) suy ra:
sin(x  a)   sin x  x  a    x  k2  a  (2k  1)
 f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  

Tương tự: f (x)  cos n x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  2 nếu n lẻ và hàm tuần
hoàn với chu kỳ T   nếu n chẵn
3. Ta có: Acosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  2
2


2

Ctg3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 
3

Bsin2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 

Vậy f (x)  A cos x  Bsin 2x  Ctg3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T là BSCNN
của 2 ,  ,


là T  2
3

4. Với f (x)  tg x , lập luận tương tự như trên ta có: tg x  a  tg x
 x  a  x  k  x  a  x  2k x  k 2 2  a  2k x  k 2 2

Nghĩa là a phụ thuộc x. Suy ra không tìm được a = const  0
Vậy f (x)  tg x không là hàm tuần hoàn
5. Với f (x)  sin x 2 , lập luận tương tự như trên ta có: sin(x  a) 2  sin x 2
11


(x  a) 2  x 2  k2

 Không tìm được a = const  0
2
2
(x  a)    x  k2

Vậy f (x)  sin x 2 không là hàm tuần hoàn
6. Ta có: sinx là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  2
sin 2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 

Suy ra không tồn tại BSCNN của 2 và

2
2

2
2

Vậy f (x)  sin x  sin 2x không là hàm tuần hoàn

Bài 5: Tìm hàm ngược (nếu có) của các hàm số sau:
1. y  x 2  4x  2
1 x
, x  1
1 x
3. y  shx

2. y 

1 neáu x  0

4. y  signx  0 neáu x  0
1 neáu x  0

 x 2 neáu x  0


5. y  x 2signx  0 neáu x  0
 2
 x neáu x  0
Bài giải

1. Xét phương trình y  x 2  4x  2

(1)

Nghiệm của (1) là: x1  2  y  2 và x 2  2  y  2 , y  2
Xét   x  2 thì y  2 , (1) chỉ có 1 nghiệm duy nhất x  2  y  2 . Nghĩa là
hàm y  x 2  4x  2 trong  ,2 có hàm ngược x  2  y  2 , y  2
Nếu xét   x   thì y  2 , (1) có 2 nghiệm phân biệt (không có nghiệm
duy nhất). Nghĩa là hàm y  x 2  4x  2 trong  ,   không tồn tại hàm ngược.
12


1 x
, x  1
1 x
Trên ( ,  1) thì y giảm từ -1 đến  . Trên (1,  ) thì y giảm từ  đến -1.
2. y 

Do đó, y  R , y  1 thì tồn tại hàm ngược duy nhất của y là x 

1 y
, y  1 .
1 y

3. y = shx
ex  e x
,    x  
Ta biết shx 
2
Trên ( ,  ) thì y tăng từ  đến  .
Do đó, y  R thì tồn tại hàm ngược duy nhất của y là x  f 1 (y) .
ex  e x
Để tìm x ta xét: y 
 e 2x  2ye x  1  0  e x  y  y 2  1
2
Vì e x  0 nên ta lấy dấu + tức là: e x  y  y 2  1





 x  ln y  y 2  1 ,    y  
4. Phương trình y = signx có vô số nghiệm x
Do đó y = signx không tồn tại hàm ngược.
5. Trên ( ,  ) thì y tăng. Do đó, y  R thì tồn tại hàm ngược
x  f 1 (y) .

 y neáu y  0
 x 2 neáu x  0


 x  0 neáu y  0
Để tìm x ta xét: y  x 2signx  0 neáu x  0
 2


 x neáu x  0
  y neáu y  0
Vậy x 

y .signy

Bài 6: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
1. z  f (x, y)  4  x 2  1  y 2
2. z  f (x, y)  (x 2  y 2  a 2 )(2a 2  x 2  y 2 )
3. z  f (x, y)  ysin x

13

(a  0)


4. z  f (x, y)  arcsin

y
x

5. z  f (x, y)  sin(x 2  y 2 )
6. u  f (x, y, z)  arcsin x  arcsin y  arcsin z
x 2 y2 z2
7. u  f (x, y,z)  1  2  2  2  ln x  ln y  ln z
a
b
c
8. z  f (x, y)  arc tg

xy
1  x 2 y2

Bài giải

4  x 2  0 2  x  2
1. z xác định  

2


1
y
0
1  y  1

Vậy miền xác định của z là hình chữ nhật (đóng): 2  x  2 ,  1  y  1
y
1
x
2

0

-2

-1

Hình 1.1

2. z xác định  (x 2  y 2  a 2 )(2a 2  x 2  y 2 )  0
2
2
2
 x  y  a  0
 2
2
2
2a  x  y  0

(1)



2
2
2
 x  y  a  0
 2
2
2
2a  x  y  0

 x 2  y 2  a 2
Hệ (1) vô nghiệm, hệ (2)   2
2
2
 x  y  2a

14

(2)


