Luận văn phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
#

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
#
Chuyên ngành: Toán Gỉảỉ tích
Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS .Nguyễn Văn Hùng, người
đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường
THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU...............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN...............................................................3
1.1. Sai phân...................................................................................................3
1.1.1.

Định nghĩa........................................................................................ 3

1.1.2.

Tỉnh chất của sai phân......................................................................5

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính....................................................... 8
1.2.1.

Định nghĩa........................................................................................ 8

1.2.2. Nghiêm............................................................................................... 9
1.3. Tuyến tính hoá........................................................................................ 21
1.4. Sai s ổ ....................................................................................................... 25
1.4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 25
1.4.2. Quy tắc làm fròn............................................................................... 26
1.4.3. Sai số tỉnh toán...................................................................................27
1.4.4. Bài toán ngược của bài toán sai số..................................................29
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG........................................................ 31
2.1. Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Ellỉptỉc.............................31
2.1.1. Bài toán biên Dirichlet...................................................................... 31
2.1.2. Những bước đi chỉnh trong việc sai phân hoá bài toán biên
Dirichlet........................................................................................................ 31
2.2. Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Parabolỉc...................... 46
2.2.1. Bài toán biên của phương ừình Parabotíc.................................... 46
2.2.2. Những bước đi chỉnh trong việc sai phân hoá bài toán (2.45),
(2.46)............................................................. !.............................. ................47
2.3. Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Hyperbolỉc..................... 57


2.3.1. Bài toán............................................................................................57
2.3.2. Những bước đi chỉnh trong việc sai phân hoá bài toán Hyperbolic.
..................................................... 1 ........... ............................................... 58
CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
BẰNG MÁY TÍNH..........................................................................................61
Ví dụ 3.1. Giải bài toán:................................................................................61
Ví dụ 3.2. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet.............................................. 64
Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:.....................................68
Ví dụ 3.4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic:....................69
Ví dụ 3.5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:.....................................72
Ví dụ 3.6. Giải phương trình Hyperbolic..................................................... 76
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ........................................................................78
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 79


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán
ứng dụng của lí thuyết thủy động học, cơ học lượng tử, điện học- từ trường.
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Nhiều
bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển, vấn đề tìm nghiệm đúng của
các phương trình đạo hàm riêng không thể và cũng không cần trong mọi
trường hợp. Bởi vậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp giải gần đúng
các phương trình đó. Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được
sử dụng phổ biến nhất.
Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình
đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh
các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương
trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ
phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công
nghệ thông tin vào việc dạy và học toán. Và một trong những công cụ hữu
hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple.
Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo
hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài
nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Các kiến thức cơ bản về sai phân.
- ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm
riêng.
4. Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng.
§. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để
nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải
phương trình đạo hàm riêng.
Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm
riêng.


3
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN
1.1. Sai phân
Xét dãy số {xn}; dạng khai triển của nó là:

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là N có dạng
{ n } = { 0 , 1 , 2 , . . . , í t , ...},

dãy số nguyên dương z + có dạng {n} = {1,2,..., n , ...}; dãy số điều hoà

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n.
Kí hiệu x(ri) = x n.
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(ri) = xn

với n e Z \ {n} = {0, +1, + 2,..., ± n , ...} (hoặc n e

z +, hoặc n e N) là hiệu:

Thí dụ, hàm x n cho dưới dạng bảng
n ồ
xn

ỉ

1

2

3

4

3

4

7

6

Có sai phân hữu hạn cấp 1 là
ầ xữ =

X1

— x 0= 3 —1 = 2;

ầ x2 = x 3 — x 2= 7 —4 = 3;

Ax± = x 2 — X ị = 4 —3 = 1;
ầ x 3 = x4 — x 3= 6 —7 = —1;


4
Từ đây về

sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọitắt sai

phân hữu hạn cấp к là sai phân cấp k, còn sai phân cấp 1 gọi tắt

là sai phân.

Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai
phân cấp 1 của xn, và nói chung, sai phân cấp к của hàm x nỉầ sai phân của sai
phân cấp к — 1 của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là
ầ 2x n = ầ ( ầ x n ) = ầ x n+1 - ầ x n = x n+2 - x n+1 - { x n+1 - X n )

= x n + 2 — 2 x n+1 + x n ;

Sai phân cấp 3 của hàm xn là
ầ 3xn = ầ{ầ2xn) = ầ 2x n+1 - ầ 2xn
~ x n+ 3 — 2 x n + 2 + x n+1 — (X n + 2 — 2 Хп + ^-\-Хп)
~ x n+ 3 — 3 x n + 2 + 3 x n + í — x n .

Nói chung, sai phân cấp к của hàm xn là
ầ kxn = A(Afe_1xn) = ầ k~1xn+1 - Afe_1xn =
к

=

( 1.1)
i =0

trong đó
kì
° lk ~ i ì ự c - i y .
Từ công ứiức (1.1), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.


1.1.2. Tính chât của sai phân
Tính chất 1.1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
Chứng mình. Để chứng minh tính chất 1.1.1, ta chứng minh công thức
( 1. 1).

Thật vậy, với k = 1, ta có ầxn = xn+1 — x n = c ^ x n_t — c ị x n
Giả sử (1.1) đúng với k, có nghĩa là
k
à k x n = ^ ( - 1 ý C k X n + k - i'>

i=0
ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là
ầ k+1x n = ầ kxn+1 - ầ kxn =

k

k
l ) 1 C ỵX n+ 1 + k - í ~

=
i=0

l ) 1^ k x n+ k-í
i =0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i’ — 1, sau đó thay i’ bằng i, ta được
k

fc+l

i=0

i' = l

n+ k-i

k+1
= ~

( —l ) 1

l x n + k+ l-i-

i=1

Bởi vậy
k

=

£ ( - 1

i=0

k-1

y c ị x ^ ^ i + £ ( - D ‘4 - 1*
i=l


6
k

k
% n + k + l-i

= ^ ( - ì y c ỉ X n + k + l - i + Xn+k+1 +

i=l

i=l
+ ( - l ) fc+1*n =

k
=

1) * n + fc + l-i "I" * n + fc + l-i + ( —l ) fc+1* n =

i=l
k
= ^ ' ( ~ 1 ) ^ /c ^ -n + íc + l-i "I" “^n+fc+l "I" ( —1 )

—

i=l
fe+l

—^

‘''TH-ÍCH-I-Í1

i=0

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị n nguyên
dương.
Tỉnh chất 1.1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng mình. Ta phải chứng minh
ầ k (axn + byn) = aAkx n + bầkyn, k = 1,2,...
Thật vậy theo (1) ta có
k

ầ k {axn + byn) = ^ ( - l ý c ị{a x n+k_i + byn+k_i)
i=0
k

k

= ^ ( _1 ỳ c ia x n + k -i + ' Y t í - Ư c lk byn+k_i =
i=0
i=0


7
к

к

=

clk x n + k - i + b ^ ( - l ý
i=0

C fcJn+fc-i = CLầk x n + Ь А к у п .

i=0

Tính chất 1.1.3. Sai phân cấp к của đa thức bậc m là
1. Đa thức bậc m — к nếu к < m
2. Hằng số nếu к = m
3. Bằng 0 khi к > m.
Chứng mình. Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (ri) = n m là đủ.
1. Ta có, ầmn = (n + l)m

- n m = c ị + cị_n+ - + c%nm - nm =

= Cm + c rhn ^------- +■ C m - 1 *1™- 1 = Р щ - l ( n )-

Giả sử tính chất này đúng với к = s < m, ta chứng minh nó đúng với
к = s + 1 < m.
Thật vậy,
ầ s + ln m = Д ( Д * п т )

= д * ( п + ị^ m _ д ^ т

= APm _s (n ) =

2. Khi к = m, theo chứng minh trên ta có
Amn m = pm_m(n) = р0(п) = С = const;
3. Khi к > m, ta có
Akn m = Afc- mAmnm = Ak~mc = Afe- m- 1AC = 0.
Tính chất 1.1.4.
JV
^ Akxn = Ak~1xN+1 — ầ k~1xa
п-а

với к e z +.


