phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
KHOA TOÁN

Phạm Thị Thanh Hà

PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG
MỞ RỘNG TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Đỗ Duy Thành

Hải Phòng - 2016


MỤC LỤC

Mục lục

1

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

2

Mở đầu

4

1 Kiến thức cơ sở

9

1.1

Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực . . . . . . .

9

1.2

Hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3

Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

Phép chiếu và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động . . . . . . . . .

15

1.5

Bài toán cân bằng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.2

Ví dụ thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.3

Điều kiện tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng

20

2.1

Xây dựng dãy lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Kết quả hội tụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận

30
1


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ
VIẾT TẮT
N

tập số tự nhiên

R

tập số thực

Rn

không gian Euclide thực n-chiều

H

không gian Hilbert thực

x

chuẩn của véc tơ x

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

x, y

tích vô hướng của hai véc tơ x và y

A⊂B

tập hợp A là tập con thực sự của tập hợp B

A⊆B

tập hợp A là tập con của tập hợp B

A∩B

tập hợp A giao với tập hợp B

A∪B

tập hợp A hợp với tập hợp B

A×B

tích Đề-Các của hai tập hợp A và B

argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

δC (·)

hàm chỉ trên C

P rC (x)

hình chiếu của x lên tập C

NC (x)

nón pháp tuyến ngoài của C tại x

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

V I(C, F )

bài toán bất đẳng thức biến phân

2


EP (C, f ) bài toán cân bằng
Sol(C, f )

tập nghiệm của bài toán EP (C, f )

I

ánh xạ đồng nhất

F ix(S)

tập các điểm bất động của ánh xạ S

3


MỞ ĐẦU

Bài toán cân bằng do W. Oettli và E. Blum [7] đưa ra năm 1994. Bài toán

này là sự khái quát hóa nhiều bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán
bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm cân bằng Nash,
bài toán điểm yên ngựa,...Tuy nhiên, Ky Fan [12] là người công bố kết quả đầu
tiên về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Từ đó đến nay đã có nhiều dạng
mở rộng đơn trị lẫn đa trị của kết quả này.
Một vấn đề được quan tâm trong 20 năm trở lại đây là xây dựng thuật toán
xấp xỉ nghiệm của bài toán cân bằng. Những công trình khai phá của W.Oettli
[7], A.Moudafi [19], I.V. Konnov [17], P.L. Combettes và S.A. Hirstoaga [11],...
đã tạo ra sự phát triển mạnh mẽ cả về số lượng và chất lượng của các nghiên cứu
về thuật toán xấp xỉ điểm cân bằng, trong đó phải kể đến các kết quả nghiên cứu
của một số tác giả người Việt Nam như L.D. Muu [21], P.K. Anh ([1, 2]), P.N.
Anh ([3, 5]),...
Một vấn đề cũng được quan tâm khá nhiều hiện nay là bài toán tìm điểm
chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động của các
ánh xạ không giãn. Hầu hết các thuật toán để giải bài toán này đều dựa trên
tính về ánh xạ nghiệm được đề xuất bởi P.L. Combettes và S.A. Hirstoaga
Tr (x) =

z ∈ C : f (z, y) +

1
y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C ,
r

trong đó r > 0, song hàm f đơn điệu trên C, và x ∈ H. Khi đó, ta có
(i) Tr đơn trị;
(ii) F ix(Tr ) = Sol(C, f ).
4

Vì vậy, tại mỗi bước lặp thứ k, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xk }
như sau:


x0 ∈ C tùy ý ,

Tìm uk ∈ C : f (uk , y) + 1 y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,
rk
điểm lặp xk+1 được tính theo xk và uk thông qua các kỹ thuật điểm bất động.
Do đó, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn được chuyển về việc giải một dãy các bài
toán cân bằng phụ. Thực tế cho thấy, nếu các bài toán phụ này chỉ giải được
nghiệm dạng xấp xỉ, thì chưa chắc dãy lặp đã hội tụ về nghiệm tối ưu cần tìm.
Đây là một vấn đề rất được quan tâm giải quyết và vẫn còn là một câu hỏi mở
cho việc nghiên cứu để tìm ra các thuật toán hữu hiệu cho bài toán này. Một vài
phương pháp tiếp cận nổi bật giải bài toán này trên một không gian Hilbert thực
H trong thời gian gần đây được biết đến như:
Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuất
bởi nhóm tác giả S. Takahashi và W. Takahashi [24]. Dãy {xk } được định nghĩa
bởi:




x0 ∈ C tùy ý ,



1
f (uk , y) +

y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,

rk




xk+1 = αk g(xk ) + (1 − αk )Suk , ∀k ≥ 0,

(1)

trong đó g : C → C là một ánh xạ co. Với các điều kiện cho trước của dãy các
tham số {αk } và {rk },
∞

