Luận Văn Thạc Sỹ Về Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số

Mục lục
Mở đầu

3

Danh mục ký hiệu

5

1 Phương trình vi phân đại số

6

1.1

Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số . . . .

7

1.2

Một số ví dụ phương trình vi phân đại số trong thực tế

13

1.2.1
1.2.2
1.3

Hệ cơ học có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 13
Mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Phép chiếu - Ma trận chính quy . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Các khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số

23

2.1

Chỉ số Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Chỉ số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Chỉ số mềm

2.4

Các khái niệm chỉ số khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1

Chỉ số nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.2

Chỉ số hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3

Chỉ số lạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

59


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Viện Toán học - Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa
học của PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn
sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình tập dượt
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn
các thầy cơ trong Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng
nghệ Việt Nam đã nhiệt tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện cho tác giả
về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hồn thành bản luận văn
này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, Tạp chí Tốn học và
Tuổi trẻ và các bạn trong lớp Cao học K19 Viện Toán học, đã động
viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013

Người thực hiện
Nguyễn Thị Trang

2


Mở đầu
Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi
đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi
phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở
lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài tốn đặt khơng chỉnh, vì
vậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta khơng thể tìm thấy ở phương
trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến,
sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc
nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi
phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân
thường.
Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng mô
phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ
mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học
chất lỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một
đối tượng vật lý thường được mơ hình hóa qua hệ phương trình vi
phân. Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng
buộc (về vị trí, năng lượng,...), thì các hạn chế đó được mơ tả bởi các
phương trình (ràng buộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm phương
trình vi phân và một phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình
vi phân đại số (Differential - algebraic equation, DAE), hệ đại số vi
phân (Algebraic - Differential equation, ADE) hoặc tổng quát là hệ
phương trình vi phân ẩn.
Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

3


đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối
với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm,
cung cấp thơng tin hữu ích về cấu trúc tốn học và sự phức tạp trong
việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số.
Luận văn có mục đích trình bày các khái niệm chỉ số của phương
trình vi phân đại số và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu
phương trình vi phân đại số.
Nội dung luận văn gồm hai chương:
Chương 1 Trình bày một số đặc thù, các ví dụ về phương trình
vi phân đại số trong thực tế và một số kiến thức liên quan sử dụng
trong Chương 2.
Chương 2 Trình bày các khái niệm chỉ số khác nhau và quan hệ
giữa chúng: chỉ số Kronecker (cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính với hệ số hằng), chỉ số vi phân (Brenan 1996), chỉ số nhiễu
(Hairer 1996), chỉ số mềm (Griepentrog 1986), chỉ số hình học (Rabier
2002) và chỉ số lạ (Kunkel 2006). Các khái niệm chỉ số này trùng
nhau trong trường hợp phương trình vi phân tuyến tính với các hệ
số hằng nhưng trong các hệ phi tuyến hoặc hệ phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số biến thiên thì khái niệm chỉ số có thể khác nhau.
Đối với các hệ này, chỉ số trở thành một khái niệm địa phương với
các giá trị khác nhau ở các miền khác nhau.

4


Danh mục ký hiệu
Rn - Không gian Euclid n chiều.

L(Rn , Rm )- Khơng gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm .
L(Rn ) - Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rn .
kerf - Hạt nhân (hạch) của ánh xạ tuyến tính f : X → Y ,
kerf = {x ∈ X|f (x) = 0Y }.
imf - Ảnh của ánh xạ tuyến tính f : X → Y ,
imf = {f (x) ∈ Y |x ∈ X}.
cokernel - Đối hạt nhân (đối hạch) của ánh xạ tuyến tính f : X → Y ,
cokernel(f ) = Y |imf.
U

V = Rn nghĩa là U + V = Rn và U ∩ V = {0}.

f (., ., .) : J × Ω × Rm → Rm , trong đó J = (a, b), Ω ⊂ Rm .
C(J × Ω × Rm , Rm )- Tập các hàm liên tục theo ba biến,
C p (J) - Không gian các hàm khả vi đến cấp p trên J .
detA(t) - Định thức của ma trận A(t).
rankA(t) - Hạng của ma trận A(t).
diag(M, N ) - Ma trận khối đường chéo.

