Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo
sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T . Nếu f(t) là đơn điệu thì để f(x)=f(y) chỉ xảy ra khi x=y .
Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y , nếu tập giá trị
của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng về dạng
tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0
Khi đó ta xét trường hợp : x=y , và trường hợp A(x,y)=0 .
Sau đây là một số bài mà các em tham khảo .
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
Bài 1 Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 1 x 1
. - Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).
3
y y
- Chia 2 vế phương trình (1) cho x 0 1 2 2 x x3
x x
3
2
- Xét hàm số : f t 2t t f ' t 2 3t 0t R . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình
3
có nghiệm thì chỉ xảy ra khi :
x 2
y
x y x 2 . -thay vào (2) :
x
x2 1 x2 1 2 x t 2 x 2 t 2 x 0 t 2; t x
x2 1 2 x2 3 x 3
.
x 2 1 x x
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,
3;3
x
2 6 y y x 2 y
Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
.
x x 2 y x 3y 2
Giải
x
2
x 2y 2y
x 2 y 3y 0
2 6 y y x 2 y
x 2 y y x 2 y 6 y 0
x x 2 y x 3y 2
x x 2 y x 3 y 2
x x 2 y x 3 y 2
y 0
x 2 y 2 y
.
2
x 2 y 4 y
Thay vào (2) x 2 y 4 y 2 5 y 2 2 y 4 y 2 5 y 2 4 y 2 7 y 2 0
- Trường hợp 1:
- Trường hợp :
y 0
y 0
x 2 y 3y
* .
2
2
x 2 y 9 y
x 9 y 2 y
Thay vào (2) : 9 y 2 2 y 3 y 9 y 2 2 y 3 y 2 9 y 2 5 y 9 y 2 5 y 2 0
y 1 x 9 2 7
2
t 9 y 5 y 0
t 2
2
2
9y 5y 4 0
4
16
4 264 88
2
2
y
9
2.
9
y
5
y
2
t t 2 0
9
91
9
9
3
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 1
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 88 4
Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ;
3 9
2 xy
2
2
x y x y 1
Bài 3 Giải hệ phương trình sau :
x y x2 y
Giải
2 xy
2
2
x y x y 11
a.
. Từ (2) viết lại :
x y x2 y 2
x y x y x2 x
x y
2
x y x2 x
Ta xét hàm số f(t)= t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0 t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên
x y x y x 2 x . (*)
ta có :
2 x x2 x
2
2 xy
2
2
2
1 x 2 1 x 2 x 1 2 x 1 0
Thay vào (1) : x y 2 1 x x x
2
x
x
x 1 0
x 1 0
x 1
x 1 x 1 x 2 x 1 2 0 3 2
**
2
x 1
x 1 x 2 x 3 0
x x x 3 0
2
2
x 1; y 2
x; y 1; 2 , 1;0
Thay vào (*) : y x 2 x
x 1; y 0
x2 1 8 y 2 12
3 2 y x
2 4
Bài 4. Giải hệ phương trinh :
2
2 x y 3 x y 7
2
2
1
x2 1 8 y 2 2
3 2 y x 1
4
4
2 4
x
2 y
Từ .
. - Điều kiện : x, y 0 - Từ (1) : 2.2
3 x 2.2
3 2 y
2
2 x y 3 x y 7
2
2
2
- Xét hàm số : f (t ) 2.t 4 3t t 0 f '(t ) 8t 3 3 0 . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : x 2 y x 4 y
- Thay vào (2) : 2
4
*
4
4
3
3
7
. Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 3 .2 0 .
2
2
2
1
y 5
x 4 y
3 7
4 1
x; y ;
- Nhận xét : f(1)=2+ . Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất .
2 2
5 5
5 y 1 x 4
5
5y
3
2
5y
x 1 x2 y 1 y 2 1
Bài 5. Giải hệ phương trình sau :
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
x 1 x 2 y 1 y 2 1 x 1 x 2 y 1 y 2
Từ :.
. ( nhân liên hợp )
x
6
x
2
xy
1
4
xy
6
x
1
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Trang 2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xét hàm số : f (t ) t 1 t 2 f '(t ) 1
t
1 t2 t
1 t2
t2 1
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*)
- Thay vào phương trình (2) :
t t
1 t2
0t R
2
2 x 2 6 x 1 3x
x 25 2
x 6 x 2 x 2 1 4 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1
x
2
4
2 x 2 6 x 1 2 x
x 0
x 0
2
x 1; y 1
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 3 x 2
2
2 x 6 x 1 9 x
7 x 6 x 1 0
x 0
x 0
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 2 x 2
2
2
2 x 6 x 1 4 x
2 x 6 x 1 0
3 11 3 11
3 11
3 11
x
;
;y
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),(
)
2
2
2
2
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Bài 6 Giải hệ phwpng trình :
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
Giải
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0 1
Từ : .
(KA-2011)
2
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
5 t2
t3 t
5 t2
3 t
- PT(1): 4 x3 x y 3 5 2 y 3 . Đặt t 5 2 y y
2
2
2
t3 t
3
2x 2x t 3 t
2
3
- Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 2 1 0u suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra
- Khi đó (2) : 4 x3 x
khi : 2x=t 2 x 5 2 y 4 x 2 5 2 y 2 y 5 4 x 2 4
2
5 4 x2
3
3
- Thay vào (2) : g ( x) 4 x
2 3 4 x 7 0 : x 0; .Ta thấy x=0 và x= không là
4
4
2
2
4
4
5
3
4 x 4 x 2 3
0x 0;
nghiệm . g'(x)= 8 x 8 x 2 x 2
3 4x
3 4x
2
4
1
1
- Mặt khác : g 0 x là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
2
2
1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x; y ; 2
2
2 2 x 13 2 x 1 2 y 3 y 2
Bài 7. Giải hệ phương trình :
4 x 2 2 y 4 6
Giải :
3
2 2 x 1 2 x 1 2 y 3 y 2 1
Từ :.
2
4 x 2 2 y 4 6
1
- Điều kiện : y 2; x *
2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 3
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đặt : Từ (2) : 4 x 2 y 6 36 2 x y 15 2 x 1 16 y
y 2 t y t 2 2 2 y 3 2 t 2 2 3 2t 2 1
- Từ (1):Đặt :
- Cho nên vế phải (1) : 2t 2 1 t 2t 3 t 1 : 2 x 1 2 x 1 2t 3 t
3
- Xét hàm số : f u 2u 3 u f ' u 2u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x)=f(t)
chỉ xảy ra khi : x=t
31 53
y
2 x y 2
2 x y 2
y
15
2
2
31 53
y 31y 227 0
15 y y 2
2 x y 15
15
y
2
53 1 31 53
- Vậy hệ có nghiệm : x; y
4 ;
2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Bài 8Giải hệ phương trình :
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Từ : .