∞

(i) αk ∈ [0, 1], lim αk = 0,
k→∞

αk = ∞,
k=1

|αk+1 − αk | < ∞;
k=1

∞

(ii) rk ∈ (0, ∞), lim inf rk > 0,
k→∞

|rk+1 − rk | < ∞.
k=1

tác giả đã chứng minh được rằng các dãy {xk } và {uk } hội tụ mạnh tới z =
P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z).
Phương pháp chiếu do A. Tada và W. Takahashi [23] giới thiệu. Tác giả đã
cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết khi chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên
5


giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội
tụ mạnh của thuật toán. Cụ thể, tác giả xây dựng dãy lặp như sau: Cho {xk } và
{uk } là các dãy sinh bởi x1 = x ∈ H và



uk ∈ C sao cho f (uk , y) + r1k y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,








wk = (1 − αk )xk + αk Suk ,




Ck = z ∈ H : w k − z ≤ x k − z ,





Dk = z ∈ H : xk − z, x − xk ≥ 0 ,






xk+1 = P rC ∩D (x),
k
k

trong đó {αk } ⊂ [a, 1] với a ∈ (0, 1) và {rk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rk > 0.
k→∞

Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới P rF ix(S)∩Sol(C,f ) (x).
Phương pháp đạo hàm tăng cường lần đầu tiên được G.M. Korpelevich [18]
đề xuất để giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toán
bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này sử dụng hai phép chiếu trong mỗi
bước lặp như sau:
x0 ∈ C, y k = P rC (xk − λk F (xk )) và xk+1 = P rC (xk − λk F (y k )).

(2)

Tiếp cận này cho phép giải bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F )

không cần giả thiết đơn điệu mạnh của hàm F mà chỉ cần giả đơn điệu và liên
tục Lipschitz. Gần đây, phương pháp đạo hàm tăng cường được mở rộng bởi T.D.
Quoc, L.D. Muu và N.V. Hien [21] để giải bài toán cân bằng EP (C, f ) trong Rn .
Trong trường hợp này, sơ đồ lặp (2) được viết dưới dạng: Cho x0 ∈ C, tìm y k và
xk+1 thỏa mãn


y k = argmin λk f (xk , y) +

1
2


xk+1 = argmin λk f (y k , y) +

y − xk
1
2

2

y − xk

: y∈C ,
2

: y∈C ,

với {λk } ∈ (0, 1]. Như một nghiên cứu mở rộng, P.N. Anh [4] đã sử dụng phương
pháp đạo hàm tăng cường để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng

với tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn và thu được sự hội tụ yếu của
6


thuật toán. Xuất phát từ một điểm tùy ý x0 ∈ C, dãy lặp được định nghĩa như
sau:





y k = argmin λk f (xk , y) + 12 y − xk 2 : y ∈ C ,



tk = argmin λk f (y k , t) + 21 t − xk 2 : t ∈ C ,





xk+1 = αk x0 + (1 − αk )Sxk .

(3)

Dưới các điều kiện của tham số {λk } và {αk }, tác giả đã chứng minh các dãy
{xk }, {y k } và {tk } hội tụ yếu tới x ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ) trong không gian Hilbert
thực.
Trên cơ sở tận dụng, kế thừa tối đa những kết quả nghiên cứu đã có trong
nước và trên thế giới về các phương pháp tìm điểm chung của tập nghiệm bài

toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, chúng tôi đã mở
rộng, cải tiến để đưa ra các thuật toán mới sử dụng tính đơn điệu suy rộng của
song hàm f đó là tính giả đơn điệu đồng thời khắc phục một số hạn chế khi tìm
nghiệm xấp xỉ thông qua việc giải bài toán cân bằng phụ của các phương pháp
trước đó.
Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương, các kết quả chính nằm
ở Chương 2.
Chương 1 là chương có tính chất bổ trợ, cung cấp những vấn đề cơ bản nhất
về bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn. Cụ thể, chương này đã nhắc lại một
số khái niệm cần thiết về giải tích hàm và giải tích lồi như: Sự hội tụ mạnh và
yếu trong một không gian Hilbert thực, hàm lồi và tập lồi, dưới vi phân của hàm
lồi, phép chiếu lên tập lồi đóng. Bên cạnh đó, định nghĩa về ánh xạ không giãn
cùng với các định lý điểm bất động nổi tiếng cũng được trình bày khá chi tiết.
Sau đó, chúng tôi đã giới thiệu về bài toán cân bằng, trình bày các điều kiện tồn
tại nghiệm và tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.
Chương 2 đưa ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm
bài toán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz
trên một không gian Hilbert thực H và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
S. Thuật toán này cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N. Anh [4]
7


