Luận văn tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN HOÀNG THẢO

T ÍN H Ổ N Đ ỊN H C Ủ A CẤC
K H U N G VÀ C ơ SỞ RIESZ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN HOÀNG THẢO

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC
K H U N G VÀ C ơ SỞ RIESZ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
C h u y ê n n g à n h : T o án giải tíc h
M ã số: 60 46 01 02

N gười h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c

T S . N g u y ễn Q u ỳ n h N g a

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh
Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp
nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học.
Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K17 (đợt l)-trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
T ác g iả

N g u y ễn H o àn g T h ả o


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài " T ín h ổn đ ịn h c ủ a các k h u n g và cơ sở R iesz" được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác
giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất.
Hà Nội, tháng 1 năm 2015
T ác g iả

N g u y ễn H o àn g T h ả o

M ục lục
Mở đ ầu ...
C h ư ơ n g 1 K iế n th ứ c ch u ẩ n bị
1.1. Phép biến đổi Fourier

1
4
4

1 . 1 . 1 . P h é p biến đổi Fourier tro n g khô ng gian L 1 (Kd)

4

1 . 1 . 2 . P h é p biến đổi Fourier tro n g không gian L 2 (Kd)

5

1 . 2 . Khung trong không gian Hilbert

6

1.3. Cơ SỞ Riesz

14

1.4. Khung hàm số mũ

19

1.5. Khung sóng nhỏ

27

C hư ơ n g 2. T ín h ổ n đ ịn h c ủ a các k h u n g và cơ sở R iesz

31

2 . 1 . Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz tổng quát

31

2 . 2 . Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz hàm số mu

49

2.3. Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz sóng nhỏ

58
ro

T ài liệu th a m k h ảo

71


Mở đầu
1. Lý d o ch ọ n đ ề tà i
Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn mỗi phần tử của không gian Hilbert

thành một chuỗi vô hạn. Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ
phức tạp qua các véc tơ đơn giản hơn. Đây là bài toán thường xuyên
xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật như giải
tích điều hoà, phương trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình
ảnh. Mặc dù về lý thuyết dễ thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực
giao đôi khi gặp rắc rối. Ví dụ như không phải luôn luôn dễ dàng tìm
một cơ sở trực giao và có những trường hợp khi khai triển theo chuỗi
trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở tổng quát hơn
vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp.
Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở
ở một khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và
do đó tính duy nhất của biểu diễn của các cơ sở bị mất đi. Chính tính
thừa này của khung có những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử
lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của
tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ
mẫu có độ chính xác tương đối thấp.
Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ
nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà. Tuy nhiên phải đến năm 1986
sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới
nhận được sự quan tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học.
Cho H là một không gian Hilbert khả ly. Một dãy
1

{ f n } n€N

trong H được


2

gọi là một khung nếu tồn tại các hằng số A,B > 0 hữu hạn sao cho với
mọi / € H ta có

^ I I / I I2< E I Ư . / « ) I 2< B | | / I I 2
n€N

Một khung được gọi là một cơ sở Riesz nếu sau khi bỏ đi một phần tử
bất kỳ của dãy thì nó không còn là khung nữa.
Bài toán ổn định của các khung và cơ sở Riesz được đặt ra như sau:
Cho một dãy {#*.} theo một nghĩa nào đó gần với khung hay cơ sở Riesz
{fk} .Ta cần tìm các điều kiện để đảm bảo rằng {gk} cũng là một khung
hay cơ sở Riesz.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán ổn định trên, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi
đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài “T ín h ổ n đ ịn h củ a các k h u n g
và cơ sở R i e s z ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào
tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
2. M ụ c đ ích n g h iê n cứ u
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính ổn định của các khung
tổng quát, tính ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định
của các khung và cơ sở sóng nhỏ.
3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
- Tìm hiểu về tính ổn định của các

khung

và cơ sở Riesz

4. Đ ối tư ợ n g và p h ạ m vi n g h iê n cứ u
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái

niệm và kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz, khung
hàm số mũ, khung sóng nhỏ.Tính ổn định của các khung tổng quát, tính


3

ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung
và cơ sở sóng nhỏ.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.
- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.
- Tổng hợp, phân tích, hệ

th ố n g

các khái niệm, tính chất.