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
- Điều kiện : y 2 2 x 0(*)
- Phương trình (1) : 2 x3 2 x 2 y 1 x 2 y 1 2 x x 2 2 y 1 x 2 2
- Do : x 2 2 0 2 x y 1(**)
- Thay vào (2) : y 3 2 y 1 1 ln y 2 y 1 0 f y y 3 2 y 3 ln y 2 y 1 0
2 y 1
0 . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .
y y 1
- Mặt khác : f(-1)=0 , do đó phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)=(0;-1)
3
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0
Bài 9 Giải hệ phương trình :
2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0
-Ta có : f ' y 3 y 2 2
2
Giải
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0 1
Từ : . 2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0 2
1
- Điều kiện : x .
2
- Từ (1) : 8x 3 2 x 1 y 4 y 3 *
3
- Đặt : t 2 x 1 2 x t 2 1 8x 3 2 x 1 4 t 2 1 3 t 4t 2 1 t 4t 3 t
- Do đó (*) : 4t 3 t 4 y 3 y
- Xét hàm số : f(u)= 4u 3 u f ' u 12u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương
trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) 2 x 1 y 2 x y 2 1(**)
2
- Thay vào (2) : y 2 1 4 y 2 1 2 y3 y 2 2 y 3 0 y 4 2 y3 y 2 2 y 0
y y 2 y y 2 0 y y 1 y 2 3 y 2 0 y y 1 y 2 y 1 0
3
Trang 4
2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------y 0
y 0
y 1
1 y 0
x
;
y
;0
,
x; y 1;1
- Vậy :
1
2
2
2 2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
y 2
y 1
y 2
y 0
5
x; y 1;0 ,
5 x; y ; 2
2
2
2
2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
1 x2
3
2 x 2 y xy
2
Bài 10. Giải hệ phương trình :
x2 y 2 x 2 2 x2 y 1 4 x 0
2
Giải :
2
3
2 x 2 y xy
1
2
Từ : .
x2 y 2x 2 2x2 y 1 4 x 0 2
1 x 2
- Từ (2) : x2 y 2 x 2 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 2 x
2
2
1 2x
y
*
1 x 2
1 2 x
2
2
1 2x 3 1 1
x2
- Hay :
, thay vào (1) : 2 x 2 x
(3)
x 2 2 x
xy 1 2 x
x
1 2 x 1 x2 x2 2 x
2
1 1
- Nhận xét :
2
1 2 .
2
2
x
x
x
x
2 x
2
1 x
1 2x
1 1
Gọi : a 2 , b 2 b a 2
x
x
2 x
a
b
- Cho nên (3) 2 2 2 b a 2a 2a 2b 2b .
- Xét hàm số : f(t)= 2t 2t f ' t 2t ln 2 2 0t R . Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay :
1 1
0 x 2 . Thay vào (*) ta tìm được
2 x
3
3
y= x; y 2;
4
4
3
x 2 y 1 0
Bài 11 Giải hệ phương trình :
3 x 2 x 2 y 2 y 1 0
Giai
1
Đ/K : x 2; y .
2
Từ (2) 1 2 x 2 x 1 2 y 1 2 y 2 y 1 2 x 2 x 2 y 1 2 y 1
Ta xét hàm số : f (t ) t 3 t f '(t ) 3t 2 1 0t R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R
2 y 3 x
Do đó đẻ f 2 x f 2 y 1 , chỉ xảy ra khi : 2 x 2 y 1
x 3 2y
3
3
Thay vào (1) x3 3 x 1 0 x 3 x 2 0 x 1 x 2 x 2 0 x 1; y 3 1 2
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 5
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 y 2 x 2 2 y 2 5 y 2 0
Bài 12 . Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
y 1 x y 2 xy x x 2 xy y 1 y
Giải
Đ/K : x y 0; y 0 x y 0
Từ (2) :
y 2 1 x y y 2 y 2 2 xy x 2
y2 1 y y2
x y
2
1 x y x y
Xét hàm số : f (t ) t 2 1 t t 2
t2 1 1 0
1
x y
1 y
2
f '(t )
t
t2 1
1
1
2t t
2
0
2
2 t
t 1
2 t
1
1
2 0 với mọi t>0 )
t2 1
t2 1
Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : y x y hay x=2y .
( Vì :
1
t 0
2
Thay vào (1) : 2 y y 2 2 y 2 y 2 5 y 2 0 4 y 3 10 y 2 5 y 2 0
2
2
y 2 4 y 2 2 y 1 0 y 2 vì : 4 y 2 2 y 1 0 vô nghiệm .
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
2 x 2 x 6 6 y
Bài 13. Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
Giải
Điều kiện : y 2; x 6
Từ (2) : x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
2
y 1 1 . x 2 1 . Xét hàm số
2
y 1
x 2
y2
y 1
2
f (t )
x 2 1
x 2
2
.
t 1
t
t 0
y2
.
y 1
x 2 1
2
x 2
2
1
1
f '(t ) 1 '
0.
t
1
2
2t 1
t
Chứng tỏ hàm số nghịch biến
2
2
Để f x 2 f y 1 chỉ xảy ra khi : y 1 x 2 . Thay vào (1) ta được phương trình :
1 x 2
2
t x 2 0
t x 2 0
2 x 2 x 6 7 0 2
2
t 2t t 8 7
2t t 8 7 t
0 t x 2 7
0 t x 2 7
0 t x 2 7
4
3
2
3
2
2
2 2
t 4t 46t 49 0
4t t 8 7 t
t 1 t 3t 49t 49 0
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0)
2
+/ Trường hợp : f (t ) t 3 3t 2 49t 49 0 f '(t ) 3t 2 6t 49 3 t 1 52 0t 0; 7
Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi t 0; 7 . Phương trình vô nghiệm .
