Luận văn một số tính chất của phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

B Ọ G IÀ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN TH Ị HUYỀN TRANG

M Ộ T SỐ T ÍN H CH ẤT C Ủ A P H Ư Ơ N G T R ÌN H
V I P H Â N Đ Ạ I SỐ VỚI HỆ SỐ B IẾ N T H IÊ N

C h u y ên n g àn h : T oán G iải T ích
M ã số : 60 46 01 02

L U Ậ N V ĂN T H Ạ C S ĩ T O Á N H Ọ C

N gười hư ớng d ẫ n k h o a học: T S. N g u y ễn V ăn H ù n g

H à N ội, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5
Tác giả

N g u y ễn T h ị H u y ền T ran g


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng luận
văn: M ộ t số tí n h ch ất của p hư ơ n g t r ì n h vi p h â n dại số với h ệ
số biến t h iê n là công trình nghiên cứu của tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5
Tác giả

N g u y ễn T h ị H u y ền T ran g


M ục lục
Mở đ ầ u ...

1

C hư ơng 1 . K iến th ứ c ch u ẩn bị

3

1.1 Ma trận và phép chiếu

3

1 .2 . Một số không gian hàm

7

C hư ơng 2 P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n đ ại số với hệ số h ằn g
2.1 Phương trình vi phân đại số với hệ số hằng
2 .2 .

Đặc trưng của phương trình vi phân đại số với hệ số hằng

11

11

18

C hư ơng 3 P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n đ ại số với hệ số b iến th iê n
50
3.1. Phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên

50

3.2. Đặc trưng phương trình vi phân đại số chính quy bởi dãy phép

chiếu chấp nhận được

53

3.3. Tách các phương trình chỉ số 1

66

K ế t lu ận

70

T ài liệu th a m k h ảo

70


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình vi phân đại số (DAEs) có lịch sử nghiên cứu từ
lâu nhưng phải tới những năm 1960, các nhà toán học và kỹ sư mới bắt
đầu nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của DAEs, chẳng hạn như các
vấn đề về lý thuyết và các ứng dụng của nó. Cho tới nay lý thuyết DAEs
đã phát triển và có nhiều mối liên hệ chặt chẽ với các lĩnh vực toán học
khác như đại số, giải tích hàm, giải tích số, ... và tỏ ra có nhiều ứng
dụng rộng rãi trong thực tiễn.
Phương trình vi phân đại số bắt đầu thu hút được các nghiên cứu thú
vị và tinh tế trong các ứng dụng và giải tích số từ những năm đầu thập
niên 80 của thế kỉ trước. Trong một thời gian tương đối ngắn, phương
trình vi phân đại số đã trở thành một công cụ được thừa nhận rộng rãi
trong các mô hình có đối tượng ràng buộc để mô hình hóa và để điều
khiển các quá trình đó theo các lĩnh vực ứng dụng khác nhau.
Với mong muốn tìm hiểu lí thuyết phương trình vi phân đại số nói chung
và nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại
học và cao học, tôi chọn đề tài M ộ t số tí n h ch ất của p h ư ơ n g tr ì n h
vi p h â n đại số với h ệ số biến t h iê n làm luận văn cao học của mình.

1


2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các đặc trưng của phương trình vi
phân đại số với hệ số biến thiên.
Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách, các bài báo và các tài liệu liên quan
đến lí thuyết phương trình vi phân đại số, chủ yếu là cuốn sách [Ẹị.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ của đại số tuyến tính, giải tích số và giải tích hàm để
tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài
liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận
văn đề cập tới.

6. Đ ón g góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho
sinh viên và học viên cao học về phương trình vi phân đại số với hệ số
biến thiên.

2

Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1. M a trận và phép chiếu
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.

1. Một ánh xạ tuyến tính Q e L(Rm) được gọi là

một phép chiếu (toán tử chiếu) nếu Q2 = Q\
2. Phép chiếu Q e L(Rm) được gọi là phép chiếu ỉên

s

c Rm nếu

Im Q = S]
3. Phép chiếu Q G L(Rm) được gọi là phép chiếu dọc theo

s

c Rm nếu

Ker Q = S]
ị. Phép chiếu Q e L{Rm) được gọi là phép chiếu trực giao nếu Q = Q*
trong đó Q* là liên hợp của Q.
V í d ụ 1 . 1 . Ma trận Q trong không gian m chiều

1

0

0\

*

0

0

^ *

0

(

Q

3


với các phần tử ở vị trí * là tùy ý, khi đó ma trận Q là một phép chiếu
lên không gian con một chiều span bởi vector cột đầu tiên của Q dọc theo
không gian con (ra — 1) chiều
{ v : v =

[Vị v 2 . . . V m ] T , Vi =

0 }.