6 . Đ ó n g góp m ới c ủ a lu ậ n văn

Trình bày một cách tổng quan về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.


Chương 1
K iến thức chuẩn bi
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn
bị cho chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài

liệu tham khảo[l]-[3],[8].

1.1. P h ép biến đổi Fourier
Ta sử dụng các kí hiệu sau trong luận văn
Lp (Rd) := 1 / :

—>• C |/ đo được và J I/ (x)|p dx < oo

trong đó 1 < p < oo.
Lp (Rrf) là không gian Banach với chuẩn là

L°° (Rd) := { / :

C |/ đo được và3C , I/ (x)| <

c h.k.n } .

L°° (Rd) là không gian Banach với chuẩn là
ll/lli- (R-) : = esssup|/(rc)|
ĩễ R1*
inf

{C\ \f (x) I < c h.k.n } .

1.1.1. P h é p b iế n đổi F o u rie r tr o n g k h ô n g g ian L l (Mrf)
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f € L 1 (Rrf)
đuợc cho bởi công thức
; (w) = ự ỉ ) (o>) := í e - 2"«*’" 1/ (x) dx,
jR d
4

5

d
trong đó (х,ш) =

k= 1

x kUk, X = {хи х 2, ...,xd), и = (wi,cư2 , -,U d) ■

Một số tính chất cơ bản của / (cư) với / g L 1 (Rd) được cho trong hai
định lý sau.
Đ ịn h lí 1.1.2. Cho f e L 1 (md). Khi đó
i) ị s L°° (R“), v ì | | / | | ^ (в4) < ll/lli.(»-) ;
ii) f liên tục đều trên Má;
i i i ) / (cư) —>• 0 k h i cư —>■ ± 0 0 .

Định lí 1.1.3. Nếu /, <7e L1 (Rd) và /3,7 e с, a, b, ш G Md; a. G ъ ё+ thì
i) F { ß f + 7g} = ß F { /} +

Ы

гг) T { T J } (u) = e - 2^ > f (u)
ni) T (E bf ) (w) = / (w - b)
IV) (D af ) h (w) = {2ттгш)а f (w)
trong đó Taf (t) := f ( t - a ) , Ebf

:= е 2” (м>/ ( t ) .
d

о đây ta đã sử dụng ký hiệu 0Ja = П U)jai , D a = ” Д ... ” a trong
дхГ"дх?
3 =1
đó а = ( a i ,a 2, - , a d) và UI = (wi,ư2, —,Ud) ■
( t)

Ọ

1.1.2. P h é p b iế n đổi F o u rie r tr o n g k h ô n g g ian L 2 (Rd)
Đ ịn h lí 1.1.4. Cho / ẽ i 1 (Rd) C\L2 (Rd). Khỉ đó phép biến đổi Fourier
của f là / € L 2 (Má) và thỏa mãn đồng nhất thức Parseral f
L 2(Rd)

l l / l l i 2(Rd) •

Từ định lý này ta thấy phép biển đổi Fourier T : L 1 (Rrf) CìL2 (]Rá) —»•
L 2 (Rá) là toán tử tuyến tính bị chặn.
Do L 1 (Rd) CìL2 (Rrf) là trù m ật trong L 2 (Rd) nên T có thể thác triển
lên toàn bộ L 2 (Rd) mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn, nếu / € L 2 (Rrf)


6

thì
ỉ n (x ):=

f ( x ) nếu Ircl < N
0

nếu \x\ > N, N = 1,2,...

nằm trong L 1 (Rd) n L 2 (Rd). Do đó /jv € L 2 (Má) .
Có thể kiểm tra được rằng {/ỉv j là dãy Cauchy trong L 2 (Mrf) . Do
tính đầy đủ của L 2 (Má) ta có thể tìm được /oo G L 2 (Rrf) sao cho
lim Ỉ N - h

= 0.
L 2( Rd)