2 y 4 y 2 3 x 2 x 4 x 2 3
Bài 14. Giải hệ phương trình sau :
x
2 y 2 x 5 x 1 4024
2012
Giải
Trang 6
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Điều kiện : 2 y 2 x 5 0
+/ Nếu x=0 suy ra y=0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1( chia hai vế cho x 2 0
Khi đó :
2
3
2 y 4 y 2 3 x 2 x 4 x 2 3
2 y 2 y
2y
2y
3
3 x 3x 3 x3 3x
1
3
3
x
x
x x
x
x
Xét hàm số : f (t ) t 3 3t f '(t ) 3t 2 3 0 với mọi t thuộc R . Chứng tỏ hàm số đồng biến
2y
2y
Để f ( ) f ( x) , chỉ xảy ra khi :
x 2 y x 2 . Thay vào (2) ta được :
x
x
2 2012x
x 2 2 x 5 x 1 4024 2012.2012 x 1
Lại đặt t=x-1 suy ra : 2012.2012t
Lại xét hàm số : g (t ) 2012t
x 1
2
t 2 4 t g '(t ) 2012t ln 2012
4 x 1 4024
t 2 4 t 4024 g (t ) 2012t
t2 4 t 2
t
t 2 4 t 2012t
1
2
t 4
1
t 2 4 t ln 2012
t2 4
1
1 ln 2012 suy ra g'(t)>0 với mọi t thuộc R mà g(0)=2 cho nên với t=0 là
Vì : t 2 4 t 0 và
2
t 4
1
1
nghiệm duy nhất và : t x 1 0 x 1; y x; y 1;
2
2
Hay : g '(t ) 2012t
3
3
2
x 12 x y 6 y 16 0
Bài 15. Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
4 x 2 4 x 5 4 y y 6 0
Giải
3
x 12 x y 2 12 y 2
Điều kiện : 2 x 2;0 y 4 . Khi đó hệ
2
2
2
4 x 2 4 x 5 4 y y 6 0
Xét hàm số f t t 3 12t t 2; 2 f ' t 3t 2 12 3 t 2 4 0t 2; 2
3
Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Cho nên để f(x)=f(y-2) chỉ xảy ra khi : x=y-2 , thay vào (2) ta được :
2 4 x2 2
4 x2 5 4 x 2 x 2 6 0 4 x2 2 4 x2 5 4 x2 6 0
2
t 4 x 2 0
2
2
t
4
x
0
t
4
x
0
4x2 6 3 4 x2
3 19
11
2
2
4
4
t
6
3
t
0; t 2
4
t
3
t
22
0
t
8
4
t 2 4 x 2 2 x 0 y 2 x; y 0; 2 . Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)
x 2 2 y 2 3 x y 5
Bài 16. Giải hệ phương trình sau :
x 2 2 y 2 3 x y 2
Giải
x 2 2 y 2 3 x y 5 1
x 2 2 x y 2 3 y 5 1
.
2
2
x 2 y 3 x y 2 2
x 2 2 x y 2 3 y 2 2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 7
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
3
x2 2 x
x2 2 x 2
5 1
2
2
y 3 y
x 2x
. Do :
2
2
2
y 3 y
y 3 y 3
2
x 2 x y 3 y 2 2
2
3
- Suy ra : x 2 2 x
. Cho nên (1) chỉ xảy ra khi và chỉ khi :
; y2 3 y
2
2
x 2x
y 3 y
1
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 2 x 1
x
2
2
2
2
2
y
3
y
2
y
1
y
3
y
1
y
3
y
1
y 1
1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=( ;1) .
2
2 2
2
x y 8x y 0
Bài 17 . Giải hệ phương trình sau : 2
3
2 x 4 x 10 y 0
Giải
8x
8x
2
2 2
2
2 y 2
x y 8 x y 0
y x2 1 2 x 4
Hệ : 2
y 2
3
2 x 4 x 10 y 0 y 3 8 2 x 1 2 0 y 2
x3 3x ( y 1)3 9( y 1) (1)
Bài 18. Giải hệ:
(2)
1 x 1 y 1
-
Giải
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x 1; y 1 1
-
(1) x3 3x ( y 1)3 3 y 1 , xét hàm số f (t ) t 3 3t trên [1; )
-
Hàm số đồng biến trên [1; ) , ta có f ( x) f ( y 1) x y 1
x 1 x 2
,
Với x y 1 thay vào (2) giải được x 1; x 2
y 2 y 5
-
2
(4 x 1) x ( y 3) 5 2 y 0
Bài 19 Giải hệ phương trình
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
(1)
(2)
Giải
2
(1) (4 x 1)2 x (2 y 6) 5 2 y 0
2
2
3
(2 x) 1 (2 x) 5 2 y 1 5 2 y (2 x) 2 x
5 2y
(2 x) f ( 5 2 y ) với f (t ) t 3 t . f '(t ) 3t 2 1 0, t
f (2 x) f ( 5 2 y ) 2 x 5 2 y y
5 4x
3
5 2y
(t ) ĐB trên
. Vậy
2
,x 0
2
2
2
2 5 4x
2 3 4 x 7 0 g ( x) 0
Thế vào pt (2) ta được 4 x
2
Trang 8
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
3
2 5 4x
2 3 4 x 7, x 0; . CM hàm g(x) nghịch biến.
Với g ( x ) 4 x
2
4
Ta có nghiệm duy nhất x
1
y2
2
x5 xy 4 y10 y 6
(1)
Bài 20. (Thử ĐT 2012) Giải hệ phương trình :
.
2
4 x 5 y 8 6 2
TH1 : Xét y 0 thay vào hệ thây không thỏa mãn.
Giải
x
y
TH2 : Xét y 0 , chia 2 vế của (1) cho y5 ta được ( )5
x
y 5 y (3)
y
Xét hàm số f (t ) t 5 t f '(t ) 5t 4 1 0 nên hàm số đồng biến.
x
y
Từ (3) f ( ) f ( y )
Thay vào (2) ta có PT
x
y x y2
y
4 x 5 x 8 6 x 1 . Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1;1)
(2x 2 3x 4)(2y2 3y 4) 18
Bài 21. (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :
( x, y )
2
2
x y xy 7x 6y 14 0
Giải
7
3
10
(2) y2 ( x 6) y x 2 7 x 14 0 . y y 0 2 x
3
(2) x 2 ( y 7) x y2 6 y 14 0 . x x 0 1 y
Xét hàm số f (t ) 2t 2 3t 4, t R f '(t ) 4t - 3, f '(t ) 0 t
3
1
4
3
4
TH 1. x 2 f ( x ) f (2) 6 Kết hợp với y 1
Vì vậy trên ; hàm số f(t) đồng biến
f ( y ) f (1) 3 f (x ).f ( y ) (2x 2 3x 4)(2 y 2 3y 4) 18 .