8
Chứng minh.
1V

N

ầ kxn = ^
71=a

A(Afc_1xn) =

71=a

= Afc_1x a + 1 - Afc_1xa + Afc_1x a + 2 - Ak~1x a+1 + - + ầ k~1xN+1
- Afc- %

= Afc_13CjV+1 - Afc- 13ca.

Đặc biệt lưu ý trường hợp k=l, ta có
1V
Axn = xn+1 - xa .
71=a
1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Dị/t/t nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến
tính giữa sai phân các cấp:
F(.xn, ầ x n, A2x n, ..., Akx n) = 0
trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn; cấp lớn nhất của sai phân (ở
đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua
các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây
tương đương với định nghĩa 1.2.1, nhưng thuận tiện hơn.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:
Lh%n ~ Q-0%n+k "I" V l X n + k - l "I" ‘ ‘ ‘ "I" O-k^n ~ f n

( l -2 )


9
trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tinh tác dụng lên hàm xn, xác định trên
lưới có bước lưới h; aữ, a l t ..., ak với aữ ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các
hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm
số của n, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì
để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn,
rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi.
Định nghĩa 1.2.3. Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất.
Nếu / n í 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
Nếu f n = 0 và a 0l at , a k là các hằng số, aữ

0, ak

0 thì phương

trình (1.2) trở thành
Lhxn = aữxn+k + a13ín+fc_1 + - + akxn = 0

(1.3)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số
hằng số.
1.2.2. Nghiệm
Hàm số x n biến n, thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số x n phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng
quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu XQ, x±l..., x k_1 , ta đều xác
định được duy nhất các tham số Cị, c2 l..., ck để nghiệm xn trở thành nghiệm
riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn Xq = x ữ, x ± = x l t ..., x k_± = x k_±.


10
Định lí 1.2.1. Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng 5cn và X*, với X*
là một nghiệm riêng bất kì của (1.2).
Chứng mình. Thật vậy, giả sử xn và X* là 2 nghiệm của (1.2), tức là
Lfix n = f m Lfix h = fn-

Do Lh tuyến tính, nên
Lhxn ~ Lhxn ~ Lhi.xn ~ xrì) ~
tức là xn — x*n thoả mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát

Định lí 1.2.2. Nếu xn l,x n2, —,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.3), tức là từ hệ thức
C l x n l "I" ^ 2 x n2 "I"

"I" ^*1k x n k ~ ®

suy ra ct = c2 = ••• = ck = 0, thì nghiệm tổng quát 5cn của (1.3) có dạng
xn — C^xn! + C2xn2 + ••• + Cifc^nfc»
trong đó Cị, c2, ..., c k là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh, ta có
k

k

Lhxn ~ Lfi ^ ' Cị x nị — ^ ' Cị L^Xnị — 0
i=l
i=l
vì theo giả thiết xni là nghiệm, tức là Lhx ni = 0.
Vậy xn là nghiệm của (1.3).


11
Giả sử, x0, xt l ..., x k_1 là các giá trị ban đầu tuỳ ý. Ta chứng minh rằng,
có thể xác định duy nhất các hằng số clt c2, ..., ck để x ữ = x ữ,x 1 =
x 1, ..., x k_1 = x k_1. Điều này có nghĩa là hệ
rC1x ũl + C2X02 + ••• + ckx ữk = x ữ
+ ^2^12
^k^-lk = %1
<

"I" c k x k - l , k ~ x k - 1

CÓnghiệm duy nhất clt c2, ..., ck với mọi vế phải X Q,

x lt..., Xfc_i.