5


Chương 1
Phương trình vi phân đại số
Xét phương trình vi phân ẩn

F (t, x(t), x (t)) = 0,

(1.1)

trong đó x : J → Rm , J = (a, +∞) ⊂ R, Ω là tập mở trong Rm , và

F : J × Ω × Rm → Rm , F ∈ C(J × Ω × Rm , Rm ).
Một trong những dạng phương trình vi phân ẩn được quan tâm nghiên
cứu nhiều trong những năm gần đây là phương trình vi phân đại số
tuyến tính dạng

A(t)(D(t)x(t)) + B(t)x(t) = q(t),

(1.2)

trong đó A ∈ C(J, L(Rn , Rm ), B ∈ C(J, L(Rm )), q là một vectơ hàm
liên tục trên J , detA(t) = 0 với mọi t ∈ J .
Khi D(t) ≡ I (ma trận đơn vị) thì phương trình (1.2) có dạng

A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t).

(1.3)

Phương trình (1.3) đã được nghiên cứu khá kĩ so với (1.2).
Người ta thường phân lớp các phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của phương trình vi phân (1.3) và (1.2).

6


1.1

Một số đặc thù của phương trình vi phân đại

số

Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng

t ∈ J,

Ex (t) + F x(t) = f (t),

E, F ∈ L(Rn ).

(1.4)

Khác với phương trình vi phân thường, sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm cũng như cấu trúc tập nghiệm của phương trình (1.1) cũng là
vấn đề cần được nghiên cứu kĩ. Các ví dụ dưới đây cho thấy điều đó.
Ví dụ 1.1.1 [14] Cho phương trình vi phân đại số tuyến tính




1 0
0 1

 x (t) + 
 x(t) = 0,
0 0
0 0

với x = 

x1
x2

(1.5)


. Phương trình (1.5) có dạng tương ứng

 x (t) + x (t) = 0,
1
2
 0 = 0.

Từ đây suy ra

x 1 (t) = −x2 (t).


x1 (t)
 , trong đó x2 (t) = g(t),
Nghiệm của (1.5) là một hàm x(t) = 
x2 (t)
t

x1 (t) = − g(s)ds + C, với hàm g ∈ C 1 (J, R)

bất kì, C là hằng số

t0

bất kì.
Ta biết rằng khơng gian nghiệm của phương trình vi phân thường
tuyến tính x = A(t)x là khơng gian hữu hạn chiều. Không gian nghiệm
của hệ (1.5) là vô hạn chiều. Thật vậy, chọn x2,k (t) = tk , k = 1, 2, ...,
7




1 k+1
1 k+1
−
t 
và x1,k (t) = −
t . Khi đó xk (t) =  k + 1
là nghiệm của
k
k+1
t
(1.1). Do hệ {tk , k = 1, 2, ...} là độc lập tuyến tính nên khơng gian
nghiệm của (1.5) là vô hạn chiều. Đây là một trong những đặc thù
của phương trình vi phân đại số.
Ví dụ 1.1.2 [12] Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính
 


1
1 1
 
 x(t) = 0.

1 −t x(t) + 
1
0 2

(1.6)

Phương 
 trình (1.6) có dạng (1.2) với

 
1
1 1
x
, x =  1 .
A =  , D = 1 −t , B = 
1
0 2
x2
Phương trình (1.6) tương đương với



 
x (t)
1 1
1
 = 0.
 1
  x1 (t) −tx2 (t) + 
x2 (t)

0 2
1
Phương trình (1.7) có dạng

 x (t) − x (t) − tx (t) + x (t) + x (t) = 0,
1
2
2
1
2
 x 1 (t) − x2 (t) − tx 2 (t) + 2x2 (t) = 0,

(a)

(1.7)

(1.8)

(b)

Trừ phương trình (1.8a) cho phương trình (1.8b) ta được

x1 (t) = x2 (t).
Thay trở lại phương trình (1.8a) ta được

(1 − t)x1 (t) + x1 (t) = 0.

(1.9)

Trên các khoảng (−∞, 1) và (1, +∞), phương trình (1.9) tương đương

−x1 (t)
dx1 (t)
dt
với x1 (t) =
⇔
=
⇔ lnx1 (t) = ln(t − 1) + C ⇔
1−t
x1 (t)
t−1
8


 
x0
x1 (t) = (t − 1)C. Nếu cho trước x(0) =   thì x0 = −C hay
x0

C = −x0 . Vậy x1 (t) = x2 (t) = (1 − t)x0 . Nghiệm của phương trình
(1.6) là

 

 
x1 (t)
(1 − t)x0
1
=
 = (1 − t)x0   ,
x(t) = 

x2 (t)
(1 − t)x0
1

x0 ∈ R.