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5. Phép biến đổi Fourier / của hàm f € L 2 (Rá) được
định nghĩa ỉà giới hạn /oo của | / / v | .
C h ú ý 1.1.1. Định nghĩa f của hàm f G L 2 (Rá) là độc lập với sụ lụa
chọn của f N G L 1 (Rá) n L 2 (Rd) . Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào
khác trong L 1 (Rd) n L 2 (Má) mà xấp xỉ f trong L 2 (Rrf) có thể sử dụng
để định nghĩa / .
Đ ịn h lí 1.1.6. (Định lý Plancherel)
Cho f , g £ L 2 (Md). Khi đó
{f , 9 ) = Ọ >9 )
Dặc biệt
ỉ

1.2. K hung trong không gian H ilbert
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
khung cần đến cho Chương 2 . Các kết quả ở mục này có thể tham khảo
ở tài liệu [1], [3].
Cho % là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng


7

tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành
phần thứ hai.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Dãy { ỉ i } ^ trong "K được gọi là dãy Bessel nếu
00

3 B > 0 : £ l ơ , /i>|2 < B\\f\\2, V f £ H ,
i=1
B được gọi là cận Bessel của { / 1 }°°!.
Một dãy Bessel {fi}°°=1 là một khung nếu
00

3A > 0 : A\\f\\2 <

K/, / f>I2, V / Ễ « .
i=1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. Một dãy
hai hằng S Ố O < Ẩ < 5 < 0 0

trong H là một khung nếu tồn tại
sao cho

00

^ll/ll2!i
=1

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tấ t cả các cận khung dưới và
cận khung trên tối ưu là iníimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý
rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung

được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung

Parseval nếu A = B = 1.
M ệ n h đ ề 1.2.3. Cho một dãy

trong không gian Hilbert hữu hạn

chiều V. Khi đó { f j } m=1 là một khung cho span

.

C h ứ n g m in h . Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các fj đều bằng
không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
m

B = E i i a i i 23 =1


8

Bây giờ ta đặt w := span { f j } m=1 và xem xét ánh xạ liên tục
m

Ỉ > : W ^ R , ĩ>(/) :=

|
Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g E w với
= 1 sao cho
m

m

A : = Y 1 \{9, fj) I2 = inf <
|( /, fj) I2 : f e w , 11/11 = 1
W =1
Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f £ w , f 7^ 0, ta có

□

Mệnh đề được chứng minh.
H ệ q u ả 1.2.4. Một họ các phần tử
V khi và chỉ khi span

trong V ỉà một khung của

= V.

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu { f j } k=1 là một khung của V và
{9j}m=i là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=1 u {gj}m=1
cũng là một khung của V.
V í d ụ 1 . Lấy

T hật vậy, với X

= (xi, X2 Ỵ ẽ H bất kì, ta có

X) \{x,ej)\2= X2 2 + ( j ị x i + 1 ^ 2)

+ ( j ị x i - 1 ^ 2)

= I (x i2 + X2 2)
= § |z|2.
V í d ụ 2 . Giả sử {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) {efc}^°=1 là khung Parseval.
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {efc}^°=1 hai lần ta thu được
{fk}T=

1 =

I e 1 > e b e 2, e 2, ... } k h i đ ó { f k } T = i

là k h u n g c h ặ t v ớ i c ậ n

khung А = 2 .
00

00

Thật vậy, ta có £ |(/, fk) I2 = 2 X ) | ( / , efc)|2 = 2||/||2, V / € K .
ifc=l
k= 1

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được
= {ei, ei, 02 , ез, ... } khi

đó {/fc

là khung với cận A = 1 ,B = 2. T hật vậy, ta có
00

00

Ẽ l </, л > | 2 = к / , e i)| 2 + Ề l
fc=l

Jfe=l

00

00

< Ẽ I ( / , ek)\2+ t \ ( f , ek)\2
k= \

k= 1

00

= 2 £ l < / , efc)|2
fc=i

= 2 ||/||2.
00

00

Mặt khác |( /, ei )|2 +

lơ , e*)|2 > E I(f, e fc)|2 = ||/ ||2. Do đó
k= 1

*=1

00

l l/ ll2 < £ l ơ , л>12 < 2Ц/112, V/ е И .
fc=l

Vì vậy
khung trên là 2 .

là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận


với mỗi / € ĩ i có
00

2

00

2

11/11

Vì thế {fk} là một khung chặt của n với cận khung A = 1.
V í d ụ 3. Cho K = L 2(T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ
đo Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó ị e ins : n ẽ Z Ị là một cơ sở trực chuẩn
tiêu chuẩn cho K = L 2(T). Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì
{eins\E : n G z j là một

khung

Parseval cho L 2(E).