B ổ đ ề 1.1. Cho p và p là hai phép chiếu và Q := I — p, Q = I — p là
phép chiếu bù. Khi đó, các tính chất sau là đúng:

(1) z e im Q

z = Qz\

(2) Nếu Q và Q chiếu ỉên cùng một không gian con

s

thì Q = QQ

s

thì p = p p

và Q = QQ\
(3) Nếu p và p chiếu ỉên cùng một không gian con
và p = P P ;
(4) Q chiếu lên s khi và chỉ khi p = I — Q chiếu dọc theo s ;
(5) Với z là ma trận bất kì thì mỗi ma trận có dạng I + P Z Q là
không suy biến và ma trận nghịch đảo là I — PZQ\
(6) Mỗi phép chiếu p là chéo hóa được. Các giá trị riêng là 0 và 1.
Bội của giá trị riêng 1 là r = rankP.
B ổ đề 1.2. (Lemma A.9, [5]) Cho A , B e L{Rm), và rankA = r <
m , N = Ker^i, và s = {z e Rm : B z e Imyl}. Khi đó, các điều sau là
tương đương:
(1) Nhân với một ma trận không suy biến E e L{Rm) sao cho
Ã!

,

EB =

0

Ẽ!
Ẽ2

4

,

rankAi = r


thì thu được một ma trận không suy biến

A\
Ẽ2

(2) Nn s = {0};
(3) A + BQ là suy biến với mỗi phép chiếu Q lên N ;
(4) N ® s = Rm;
(5) Cặp {A, B} là chính quy với chỉ số Kronecker 1;
(6) Cặp { A , B + A W } là chính quy với chỉ số Kronecker 1 vối mỗi

w £ L(Rm).
Bổ đ ề 1.3. (Lemma A.10, [5J) Cho A , B e L(Rm), và Ả ỉầ suy biến,
N = Ker^l, và

s

= {z G Rm : B z e Im A} và N ©

phép chiếu Q lên N dọc theo

s

s

= Rm. Khi đó,

thỏa mãn

Q = Q(A + B Q ) - 1B.
BỔ đ ề 1.4. (Lemma A .ll,

[Ị5 ị|)

Cho trước ma trận Ả e

),k =

incL4, r = rankj4fc và cho S i,. . . , sr G Rm và sr+1 , . . . , sm G Rm tương
ứng là các cơ sở của ỉ m A k và K e i A k. Khi đó, với

s

= [si .. sm] tích

S ^ A S có cấu trúc đặc biệt

S~1A S =

M

0

0

N

trong đó M e L ( w ) là không suy biến và N e L{Rm r) là ỉũy ỉinh,
N k = 0 5N k - 1 ^ Q

Với hai hàm ma trận khả vi liên tục F : 1 —>■L ( w nì Rfc) và G : X —ì
L{Rỉ,R m), I c M . Tích FG : 1 -> L(Rỉ,R fc) được xác định bởi
(FG )(í) := F (í)G (í),

íe l


Ta có quy tắc tính đạo hàm
(FG)'(t) := F'{t)G{t) + F(t)G'(t),

t e 1.

Cho p G C 1(XÌL(Rm)) là phép chiếu giá trị hàm số và Q = I — p là
phép chiếu bù. Khi đó, ta có
( 1 ) p + Q = I và do đó Q' = —-P';
(2) QP = PQ = 0, và ự p = - Q P 1, P'Q = - p ự ;
(3) P P 'P = —PQ'P = PQP' = 0 và QQ'Q = 0.

B ổ đề 1.5. (Lemma A.14, [5J)
(1) Nếu hàm ma trận p G с г(1, L(Rm)) là phép chiếu giá trị hàm, tức
là p 2(t) = p(t), t G 1 thì p có hạng r và tồn tại r hàm độc lập tuyến
tính TỊi, . . . , TỊr G с 1^ , шт) sao cho Im p ( t ) = span{ĩỊi(t) , . . . , ĩỊr(t)} t £

(2) Nếu một không gian con L(t) ç Rm,t G X, với số chiều r span bởi
các hàm T)i,... ,T)r G с г(1, Rm), tức là L(t) = span{ĩỊi(t) , . . . , ĩỊr(t)}
thì không gian con này trở thành không gian con của không gian các
hàm khả vi liên tục;
(3) Cho hàm ma trận Ả £ C k(I, L{Rm)) có hạng к , khi đó, tồn tại một
hàm ma trận M G c k(l, L(Rm)) không suy biến sao cho
A{t)M{t) = [Ẩ(t) 0], rankÃ(t) = r

6

Ví G X.