với phương pháp chính quy thay phiên của S. Sun [22] để làm giảm nhẹ các điều
kiện của hàm f từ đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh xuống giả đơn điệu, đồng thời
loại bỏ được quá trình giải các bài toán cân bằng phụ, một công việc khá phức
tạp và thường chỉ cho nghiệm dưới dạng xấp xỉ. Thay vào đó, tại mỗi bước lặp
thứ k, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh, là những bài toán có thể thu
được lời giải chính xác và chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp.

8

Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert
thực

Các khái niệm hội tụ mạnh và yếu là những khái niệm rất cơ bản trong không
gian Hilbert. Nó là cơ sở để xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ của các
thuật toán sau này.
Định nghĩa 1.1. Dãy {xk } trong không gian Hilbert H gọi là hội tụ mạnh đến
x ∈ H nếu:
lim xk − x = 0.

k→∞

Ta ký hiệu: xk → x.
Định nghĩa 1.2. Dãy {xk } trong không gian Hilbert H gọi là hội tụ yếu đến
x ∈ H nếu:
lim xk , y = x, y ,

k→∞

Ta ký hiệu: xk

∀y ∈ H.

x.

Mệnh đề 1.1 ([8]). Cho một không gian Hilbert thực H, dãy {xk } và x thuộc H.
Khi đó, ta có
(i) Nếu xk → x, thì xk
(ii) Nếu xk

x;

x và xk → x trong H, thì xk → x;

9


(iii) Nếu không gian Hilbert H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và sự hội
tụ yếu là tương đương;
(iv) Nếu dãy xk bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta trích ra được một dãy
con hội tụ yếu;
Định lý 1.1 ([20], Điều kiện Opial). Với bất kì dãy {xk } ⊂ H mà xk

x, thì

bất đẳng thức
lim inf xk − x < lim inf xk − y
k→∞

k→∞

luôn đúng với mọi y ∈ H và y = x.
Định nghĩa 1.3. Cho C là một tập con của không gian Hilbert H. Một ánh xạ

T : C → H, được gọi là nửa đóng (demiclosed) tại điểm p, nếu dãy xk ⊂ C, sao
cho xk

1.2
1.2.1

x và {T (xk )} → p, thì T (x) = p;

Hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi
Tập lồi

Định nghĩa 1.4. Cho C là một tập con khác rỗng của một không gian Hilbert
thực H. C được gọi là tập lồi nếu với ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1], ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.5. Tập con C trong không gian Hilbert H được gọi là nón nếu
λx ∈ C, ∀x ∈ C, λ > 0.
Tập con C trong không gian Hilbert H được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa
là tập lồi, tức là
λx + µy ∈ C, ∀x, y ∈ C, λ, µ > 0.
Tập Rn+ là nón lồi trong Rn .

10


Định nghĩa 1.6. Cho không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là một tập lồi và
x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 (hay còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu
là NC (x0 ) và được xác định bởi công thức
NC (x0 ) := {p ∈ H : p, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}.

1.2.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.7. Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H và hàm f : C → R ∪
{+∞, −∞}. Khi đó tập hợp
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}
epif := {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}
được gọi là tập trên đồ thị (effective domain) và miền xác định (epigraph) của
f (x). Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên C nếu
domf = ∅, f (x) > −∞, ∀x ∈ C.
Mệnh đề 1.2. Cho không gian Hilbert H và C ⊆ H. Khi đó, hàm f : C →
R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu và chỉ nếu với ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1], ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Định lý 1.2. Một hàm thực f (x) khả vi hai lần trên một tập lồi mở C trong
không gian Hilbert H lồi nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ C, ma trận Hessian của nó
∂ 2f
Qx =
(x1 , x2 , . . . , xn )
∂xi ∂xj
nửa xác định dương, tức là
u, Qx u ≥ 0, ∀u ∈ H.
Ví dụ 1.1. Hàm f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R. Thật vậy, với ∀x, y ∈ R, µ ∈
[0, 1], λ + µ = 1, ta có
(x − y)2 ≥ 0
11