T hật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
B ổ đề 1.2.5. Cho ĩ i là không gian Hiỉbert và X là không gian con đóng
của H. Gọi p là phép chiếu trực giao từ H lên X và {ei}ÍỄ/ là một cơ
sở trực chuẩn của H. Khi đó

{ P e i } i €l

ỉà một khung Parsevaỉ của X .

C h ứ n g m in h . Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ. Khi đó P f = / .
Ta có

£ \ự, Pei)\2=E I e<>|2=E l</’e'>|2=iưil2Do đó {Pei}i€l là một khung Parseval của %.

Bây giờ ta se chứng minh {eins\E}

z là một khung Parseval cho

L 2{E).
Cho / € L 2{E). Đặt f{t) = <

□

f( t) nếu t E E
0 nếu t e T \ E .


11

Khi đó f ( t ) e L 2(E). Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể
coi L 2(E ) là một không gian con đóng của L 2(T). Gọi p là phép chiếu
trực giao từ Z/2(T) lên L 2{E). Khi đó p ( e ins) = eins\E- Do {eins} z là
cơ sở trực chuẩn của L 2(T ) nên, theo Bổ đề 1.2.5 {eins|£:} z là khung
Parseval cho L 2(E).
Đ ịn h lí 1.2.6. Giả sử {fk}kLi ỉà một dãy trong ĩ i . Khi đó

là

một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
oo

T '■ {cfcir=i

y .C k ỉk
k= 1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ Ỉ2(N) vào H và
||T|| < yfB.
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả

th iế t

{fk}kLi là dãy Bessel với cận Bessel

B. Giả sử {c*;}^ e / 2 (N). Ta phải chỉ ra T{ch}™=l là hoàn toàn xác
00

định, tức là

ckfk là hội tụ. Xét m, n e N, n > m. Khi đó:
k= 1

n

k=l

m

Ckfk

k= 1

ckfk

k=m+l
sup

N 1=1

ckfk
(
ckfk) 9 ị
\k=m+ 1
/

/
<

n
v /z
/ n
v /z
( Ể \ck\2 ) sup (è
\{fk, g )I2 )
\fc=m+l
/
||s|| =l \k —m+l
/

_ / «
\ 1/2
E M 2
Vfc=m+1
/
{

”
fc=i

.

1 00

|cfc|2 >

J k= 1

là dãy Cauchy trong c.


12

Tính toán trên chỉ ra rằng <í n ckfkì (00
L =1

là một dãy Cauchy trong H

J k=1

và do đó hội tụ.
Vậy T{cỵ}°£=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ
llT ( cfc}r=ill = SUP \(T i ck}ĩ= 1, 9) I ,
llffll=l

tính toán trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < V b .
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và

im i < VẼ,
khi đó
00

ỵ2 \{f, ft)\2< Iirii2n/Ii2,

V/ 6 «

k=0
chỉ ra {fk}kLi là dãy Bessel với cận Bessel B.

□
00

H ệ q u ả 1.2.7. Nếu {/fc}^! là một dãy trong H và

ckfk hội tụ với
fc=i

mọi

e / 2 (N) thì {fk}kLi là một dãy Bessel.
00

H ệ q u ả 1.2.8. Nếu {fk}kLi là một dãy Bessel trong %, thì
tụ không điều kiện với mọi {Cýfc}^°=1 € Z2 (N).
Do một khung {fk}kLi là một dãy Bessel nên toán tử
00