1.2. M ột số không gian hàm
a. K hông gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = R hoặc C).
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Một chuẩn trên X là một ánh xạ đi từ X vào R, kí
hiệu là II • II và thoả mãn các điều kiện:
ì) IMI > 0 với mọi X e X \
2) ||íc|| = 0 khi và chỉ khi
3) IIArrII =

X

= 6 (6 là kí hiệu phần tử không của X );

|À| ||íc|| vối mọi sốAe p và mọi X e X \

ị ) ||íc + y\\ < ||íc|| + II2/ II với mọi x , y e X.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian
ấy được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo p
là thực hay phức).
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Dãy {ícn} trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến Xq e X nếu

lim ||ícn —rr0II = 0.
n—
ỳ00
Khi đó, ta kí hiệu
lim x n = ÍC0 hoặc x n —>■rr0, khi n —>■00.
n—
ỳ00
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Dãy {ícn} trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dẫy cơ bản (hay dẫy Cauchy) nếu


Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dẫy cơ bản trong X đều hội tụ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p.
Ánh xạ Ả từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu
thoả mãn:
1) A ( x + y) = A x + Ảy với mọi x , y £ X \
2) Ả (a x ) = a A x với mọi X e X , a e p.
Ánh xạ tuyến tính Ả còn được gọi là toán tử tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến

tính Ả từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c > 0 sao cho:

IIAc|| < c ||íc|| vối mọi X £ X.
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu
L ( X , Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào
không gian Y. Ta đưa vào L ( x , Y ) hai phép toán:
1) (A + B ){x) = A x + Bx, với A , B £ L(Jf,Y ),

€ X.

ẵj ữ € P,i4 € L ( X , Y ) , toán tử kí hiệu là a A được xác định bởi
biểu thức
(ia A ) (íc) = a {Ax) .
Dễ dàng kiểm tra được A + B e L (X , Y ) , a Ả e L (X, Y ) và hai phép
toán trên thoả mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L (X , Y ) trở thành


một không gian tuyến tính trên trường p. Ta trang bị một chuẩn như sau
trên L (X , Y )
P l l = sup P z ||, VA e L { X , Y ) .
I35I<1
Khi đó, tập L ( x , Y ) trở thành một không gian tuyến tínhđịnhchuẩn.
Đ ịn h lý 1.1. Nếu Y là một không gian Banach

thì L ( X , Y )là không

gian Banach.

b. K hông gian ơ[a, b]

Xét tập hợp tấ t cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn
[a, 0], (—00 < a < b < +oo). Các phép toán cộng và nhân với vô hướng
trên C[a,b] xác định bởi
Phép cộng:
+ : C[a,b] X C[a,b] — > C [ a , b ]

I--- >x + y

(x,y)

xác định bởi (X + y)(t) = x(t) + y(t), Ví G [a,b].
Phép nhân với vô hướng:
• : R x C[a,b] — > C[a,b]
(À, x)

I— >Xx

xác định bởi (Xx)(t) = Xx(t), Ví e [a,b].
Khi đó, ta thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và
nhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian vector trên trường
số thực R.
9


Với mọi

X

G C[a,tí\ ta đặt
||a;|| = max |a;(í)|,

a
( 1 -1 )

khi đó công thức ( 1 .1 ) xác định một chuẩn trên C[a, 6].
Đ ịn h lý 1.2. Không gian C[a,b] với chuẩn (1.1) là một không gian
Banach.
Kí hiệu c 1 [ữ, 0] là tập hợp các hàm số giá trị thực xác định và khả vi
liên tục tới cấp 1 trên đoạn [ữ, 0]. Với

X

e c 1[aì b] đặt

||íc|| = max |rr(í)I + max |rr/(í)I.
a
a
( 1 .2 )

Đ ịn h lý 1.3. Không gian C'1 [<2-, 0] với chuẩn (1.2) ỉầ một không gian
Banach.

c. K hông gian (7[x, X]
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn 11*11 và giả sử 1 =
[0, T], 0 < T < 00.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Không gian C([0,T]]X) bao gồm tất cả các hàm liên
tục / : [0, T] —>■X với
ll/llc(|0,nx) = “ g . Il/Wllx < 00

Đ ịn h lý 1.4. Không gian C([0,T]] X ) là một không gian Banach.