Điều đó cho thấy rằng tất cả các nghiệm bị triệt tiêu (bằng 0) tại

t∗ = 1. Hơn   (1.8)  có nghiệm ứng với điều kiện ban đầu
nữa, hệ  chỉ
x10
x10
x(t0 ) = x0 =   =  . Khác với phương trình vi phân thường,
x20
x10
tính duy nhất của nghiệm khơng còn được bảo đảm (tại t∗ = 1).
Các điểm mà tại đó phương trình vi phân đại số khơng có nghiệm
hoặc tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ được gọi là điểm tới hạn.
Điểm mà ở đó các ma trận hàm A(t)D(t) hoặc E(t) có hạng thay
đổi trong khoảng đang xét cũng được định nghĩa là điểm tới hạn.
Ví dụ 1.1.3 [12] Cho phương trình vi phân đại số




1 0
0 α(t)

 x (t) + 
 x(t) = q(t).

0 0
0 1
Phương trình (1.10) có dạng

 α(t)x (t) + x (t) = q (t),
2
1
1
 x2 (t) = q2 (t).
Hàm liên tục α(t) xác định trên I = [−1, 1] và

α(t) = 0 với t ≤ 0,

α(t) = 0 với t > 0.

Hệ (1.10) chỉ có duy nhất một nghiệm x2 (t) = q2 (t), t ∈ [−1, 1]

 q (t),
t ∈ [−1, 0],
1
x1 (t) =
 q1 (t) − α(t)q (t), t ∈ (0, 1].
2

9

(1.10)


Như vậy, để (1.10) có nghiệm thì vế phải q2 (t) phải khả vi liên tục

tức là sự tồn tại nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm tham
gia trong vế phải. Đây cũng là điểm khác biệt của phương trình vi
phân đại số và phương trình vi phân thường.
Tại t∗ = 0

0
E(t) = 
0

0
E(t) = 
0

thì ma trận E(t) có hạng thay đổi từ 0 sang 1. Thật vậy,

0
 có rankE(t) = 0 với mọi t ≤ 0,
0

1
 có rankE(t)=1 với mọi t > 0.
0

Như vậy rankE(t) thay đổi khi đi qua điểm tới hạn t∗ = 0. Phương
trình vi phân đại số (1.10) là giải được (có nghiệm) khi hàm q2 là
liên tục trên khoảng I và khả vi liên tục trên (0, 1]. Ví dụ nếu

 0,
t ∈ [−1, 0]
α(t) = √

 3 t,
t ∈ (0, 1],
thì với q1 (t) = 0 và q2 (t) = α(t) ta thu được

 0,

t ∈ [−1, 0]
x1 (t) =
1
 − √ , t ∈ (0, 1].

33t
và x2 (t) = α(t)
Như trong Hình 1.1, tọa độ x2 (t) của nghiệm được "dán" với nhau

Hình 1.1: Nghiệm x1 , x2 trong trường hợp q1 = 0 và q2 = α
10


một cách liên tục nhưng không khả vi tại t = 0, trong khi tọa độ

x1 (t) của nghiệm thì không liên tục tại t = 0. Nếu chúng ta chọn
hàm q đủ trơn thì sẽ thu được nghiệm liên tục trên tồn khoảng I .
Ví dụ cho q1 (t) = 0, q2 (t) = t2 (Hình 1.2) thì nghiệm riêng có dạng

 0,
t ∈ [−1, 0]
x1 (t) =
√
3 4

 −2 t , t ∈ (0, 1].
và x2 (t) = t2
Nhận xét x1 (t) =

8√
3
t khi t > 0 nên x1 (0) = 0. Hàm x1 (t) có
3

Hình 1.2: Nghiệm x1 , x2 trong trường hợp q là hàm trơn

x1 (t) =


 0,

t ∈ [−1, 0]

√
 − 8 3 t,
3

t ∈ (0, 1].

là khả vi liên tục trên [−1, 1].
Nếu ta viết lại phương trình vi phân đại số (1.10) dưới dạng

 

1 α(t)

0 0

 
 x + x(t) = q(t),
0 0
0 1

(1.11)

thì ta thấy rằng tính khả vi liên tục chỉ cần thiết cho x2 (t), điều này
có thể được đảm bảo bằng cách giả thiết q2 (t) là khả vi liên tục trên

[−1, 1].