⇔ λµ(x2 + y 2 − 2xy) ≥ 0
⇔ λµx2 + λµy 2 − 2λµxy ≥ 0
⇔ λ(1 − λ)x2 + µ(1 − µ)y 2 − 2λµxy ≥ 0

⇔ λx2 + µy 2 ≥ λ2 x2 + µ2 y 2 + 2λµxy
⇔ λx2 + µy 2 ≥ (λx + µy)2
⇔ λf (x) + µf (y) ≥ f (λx + µy).
Định nghĩa 1.8. Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H. Hàm f : C → R ∪ {+∞}
được gọi là lồi chặt trên C, nếu với ∀x, y ∈ C, x = y; λ ∈ (0, 1), ta có
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
Chú ý. Hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.2. Trong không gian Rn , xét hàm f (x) = x . Dễ thấy f(x) là hàm lồi.
Nếu trên Rn \{0} thì f (x) không lồi chặt.
Thật vậy, lấy x ∈ Rn \{0} và λ ∈ (0, 1), ta có
λx + (1 − λ)0 = λ x + (1 − λ) 0 .
Vậy f (x) = x không lồi chặt.
Định nghĩa 1.9. Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H. Hàm f được gọi là lồi mạnh
trên C, nếu với ∀x, y ∈ C; λ ∈ (0, 1), ∃β > 0 sao cho
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β x − y 2 .
Khi đó, β được gọi là hằng số lồi mạnh của f .
Ví dụ 1.3. Cho không gian Hilbert thực H. Với x ∈ H xét hàm f (x) =
ta thấy: Với ∀x, y ∈ C; λ ∈ (0, 1), ta có
λf (x) + (1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y)
x
=λ
2

2

y
+ (1 − λ)
2

2

λx + (1 − λ)y
−
2
12

2

x 2
,
2


x 2
y 2
x 2
y 2
+ (1 − λ)
− λ2
− (1 − λ)2
− λ(1 − λ) x, y
2
2
2
2
λ(1 − λ)
λ(1 − λ)
x 2 + y 2 − 2 x, y =
x − y 2.
=

2
2
=λ

Vậy, hàm f (x) =

x
2

2

lồi mạnh với hệ số β = 1.

Định lý 1.3. (Định lý Moreau Rockafeller) Cho các hàm lồi chính thường f1 , f2 , ..., fm
trên Rn . Khi đó, với mọi x ∈ Rn
∂(f1 + f2 + ... + fm )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fm (x).
Hơn nữa, nếu các hàm f1 (x), f2 (x), ..., fm (x) (có thể trừ một hàm) liên tục tại
một điểm x¯ ∈ ∩m
i=1 domfi , thì:
∂(f1 + f2 + ... + fm )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fm (x).

1.2.3

Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.10. Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H và hàm chính thường
f : C → R ∪ {+∞}. Một vectơ p ∈ C được gọi là dưới gradient của f tại x0 ∈ C
nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 ,

kí hiệu
∂f (x0 ) := {p ∈ C : p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ C}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 1.4. Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert H. Xét hàm
chỉ trên C:
0

δC (x ) =



0

khi x0 ∈ C


+∞

khi x0 ∈
/C

Khi đó
∂δC (x0 ) = NC (x0 ), ∀x0 ∈ C.
13


Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì ∂δC (x0 ) = 0 và
∂δC (x0 ) = {p ∈ H : ∂δC (x) ≥ p, x − x0 , ∀x ∈ C}.
Hay
∂δC (x0 ) = {p ∈ H : 0 ≥ p, x − x0 , ∀x ∈ C} = NC (x0 ).