10


Chương 2
Phương trình vi phân đại số với hệ
số hằng
2.1. Phương trình vi phân đại số với hệ số hằng
Xét phương trình vi phân đại số dạng
Ex'{t) + Fx{t) = q(t),

t e X,

(2.1)

ở đây { E , F } là cặp ma trận vuông cỡ m X m giá trị thực. Với các hàm
q : X —>■ Rm là liên tục trên đoạn I c M, ta tìm các nghiệm liên tục
X : X —>■Rm có thành phần E x khả vi liên tục. Ta sử dụng kí hiệu Ex'{t)
thay cho (Ex)'{t). Trước tiên, ta xét phương trình thuần nhất
Ex'{t) + Fx{t) = 0,

t e R.

(2.2)

Với E = I là ma trận đơn vị thì ta thu được một hệ phương trình vi
phân thường. Bây giờ, trong trường hợp tổng quát, ta đặt £*(í) = ex*tz*
và thay vào hệ phương trình vi phân (Ị2 .2Ị), ta có
+ F)z*.

Từ đó, X* là một nghiệm riêng không tầm thường của phương trình
vi phân đại số (2 .2 ) nếu À* là một không điểm của đa thức p(x) :=
11


det(Ai? + F) và z* Ỷ 0 thỏa mãn (\*E + F)z* = 0. Khi đó, A* và z*
tương ứng được gọi là giá trị riêng suy rộng và vector riêng suy rộng.
V í d ụ 2.1. Xét phương trình vi phân đại số sau:
x \ — X\ =

0,

x'2 + rr3 = 0,
x 2 = 0.
Khi đó các ma trận hệ số là:

1 0 0
E =

0 1 0

và F =

0 0 0

-1

0 0

0

0 1

0

1 0

khi đó ta có
A- 1 0 0
p(À) = det (XE + F) = det

0

A 1 = 1 - A.

0

1 0

Giá trị À* = 1 là một giá trị riêng suy rộng và vector 2* = (1 0 0)T là
vector riêng suy rộng. Rõ ràng, x*(t) = ex*tz* = (et 0 0)T là một nghiệm
không tầm thường của phương trình vi phân đại số trên.
Nếu E là ma trận không suy biến thì phương trình thuần nhất (2.2)
có dạng là một phương trình vi phân thường dạng ẩn và hệ nghiệm cơ
bản của phương trình đó là một không gian con m chiều của c

Km).

Đ ịn h n g h ĩa 2.1. Cho trước bất kì cặp ma trận { E , F } với E , F e
L{Rm), ma trận \ E + F gọi là chính quy nếu đa

thứcp(x) :=

det(AE + F )

không đồng nhất bằng không. Trái lại ta nói ma trận XE + F là kì dị.
12


Cặp ma trận {E , F} và phương trình (2.1) được gọi là chính quy nếu
XE + F ma trận là chính quy, trái lại ta gọi là không chính quy (kì dị).
Ta thấy rằng, một cặp ma trận {E, F} với một ma trận không suy
biến E luôn là chính quy và đa thức p(À) của nó có bậc ra. Trong trường
hợp có một ma trận E suy biến, đa thức p(À) sẽ có bậc nhỏ hơn m như
ta đã xét ở trong ví dụ 2.1
M ện h đ ề 2.1. Với bất kì cặp ma trận chính quy {E , F}, E , F e L(Rm),
luôn tồn tại các ma trận không suy biến L , K e L(Rm) và các số nguyên
0 < l < m , 0 < fi < l sao cho

LEK =

, -— ỉ

I
N

,

LFK =

T
wẤ/

\m
}m -— ỉ

(2.3)