11


Ví dụ 1.1.4 [14] Xét phương trình vi phân đại số




0 0
1 −t

 x (t) + 
 x(t) = q(t), t ∈ J = R
1 −t
0 0

(1.12)

với q ∈ C 2 (J, R2 ).


 x (t) − tx (t) = q (t),
1
2
1
Khi đó (1.12) có dạng
 x (t) − tx (t) = q2 (t).
1

2

Lấy đạo hàm phương trình đầu tiên x1 (t) − tx2 (t) = q1 (t) ta được

x1 (t) − tx2 (t) − x2 (t) = q1 (t). Thay vào phương trình thứ hai ta được
x2 (t) = q2 (t) − q1 (t). Lại thay vào phương trình thứ nhất ta được
x1 (t) = q1 (t) + tq2 (t) − tq1 (t). Vậy hệ phương trình (1.12) có nghiệm
duy nhất nếu q1 (t) ∈ C 2 (J).
Như vậy, để phương trình đã cho có nghiệm theo nghĩa cổ điển (x(t)
là hàm khả vi liên tục trên J ) thì địi hỏi q1 (t) phải khả vi liên tục
đến đạo hàm cấp hai (để tồn tại x1 (t) và x2 (t) khả vi liên tục), còn

q2 (t) phải khả vi liên tục. Có nghĩa là để phương trình có nghiệm
(tồn tại hàm x(t) khả vi liên tục) thì địi hỏi hàm q1 (t) ở vế phải
phải thuộc lớp C 2 (J).
Điều này là không cần thiết đối với phương trình vi phân thường, vì
ta đã biết định lý nói rằng phương trình vi phân thường x (t) = f (t, x)

có nghiệm thì chỉ cần hàm ở vế phải f (t, x) là Lipschitz theo x đều
theo t trên J × Ω.
Trong ví dụ trên, bài tốn giá trị ban đầu chỉ giải được duy nhất
khi giá trị ban đầu tương thích với vế phải, tức là điều kiện ban đầu

x(t0 ) = x0 phải thỏa mãn

 x = x (t ) = t q (t ) − t q (t ) + q (t ),
1,0
1 0
0 2 0
0 1 0
1 0
 x2,0 = x2 (t0 ) = q2 (t0 ) − q (t0 ).
1

12


Phương trình thuần nhất tương ứng

 x (t) − tx (t) = 0,
1
2
 x (t) − tx (t) = 0,
1
2

 x (t) = 0,
1

chỉ có nghiệm tầm thường
 x2 (t) = 0.

(1.13)

Thật vậy, lấy đạo hàm phương trình thứ nhất của hệ (1.13) ta được

x1 (t) − tx2 (t) − x2 (t) = 0. Thay vào phương trình thứ hai của hệ (1.13)
thu được x2 (t) = 0. Suy ra x1 (t) = 0.

1.2

Một số ví dụ phương trình vi phân đại số trong
thực tế

Nhiều hệ cơ học có ràng buộc, các hệ mơ tả mạch điện,... có thể
mơ hình hóa bởi phương trình vi phân đại số. Các ví dụ dưới đây chỉ
ra điều đó, đồng thời các ví dụ này cũng thể hiện các đặc tính quan
trọng của phương trình vi phân đại số và cho thấy sự khác biệt giữa
chúng với phương trình vi phân thường trong các hệ cụ thể.

1.2.1

Hệ cơ học có ràng buộc

Xét quả lắc tốn học trong Hình 1.3. Con lắc có khối lượng m
được gắn vào đầu một sợi dây độ dài l. Để miêu tả con lắc trong hệ
tọa độ Đề-các, ta viết thế năng

U (x, y) = mgh = mgl − mgy,

(1.14)

trong đó (x(t), y(t)) là vị trí của con lắc tại thời điểm t. Gia tốc
trọng trường của trái đất là g , tung độ của con lắc là h = y(t). Nếu
ta kí hiệu đạo hàm của x và y tương ứng là x và y thì động năng
là

1
2
2
T (x , y ) = m(x + y ).
2
13

(1.15)


Số hạng x 2 + y 2 miêu tả vận tốc chuyển động của con lắc. Do sợi
dây có độ dài l ln căng nên ta có ràng buộc

0 = g(x, y) = x2 + y 2 − l2 .