1
2 y 2 3 y 1 0
y 1, y
TH 2. x 2 hệ trở thành 2
2 vô nghiệm
y 4 y 4 0
y 2
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 22. Giải hệ phương trình :
3
2
2
y 3 y y 4 x 22 x 21 2 x 1 2 x 1
2
2 x 11x 9 2 y
Giải
1
Điều kiện : x . Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó lấy (1) trừ cho nó ta có hệ :
2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 9
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y3 3 y 2 y 3 2 x 1 3 2 2 x 1 4 y
y 3 3 y 2 y 4 x 2 22 x 21 2 x 1 2 2 x 1
2
4 x 2 22 x 18 4 y
4 x 22 x 18 4 y
y3 3 y 2 3 y 1 2 2 y 2 x 1 3 2 2 x 1
y 1 3 2 y 1 2x 1 3 2 2x 1
4 x 2 22 x 18 4 y
4 x 2 22 x 18 4 y
3
2
Xét hàm số : f (t ) t 2t f '(t ) 3t 2 0 t R . Chứng tỏ hàm số đồng biến trên R
Để
f y 1 f
2 x 1 chỉ xảy ra khi : y 1 2 x 1 .. Thay vào (2) ta có :
2 x 2 11x 9 2 2 y 2 2 x 2 11x 11 2 y 1 2 x 2 11x 11 2 2 x 1
*
2
Đặt
t 2x 1 x
t 2 1
t 2 1
t 2 1
0 * 2
11
11 2t
2
2
2
t 4 2t 2 1 11t 2 11 22 4t t 4 9t 2 4t 12 0 t 1 t 3 t 2 4t 4 0
2 x 1 1 2 x 1 1 x 1
t 1
x; y 1;0
y 1 t
y 0
y 0
y 0
Suy ra : Với
Với
2 x 1 3 2 x 1 9 x 5
t 3
x; y 5; 2
y 2
y 1 t
y 2
y 2
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví t 4t 4 t 2 0 t 0 )
2
2
x x y y 2 4 x 1
Bài 23. Giải hệ phương trình sau :
2
2
x x y 2 y 7 x 2
Giải
y 1
x
y
4
y2 1
x xy y 1 4 x
u
x
Hệ :
. Đặt :
x , thì hệ trở thành :
2
2
2
y
1
x
x
y
2
y
2
7
x
2
x y 2
v x y
7
x
u v 4
u 4 v
u 1; v 3
u 4 v
2
2
2
v 2 4 v 7 0 v 2v 15 0
u 9; v 5
v 2u 7
2
2
2
y2 1
y2 y 2 0
u 9
u 1
1 y2 1 x
x
x; y 2;1 , 5; 2 * Với :
* Với :
. Hệ vô
v 5
v 3 x y 3
x y 3
x 3 y
nghiệm
x 3 y3 ln x 2 1 x ln y 2 1 y
(x, y R)
Câu 8 : ( 1điểm) Giải hệ phương trình:
x(x 1) (2 y). y 2 2y 3
x 3 y3 ln x 2 1 x ln y 2 1 y (1)
Câu 8: Giải hệ phương trình:
x(x 1) (2 y). y 2 2y 3 (2)
Trang 10
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1) x 3 ln
x 3 ln
f '(t) 3t 2
1
x 2 1 x y3 ln
y2 1 y
x 2 1 x ( y)3 ln
1
t2 1
( y)2 1 ( y)
Xét f (t) t 3 ln
t 2 1 t , D = R (0.25)
0, t R
f đồng biến trên R.
Vậy (1) f (x) f (y) x y
(0.25)
Thay vào (2) x 2 x (x 2). x 2 2x 3
2
(x x)(x 2) 0
(0.25)
2
2
2
2
(x x) (x 2x 3).(x 2)
2
(x x)(x 2) 0
2
x 1 7
x 2x 6 0
KL: nghiệm hpt: (1 7; 1 7);(1 7;(1 7)
(0.25)
x x2 4 y y 2 1 2
Câu 8 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
x x2 4 y y 2 1 2
Giải hệ phương trình
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
x x2 4 y y 2 1 2
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
( x; y ) .
( x; y ) .
(1)
(2)
Ta có: (1) x x 2 4 (2 y ) 2 4 (2 y ) (*) .
Xét hàm số đặc trưng f (t ) t 2 4 t f '(t )
t
1
t t2 4
t t
t2 4
t2 4
t2 4
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: f ( x) f (2 y) x 2 y .
0.
Thay vào phương trình (2) ta được:
3x 2 5 x 2 2 3 x3 1
x 1 2 x 1 x3 1 2 3 x3 1 (**)
3
Xét hàm số g (t ) t 3 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra
x 0
1
x 1 3 x3 1
. Vậy hệ có hai nghiệm là (1; ); (0;0) .
2
x 1
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 11
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------7 x 1 1 y x 1 1
Câu 7. Giải hệ phương trình
7 x 1 1 y
Giải hệ:
x 1 y 2 y x 1 13x 12
x 1 1
x 1 y 2 y x 1 13x 12
Điều kiện: x 1, x, y
PT 1 7 y x 1 y 1 x 1
1
2
y 1
(Do y 7 không là nghiệm
7 y
Câu 9 (1,0 điểm).
Giải hệ phương
trình:
x y 2 x 2 y2 2
2 x 2 4 y 8 y xy 2 y
của phương trình)
Thay
x 1
y 1
vào (2) ta được phương trình:
7 y
2
2
y 1
y 1
y 1
y .
13.
y.
1
7 y
7 y
7 y
2
2
2
y 2 y 1 y y 1 7 y 13 y 1 7 y
2
y 4 y 3 5 y 2 33 y 36 0
y 1
y 1 y 3 y 2 5 y 12 0
y 3
8
Với y 1 x
9
Với y 3 x 0
Hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là ;1 , 0;3 .
9
8
Ta kí hiệu các phương trình trong hệ như sau:
x y 2 x 2 y 2 2 1
2 x 2 4 y 8 y xy 2 y 34 15 x 2
2 x 2
Điều kiện:
.
y 0
2 x y
.
2 x.y 2 y2 0
2 x 2 y
2 x y thay vào (2) ta được
1 2 x
+ Với
2
x 2 4 2 x 8 4 x 2 34 15 x 3 .
Đặt t x 2 4 2 x t 2 34 15x 8 4 x 2
t 0
.
t 2
Khi đó 3 trở thành 2t t 2
+ Với
Trang 12
30
2 17
x2 4 2 x 0
x
y
17
17
x 2 4 2 x 2
x
2
y
0
2 x 2 y . Vì y 0 2 y 0 mà 2 x 0 nên chỉ
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------có thể xảy ra khi x 2 và y 0 thử vào (2) thấy thỏa mãn.