Muốn vậy, định thức

A=

...

x ữl

x 02

x ữk

*11

x 12

x lk

x k - 1,1

x k - 1,2

x k-l,k

phải khác 0. Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm
%n1>%n2> ■■■»%nkBây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xn của (1.3) và x*n của (1.2). Vì
phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0, nên để tìm nghiệm
tổng quát, ta tìm xn của (1.3) dưới dạng x n = CẰn, c =£ 0, Ấ =£ 0. Thay
x n = CẤn vào (1.3) và ước lược cho CĂn ± 0 ta được
LỷịẤ =

clqẰỉ* + M *

1 + ••• +

CLỵ = 0

(1-4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta
cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)). Nghiệm xn của (1.3) và x*n
của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4).


12
I.2.2.I. Nghiệm tổng quát xn
Định lý 1.2.3. Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là Ẫx, Ấ2 , ..., Ấk thì
nghiệm tổng quát 5cn của (1.3) có dạng
k
xn = cx% + c2% + - + Clk Ẳl = ^

QẤ?

1= 1

trong đó Cị, i = 1,..., k là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh.
Ta có
k
Lhx n = ^
i=l
VÌ

= 0

1 H----- f afc) = 0 (theo (1.4))

= ý!^(a0ý!^ +
Ta lại có
1
A=

1
À2

]k-1

1

Ă[k-1
2

Vì Ẳị ^ ýly Vi,ỹ. Định thức A trong trường hợp này là định thức Văng-đécmông cấp k.
Theo định lý 1.2.2,
k
xn = ^
i=l
là nghiệm tổng quát của (1.3).


13
Nếu phương trinh đặc trưng (1.4) có nghiệm thực Ắj bội s, thì ngoài
nghiệm

ta lấy thêm các vectơ bổ sung nýlj, n 2

,..., n s~1Ăj, cũng là các

nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó
s-1

k

zn = ỵ c Ị n ^
i=0

trong đó

Cj

và

Cị

C ịẦ Ỉ,

j* i= l

là các hằng số tuỳ ý.

V/ dụ: Phương trình sai phân
xn+3 —7x n + 2 + lÓ3Cn+1 — Ỉ2xn — 0
có phương trình đặc trưng là
Ằ3 - 7Ằ2 + 1 6 Ằ - 12 = 0
có cắc nghiệm Ấx = 2 (kép) và

^2

= 3. Đối với Ằí = 2 (kép) ngoài nghiệm

Ắị = 2n, ta bổ sung thêm nghiệm nX l = n2n và được nghiệm tổng quát là
Xn = (Cỉ + c ỉn ) 2 n + c23n
trong đó c l , c ị, c2 là các hằng số tuỳ ý.
Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm phức
Ẳị = a + bi = r{cos(p + isiiKỘ),
trong đó r = ịẴil = Va2 + b2, (p = acgumenẲị, có nghĩa là tg ọ = — , thì
(1.4) cũng có nghiệm liên hợp phức Ấl = a — bi = r(cosự) —isin(p). Khi đó
ta có XỊ = r n (cosmp + isinnạj); Ă™ = r n(cosn(p — isinnq)) là các nghiệm
của (1.3).


14

Ta lấy

Xnj = - Ụỉj + Ẳj n) = r ncosnạ 1
x ịj = — ự j + ẮJn>) = r nsinn(p

làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3), khi đó
k
xn = ^ CịXị + r n (CỊ cosncp + CỊsinnqì)
j±i=1
trong đó

Cị,

cỳ, cỷ là các hằng số tuỳ ý.