Định lý 1.4. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert
H và f : C → R là một khả dưới vi phân trên C. Điều kiện cần và đủ để điểm
x∗ ∈ C là cực tiểu của f trên C là
0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ).
Trong đó ∂f (x∗ ) là kí hiệu dưới vi phân của hàm f tại x∗ , NC (x∗ ) là kí hiệu của
nón pháp tuyến ngoài của C tại x∗ .
Định nghĩa 1.11. Cho hàm số f xác định trên một tập mở C ⊂ R.
i) Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ C nếu với ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho
f (x) − f (x0 ) <

với mọi x ∈ C thỏa mãn x − x0 < δ. Nói cách khác,

hàm f liên tục tại x0 ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ đến x0 , ta có
f (xk ) → f (x0 ).
ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng nửa liên tục trên) tại điểm
x0 ∈ C nếu ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho
f (x) ≥ f (x0 ) − (f (x) ≤ f (x0 ) + )
với ∀x ∈ C thỏa mãn x − x0 < δ. Nói cách khác, hàm f là nửa liên tục
dưới, (nửa liên tục trên) tại điểm x0 ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ
đến x0 ∈ C và dãy {f (xk )} ⊂ R hội tụ, ta có
lim f (xk ) ≥ f (x0 ) ( lim f (xk ) ≤ f (x0 )).
k→∞

k→∞

14


1.3

Phép chiếu và các tính chất

Định nghĩa 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một
điểm x ∈ H lên C, kí hiệu P rC (x) được xác định bởi
P rC (x) = argmin{ x − y : y ∈ C}.
Dùng định nghĩa 1.12, ta chứng minh được các tính chất sau:
Tính chất 1.1.

(i) Với mỗi x ∈ H, P rC (x) tồn tại và duy nhất;

(ii) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0, ∀x ∈ H, y ∈ C;
(iii) P rC (x) − P rC (y)

2

≤ P rC (x) − P rC (y), x − y , ∀x, y ∈ H;

(iv) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
(v) P rC (x) − P rC (y)
(vi) P rC (x) − y

1.4

2

2

≤ x−y

≤ x−y

2

2

− P rC (x) − x + y − P rC (y) 2 , ∀x, y ∈ H;

− P rC (x) − x 2 , ∀x, y ∈ H.

Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất
động

Định nghĩa 1.13. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Ánh xạ
S : C → C được gọi là ánh xạ không giãn, nếu:
S(x) − S(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.14. Cho S : C → C là một ánh xạ không giãn. Một điểm x ∈ C
được gọi là điểm bất động của ánh xạ S nếu S(x) = x. Kí hiệu F ix(S) là tập các
điểm bất động của S.
Định lý 1.5 ([9], [14], Browder-Gohde). Cho X là một không gian Banach lồi
đều, C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của X. Khi đó, mọi ánh xạ không giãn
15


S : C → C có điểm bất động trong C và tập hợp các điểm bất động của S là lồi,
đóng và khác rỗng.
Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của H. Khi đó mọi ánh
xạ không giãn S : C → C có điểm bất động trong C.
Định lý 1.6 ([16], Kirk). Cho X là một không gian Banach và C là một tập con
lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong X. Khi đó, mọi ánh xạ không giãn

S : C → C có điểm bất động trong C.

1.5
1.5.1

Bài toán cân bằng
Phát biểu bài toán

Định nghĩa 1.15. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và một song hàm f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0 với
mọi x ∈ C. Bài toán cân bằng, viết tắt là EP (C, f ) được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán EP (C, f ) là Sol(C, f ).
Định nghĩa 1.16. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Một song hàm
f : C × C → R,
được gọi là:
(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số β > 0, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ −β x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
(b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
16


(c) đơn điệu (monotone) trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C, nếu
f (x, y) ≥ 0 suy ra f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(e) giả đơn điệu chặt (strictly pseudomonotone) trên C, nếu
f (x, y) ≥ 0 suy ra f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;

(f ) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên C, nếu
f (x, y) > 0 suy ra f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(g) liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) trên C với hằng số c1 >
0 và c2 > 0, nếu
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

1.5.2

2

− c2 y − z 2 , ∀x, y, z ∈ C.

Ví dụ thực tế

Ví dụ 1.5. (Bài toán cân bằng Nash)
i) Cho I = 1, 2, ...p, là tập chỉ số hữu hạn (tập p - người chơi).
ii) Ki là một tập lồi khác rỗng của Rni (tập các chiến lược của người chơi thứ
i)
iii) Cho trước hàm fi : K1 × K2 × ... × Kp → R (ta gọi là hàm tổn thất của
người chơi thứ i khi vi phạm chiến lược của người chơi với mọi i ∈ I).
Cho x = (x1 , x2 , ..., xp ), y = y1 , y2 , ..., yp ) ∈ K1 × K2 × ... × Kp . Ta định nghĩa
vecto x[yi ] ∈ K1 × K2 × ... × Kp như sau:


xj
∀j = i,
x[yi ] =

yi
∀j = i.