I

}l

Do đó, ma trận không chứa N nếu ỉ = 0 và trái lại N là lũy linh cấp n,
tức là N 11 = 0, iV^-1 Ỷ 0. Các số nguyên ỉ và ịi cũng như cấu trúc riêng
của các khối N và w được xác định duy nhất bởi cặp { E , F } .
C h ứ n g m in h . Nếu E không suy biến, ta có thể đặt ỉ = 0, L = E -1, K =
1 và khẳng định của mệnh đề là đúng.
Giả sử E là suy biến, vì {E, F} là cặp ma trận chính quy, khi đó, tồn
tại c € R sao cho cE + F là không suy biến. Đặt Ẽ = (cE + F)~1E, F =
{cE + F)~1F,= I — cẼ,ịí = indẺ , r = ia,nkẺ^ ,5 = [ s i , . . . , s m] với
s1, . . . , sr và sr+1 , . . . , sm tương ứng là cơ sở của Im Ẽ 11 và Ker Ẽ 11. Áp
dụng Bổ đề |l.4 |ta có tích s 1E S có cấu trúc đặc biệt, cụ thể là

S^ẺS =

Ũ 0
0

v ớ i m ộ t k h ố i k h ô n g s u y b iế n

(ra —r )

X

M

N

c ỡ r X r v à m ộ t k h ố i l ũ y l in h

(ra —r ) . N có bậc lũy linh là /Ầ.
13

N

cỡ


Ta có
S 'F S = I - c S ' Ê S =

I — cM

О

О

I-cN

Khối I — cN là không suy biến vì tính lũy linh của N. Kí hiệu

L :=

M“1

0

О

ự - cN) -1

K := s,

S~x{cE + F) -1

N := ự - c i ï y ' N ,

w

:= M “1 - c/,

do đó ta có biểu diễn
LEK =

I

0

,

LFK =

0 N

w

0

0

I

Vì N và ( / —c N ) 1 là giao hoán, nên ta có
N l = ((/ - c N ) - 1 iV)ỉ = ((/ - c N ) - 1)1^ 1,
và do đó N cũng có tính lũy linh như N. Do đó, N 11 = 0 và

Ỷ 0-

Đặt ỉ := m — r. Ta còn phải kiểm tra rằng, các số nguyên ỉ và fl cũng
n h ư c ấ u t r ú c r iê n g c ủ a

N

và

w

là k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o c á c p h é p b iế n

đổi L và K. Giả sử rằng, tồn tại l, Д, L, K, f = m — ỉ sao cho
LEK =

If

0

,

LFK =

0 N

W

0

0

Xét bậc của đa thức

p(Л)

= d e t(A

E + F) = d e t ( L “ 1) d e t ( A / r + w) d e t {K~l)
= det(L“ 1) det(AIf + w ) det( R - 1)

14


ta suy ra các giá trị r và f phải trùng nhau, do đó ỉ = ỉ. Đặt u = LL 1

và V := K l K ta có
u

I

0

= LEK =

0 N

I

0

V,

u

w

0

= LFK =

0 I

0 N

M 0

V,

0 I

và viết dưới dạng tường minh ta có
Un U12N

Vn

un w

v 12N

u ĩ2

rw v n W V 12N

5

U2 1 u 22n

n v 21 n v 22

U2ĨW u 22

V21

V22

So sánh các phần tử tương ứng của các ma trận trên ta có U12N = Ví2
và U12 = w v 12, nên từ đó U12 = WUi 2 N = • • • = W ụ‘Ui 2 N ụ‘ = 0. Tương
tự, ta suy ra U21 = 0. Khi đó, các khối Un = Vn, U22 = V22 phải không
kì dị. Do đó ta có
vn w = w v n ,

v 22n

=

nv2
22

, nghĩa là, các ma trận N và, N cũng như w và w là đồng dạng (similar),
và đặc biệt ịi = Ịl đúng.

□

Ta gọi cặp ma trận cho trong (2.3) được gọi là dạng WeierstrassKronecker của cặp ma trận gốc {E, F}.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .2 . Chỉ số Kronecker của một cặp ma trận suy biến
{E, F}, E, F £ L{Rm) và chỉ số Kronecker của một phương trình vi
phân đại số (12.11) là bậc lũy linh [I theo dạng Weierstrass-Kronecker
(2.3). Kí hiệu I n d { E , F } = Ị.L.
Dạng Weierstrass-Kronecker của một cặp ma trận suy biến { E , F }
giúp ta biết được cấu trúc của phương trình vi phân đại số liên kết (2 .1 ).
Đổi biển trong (2.1) bởi L và biến đổi

15

X

= K

y

ta thu được hệ phương


trình tương đương

với Lq =

y'(t) + Wy(t) = p(t), t £ I ,

(2.4)