Ví dự. Phương trình sai phân
*n+ 3 -

5*71+2 + 8 * n + 1 - 6 x n = 0

có phương trình đặc trưng
Ằ3 - 5Ằ2 + 8 Ằ - 6 = 0
phương trình đặc trưng có các nghiệm Âì = 3, Ằ2 = 1 + i, Ầ2 = 1 — i; với
i2 = —í, ta có r = V1 + 1 = V2, tợ ự) = 1 => (p = Ẹ, do vậy
x n = cx 3n + i^Í2Ỵ(C l cosn— + c ịs in n —')
4
4
trong đó C-L, c ị, c ị là các hằng số tuỳ ý.
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức Ẵị bội s, thì nó cũng có
nghiệm liên hợp phức Ẳl bội s; trong trường hợp này, ngoài nghiệm Ằj1 =
r ncosn(p, Ằjị = r nsinn

Ấj2 = T nTLCOSTL(p, Ẫj2 = r nn 2 COSn(p, ...,Ấjs = rn n s~ 1 COSn(p

Ẫj2 = r nnsinn(p,Ẫj3 = r nn 2sirm(p, ...,Ấ]S = r nn s~1sirm(p


15
và theo định lí 1.2.2, ta có
k
x n = ^ CịXl + r n [(A± + A2n + — f J4sn s_1)cosnự)
j±i=1
+ (Ổ-L + B2n + — f 5sn s_1)sinnự)]
trong đó CỂI

^ 2 ,..., j4si ổ i, B2, ..., 5S là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân
^-71+6 —

5 "I"

4 —6^n+3 "I" ^^n+2 —^^n+1

—0

CÓphương trình đặc trưng
Ấ6 - 3ẦS + 4Ằ4 - 6Ằ3 + 5Ằ2 - 3Ằ + 2 = 0.
Phương trình đặc trưng có các nghiệm Ải = 3, Ầ2 = 2, Ầ3 = i (kép),
Ầ3 = —i (kép), với i2 = —1.
Tí

Ta có r = 1, (Ọ = -ị, và
5cn = C1 + c2. 2n + {At + A2ri)cos^ỵ- +

+ B2ri)sin^ỵ-,

trong đó clt c2, Alt A2, B±i B2 là các hằng số tuỳ ý.
1.2.2.2. Nghiệm riêng Xn
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân
tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm X* đơn giản hơn và
nhanh hơn. Các dạng đặc biệt này của X* là chuyển tương ứng từ các dạng
đặc biệt của phương trình vi phân thường. Để xác định các tham số trong các

16
dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là
phương pháp chọn).
a. Trường hợp f n là đa thức bậc m của n; m e N
fn = P m (ũ ).
1. Nếu các nghiệm

m fJV

Ẵ2 , ..., Ẵk là các nghiệm thực khác 1 của phương

trình đặc trưng (1.4), thì
xh = Qm(n),

me N

Qm(n) là đa thức cùng bậc m với f n.
2. Nếu có nghiệm >1=1 bội s, thì
Xn = n sQm(r0,

me N

trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc m với f n.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân:
1.

x n+3 - 7 x n+2 + 1 6 x n+1 - 1 2 x n = n + 1

x n+4 —xn+3 —3xn+2 + 53Cn+1 —1xn — 1.
Lời giải
1. Phương trình đặc trưng Ắ3 —7Ẩ2 + 1ỐẮ —12 = 0cónghiệm Ằ1 = 2
(kép), Ấ2 = 3 đều khác 1. Do vậy ta tìm 3C* = an + b vì f n = n + 1 là đa
thức bậc 1.
Để xác định a và b, ta thay x*n vào phương trình sai phân rồi so sánh các
hệ số của các luỹ thừa của n ở 2 vế:
a (n + 3) + b — 7 [a(n + 2) + b] + 16 [a(n + 1) + b] — 12 (an + b)
= 71 + 1
Từ đó với hệ số n ta có
1
—2 a = 1 => a = —
2


17
với hệ số tự do ta có
7
5a — 2b = 1 => b = —
4
Vậy

2.