30
x 17
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm:
y 2 17
17
x 2
và
.
y 0
2
xy y 2y x 1 y 1 x
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
3 6 y 3 2x 3y 7 2x 7
Giải hệ phương trình …
Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (*)
x 0
Nhận thấy
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
y 1 x
Khi đó, PT (1) x(y 1) (y 1)2
(y 1)(x y 1)
y 1 x
y 1 x
y 1 x
1
0
(x y 1) y 1
y 1 x
x y 1 0 y x 1 (do (*))
Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7
ĐK: 4 / 5 x 5 (**)
3 5 x (7 x) 3( 5x 4 x) 0
4 5x x 2
3 5 x (7 x)
3(4 5x x 2 )
5x 4 x
0
1
3
(4 5x x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
x2 5x 4 0 (do (**)
x 1 y 2
(thỏa mãn (*),(**))
x 4 y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (1; 2), (4; 5).
xy x 1 x3 y 2 x y
, ( x, y ).
Câu 8 (1.0 điểm). Giải hệ PT
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
xy x 1 x3 y 2 x y
, ( x, y ).
Giải hệ PT
2
2
3 y 2 9 x 3 4 y 2 1 x x 1 0
ĐKXĐ x .
Ta có xy x 1 x3 y 2 x y x3 x 2 y y 2 xy x y 0
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 13
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------y x
x y x 2 y 1 0
2
y x 1
Với y x 2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x 2 1 2 9 x 2 3 4 x 2 6
1 x x 2 1 0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2 9 x 2 3 4 x 2 1 x x 2 1 0
3 2x 1 2
9 x 3 2 x 1 3 2 x 1 2
Xét hàm số f (t ) t t 2 2 ta có f '(t ) t 2 2
3x 2
3x 2 9 x 2 3 2 x 1
2
2
2
2
2
t2
t2 2
0 suy ra hàm số đồng biến.
1
1
1
Từ đó suy ra 3x 2 x 1 x . Vậy HPT có nghiệm x; y ; .
5 5
5
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hê ̣ phương trình:
x, y
2
3x 8 x 3 4 x 1 y 1
x 1
y 1
Điều kiện:
1
x3 x 2 x
y 2
x 1
3
x
x
x 1
x 1
x 1 y 1
Trang 14
y 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
y 1 y 1 .
Xét hàm số f t t 3 t trên
x
f
f
x 1
x3 x x 1
có f t 3t 2 1 0t
suy ra f(t) đồ ng biế n trên
x
y 1 . Thay vào (2) ta đươ ̣c 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
. Nên
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
Với x 3 2 3 y
5 2 13
41 7 13
43 3
y
. Với x
.
9
72
2
Các nghiê ̣m này đề u thỏa mañ điề u kiê ̣n.
KL: Hê ̣ phương trình có hai nghiệm x; y 3 2 3;
43 3
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
2
2
x y y x
Bài 1. Giải hệ phương trình sau : x y
x 1
2 2 x y
Giải
x y 0
x y
2 x
2 x
x 1
x 1
x y y x
x y x y 1 0
2 2 0
2 2
x y
. x y
x 1
x 1
x y 1
x y 1
2 2 x y
2 2 x y
x 1
2 2 2 x 1 3 2 x 2 x 1
Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
Chú ý : Tại sao ta không đưa chúng về dạng : x 2 x y 2 y , sau đó xét hàm số y f (t ) t 2 t ?
2
2
1 x2
3
2 x xy 2 y 1
2
Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
x2 y 2x 2 2x2 y 4x 1 0 2
2
Giải
1 2x
y 2
2
2
x
Từ (2) : x 2 y 2 x 2 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 0
*
xy 1 2 x
x
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 15
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 x 2
1 2 x
1 1
. Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp
2 x
giải phương trình mũ .Phương trình có dạng :
1 x2 1 2 x
2
b a
1 1 1 1
b a 2 2 1 2
2 2
x
x
x
2 x 2 x
b a
b
a
Do đó phương trình trở thành : 2b 2a 2b 2a
2 2
2
2
t
1
Xét hàm số : f t 2t f ' t 2t ln 2 0t R suy ra hàm f(t) đồng biến trên R . Do vậy để xảy
2
2
2
1 x 1 2x
ra f(b)=f(a) chỉ xảy ra khi a=b : 2 2 1 x 2 1 2 x
x
x
1 2.2
3
3
x 2 2 x 0 x 2 ( vì x khác 0 ) và y
x; y 2;
4
4
4
Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vì a,b thuộc R
Thay vào phương trình (1): 2
x2
2
x2
x 2 12 xy 20 y 2 0
Bài 3. Giải hệ phương trình sau
ln 1 x ln 1 y x y
Giải
2
2
x 2 y x 10 y 0
x 12 xy 20 y 0
.
ln 1 x ln 1 y x y
ln 1 x ln 1 y x y
1
1 t
Từ (2) : ln 1 x x 1 ln(1 y) y 1 f (t ) ln t t; f '(t ) 1
t 0 .
t
t
Hàm số đồng biến với mọi tthuoocj (0;1) và nghịch biến trên khoảng t>1 đạt GTLN tại t=1
Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích "
Nếu thay vào (2)
x=2y
x=2y
x=2y
x=2y
1 2 y
1 2 y y 1
:
y ,
2
e
ln
y
e
ln 1 2 y ln 1 y 2 y y
1 y
1 y
1 y
Xét hàm số : f ( y )
1
1
e y f '( y )
e y chỉ có nghiemj duy nhất : y=0
2
1 y
1 y
x 10 y
x; y 0;0 . Tương tự như trên ta cũng có nghiệm y=0 .
Nếu :
x y
x3 3x 2 y 3 3 y 2
Bài 4. Giải hệ phương trình sau :
x2
2
y 1
log y y 1 log x x 2 x 3
Giải
3
2
3
x 3x y 3 y 2 1
1 x3 3x 2 3x 1 y 3 3 y 3x 3
.
x2
2
y 1
log x
log y
x 3 2
x2
y 1
x 1 y 3 3 y 3 x 1 x 1 3 x 1 y 3 3 y *
3
Trang 16
3
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đặt : x-1=t suy ra (*) trở thành : t 3 y 3 3 t y 0 t y t 2 ty y 2 3 0
+/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
x2
1
y 1
Thay vào (2) ta có : log y 1 log x 1 x 3 x 3 0 x 3 . Do đó nghiệm của hệ phương trình là :
(x;y)=(3;2).