Vậy miền xác định của z là 1 hình vành tròn (đóng)
y

a 2

a

x

0

Hình 1.2

y  0
y  0
3. z xác định  ysin x  0  

sin x  0 sin x  0
y  0

2k  x  (2k  1)



(1)

y  0

(2k  1)  x  (2k  2)

Vậy miền xác định của z là tập hợp các dải kết hợp bởi (1) và (2)
y

 2


0

Hình 1.3
15

x

(2)


y

x  0
1   1  x  0
4. z xác định  
(1)  
(2)

x

x
y
x
x
y
x








 x  0

Vậy miền xác định của z gồm 2 góc xác định bởi (1) và (2) trừ trục Oy (x = 0)
y

x
0

Hình 1.4

5. z xác định  sin(x 2  y 2 )  0  2k  x 2  y 2  (2k  1)

(1)

Vậy miền xác định của z là tập hợp các hình vành tròn xác định bởi (1)
y

 2 3
0

Hình 1.5
16

x


1  x  1

6. u xác định  1  y  1
1  z  1


(1)

Vậy miền xác định của u là hình hộp đóng xác định bởi (1)
z

y

0

Hình 1.6

x

 x 2 y2 z2

 x 2 y2 z 2

  0  2  2  2 1
1 
7. u xác định   a 2 b 2 c 2
 a
b
c
 x , y, z  0
 x , y,z  0


x 2 y2 z 2
Vậy miền xác định của u là hình giới hạn bởi mặt Elip 2  2  2  1 (kể cả
a
b
c
những điểm trên mặt) trong góc phần tám thứ 1 và các mặt toạ độ (không kể những
điểm trên các mặt phẳng toạ độ đó).
z

0

x

Hình 1.7
17

y

6. z xác định (x , y)  R 2
Bài 7: Tìm miền xác định Df và miền giá trị Rf của hàm z = f(x,y) với:
1. z = f(x,y) = ln(x  y2)
(x 2  y 2  4)(1  x 2  y 2 )

2. z = f(x,y) =

3. z = f (x, y)  4  x 2  y 2
4. z = f(x,y) = lnx – lny
Bài giải

1. z = f(x,y) = ln(x  y2)
Miền xác định Df của hàm số là (x,y)R2 để
f(x,y) = ln(x - y2) có nghĩa.
Df = (x,y)R2 : x  y2 > 0 = (x,y)R2 : x > y2
Vậy Df là toàn bộ miền nằm trong phần Parabol x = y2
Theo tính chất của hàm logarit, suy ra tập giá trị của hàm số là
Rf = R.

Hình 1.8

(x 2  y 2  4)(1  x 2  y 2 )

2. z = f(x,y) =

Miền xác định Df của hàm số là (x,y)  R2 để
f (x, y)  (x 2  y 2  4)(1  x 2  y 2 ) có nghĩa

 Df 

 x, y   R :  x

 Df 

 x, y   R

2

2

2

 



 y2  4 1  x 2  y2  0



: 1  x2  y2  4

Hình 1.9

Đặt u = x2 + y2 với điều kiện 1  u  4.
Xét hàm g (u) = (u - 4)(1 - u), dễ thấy 0  g(u) 

9
.

4

 3
Suy ra, miền giá trị của hàm f (x,y) là Rf = 0, 
 2
3. z = f (x, y)  4  x 2  y 2
Df = (x,y) R2 : 4 - x2 - y2  0
= (x,y) R2: x2 + y2  4

Hình 1.10
18


Dễ thấy Rf = [0, 2]
4. z = f(x,y) = lnx – lny
Df = (x,y)  R2 : x > 0, y > 0.
Theo tính chất hàm logarit ta thấy tập giá trị Rf = (-, +).
1.3. Bài tập tự giải:

Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
1. y  sin

 x

2. y  cos x 2



3. y  lg  sin 
x



4. y  ar sin

5. y  arccos(2sin x)

6. y  lg  cos(lg x) 

2x
1 x

7. y  4 lg(tgx)
Bài 2: Tìm miền giá trị của các hàm số sau:
1. y  2  x  x 2
2. y  lg(1  2cos x)
 x
3. y  arcsin  lg 
 10 
Bài 3: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
1. z  f (x, y) 

1
x  y2

2. z  f (x, y)  1  x 2  y 2

2

3. z  f (x, y) 

1
4  x 2  y2

 x 2  y2 
5. z  f (x, y)  ln  2
2 
x y 
7. u  f (x, y,z) 

4. z  f (x, y)  arcsin

x
 xy
2

6. z  f (x, y)  x 2  y 2  1  ln(4  x 2  y 2 )

1
2z 2  6x 2  3y 2  6

19


§2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
2.1. Tóm tắt lý thuyết:
2.1.1. Giới hạn hàm số một biến:
a. Định nghĩa:
Ta có thể định nghĩa giới hạn hàm số một biến theo định nghĩa giới hạn dãy

số, hoặc định nghĩa theo ngôn ngữ lân cận  -  và hai định nghĩa là tương đương.