Phương trình đặc trưng Ầ4 — Ầ3 — 3Ầ2 + SẰ — 2 = 0, có các nghiệm

Ắị = 1 (bội 3) và Ằ2 = —2, nên do /râ = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm
nghiệm x*n = n 3. a.
Thay x*n vào phương trình sai phân, ta được
a(n + 4 )3 —a(n + 3)3 —3 a(n + 2)3 + 5 a(n + l ) 3 —2 a n 3 = 1.

Vì 2 đa thức bằng nhau, khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối số,
nên cho n = 0, ta được 18a = 1 => CL =

1

1
Vậy Xn = ĨQ w3.

ồ. Trường hợp f n = pm (n )p n, trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n;

me N.
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm
thực khác /?, thì x*n có dạng
K = Qm(n)pn,
trong đó Qm (ri) là đa thức cùng bậc với fn.
2. Nếu (1.4) có nghiệm Ă = /? bội s, thì tìm X* dưới dạng
X n = n s Qm { ù ) p n ,

trong đó Qm (ị ĩ ) là đa thức của n cùng bậc với f n.
Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không
thuần nhất sau đây:


18
1. xn+4 — 10xn+3 + 35xn+2 —50xn+1 +24xn = 4 8 .5n
2. x n+3 - 7xn+2 + 16xn+1 - 12xn = 2n (24 - 24TÌ).
Lời giải
1. Phương trình đặc trưng Ắ4 — 10Ằ3 + 35Ằ2 — 50/1 + 24 = 0 có các
nghiệm Ăị = 1,Ă2 = 2 , ^ = 3,Ă4 = 4 đều khác 5; Pm(n) là đa thức bậc 0,
nên tìm x*n = a. 5n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho

5n ± 0, ta được
a. 54 —10a. 53 + 35a. 52 —50a. 5 + 24a = 24a = 48 => a = 2.
V ậy * ; = 2.5n.
2. Phương trình đặc trưng Ắ3 — 7A2 + 16Ắ —12 = 0 có nghiệm Ắị = 2
(kép), Ằ2 = 3; Pm (n) = 24 —24n là đa thức bậc 1, do vậy phải tìm X* =
n 2(an + b ).2 n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 2n
0, ta được
8[a(n + 3) + b](n + 3)2 - 28[a(n + 2) + b](n + 2)2
+ 32 [a(n + 1) + b](n + l ) 2 —12 [an + ồ]n2 = 24 —24n
so sánh các hệ số của các luỹ thừa n ở 2 vế ta được:
f -2 4 a = -2 4
l2 4 a - Sb = 24
giải hệ này ta được a = 1, b = 0 và Xn = n 2.2n.
c. Trường hợp f n = acosnx + psin n x với a, p là hằng sổ
Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng
x*n = acosnx + bsinnx


19
Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:
xn+3 - 2xn+2 - xn+1 + 2xn = (2 - V2)c o s ™ + 2s in ™ .
Lời giải
Tìm x*n dưới dạng:
nn
nn
X* = aco s-----1- bsin —
4
4
Thay x*n vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được
[(2

—V2 )a —2 b ]co s ------f +[2 a + (2 —V2 )ồ]sin— =
7171
7171
= (V2 — v 2 )yCOS—
+
2
s
in
—
4
4.
ỵ

So sánh hệ sô của cos

Ị— \

và sin

ở 2 vê, ta được

[ ( 2 - V 2 ) a - 2 Ồ = 2 - V2
1

2a + (2 - V2)ồ = 2
7171

Giải hệ này, ta được a = 1, b = 0 và Xn = cos - ự .
d. T r ư ờ n g h ợ p /n = / n i + /n2 + -

+ fns-

Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni, i =
1,2,

Nghiệm riêng X* ứng với hàm f n sẽ là Xn = x*!+ x *2 + ■■■+

Xns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân:
xn+ 4 ~ 3xn+3 + 3xn+2 — 3xn+1 +2xn —