17


Đặt K = K1 × K2 × ... × Kp . Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu
như sau:
Tìm x∗ ∈ K sao cho fi (x∗ ) ≤ fi (x∗ [yi ]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ K
Điểm thỏa mãn bài toán trên được gọi là điểm cân bằng Nash. Về ý nghĩa kinh
tế, điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi
điểm cân bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng
thì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt.
Nếu ta đặt f : K × K → R là hàm số xác định bởi
p

(fi (x[yi ]) − fi (x))

f (x, y) :=
i=1

với mọi x, y ∈ K, thì bài toán cân bằng Nash tương đương với bài toán cân bằng
(EP ).
Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm bài toán cân bằng Nash, khi đó
fi (x∗ ) ≤ fi (x∗ [yi ]) , ∀i ∈ I, ∀yi ∈ Ki
⇔ fi (x∗ [yi ]) − fi (x∗ ) ≤ 0 , ∀i ∈ I, ∀yi ∈ Ki
p

(fi (x∗ [yi ]) − fi (x∗ )) ≤ 0 , ∀y ∈ K

⇔
i=1

Theo cách đặt, ta có f (x∗ , y) ≤ 0, ∀yi ∈ Ki . Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của (EP ).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của (EP ) nhưng lại không phải là nghiệm
của bài toán cân bằng Nash. Khi đó, ta có
f (x∗ , y) ≤ 0, ∀y ∈ K.
Theo cách đặt đó, ta có
p

(fi (x∗ [yi ]) − fi (x∗ )) ≤ 0, ∀y ∈ K.
i=1

Vì x∗ ∈ K không phải nghiệm của bài toán cân bằng Nash, nên ∃i0 ∈ I sao cho
fi0 (x∗ ) > fi0 (x∗ [yi ]),
18

∀j = i0 .


Lấy x∗ [yi ] = x∗ , ∀j = i0 , ta có
fi0 (x∗ ) = fi0 (x∗ [yi ]),

∀j = i0 .

Kết hợp 2 điều kiện trên, ta suy ra
p

(fi (x∗ [yi ]) − f (x∗ ) < 0,

∀y ∈ K

i=1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng Nash.

1.5.3

Điều kiện tồn tại nghiệm

Mệnh đề 1.3 ([17]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và f : C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho với mỗi
y ∈ C, f (., y) là hàm liên tục trên C và với mỗi x ∈ C, f (x, .) là hàm tựa lồi trên
C. Giả sử rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa mãn:
i) C là tập compact;
ii) Tồn tại tập W ⊂ C sao cho với mọi x ∈ C\W , tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0.
Khi đó, bài toán EP (C, f ) sẽ có nghiệm.
Định lý 1.7 ([17]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và một song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}.
i) Nếu f đơn điệu chặt thì bài toán EP (C, f ) có không quá một nghiệm.
ii) Nếu f (., y) là hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ C, f (x, .) là hàm lồi, nửa
liên tục dưới với mọi x ∈ C và song hàm f là đơn điệu mạnh, thì bài toán
EP (C, f ) có duy nhất nghiệm.

19


Chương 2

Phương pháp đạo hàm tăng cường mở
rộng
2.1

Xây dựng dãy lặp

Trong thời gian gần đây, các thuật toán lặp để tìm điểm chung của tập
nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert thực đã được nghiên cứu và mở rộng bởi nhiều tác giả (xem
[4, 5, 6, 10, 15, 22, 24, 25, 26, 28]). Trong [22], S. Sun đã giới thiệu phương pháp
chính quy thay phiên (the alternative regularization method). Dãy lặp được xây
dựng như sau:



x0 , u ∈ C,




1
f (uk , y) +
y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,

rk




xk+1 = βk g(xk ) + (1 − βk )S(αk u + (1 − αk )uk ), ∀k ≥ 0,

(2.1)

trong đó g : H → H là một ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1), f là song hàm đơn
điệu trên C. Tác giả cũng chứng minh được rằng, với các điều kiện cho trước của
dãy các tham số {αk }, {βk } và {rk },
∞