(1.16)

Các phương trình (1.14) - (1.16) được sử dụng để lập hàm Lagrange

L(q, q ) = T (x , y ) − U (x, y) − λg(x, y)
1
2

˙
= m(x + y 2 ) − mgl + mgy − λ(x2 + y 2 − l2 )
2

Hình 1.3: Con lắc tốn học

Ở đây q ký hiệu vectơ q = (x, y, λ), λ đóng vai trị nhân tử Lagrange. Phương trình của chuyển động bây giờ được cho bởi phương
trình Euler

∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂q k
∂qk
với q = (q1 , q2 , q3 ) = (x, y, λ). Ta có
d
dt
d
dt

k = 1, 2, 3,

∂L
d ∂L
∂L
d
∂L
−
=

−
= (mx ) + 2λx = mx + 2λx = 0,
∂q 1
∂q1
dt ∂x
∂x
dt
∂L
∂L
d ∂L
∂L
d
−
=
−
= (my ) − mg + 2λy
∂q 2
∂q2
dt ∂y
∂y
dt
= my − mg + 2λy = 0,
d ∂L
d ∂L
∂L
∂L
=
−
−
= g(x, y) = 0.

dt ∂q 3
∂q3
dt ∂λ
∂λ
14


Ta thu được hệ phương trình

mx + 2λx = 0,
my − mg + 2λy = 0,

(1.17)

g(x, y) = 0.
Bằng cách thêm biến u = x và v = y ta thấy rằng (1.17) có dạng
(1.1). Thật vậy, (1.17) trở thành

x = u,
2λ
u =− ,
m
y = v,
2λ
v =g−
m
g(x, y) = 0,

(1.18)

 
x
u
với z =   thì hệ đã cho có dạng phương trình vi phân đại số
y 
v
F (t, z, z ) = 0.
Ta thấy rằng, mỗi giá trị ban đầu (x(t0 ), y(t0 )) = (x0 , y0 ) phải thỏa
mãn ràng buộc (1.16). Khơng có điều kiện ban đầu đặt lên λ, vì λ
được ngầm xác định bởi (1.17).
Tất nhiên chuyển động của con lắc cũng có thể được mơ hình hóa
bằng phương trình vi phân cấp hai

g
ϕ = − sin ϕ,
l
khi góc ϕ được sử dụng như biến phụ thuộc. Tuy nhiên, mô tả theo
ngôn ngữ của hệ các phương trình vi phân nói chung là khơng hiển
nhiên vì ta chưa xác định được góc ϕ qua các tọa độ (x, y).

15


1.2.2

Mạch điện

Một ví dụ đơn giản

Mạch điện đơn giản trong Hình 1.4 bao gồm một nguồn điện vV =

v(t), một điện trở với độ dẫn điện G và một tụ điện với điện dung
C > 0. Mạch điện có thể được mô

−1
Aα =  0
1

tả bằng ma trận

1 0
−1 1  ,
0 −1

trong đó các cột của Aα tương ứng với điện thế, điện trở và điện
dung nhánh. Các hàng biểu diễn các nút của mạng điện mà -1 và 1
chỉ ra các nút đã được nối bởi nhánh đang xét (có dịng điện vào và
dịng điện ra). Do đó Aα thể hiện sự phân cực tại mỗi nhánh.

Hình 1.4: Một mạch điện đơn giản

Theo cấu trúc mạng điện, các hàng của Aα là phụ thuộc tuyến
tính. Điều này cũng được thể hiện trên ma trận Aα . Thật vậy, kí
hiệu a1 = (−1, 1, 0), a2 = (0, −1, 1), a3 = (1, 0, −1) là các hàng của
ma trận Aα , chúng là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

c1 , c2 , c3 = 0 sao cho c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 0. Ta có
c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 0 ⇔ c1 (−1, 1, 0) + c2 (0, −1, 1) + c3 (1, 0, −1) = 0

 −c1 + c3 = 0

⇔ c1 − c2 = 0 ⇔ c1 = c2 = c3 .

c2 − c3
16


Chọn c1 = c2 = c3 = 1 thì ta có a1 + a2 + a3 = 0 hay a3 = −a1 − a2 .
Sau khi xóa một hàng (hàng thứ 3), các hàng cịn lại (hai hàng đầu)
mơ tả tập các phương trình độc lập tuyến tính. Nút tương ứng với
hàng bị xóa sẽ được ký hiệu là nút tiếp đất (the ground node). Ma
trận

A=

−1 1 0
0 −1 1

được gọi là ma trận tới (the incidence matrix). Bây giờ ta có thể mơ
tả các định luật vật lý cơ bản theo ma trận tới A. Ký hiệu i và v
tương ứng là vectơ cường độ dòng điện nhánh và hiệu điện thế, vectơ

e là điện năng (potential) của nút. Tại mỗi nút, điện năng của nút
chính là hiệu điện thế của nó tương ứng với đất. Ta có

• Định luật bảo tồn cường độ dịng điện Kirchhoff (KCL): Tại mỗi
nút, tổng của tất cả cường độ dòng điện bằng 0 ⇒ Ai = 0.