2
+/ Trường hợp : t 2 ty y 2 3 0 x 2 1 x 2 1 y y 2 3 0
2
2
x 2 2 y x 2 y 2 y 2 0
2
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
Bài 5 Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 1 x 1
Giải
2
2
2
2
4
2 x 2 y x 2 y 3 x 2 3 0
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
y x 2 x y yx x 0
.
2
2
2
x 2 y 1 x 1
x 2 y 1 x 1
x 2 y 1 x 1
-Trường hợp 1: y= x 2 , thay vào (2) : x 2 x2 1 x2 1 2 x t 2 x 2 t 2 x 0 t 2; t x
x2 1 2 x2 3 x 3
.
x 2 1 x x
-Trường hợp : 2 x 2 y 2 yx 2 x 4 0 y 2 yx 2 2 x 2 x 4 0
y x 4 4 2 x 2 x 4 3x 4 8 x 2 0 x R y 0
f (, y ) 2 x 2 y 2 yx 2 x 4 0 x, y . Phương trình vô nghiệm .
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,
3;3
* Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).
3
y y
- Chia 2 vế phương trình (1) cho x 0 1 2 2 x x3
x x
3
2
- Xét hàm số : f t 2t t f ' t 2 3t 0t R . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình
3
y
x y x 2 . Đến đây ta giải như ở phần trên
x
x
2
6
y
x 2y
y
Bài 6. Giải hệ phương trình sau :
.
x x 2 y x 3y 2
có nghiệm thì chỉ xảy ra khi :
Giải
x
2
x 2y 2y
x 2 y 3y 0
2 6 y y x 2 y
x 2 y y x 2 y 6 y 0
x x 2 y x 3y 2
x x 2 y x 3 y 2
x x 2 y x 3 y 2
y 0
x 2 y 2 y
.
2
x 2 y 4 y
Thay vào (2) x 2 y 4 y 2 5 y 2 2 y 4 y 2 5 y 2 4 y 2 7 y 2 0
- Trường hợp 1:
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 17
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trường hợp :
y 0
y 0
x 2 y 3y
* .
2
2
x 2 y 9 y
x 9 y 2 y
Thay vào (2) : 9 y 2 2 y 3 y 9 y 2 2 y 3 y 2 9 y 2 5 y 9 y 2 5 y 2 0
y 1 x 9 2 7
2
t 9 y 5 y 0
t 2
2
2
9y 5y 4 0
4
16
4 264 88
2
2
y 9
2.
9y 5y 2
t t 2 0
9
91
9
9
3
88 4
Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ;
3 9
2 xy
2
2
x y x y 1
Bài 7 Giải hệ phương trình sau :
x y x2 y
Giải
2 xy
2
2
x y x y 11
a.
. Từ (2) viết lại :
x y x2 y 2
x y x y x2 x
x y
2
x y x2 x
Ta xét hàm số f(t)= t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0 t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên
ta có :
x y x y x 2 x . (*)
2 x x2 x
2
2 xy
2
2
2
1 x 2 1 x 2 x 1 2 x 1 0
Thay vào (1) : x y 2 1 x x x
2
x
x
x 1 0
x 1 0
x 1
x 1 x 1 x 2 x 1 2 0 3 2
2
x 1**
x x x 3 0
x 1 x 2 x 3 0
x 1; y 2
x; y 1; 2 , 1;0
Thay vào (*) : y x 2 x
x 1; y 0
Chú ý : Các em có nhận xét gì không khi tôi giải như trên . Bây giờ tôi nêu thêm hai cách nữa để các em
kiểm nghiệm nhé :
Cách 2.
2 xy
2 xy
2
Đặt : x y u; xy v 1 x 2 y 2
1 x y 2 xy
1
x y
x y
2v
u 2 2v 1 u 3 u 2uv 2v 0 u u 2 1 2v u 1 0 u 1 u u 1 2v 0
u
x y 1
u 1
2
2
x y x y 2 xy 0
u u 2v 0
* Nếu x+y=1 thay vào (2) ta được :
x 1 y 0
1 x 2 1 x x 2 x 2 0
x; y 1;0 , 2;3
x 2 y 3
2
2
+/ Với x y x y 2 xy 0 x 2 y 2 x y 0 vô nghiệm vì x 2 y 2 0; x y 0
2
Trang 18
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x2 1 8 y 2 12
3 2 y x
2 4
Bài 8. Giải hệ phương trinh :
2
2 x y 3 x y 7
2
2
Giải
2 1
x2 1 8 y 2
3 2 y x 1
2 4
Từ .
. - Điều kiện : x, y 0
2
3
7
x
y
2
x y
2
2
2
4
4
x
2 y
- Từ (1) : 2.2
3 x 2.2
3 2 y
- Xét hàm số : f (t ) 2.t 3t t 0 f '(t ) 8t 3 3 0 . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
4
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : x 2 y x 4 y
- Thay vào (2) : 2
4
*
4
4
3
3
7
. Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 3 .2 0 .
2
2
2
1
y
x
4
y
3 7
4 1
5
x; y ;
- Nhận xét : f(1)=2+ . Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất .
2 2
5 5
5 y 1 x 4
5
x y s inx
e siny
Bài 9. Giải hệ phương trình :
x 0; 4
3 8 x 2 3 1 6 2 y 2 2 y 1 8 y
Giải
x y s inx
1
e siny
Từ :.
: x 0;
4
3 8 x 2 3 1 6 2 y 2 2 y 1 8 y 2
et sin t cost
e x s inx
ex
ey
et
f (t )
f '(t )
0t 0;
- Từ (1) : y
2
e
siny
s inx sin y
sin t
sin t
4
- Chứng tỏ hàm số f(t) luôn đồng biến . Phương trình có nghiệm khi x=y .
5y
3
2
5y
- Thay vào (2) : 3 8 x 2 3 1 6 2 x 2 2 x 1 8 x 3 8 x 2 3 1 6 2 x 2 2 x 1 8 x 1
9 8 x 2 3 36 2 x 2 2 x 1
9 8 x 1
8x 1
8x 1
2
2
2
3 8x 3 6 2 x 2 x 1
3 8x 3 6 2 x2 2 x 1
1
x
8 x 1 0
8
2
2
3 8 x 3 6 2 x 2 x 1 9
8 x 2 3 2 2 x 2 2 x 1 3
1
1 1
- Với x x; y ; .