T : i ! ( N ) ^ J Í , T K £ = E l‘ / ‘
k= 1
bị chặn bởi Định lí 1.2.6. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T* •,'H —»• Z2(N) là toán tử liên hợp của T.
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi

j

( T Ị , Êj) = ( /, Teị) = if, Ị ị )

ta có

Ckfk

k= 1

hội


13

Từ đó T*/ = { (/,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung
00

= T T ' f = ỵ 2 (/, h ) Д.
k= 1

M ệ n h đề 1.2.9. Giả sử {fk}kLi là một khung với toán tử khung s và
cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.
(ii) { £ 1
tối ưu của

là khung với cắc cận

в

г,А 1. Nếu А, в là các cận

thì cấc cận -B-1, A~x là tối ưu của { s -1 fk}™=1- Toán

tử khung của {Khung { s ~ 1fk} được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của n thì mọi phần
t ử tr o n g H có th ể b iể u d iễ n n h ư m ộ t t ổ h ợ p tu y ế n tín h v ô h ạ n c ủ a cá c

phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy
rộng.
Đ ịn h lí 1.2.10. Giả sử {fk}™=1 ỉà một khung với toán tử khung là s .
Khi đó
00

/ = E ( /> 5_1Л)Л. v/ e H,
k= l

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f € H.
C h ứ n g m in h . Giả sử / G ĩi. Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Bổ đề 1.2.9 ta có
00

/ = 5 S - 1/ = Y .
Í=1

oo

/<)/< = E < /’ 5 " ‘л ) л . V / Ễ H.
i=1


14

Do

{ } fcL1 là một dãy Bessel và {(/, s

1fk)}™=1

£

theo Hệ quả

1 .2 .8 c h u ỗ i h ộ i t ụ k h ô n g đ i ề u k iệ n .

□

Đ ịn h lí 1.2.11. Một dẫy { / * trong % là khung của H khi và chỉ khi
oo

T '■{fk}kLl

^ 2 ckfk
k= 1

là ánh xạ hoàn toàn xác định tuyến tính liên tục từ Z2 (N) lên H.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 . 1 2 . Cho {fk}^=1 là một dãy trong Tí. Ta gọi {fk}kL\
là một dãy đầy đủ nếu span {fk}kLi = %■

1.3. Cơ sở R iesz
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Một cơ sở Rỉesz trong H là một họ có dạngịưek}kL\Ị
trong đó {efc} ^ 1 là một cơ sở trực chuẩn của H và

u
là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Đ ịn h lí 1.3.2. Nếu { f k

ỉà một cơ sở Riesz của H thì tồn tại duy

nhất một dãy {gk}™=1 trong U sao cho
00

( 1.1)

/ = X ) </.»*>/*. v / e « ,
k= 1

{gk}T=i

cũng ỉà một cơ sở Riesz và {fk}kLn

tức là

Ì9k}kl i

là son9 trif c giao,

t

1 khi j = k

{fji 9k)

àj,k

*
0 khi j Ỷ k.

Hơn nữa, chuỗi (11.11) hội tụ không điều kiện với mọi f € H.


15

Ta gọi {gk}^Li là cơ sở Riesz đối ngẫu của {fk}kLịM ệ n h đề 1.3.3. Nếu {fk}™=1 = {ƯZk}Ịk=i là một cơ sở Riesz của H,
thì tồn tại cấc hằng số А,

в

> 0 sao cho

Л ||Л 12 < £ | ( / , Л } | 2 <- В| 1Л 12, v / € « .
fc=1
1

Giá trị lớn nhất có thể của hằng số A là ——— 7Ç . và nhỏ nhất có thể
\ \ и - ц

2

của В ỉà \\U\\2.
C h ứ n g m in h . Cho / G l í
Ệ

l ơ , A >|2 = Ệ
= w

\( f,U e k)\2 = Ệ

\{ U 'f,e k)\2

ỉ í < \\U’ ị\2\\f\\2 = \\uf\\fị \2

Từ đó suy ra {fk}kLi là một dãy Bessel với cận trên là \\u\\2.
Do

| | t f | | = H t H I = 11/11=1
s u p IIỈ77II

nên tồn tại dãy {<7î}î*Li £ H sao cho IỊỡíIỊ = 1)V« và ||£/*<7;|| —> ||Ỉ7|| khi
í —>■ 0 0 .