• Định luật bảo tồn điện thế Kirchhoff (KVL): Trong mỗi chu
trình tổng của tất cả điện thế bằng không ⇒ v = AT e.
Đối với mạch trong Hình 1.4 KCL và KVL tương ứng được viết là

− iV + iG = 0,

−iG + iC = 0

(1.19)

và

vV = −e1 ,

vG = e1 − e2 ,

vC = e2 .

(1.20)

Nếu ta giả sử các dụng cụ điện tử làm việc lí tưởng, thì các phương
trình mơ tả điện trở và điện dung là

iG = GvG ,

iC = C

dvc
.
dt

(1.21)

Cuối cùng ta có

vV = v(t)

(1.22)

cho các nguồn độc lập được coi là tín hiệu đầu vào điều khiển hệ.
Hệ gồm ba phương trình (1.19), (1.20) và (1.21) được gọi là một bảng
17


thưa (spare tableau.)
Từ hệ gồm các phương trình

−iV + iG = 0,
iG = GvG ,
vG = e1 − e2 ,
suy ra

− iV + G(e1 − e2 ) = 0.

(1.23)

Thay (1.21) vào phương trình −iG + iC = 0 ta thu được

− G(e1 − e2 ) + C

de2
= 0.
dt

(1.24)

Vì vV = −e1 và vV = v(t) nên ta có phương trình

− e1 = v.
Từ (1.23), (1.24) và (1.25) ta thu được hệ phương trình

−iV + G(e1 − e2 ) = 0



de2
−G(e1 − e2 ) + C
=0

dt


−e1 = v 

(1.25)

(1.26)

 
  
   
0
e1

G −G −1
e1
0
C   0 1 0  e2  + −G G
  e2  = 0
⇔
0
0
iV
−1 0
0
iV
v
(1.27)
Phương trình (1.27) có dạng (1.3) và thể hiện các tính chất đặc
thù của phương trình vi phân đại số (1.3):
1. Chỉ cần một vài tọa độ vectơ x = (e1 , e2 , iV )T = (x1 , x2 , x3 )T là
khả vi. Ở đây chỉ cần x2 = e2 là khả vi, còn x1 = e1 và x3 = iV
liên tục là đủ.
2. Điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 phải tương thích, tức là phải tồn tại
nghiệm đi qua x0 . Vì ở đây ta có ràng buộc đại số x1 = e1 = −v
18


nên phương trình có nghiệm chỉ khi −x10 = v(t0 ), cịn x20 = e2
hoặc x30 = iv có thể bất kì.
Từ hệ phương trình thứ ba của hệ (1.26) ta có −e1 = v . Thay vào
phương trình thứ hai của hệ (1.26) ta được

e2 (t) =

de2
= C −1 G(e1 − e2 )
dt

hay

e2 (t) = −C −1 G(v(t) + e2 (t)).

(1.28)

Như vậy, ta chỉ cần giải phương trình vi phân thường tuyến tính
khơng thuần nhất (1.28) là đủ, trong đó e2 (t) có thể được coi như là
tín hiệu đầu ra. Phần còn lại của nghiệm được xác định duy nhất bởi
các ràng buộc đại số

e1 (t) = −v(t),

iV (t) = G(e1 (t) − e2 (t)).

Một đặc trưng quan trọng nữa phân biệt phương trình vi phân đại số
với phương trình vi phân thường là quá trình giải thường liên quan
đến phép lấy đạo hàm hơn là phép lấy tích phân. Điều này được giải
thích trong ví dụ tiếp theo.
Một ví dụ khác

Hình 1.5: Một mạch điện đơn giản khác

19

Nếu ta thay điện thế nguồn không phụ thuộc thời gian trong Hình
1.4 bằng cường độ dịng điện nguồn iI = i(t) và tụ điện bằng một
cuộn cảm với độ tự cảm L, ta thu được mạnh điện trong Hình 1.5.
Bây giờ bảng thưa được viết

− iI + iG = 0,

−iG + iL = 0,

vI = −e1 ,

v G = e1 − e2 ,
diL
,
iG = GvG , vL = L
dt
iI = i(t).

vL = e2 ,

Sử dụng định luật Kirchhoff tại các nút ta được

G(e1 − e2 ) = i(t)
−G(e1 − e2 ) + iL = 0
diL
− e2 = 0
D
dt

(1.29)

Nghiệm được cho bởi

iL = i(t),
diL
di(t)
e2 = L
=L
,
dt
dt
di(t)
+ G−1 i(t),
dt
với giả thiết cường độ dịng điện i(t) khả vi. Để tìm nghiệm cho e2
e1 = e2 + G−1 i(t) = L

ta cần lấy đạo hàm cường độ dịng điện.
Các ví dụ trên cho thấy, nhiều hệ thống trong thực tế được mô tả
bởi phương trình (1.2). Vì vậy, ngồi việc nghiên cứu phương trình
(1.3), ta cũng cần khảo sát các tính chất định tính cũng như giải số
phương trình (1.2).