(i) αk ∈ [0, 1], lim αk = 0,
k→∞

∞

αk = ∞,
k=1
∞

(ii) βk ∈ [0, 1], lim βk = 0,
k→∞

|αk+1 − αk | < ∞;
k=1
∞

βk = ∞,
k=1

|βk+1 − βk | < ∞;
k=1

αk
;
k→∞ βk

(iii) lim

20


∞

(iv) rk ∈ (0, ∞), lim inf rk > 0,
k→∞

|rn+1 − rk | < ∞.
k=1

thì các dãy {xk } và {uk } hội tụ mạnh tới z = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z). Tuy nhiên,
trong các thuật toán trên tại mỗi bước lặp thứ k đòi hỏi phải giải bài toán cân
bằng phụ xấp xỉ với song hàm đơn điệu trên C. Đây là cách làm khá phức tạp
và khó khăn khi chạy thuật toán trên máy tính. Để tránh được điều đó, chúng
tôi đã kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường được giới thiệu bởi P.N.
Anh [4] với phương pháp chính quy hóa tương đối của S. Sun [22], đưa ra một kỹ
thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng giả đơn điệu
EP (C, f ) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong một không gian
Hilbert thực. Khi đó, tại mỗi bước lặp thứ k chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán
lồi mạnh với phương pháp giải tương đối đơn giản và thu được nghiệm chính xác.
Cho trước x1 , t ∈ H. Dãy {xk } được xác định như sau.




y k = argmin{λk f (xk , y) + 21 y − xk 2 : y ∈ C}




tk = argmin{λk f (y k , t) + 21 t − xk 2 : t ∈ C}



 k+1

x
= βk g(xk ) + (1 − βk )S(αk t + (1 − αk )tk ).

(2.2)

1
Trong đó g : H → H là một ánh xạ co với hệ số co δ ∈ (0, √ ).
2
Giả sử song hàm f : C × C → R và ánh xạ không giãn S : C → C thỏa mãn
các điều kiện:
(A1 ) f liên tục kiểu Lipschitz trên C;
(A2 ) f giả đơn điệu và liên tục trên C;
(A3 ) Với mỗi x ∈ C, f (x, .) khả dưới vi phân và lồi trên C;
(A4 ) F ix(S) ∩ Sol(C, f ) = ∅.
Bổ đề 2.1 ([27]). Cho {ak } là một dãy số thực không âm sao cho
ak+1 ≤ (1 − αk )ak + βk ,
trong đó {αk }, {βk } thỏa mãn:
21

k ≤ 0,

(i) αk ⊂ (0, 1),
∞
k=1 |βk |

(ii)

∞
k=1 αk

= ∞;

< ∞ hoặc lim sup
k→∞

βk
≤ 0.
αk

Khi đó, lim ak = 0.
k→∞

Bổ đề 2.2 ([13]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không gian
Hillbert thực H. Nếu F ix(S) = ∅ thì (I − S) nửa đóng, tức là, bất kỳ {xk } ⊂ C
hội tụ yếu đến x¯ ∈ C và dãy {(I − S)(xk )} hội tụ mạnh tới y¯ thì (I − S)¯
x = y¯,
với I là toán tử đơn vị của H.
Bổ đề 2.3 ([4]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không gian
Hilbert thực H. Cho f : C × C → R là một song hàm giả đơn điệu, liên tục kiểu
Lipschitz với hằng số c1 , c2 > 0. Với mỗi x ∈ C, cho f (x, .) lồi, khả dưới vi phân

trên C. Giả sử dãy {xk }, {y k }, {tk } sinh bởi (2.2) và x∗ ∈ Sol(C, f ) thì
tk − x∗

2.2

2

≤ xk − x∗

2

− (1 − 2λk c1 ) xk − y k

2

− (1 − 2λk c2 ) y k − tk 2 ,

∀k ≥ 0.

Kết quả hội tụ

Định lý 2.1. Giả sử các giả thiết (A1 ) - (A4 ) được thỏa mãn x1 , u ∈ C và các
dãy số dương thỏa mãn các điều kiện:
i) αk ⊂ (0, 1),

∞
k=0 αk

= ∞,

ii) βk ⊂ (0, 1),

∞
k=0 βk

= ∞,

lim αk = 0;

k→∞

lim βk = 0;

k→∞

αk
= 0;
k→∞ βk

iii) lim

iv) λk ⊂ [a, b],

a, b ∈ (0,

1
), trong đó L = max{2c1 , 2c2 }.
L

Khi đó các dãy {xk }, {y k }, {tk } cùng hội tụ mạnh đến x∗ với điều kiện

lim xk+1 − xk = 0, trong đó, x∗ = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(x∗ )

k→∞

Chứng minh.
Bước 1. Chứng minh lim xk − tk = 0.
k→∞

22


Với mỗi x∗ ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), từ xk+1 = g(xk ) + (1 − βk )S(αk t + (1 − αk )tk )
và Bổ đề 2.3 ta có
xk+1 − x∗