D°

\{дг, fk)\2 = ||^*ỡì ||2

\\u\\2 khi i —>■oo nên \\ư\\2 là cận trên tối

k= 1

ưu

của

k h u n g {/fc}£°= 1 .

Mặt khác,
ll/ll = W T ' u ' f W

< lion^llir/ll

= 1|£Щ1Г/||


16

Từ đó
I | t f 7 ll2 > p ^ T p l l / l l 2, V / e «

hay ĨĨ^TĨ Ị Ị 2 là

c^n khung dưới của {fk}kL\-

= sụp
IMI/O

Đặt h = (ư*)~lg hay g — u*h.
Khi đó g Ỷ 0 tương đương với h Ỷ OTa có
I i t m = sup
hỶ 0

Từ đó tồn tại dãy {hi} Ỷ 0 sao cho

IM

-1 1

\\U'I*\\

hay

UM

\\U-T

Từ đó, ỊỊ^TĨ | Ị 2 là c^n dưới tối ưu của khung

□

Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để {/fc}^°=1 là một cơ sở
Riesz.
Đ ịn h lí 1.3.4. Cho một dãy

trong 'H, các điều kiện sau là tương

đương:
(i) {fk}kLi là một cơ sở Riesz của H.
(ti) {fk}k=i đầy đủ trong H, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
với mỗi dẫy hữu hạn {cfc} ta có:
( 1.2)


17

(Hi)

ỉà dãy Bessel đầy đủ và nó có dãy song trực giao đầy đủ

{ỡ/fc}fcLi cũng ỉà một dãy Besseỉ.
M ệ n h đ ề 1.3.5. { /ị} ^ ! là cơ sở Riesz khi và chỉ khi

là một

khung và nếu Ỵ2 C ị f i = 0, với {C i}^ € Z2 (N) thì Cị = 0, Vỉ.
%
—1
C h ứ n g m in h . (=ỉ>) Giả sử {/*}“ 1 là cơ sở Riesz của không gian Hilbert
lí, nghĩa là fị = Tej,Vz, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả
n g h ịc h v à { e ị } ^ là

một

c ơ sở

trực chuẩn

của H .

Với mọi / € H ta có
00

00

£ lơ , /<>I2= E l ơ ’ Te‘)i2= IIT */II2< i r í i m i 2= i m i 2n /n 2.
í= 1

Í=1

Đ ặt g = T ’f khi đó / = (T *)“ V

l|r* /ll = llsll2 >

||( T * )- If

||(T - ') * | |2

||T - I |r

Vì vậy

1

P

00

ll/ll2 < £ \ư , fi)\2 < i m i 2 n/ n2, V /
II
i=1

s

H.

Vậy { fi} Z 1 là m 0 t khung.
Giả sử

i=l

cifi = 0 với {C i}ti £
00

0 =

^ C i f i

ỉ=1

Khi đó
00

=

Ỵ ] CjT et =

00

r ( J ^ c ^ ) .

i=1

i=1

00

Do T khả nghịch nên

ciei = 0 . Vì{eí } ^ ;1
Í=1

là cơ sở trực chuẩn nên

Cị = 0, với mọi %.
(<ỉ=) Giả sử {fi}°°=1 là một khung và Y^Cifi = 0 với
i=1

€ l2(N) thì


18

Ci = 0, với mọi %.
Gọi

là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của / 2 (N). Do

là một

khung nên theo Định lí 1.2.11 toán tử tổng hợp T là tuyến tính, liên tục,
toàn ánh.
00

Điều kiện E c i / i = 0 kéo theo Cị = 0,với mọi i nói lên T là đơn ánh.
i= 1

Vậy T là song ánh thỏa mãn fị — Teị,với mọi ỉ. Do đó

là cơ sở

Riesz.
Mệnh đề được chứng minh.
Đ ịn h lí 1.3.6. Một cơ sở Riesz

□
của ĩ í ỉà một khung của ĩ í và

các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung. Cơ sở đối ngẫu Riesz
Ià{s-4 t

C h ứ n g m in h . Theo Mệnh đề 1.3.3, một cơ sở Riesz {fk}^Li của H cũng

là một khung của và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung.
Theo Định lí 1.3.2, tồn tại duy nhất một dãy {gk}kLi trong H sao cho
00

k= 1
và {gk} cũng là một cơ sở Riesz của H.
Mặt khác, theo Định lí 1.2.10, ta lại có
oo

k= 1
Từ đó gk = s 1 f k là cơ sở đối ngẫu của { f k} và cung là cơ sở Riesz của

n.