1.3

Phép chiếu - Ma trận chính quy

Khái niệm chỉ số của cặp ma trận được sử dụng nhiều trong việc
nghiên cứu và phân lớp các phương trình vi phân đại số, từ đó giúp

20


chúng ta có thể đi sâu nghiên cứu từng lớp các phương trình vi phân
đại số này. Để đưa ra khái niệm chỉ số của cặp ma trận, trước hết
ta nêu một số khái niệm sau.
Định nghĩa 1.3.1 Phép chiếu là một ánh xạ tuyến tính P ∈ L(Rn )
có tính chất P 2 = P .
Nhận xét 1.3.1
i) Cho P là một phép chiếu. Khi đó ta có kerP ⊕ imP = Rn .
Thật vậy, với mỗi x ∈ Rn , viết x = x − P (x) + P (x). Ta có

P (x − P (x)) = P (x) − P 2 (x) = P (x) − P (x) = 0.
Suy ra x − P (x) ∈ kerP . Do đó x ∈ kerP + imP , suy ra

kerP + imP = Rn .
Hơn nữa, nếu x ∈ kerP ∩ imP thì x ∈ imP , tức là tồn tại y ∈ Rn
sao cho x = P (y) và x ∈ kerP , hay P (x) = 0. Suy ra x = P (y) =

P 2 (y) = P (x) = 0. Vậy kerP ∩ imP = {0}. Do đó
kerP ⊕ imP = Rn .
ii) Với mỗi phân tích khơng gian Rn thành tổng trực tiếp hai khơng
gian con, Rn = U ⊕ V, tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho

imP = U và kerP = V . Ánh xạ P được gọi là phép chiếu lên U dọc
theo V .
Thật vậy, vì U ⊕V = Rn nên với mỗi {u1 , u2 , ..., uk } độc lập tuyến tính
trong U ta ln có thể bổ sung {uk+1 , ..., un } độc lập tuyến tính trong

V sao cho {u1 , u2 , ..., uk , uk+1 , ..., un } là một cơ sở của Rn . Xét ánh xạ

tuyến tính P : Rn → Rn sao cho P (ui ) = ui với mọi i = 1, 2, ..., k và

P (uj ) = 0 với mọi j = k + 1, ..., n.
Ánh xạ P tồn tại duy nhất.
Thật vậy, giả sử {e1 , e2 , ..., en } là hệ vectơ cơ sở trong không gian Rn
21


và {e1 , e2 , ..., en } là hệ vectơ cơ sở trong không gian Rn , P : Rn → Rn
là ánh xạ tuyến tính. Khi ấy ta có

P (e1 ) = c11 e1 + ... + c1n en .
P (e2 ) = c21 e2 + ... + c2n en .
.
.
.
...
P (en ) = cn1 en + ... + cnn en .
Áp dụng cho hai không gian U và V ta được ma trận đại diện của
ánh xạ P


1


0
.
.
.
A=

0


0




0 ... 0 0 ... 0

.
1 ... 0 0 ... . 
.

. . .

. . . ... .
.
. . .
.


0 ... 1 0 ... 0


0 ... 0 0 ... 0


0 0 ... 0 0 ... 0

Vì ma trận A là duy nhất nên ánh xạ P là duy nhất.
Hơn nữa u ∈ Rn : u =
k
i=1 ci ui .
k
i=1 ci ui

n
i=1 ci ui

n
i=1 P ci ui

⇒ Pu =

Ta có P 2 (u) = P (P u) = P

k
i=1 ci ui

=
=

n
i=1 ci P (ui )

=

k
i=1 ci P (ui )

=

= P (u). Vậy P 2 = P , do đó P là một phép chiếu.