- Định nghĩa 1 (theo giới hạn dãy số): Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của
điểm x0 (có thể trừ tại điểm x0), được gọi là có giới hạn A (hữu hạn) khi x  x0 nếu
lấy dãy số xn bất kỳ xn  x0 thì dãy tương ứng f(xn)  A, và ta ký hiệu là
lim f (x)  A hay f(x)  A khi x  x0.

x x 0

- Định nghĩa 2 (theo ngôn ngữ  - ): Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của
điểm x0 (có thể trừ tại điểm x0), được gọi là có giới hạn A (hữu hạn) khi x  x0,
nếu  > 0 nhỏ tùy ý, () > 0 để f (x)  A <  khi x  x 0 < (), và ta ký hiệu là
lim f (x)  A hay f(x)  A khi x  x0.

x x 0

- Định nghĩa 3 (Giới hạn tại vô cùng):
+ lim f (x) = A   > 0 nhỏ tùy ý, M() > 0 để f (x)  A <  khi x > M()
x 

+ lim f (x) = A   > 0 nhỏ tùy ý, M() < 0 để f (x)  A <  khi x < M()
x 

- Định nghĩa 4 (Hàm số dần ra vô cùng):
+ lim f (x) = +  M > 0 lớn tùy ý, (M) để f(x) > M khi x  x 0 < (M)
x x 0

+ lim f (x) =   M < 0 nhỏ tùy ý, (M) để f(x) < M khi x  x 0  (M)
x x 0

* Chú ý: Có thể dùng giới hạn dãy số để định nghĩa các giới hạn mở rộng trên.
- Định nghĩa 5 (Giới hạn một phía):

x  x 0
thì ta nói hàm số y = f(x) có giới
+ Giới hạn phải: Nếu f(x)  A khi 
x  x 0
hạn phải tại x0 và ký hiệu là lim f (x) = A.
x x 0

20


x x 0
+ Gii hn trỏi: Nu f(x) A khi
thỡ ta núi hm s y = f(x) cú gii
x
x

0


hn trỏi ti x0 v ký hiu l lim f (x) = A.
x x 0

b. Mi liờn h gia gii hn mt phớa v gii hn:

nh lý:

lim f (x) = A lim f (x) = lim f (x) = A

x x 0

x x 0

x x 0

c. Tớnh cht:
- Tớnh cht 1: (Quy tc tớnh gii hn)

Nu lim f (x) = A, lim g(x) = B (A, B hu hn) thỡ:
x x 0

x x 0

lim C.f (x) = C. lim f (x) = C.A (C = const)

x x 0

x x 0

lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = A B

x x 0

x x 0

x x 0

lim f (x).g(x) = lim f (x) . lim g(x) = A.B

x x 0

x x 0

lim f (x)
f (x)
A
x x 0
=
=
lim
x x 0 g(x)
B
lim g(x)

x x 0

(g(x) 0, B 0)

x x 0

- Tớnh cht 2 (Nguyờn lý kp):
, x (a,b)
f (x) h(x) g(x)
Cho ba hm s f(x), g(x), h(x) tha: lim f (x) lim g(x) A , x (a,b)
0
x x 0
x x 0

thỡ ta cú lim h(x) = A
x x 0

- Tớnh cht 3:

x laõn caọn x o
f (x) g(x)
Cho hai hm f(x), g(x) tha: lim f (x) A , lim g(x) B (A , B hửừu haùn)
x x 0
x x 0
thỡ A B
- Tớnh cht 4:
Hm y = f(x) tng trờn R v b chn trờn thỡ tn ti lim f (x)
x

Hm y = f(x) gim trờn R v b chn di thỡ tn ti lim f (x)
x

21


g(x) bò chaën
- Tính chất 5: Cho  lim f (x)  0 thì lim  g(x).f (x)   0
x x 0
 xx 0
d. Các giới hạn cơ bản:
sin x
=1
x 0 x
tgx
=1
lim
x 0 x

1  cos x 1
lim

x 0
2
x2
arcsin x
lim
=1
x 0
x
arc tgx
lim
=1
x 0
x

(x : radian)

lim

lim tgx =


x
2

lim tgx =



x
2

(x : radian)
(x : radian)

lim  tgx = lim cotgx = lim cotgx = +

x 

x 0


2

x 

lim  tgx = lim cotgx = lim cotgx = 

x 

x 0


2

x 




, lim arctgx  
x 
x 
2
2
lim arccotgx = 0, lim arccotgx = 
lim arctgx 

x 

x 

* Với a > 1
lim a x = + , lim a x = 0

x 

x 

lim log a x = + , lim log a x  

x 

x 0

* Với 0 < a < 1

lim a x = 0 , lim a x = +

x 

x 

lim log a x   , lim log a x = + 

x 

x 0

* Với 0 < a  1
log a 1  x 
ln 1  x 
1
=
 lim
=1
x 0
x 0
ln a
x
x

lim

22