□
Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc

đặc biệt là khung hàm số mũ. Nội dung của chương này dựa trên tài liệu
tham khảo [1 ].


19

1.4. K hung hàm số mũ
Các hàm mũ phức ị -^=eikx f
v

U2TT

L 2 (—7T, 7r). Do đó,

J k€Z

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của
■

z là một khung của L 2 ( —7T,7r) với các cận

A = B — 27T. Tổng quát hơn, cho trước một khoảng I c R và một dãy
số thực {Afc}fceZ, một khung trong L 2 (/) có dạng

z được gọi là

khung của các hàm mũ, hoặc khung Fourier. Chú ý rằng các hàm mũ là
không bình phương khả tích trên một khoảng không bị chặn, nên ta cần
phải có |/| < 00 . Một khai triển f (x) = ^2 ckeiXkX trong L 2 (/) được gọi
là chuỗi Fourier không điều hòa. Đây là khung được định nghĩa từ ban
đầu được Duffin và Schaeffer nghiên cứu.
Cho trước dãy A = {Ak}k€Z-> bán kính khung được xác định bởi
R (A) = sup { R :

z là khung trong L 2 ( - R , R )} .

Nếu {eiXkX} k z là một khung trong L 2 (—R ,R ) với R > 0, nó luôn là
một khung trong L 2 ( - R ', R') với mọi R' G (0, R]. Ta viết:
R+ = (0, R (A)) u {R (A)} u (R ( A) , 00 ).
Do đó, ta có
•

z là một khung trong L 2 ( - R , R ) với bất cứ R € (0, R (A)).

• {eiXkX} k z không là khung trong L 2 ( - R , R ) nếu R e (R ( A) , oo) .
Trường hợp R = R (A) bản thân nó là trường hợp tới hạn: có
trường hợp trong đó {eiXkX} k z là khung trong L 2 ( - R (A ), R (A)) và có

trường hợp thì không.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1. Cho I là tập chỉ số đếm được và {Afc}fce/ ỉà một dãy
trong Md. Ta nói rằng


20

i) Một điểm \ e R d là một điểm tụ của {Afc}A;eJ nếu mỗi hình cầu mở
trong Rd có tâm tại X chứa vô hạn các x k;
ii)

ỉà tách được nếu '\ữĩ.jỶk \ Xj

—

Afc| > 0; một hằng số ô > 0 sao

cho |Aj —Afc| > ố với mọi j Ỷ k được gọi là một hằng số tách;
iii) { A J lỄ/ là tách được tương đối nếu nó là hợp hữu hạn của những
dãy tách được.
Một dãy tách được tương đối có thể lặp lại cùng một điểm N lần
với một N € N nhưng nó không thể có điểm tụ.
V í d ụ 4.
i) Dãy { |} fceZ\{0} có điểm không là điểm tụ.
không có điểm tụ và không tách được. Tuy nhiên,

nó là tách được tương đối.
Đặc trưng quan trọng nhất của dãy tách được tương đối được thể
hiện qua mật độ Beurling trên. Ta kí hiệu dãy A = {Ak ) k € Z ' Vãi
và /ỉ > 0 ta kí hiệu
tại

X

Qh ( x )

và chiều dài cạnh là

X e

là hình lập phương nửa mở trong Rd có tâm
h,

nghĩa là

trong đó X = (rcx,..., x d).
Chú ý rằng {Qh { h n ) } n&zd là một phủ rời nhau của

với bất kì

h > 0. Kí hiệu Ư+ (h) và u~ (h) là những số lớn nhất và nhỏ nhất của
những điểm của A mà nằm trong hình lập phương
1/+ (h ) = sup #
ĨẼK-Í

Qh( x) ì

nghĩa là,

(A n Qh (rc)), V (tì) = inf # ( A n Qầ (rc)).