8
8 8
8x2 3 3
2
- Ta có : với x 0; suy ra
8x2 3 2 2 x2 2 x 1 3
1
1
2
4
2 2 x
2
2 2
2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 19
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x; y ;
8 8
x 1 x2 y 1 y 2 1
Bài 10. Giải hệ phương trình sau :
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Giải
x 1 x 2 y 1 y 2 1 x 1 x 2 y 1 y 2
Từ :.
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Xét hàm số : f (t ) t 1 t 2 f '(t ) 1
t
1 t2 t
1 t2
t2 1
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*)
- Thay vào phương trình (2) :
t t
1 t2
. ( nhân liên hợp )
0t R
2
2 x 2 6 x 1 3x
x
25 2
x 6 x 2 x 2 1 4 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1
x
2
4
2 x 2 6 x 1 2 x
x 0
x 0
x 1; y 1
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 3 x 2
2
2
2 x 6 x 1 9 x
7 x 6 x 1 0
x 0
x 0
2
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 2 x 2
2
2 x 6 x 1 4 x
2 x 6 x 1 0
3 11 3 11
3 11
3 11
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),(
)
;
;y
2
2
2
2
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Bài 11.
Giải hệ phwpng trình :
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
x
Giải
4 x 1 x y 3 5 2 y 0 1
Từ : .
(KA-2011)
2
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
2
- PT(1): 4 x3 x y 3 5 2 y 3 . Đặt t 5 2 y y
5 t2
t3 t
5 t2
3 t
2
2
2
t3 t
3
2x 2x t 3 t
2
3
- Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 2 1 0u suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra
- Khi đó (2) : 4 x3 x
khi : 2x=t 2 x 5 2 y 4 x 2 5 2 y 2 y 5 4 x 2 4
2
5 4 x2
3
3
- Thay vào (2) : g ( x) 4 x
2 3 4 x 7 0 : x 0; .Ta thấy x=0 và x= không là
4
4
2
4
4
5
3
nghiệm . g'(x)= 8 x 8 x 2 x 2
4 x 4 x 2 3
0x 0;
3 4x
3 4x
2
4
1
1
- Mặt khác : g 0 x là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
2
2
2
Trang 20
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x; y ; 2
2
3
3
2 y 3xy 8
Bài 12. Giải hệ phương trình sau : 3
x y 2 y 6
Giải :
3
2
2 3x t 1
- Đặt : t 3
. Lấy (1) +(2) : x3 3x t 3 3t
y
x 2 3.t 2
- Xét hàm số : y f u u 3 3u f ' u 3u 2 3 0u R
- Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : x=t
2
2
x
2
2
y
x y
x y
x y
x3 y 2 y 6 8 y 2 y 6 y 3 3 y 2 4 0 y 1 y 2 2 0
3
y
- Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2)
2 2 x 13 2 x 1 2 y 3 y 2
Bài 13. Giải hệ phương trình :
4 x 2 2 y 4 6
Giải :
3
2 2 x 1 2 x 1 2 y 3 y 2 1
Từ :.
2
4x 2 2 y 4 6
1
- Điều kiện : y 2; x *
2
- Đặt : Từ (2) : 4 x 2 y 6 36 2 x y 15 2 x 1 16 y
- Từ (1):Đặt :
y 2 t y t 2 2 2 y 3 2 t 2 2 3 2t 2 1
- Cho nên vế phải (1) : 2t 2 1 t 2t 3 t 1 : 2 x 1 2 x 1 2t 3 t
3
- Xét hàm số : f u 2u 3 u f ' u 2u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x)=f(t)
chỉ xảy ra khi : x=t
31 53
y
2
x
y
2
y
15
2 x y 2
2
2
31 53
y 31y 227 0
2 x y 15
15 y y 2
15
y
2
53 1 31 53
- Vậy hệ có nghiệm : x; y
4 ;
2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Bài 14 Giải hệ phương trình :
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Từ : .
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
- Điều kiện : y 2 2 x 0(*)
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 21
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương trình (1) : 2 x3 2 x 2 y 1 x 2 y 1 2 x x 2 2 y 1 x 2 2
- Do : x 2 2 0 2 x y 1(**)
- Thay vào (2) : y 3 2 y 1 1 ln y 2 y 1 0 f y y 3 2 y 3 ln y 2 y 1 0
2 y 1
0 . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .
y y 1
- Mặt khác : f(-1)=0 , do đó phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)=(0;-1)
3
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0
Bài 15. Giải hệ phương trình :
2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0
Giải
3
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0 1
Từ : . 2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0 2
1
- Điều kiện : x .
2
- Từ (1) : 8x 3 2 x 1 y 4 y 3 *
-Ta có : f ' y 3 y 2 2
2
- Đặt : t 2 x 1 2 x t 2 1 8x 3 2 x 1 4 t 2 1 3 t 4t 2 1 t 4t 3 t
- Do đó (*) : 4t 3 t 4 y 3 y
- Xét hàm số : f(u)= 4u 3 u f ' u 12u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương
trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) 2 x 1 y 2 x y 2 1(**)
2
- Thay vào (2) : y 2 1 4 y 2 1 2 y3 y 2 2 y 3 0 y 4 2 y3 y 2 2 y 0
y y 3 2 y 2 y 2 0 y y 1 y 2 3 y 2 0 y y 1 y 2 y 1 0
y 0
y 0
y 1
1 y 0
x; y 1;1
- Vậy :
1 x; y ;0 ,
2
2
2 2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
y 2
y 1
y 2
y 0
5
x; y 1;0 ,
5 x; y ; 2
2
2
2
2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
1 x2
3
2 x 2 y xy
2
Bài 16. Giải hệ phương trình :
2
x2 y 2 x 2 x2 y 1 4 x 0
2
Giải :
2
3
2 x 2 y xy
1
2
Từ : .
x2 y 2x 2 2x2 y 1 4 x 0 2
1 x 2
2
- Từ (2) : x2 y 2 x 2 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 2 x
Trang 22
2
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 2x
1 x 2
1 2 x
y x 2 *
1 2x 3 1 1
x2
x2
2
2
- Hay :
, thay vào (1) :
(3)
1
2
x
x
2 2 x
xy
x
1 2 x 1 x2 x2 2 x
2
1 1
- Nhận xét :
2
1 2 .
2
2
x
x
x
x
2 x
1 x2
1 2x
1 1
,b 2 b a 2
2
x
x
2 x
a
b
- Cho nên (3) 2 2 2 b a 2a 2a 2b 2b .