N z '(t) + z(t) = r(í), t € ĩ ,

(2.5)

Phương trình (2.4) là phương trình vi phân thường dạng

hiện. Phương trình (12.51) chỉ xuất hiện khi l > 0 vì khi l = 0 thì N không
xuất hiện. Vì từ (2.5) ta có

2 = r - N z ' = r —N ( r —N'Ỵ = r —N r ' + N z " = R - N r ' + N \ r - N z')" =
nên phương trình (2.5) chỉ có nghiệm
ịi-\

z(t) = y ^ ( —l )j N j r ^ l t ) ,

(2 .6)

3= 0

nếu r đủ trơn. Khai triển (|2.6Ị) chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm

X

các đạo hàm của hàm ban đầu hoặc hàm q. Với các chỉ số cao hơn

vào
thì

có nhiều hơn các đạo hàm trong vế phải của (2.6). Chỉ trong trường hợp
chỉ số 1, ta có N = 0, nên z(t) = r(t), và không chứa đạo hàm nào.
Ta có kết quả sau đây về không gian nghiệm của phương trình vi
phân đại số thuần nhất.
Đ ịn h lý 2 . 1 . Phương trình vi phân đại số thuần nhất (2.2) có một không
gian nghiệm hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu cặp ma trận {E, F} là chính
quy.
C h ứ n g m in h . Nếu cặp ma trận { E , F } là chính quy, thì các nghiệm
của (2.2) tạo thành một không gian (ra —ỉ) chiều. Ngược lại, giả sử trái
lại cặp {E, F} là kì dị, tức là det(XE + F) = 0. Với bất kì tập m + 1 các
16


giá trị thức khác nhau Ai,. . . , Am+1 ta tìm các vector không tầm thường

771,

, ĨỊm+l £

sao cho
(AịE + F)ĩỊi = 0, i = 1, . . . , ra + 1,
m+ 1

và một tổ hợp tuyến tính không tầm thường ^2 QiiĩỊi = 0.
i—1
m+1

Hàm x(t) =

i=1

OíieXitrỊi không đồng nhất không và hàm này thỏa mãn

phương trình (2.2) và điều kiện ban đầu íc(0) = 0. Với các tập (ra + 1)
phần tử phân biệt {771, . . . , TỊm+i} luôn có các nghiệm khác nhau, và do
đó không gian nghiệm của bài toán giá trị biên thuần nhất đối với (2 .2 )
là vô hạn.

□

V í d ụ 2 .2 . (Nghiệm của phương trình vi phân đại số không chính quy).
Xét cặp ma trận { E , F } với

^ 1 1 0 0^
E =

0 0 0 1

F =

0 0 0 0

V0

0 10

0 0 0 0

m = 4,

0 0 10

V 0 0 0 0/

/

là suy biến.
Khi đó, phương trình vi phân đại số thuần nhất (2.2) có dạng
— 0)

(Xị +

= 0,

x'A

x3 = 0,
£3

=

0.

Ta tìm không gian nghiệm của hệ trên. Ta thấy, thành phần £3 là đồng
nhất bằng 0 và

Xị

là một hàm hằng bất kì. Phương trình còn lại (Xi +
17


x 2y + x 2 = 0 thỏa mãn với bất kì

x2

là hàm liên tục, khi đó

Xi

được biểu

diễn dưới dạng
t
Xi

(t) = c - x 2(t) - Ị x 2(s)di
0

c là một hằng số khác. Ta sẽ áp dụng định lí 2 ^ để thấy không gian
nghiệm của phương trình này có số chiều vô hạn, thật vậy, ta thấy giả
thiết chính quy không được thỏa mãn vì

p(x) = det (XE + F) = det

0

0 0 A

0

0 10

= 0.

V0

0 A 0

/

Lưu ý rằng, trong trường hợp q là không tầm thường, với hệ phương
trình vi phân đại số nhiễu liên kết (2 .1 ) điều kiện q'3 = Ộ4 cần thiết để
giải được bài toán.

2.2.

Đ ặc trưng của phương trình vi phân đại số với
hệ số hằng

2.2.1. D ãy m a tr ậ n chấp n h ậ n được và các p h ép chiếu chấp
n h ậ n được
Trong mục này, ta sẽ biểu diễn phương trình
Ex'{t) + F x ( t ) = q(t)

(2.7)

với các hệ số E , F £ L ( w n) qua dạng Weierstrass-Kronecker. Để thực
hiện điều này ta làm như sau.