2

= βk g(xk ) + (1 − βk ) S(αk u + (1 − αk )tk ) − x∗

2

= βk (g(xk ) − x∗ ) + (1 − βk ) S(αk u + (1 − αk )tk ) − S(x∗ )
≤ βk g(xk ) − x∗

2

+ (1 − βk ) αk u + (1 − αk )tk − x∗

= βk g(xk ) − g(x∗ ) + g(x∗ ) − x∗ )

2

+ 2βk g(x∗ ) − x∗

+ (1 − βk )(1 − αk ) tk − x∗
≤ 2βk δ 2 xk − x∗

2

+ (1 − βk )(1 − αk ) xk − x∗

2

+ (1 − βk )αk (u − x∗ )

2

2

+ (1 − βk )αk (u − x∗ )

2

2

− (1 − 2λk c1 ) xk − y k

2

2

+ (1 − βk )αk u − x∗

− (1 − 2λk c1 )(1 − βk )(1 − αk ) xk − y k
≤ xk − x∗

2

2

2

≤ 2βk δ 2 + (1 − αk )(1 − βk ) xk − x∗
+ 2βk g(x∗ ) − x∗

2

2

+ 2βk g(x∗ ) − x∗

− (1 − 2λk c2 ) y k − tk

2

2

+ (1 − βk ) αk (u − x∗ ) + (1 − αk )(tk − x∗ )
≤ 2βk δ 2 xk − x∗

2

+ 2βk g(x∗ ) − x∗

2

2

2

(2.3)

+ (1 − βk )αk u − x∗

2

− (1 − 2λk c1 )(1 − βk )(1 − αk ) xk − y k 2 .

(2.4)

Từ giả thiết (iv) và (2.4), ta có
(1 − αk )(1 − βk )(1 − 2bc1 ) xk − y k

2

≤ (1 − αk )(1 − βk )(1 − 2λk c1 ) xk − y k
≤ xk − x∗

2

− xk+1 − x∗

2

2

+ 2βk g(x∗ ) − x∗

2

+ (1 − βk )αk u − x∗

xk − x∗ + xk+1 − x∗

≤ xk − xk+1

+2βk g(x∗ ) − x∗

2

+ (1 − βk )αk u − x∗ 2 .

(2.5)

Từ (2.3), ta có
xk+1 − x∗

2

2

≤

1 − αk (1 − βk ) + βk (1 − 2δ 2 )
23

xk − x∗

2


2
g(x∗ ) − x∗
2
1 − 2δ
+αk (1 − βk ) u − x∗ 2 .
+βk (1 − 2δ 2 )

2

Từ đó, dẫn đến:
xk+1 − x∗

2

max { xk − x∗ 2 ,

≤

2

g(x∗ ) − x∗ 2 , u − x∗ 2 }
2
1 − 2δ

≤ ...
max { x0 − x∗ 2 ,

≤

2
g(x∗ ) − x∗ 2 , u − x∗ 2 }.
2
1 − 2δ

Suy ra {xk } là dãy bị chặn. Do đó, {y k }, {tk } cũng bị chặn.
Vì lim xk − xk+1 = 0, lim βk = lim αk = 0, {xk } là dãy bị chặn nên từ (2.5)
k→∞

k→∞

k→∞

ta có:
lim xk − y k = 0.

k→∞

Bằng lập luận tương tự, ta cũng có lim y k − tk = 0.
k

Từ x − t

k

k

≤ x −y

k

k→∞
k

k

+ y − t , ta được
lim xk − tk = 0.

k→∞

Bước 2. Chứng minh lim tk − S(tk ) = 0.
k→∞

k

Đặt u = αk t + (1 − αk )tk . Khi đó, ta có:
xk+1 − xk = βk g(xk ) + (1 − βk )S(uk ) − xk
= βk (g(xk ) − xk ) + (1 − βk )(tk − xk )
+(1 − βk )(S(uk ) − S(tk ) + S(tk ) − tk ).
Điều này dẫn tới

(1 − βk ) S(tk ) − tk

≤ βk g(xk ) − xk + (1 − βk ) tk − xk
+(1 − βk ) S(uk ) − S(tk ) + xk+1 − xk
≤ βk g(xk ) − xk + (1 − βk ) tk − xk
+(1 − βk ) uk − tk + xk+1 − xk .
24