Gọi : a
- Xét hàm số : f(t)= 2t 2t f ' t 2t ln 2 2 0t R . Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay :
1 1
0 x 2 . Thay vào (*) ta tìm được
2 x
3
3
y= x; y 2;
4
4
Bài 17.
1 42 x y 51 2 x y 1 22 x y 1
Giải hệ phương trình :
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0
Giải :
1 42 x y 51 2 x y 1 22 x y 1 1
Từ : .
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
1 42 x y 5
1 2.22 x y 5 5.4a 5a 2.10a a 2 x y
- Phương trình (1) :
52 x y
1
2
5a 2.10a 54a 5 f a 5a 10a 4a 1 0
5
5
1
2
2
- Xét : f ' a 5a ln 5 10a ln10 4a ln 4 0 10a ln10 10a ln10 4a ln 4
5
5
5
- Chứng tỏ hàm số đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 , đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình .
- Với a=1 suy ra 2x-y=1 , hay 2x=y+1 . Thay vào (2) : y 3 2 y 1 ln y 2 y 1 0
f y y 3 2 y 2 ln y 2 y 1 0 f ' y 3 y 2 2
1 2 y2 y
2 y 1
g ' y
- Xét : g y 2
2
y y 1
y 2 y 1
2 y 1
(*)
y y 1
2
3
1
2 y
2
2
y
2
y 1
2
2
1
y 2 f ' y 0
f ' y 0y R
- Nhận xét :
y 1 g ' y 0 g 1 0 f ' y 0
2
2
- Chứng tỏ f(y) đồng biến . Mặt khác f(-1)=0 suy ra y=-1 là nghiệm duy nhất của PT .
- Kết luận : hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;-1).
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 23
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
x 2 y 1 0
Bài 18 Giải hệ phương trình :
3 x 2 x 2 y 2 y 1 0
Giai
1
Đ/K : x 2; y .
2
Từ (2) 1 2 x 2 x 1 2 y 1 2 y 2 y 1 2 x 2 x 2 y 1 2 y 1
Ta xét hàm số : f (t ) t 3 t f '(t ) 3t 2 1 0t R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R
2 y 3 x
Do đó đẻ f 2 x f 2 y 1 , chỉ xảy ra khi : 2 x 2 y 1
x 3 2y
3
3
Thay vào (1) x3 3 x 1 0 x 3 x 2 0 x 1 x 2 x 2 0 x 1; y 3 1 2
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
x y 3 8 xy 2 x y 8 xy
Bài 19. Giải hệ phương trình : 1
( Ngô Trung Hiếu )
1
2
x y x y
Giải
x
y
0
x
y
0
Đ/K : 2
*
2
x y 0
y x
x y 3 8 xy 2 x y 8 xy
x y 3 8 xy 2 x y 8 xy
Hệ
2
2
x
y
x
y
x x y x x y
x t 0
Từ (2) : t x y 0 x 2 x t 2 t x 2 t 2 x t 0 x t x t 1 0
x t 1 0
2
y x x
+/ Trường hợp : x=t x y x
x 0
thay vào (1) x6 8 x2 x x 2 y 2 8 x2 x x x6 8x3 8x2 2 x2 8 x3 x2
x6 8x3 8x 2 16 x 2 2 x5 2 x 4 x6 2 x5 2 x 4 8 x3 24 x 2 0
x 2 y 2
2
4
3
2
2
2
x x 2 x 2 x 8 x 24 0 x x 2 x 2 x 2 x 6 0 x 2 y 6
x 2 2 x 6 0
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6)
x 1 0
x 1
+/ Trường hợp : x 1 x y 0 x y x 1
2
2
x y x 2x 1 y x x 1
1 x y 8 xy 16 x y 2 xy x y x y
3
x y 16 x y 2 xy 4 2 x y 0
3
3
16 x y 8 xy 2 xy x y 0
6
2
Thay vào (1) : x 1 8x x2 x 1 2 x 1 8 x x 2 x 1
6
2
x 1 8x x2 x 1 2 x 1 8 x x2 x 1
Trang 24
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Đăng kí nhận tài liệu và đề thi môn Toán tại: www.facebook.com/groups/toanmath
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 y 2 x 2 2 y 2 5 y 2 0
Bài 20 . Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
y 1 x y 2 xy x x 2 xy y 1 y
Giải
Đ/K : x y 0; y 0 x y 0
Từ (2) :
y 2 1 x y y 2 y 2 2 xy x 2
y2 1 y y2
x y
2
1 x y x y
Xét hàm số : f (t ) t 2 1 t t 2
t2 1 1 0
1
x y
1
t 0
2
1 y
2
f '(t )
t
t2 1
1
1
2t t
2
0
2
2 t
2
t
t
1
1
1
2 0 với mọi t>0 )
t2 1
t2 1
Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : y x y hay x=2y .
( Vì :
Thay vào (1) : 2 y y 2 2 y 2 y 2 5 y 2 0 4 y 3 10 y 2 5 y 2 0
2
2
y 2 4 y 2 2 y 1 0 y 2 vì : 4 y 2 2 y 1 0 vô nghiệm .
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
2 x 2 x 6 6 y
Bài 21. Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
Giải
Điều kiện : y 2; x 6
Từ (2) : x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
2
y 1 1 . x 2 1 . Xét hàm số
2
y 1
x 2
y2
y 1
2
f (t )
x 2 1
x 2
2
.
t 1
t
t 0
y2
.
y 1
x 2 1
2
x 2
2
1
1
f '(t ) 1 '
0.
t
1
2
2t 1
t
Chứng tỏ hàm số nghịch biến
2
2
Để f x 2 f y 1 chỉ xảy ra khi : y 1 x 2 . Thay vào (1) ta được phương trình :
1 x 2
2
t x 2 0
t x 2 0
2 x 2 x 6 7 0 2
2
t 2t t 8 7
2t t 8 7 t
0 t x 2 7
0 t x 2 7
0 t x 2 7
3
2
4
3
2
2
2 2
t 4t 46t 49 0
4t t 8 7 t
t 1 t 3t 49t 49 0
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0)
2
+/ Trường hợp : f (t ) t 3 3t 2 49t 49 0 f '(t ) 3t 2 6t 49 3 t 1 52 0t 0; 7
Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi t 0; 7 . Phương trình vô nghiệm .
2 y 4 y 2 3 x 2 x 4 x 2 3
Bài 22. Giải hệ phương trình sau :
x
2 y 2 x 5 x 1 4024
2012
Giải
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
Tải tài liệu và đề thi môn Toán miễn phí tại: www.toanmath.com
Trang 25