18


Đặt Gq = E , B ữ = F, N ữ = KerGo và lấy Qữ e L(Mm) là một phép
chiếu lên iV0. Đặt Pq = / —Qũ là phần bù của Qữ. Áp dụng tính chất cơ
bản của phép chiếu ta có
Qồ = Q oĩ QoPo = PoQo = O) Pq + Qữ = !■>G qQ o = 0 và G(Ị = GqPq.
Khi đó, phương trình (Ị2.7D trở thành
Gữx' + B ữx

=

q

^ ^ G qPqx' + B q(Qq + Pq) x

=

ợ

-<=>’ (Go + B qQ q)(P qx' + Qo^) + B qP q X

=

q

=Gi

=Si

•4 >G i(P 0a;1“I” Qo^) “Ь -Siíc

= Q.

Tiếp theo, đặt Q 1 là phép chiếu lên iVi = KerGi và đặt P\ := I — Qi là
phần bù của Q 1 . Khi đó, phương trình cuối trở thành
G\P\(P qx' + Qo^) + B\{Q\ + -Pi)æ

=

(Gi + -BiQi)(-Pi(-Po^7“b Qo^) “Ь Q l3') “Ь В \ Р \ X

= Q

=g2

Ợ
(2-8)

=в2

(2.9)

và tiếp tục quá trình trên. Ta thu được ma trận có thể có hạng cực đại
mà

chứ a

đạo hàm x' .

Với ỉ > 0 ta có
Gi + 1 := Gi 4- B ị Q i ,

N i+1 := KerGj_|_i,

Bị+

1

:= BịPị,

(2.10)

gọi Qi + 1 £ L{Rm) là phép chiếu lên N i+1 với p i+1 := I — Qi+1 . Đặt
Tị := rankơị và đặt tích các phép chiếu Ilị := p ữ" • Pị. Từ B i+1 =
BịPị = -BoIIj ta suy ra K erllị Ç K erß j+1 . Vì Gi = Gị+iPị nên ta có

Im G q Ç Im G\ Ç • • • С Im Gi Ç Im G i+1 ,
19


và do đó

i+l ■
Dãy (2.10) có tính chất
JV<-1 n Ni c t y n t y + i ,
Cụ thể là, nếu

i > 1.

(2 .11)

= 0 và GịZ = 0 đúng với vector z € Rm, hay

Pị-\Z = 0 và PịZ = 0, tức là z =
Gị+\Z — GịZ

thì ta có

BịQịZ — BịZ — B ị —\Pị—\ z — 0.

Từ (2.11), ta thấy rằng với Nị _1 n Nị ^ không cho ta một đơn ánh ma
trậ n

Gi, i >

i* .

V í d ụ 2.3. (Dãy ma trận chấp nhận được của phương trình vi phân đại
số chính quy). Xét phương trình vi phân đại số
x[

+

Xi

4

+ x2+

=

+

= Q2,

X!

q 1,

+ z 3 = 43-

Các ma trận thứ nhất trong dãy của ta là

'l 1
Go = E =

Bn = F =

0 0 1

V0

1 0 1/

0 0/

Phép chiếu lên kerơo ta chọn

Qo —

0 1 0

0 1 0
0 0 0/
20


v à th u đư ợc

— G q + B qQ q —

0 0 0

1 0 1/
Vì G\ là suy biến nên ta có bước tiếp theo. Ta chọn phép chiếu lên kerơi
là

( 1 0 0^
Q1 —

- 1 0

0

V 1 0 °/
và thu được

^3 1 0^
G<1 — G\ + B\Qi — 0 1 1
0 Oy
Ma trận G2 là không suy biến, do đó hạng cực đại được tìm thấy và ta
dừng lại việc xây dựng dãy. Ta tìm đa thức p(A) = det(AE + F) = 2À
ta biết rằng phương trình vi phân đại số này là chính quy. Sau đó, ta
thấy rằng ma trận không suy biến c?2 là chính quy với chỉ số Kronecker
là 2. Hơn nữa, các không gian không N q và Nị giao nhau bằng rỗng,
và phép chiếu Q 1 được chọn sao cho IIoQiQo = 0 hoặc tương đương với
N q c kerlIoQi.
V í d ụ 2.4. (Dãy ma trận chấp nhận được của phương trình vi phân đại
số không chính quy). Ta xét cặp ma trận không chính quy trong ví dụ

21