Rõ ràng imP = U và kerP = V . Thật vậy,

imP = {y ∈ Rn |y = P x} = {(x1 , ..., xk , 0, ..., 0)} = U ;
kerP = {x ∈ Rn |P (x) = 0} = {(0, 0, ..., xk+1 , ..., xn )} = V.
Khi đó phép chiếu P được gọi là một phép chiếu lên U dọc theo V .
Đặt Q := I − P thì Q cũng là một phép chiếu lên V dọc theo U .
Thật vậy, ta có Q2 = (I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − P = Q. Hơn nữa,

Q(uj ) = 0 với mọi j = 1, 2, ..., k và Q(ui ) = (ui ) với mọi j = k+1, ..., n.
Do đó imQ = V và kerQ = U .
22


Chương 2
Các khái niệm chỉ số của phương
trình vi phân đại số
Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi
phân đại số để đo độ phức tạp của phương trình vi phân đại số so
với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số tự nhiên, cung
cấp thơng tin hữu ích về cấu trúc tốn học và sự phức tạp trong việc
phân tích và tìm nghiệm của phương trình vi phân đại số.

2.1

Chỉ số Kronecker

Trước tiên ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số
hằng

Ex (t) + F x(t) = q(t), t ∈ J,

(2.1)

với E, F ∈ L(Rm ), x ∈ Rm , q ∈ Rm .
Xét chùm ma trận λE + F . Cặp ma trận (E, F ) được gọi là cặp
ma trận chính quy hay chùm ma trận chính quynếu tồn tại λ sao cho

det(λE + F ) = 0.
Định lý 2.1.1 (Weierstrass 1868, Kronecker 1890, xem, thí dụ [4]).
Giả sử (E, F ) chùm ma trận chính quy. Khi đó tồn tại hai ma trận khơng
suy biến U và V sao cho
23




U EV = 

I 0
0 N





 , UF V = 

C 0
0 I


,

(2.2)

trong đó N = diag(N1 , ..., Nk ), mỗi Ni có dạng


0 1
0
 .


.. ... 


Ni = 


0 1


0
0
và C giả thiết có dạng khối Jordan.

Chứng minh. [5] Do (E, F ) là chính quy nên tồn tại một số c sao cho

cE + F khả nghịch. Nếu ta nhân λE + F = cE + F + (λ − c)E) với
nghịch đảo của cE + F và khi đó phép biến đổi (cE + F )−1 E có dạng
khối Jordan chính tắc, từ Định lý I.12.2 trong [5] ta có




J 0
I 0

 + (λ + c)  1

0 J2
0 I

(2.3)

Ở đây, J1 chứa các khối Jordan với giá trị riêng khác khơng, J2 có các
giá trị riêng bằng không (chiều của J1 là bậc của đa thức det(λE+F )).
Do đó, J1 và I − cJ2 cả hai đều khả nghịch. Nhân (2.3) từ bên trái
−1
bởi khối (J1 , (I − cJ2 )−1 ) ta được




−1
I

0
J (I − cJ1 ) 0
 1
 + λ

−1
0
I
0 J2 (I − cJ2 )
−1
Các ma trận J1 (I − cJ1 ) và J2 (I − cJ2 )−1 có thể đưa về khối Jordan

chính tắc. Vì tất cả các giá trị riêng của J2 (I − cJ2 )−1 bằng khơng,
ta có cơng thức (2.2)
Do cấu trúc đặc biệt của ma trận lũy linh N , tồn tại µ ∈ N sao
cho N i = 0, i = 1, ..., µ, nhưng N µ = 0 (N là ma trận lũy linh bậc

µ − 1). Số µ khơng phụ thuộc vào cách chọn U và V .
24


Định lý 2.1.2 [6] Cho E, A ∈ Cn,n . Khi đó, tồn tại ma trận khơng suy
biến P, Q ∈ Cn,n sao cho

P (λE−A)Q = diag(Lε1 , . . . , Lεp , Mη1 , . . . , Mηq , Jρ1 , . . . , Jρv , Nσ1 , . . . , Nσw ),
(2.4)
trong đó Lεi là một khối đường chéo cấp εj × (εi + 1), εj ∈ N0 ,

 


0 1
1 0
 .
  .

.. ...  − 
.. ...  ;
λ

 

0 1
1 0

Mηj là khối đường chéo cấp

1

0

λ



(ηi + 1) × ηj , ηj ∈ N0 ,
 

0
...   ... 
 1


 

. . . 1 −  . . . 0 ;
 

 

1
0

Jρj là khối Jordan cấp ρj × ρj ,

1
 .

..

λ
...



ρj ∈ N, λj ∈ C,
 

λj 1
 

...

 

 

−
;
...
 
1
 

1
λj

Nσj là khối lũy linh cấp σj × σj , σj ∈ N,

 

0 1
1
 .
  .



.. ...  
..

 


λ
−
...  
...  .


1 


0
1

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Xét phương trình (2.1). Giả sử U và V là các ma trận nói trong
Định lí 2.1, ta giải (2.1) bằng cách đổi biến

u(t)
v(t)

x(t) = V
25

,