ổn định của các khung phẳng

Chương 4. Ổn định của các khung phẳng


4-1
Chương 4.
ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG
4.1 Các giả thiết
Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn:
1. Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi.
2. Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của các đầu thanh
quy tụ vào nút đều như nhau.
3. Các thanh của khung xem như không co, dãn. Khoảng cách giữa các nút của
khung trước và sau biến dạng không thay đổi nghĩa là dây cung nối các
đầu
thanh bị uốn có chiều dài bằng chiều dài của thanh trước biến dạng.
4. Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn do
mômen uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra. Ảnh hưởng của gia
số lực dọc sau khi hệ mất ổn định bỏ qua.
5. Tải trọng tác dụng trên khung chỉ đặt ở các nút. Những t
ải trọng này chỉ gây ra
hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng uốn ngang trong các thanh
của khung khi hệ chưa mất ổn định.
Theo giả thiết này thì trước khi nghiên cứu sự ổn định cần áp dụng các phương
pháp đã trình bày trong giáo trình Cơ học kết cấu để xác định lực dọc trong các thanh của
khung chịu tải trọng đã cho ban đầu (hình 4-1a). Tiếp đó xác định tải trọng tới hạn hay
thông số
tới hạn của khung chịu tải trọng đặt ở nút có giá trị bằng lực dọc trong các thanh
tương ứng (hình 4-1b) theo các phương pháp sẽ trình bày trong chương này.
Trong bài toán ổn định khung, khi mất ổn định hệ ở trạng thái biến dạng rất gần với
trạng thái ban đầu, các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi mất ổn định với những giá trị rất
nhỏ. Ngoài ra, nếu không coi các lực nén hoặc kéo P là tả

i trọng mà quy ước xem chúng
như là một trong những tính chất cho biết của hệ, thì có thể phát biểu là giữa chuyển vị
và tải trọng có sự liên hệ tuyến tính.
Trên cơ sở đó ta đi đến kết luận là trong bài toán ổn định của khung có thể áp dụng
nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang.
Có thể áp dụng được các phương pháp tính xây dựng trên cơ sở nguyên lý cộng tác
dụng như
phương pháp lực, phương pháp chuyển vị ... để giải quyết bài toán ổn định của
khung. Ngoài ra, cũng có thể mở rộng phạm vi áp dụng các công thức xác định chuyển vị
và các định lý cơ bản như các định lý về sự tương hỗ cho trường hợp hệ có những thanh
chịu uốn cùng với chịu kéo hoặc nén.

Q

q

1
q

2
q

3

N

12
N

23

N

34

N
35
N
56
1

2

3

5
6
4

3
1
4
6
5
2
12
N
P
4
1

P =
5
P
N
=
2
P
34
N
=
4
P
23
N

=

3

P

56

N

=

5

P

35

a)
b)

Hình 4-1. Sơ đồ tính ổn định của hệ khung .
Chương 4. Ổn định của các khung phẳng


4-2
4.2 Cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén
hoặc kéo
Trước khi đi vào nghiên cứu cách vận dụng phương pháp lực, ta cần xác định
chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo.
Xét thanh chịu uốn cùng với nén như trên (hình 4-2a). Gọi M
m
là mô men uốn do tải
trọng ngang và do lực P gây ra. Để xác định chuyển vị ∆
km
tại điểm k ta tạo trạng thái "k"
và đặt lực P
k
= 1 theo phương cần tìm chuyển vị (hình 4-2b); ở trạng thái này không có
lực nén P. Gọi
k
M
là mô men uốn ở trạng thái "k" do lực P
k
=1 gây ra. Thiết lập biểu thức

về sự cân bằng giữa công của ngoại lực và nội lực ở trạng thái "k" trên những chuyển vị
và biến dạng ở trạng thái "m", ta có:
ds
EJ
M
M1.∆
m
k
km
∑
∫
=
(4-1)









Đó là công thức chuyển vị của những thanh chịu uốn cùng với kéo hoặc nén trong
đó đã bỏ qua các số hạng biểu thị ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và biến dạng trượt.
Ta sẽ nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong hai trường hợp cụ thể sau: thanh có
hai đầu khớp và thanh có một đầu ngàm một đầu tự do chịu lực dọc P và các tải trọ
ng
ngang chỉ đặt ở các đầu thanh.
4.2.1 Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa

P
∆
km
k
P =1
"m"
"k"
a,
b,

Hình 4-2. Trạng thái “m”, “k”

P
a,
b,
M =c
A
M =d
B
Q =

A
d-c
l
z
l
m
M
k
M
m
M
k
M
c
d
a
b
c,

Hình 4-3. Thanh có hai đầu gối.
Chương 4. Ổn định của các khung phẳng


4-3
Xét thanh đặt tự do trên hai gối tựa chịu lực nén P và các tải trọng đặt ở đầu thanh
(hình 4-3a). Yêu cầu xác định chuyển vị tại các đầu thanh. Trong trường hợp tổng quát
nhất, các tải trọng ngang tại đầu thanh có dạng như trên (hình 4-3a), trong đó ký hiệu M
A

= c, M

B
= d. Phản lực tại A có giá trị bằng
c)/l(d −
còn biểu đồ mô men M
m
có dạng
đường cong như trên (hình 4-3b). Có thể tìm phương trình M
m
theo (2-7) trong chương 2:
=++= zzz sinα
α
Q(o)
M(o)cosα(o)sinααEJy(z)M
,
m
z
l
zz sinα.
α
c-d
cosα.c(o)sinααEJy
,
++

trong đó y'(o) là thông số ban đầu chưa biết và được xác định theo điều kiện khi z
= l; y(l) = 0. Từ điều kiện này và theo (2-5) ta tìm được:
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
v
1
sinv
1
αEJ
d
tgv
1
v
1
αEJ
c
(o)y
,
,
trong đó:
EJ
P

αv ll ==
(4-2)
Thay biểu thức của y'(o) vào phương trình M
m
(z), ta được:
zz
sinα.
tgv
1
sinv
d
cosα.c(z)M
m
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
(4-3)
Để xác định các chuyển vị ở đầu thanh ta cần tạo trạng thái "k" và tìm phương trình
của
k
M
. Trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ
k
M

có dạng như trên (hình 4-3c), còn
phương trình
k
M
có dạng:
z
ab
aM
k
l
−
+=
(4-4)
Thay (4-3) và (4-4) vào (4-1) ta được:
dzsinαz
ab
a
sin
dzcosαz
ab
acdzMMEJ∆
00
m
0
k
km
z
ltgv
c
v

d
z
l
lll
∫∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+==

Sau khi lấy tích phân và biến đổi, ta có:
() ()
vβ
6
bc
6
ad
vα
3
bd
3
ac
EJ∆
km
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
llll

(4-5)
trong đó:
()
()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
1
sinv
v

v
6
vβ
tgv
v
1
v
3
vα
2
2
(4-6)
là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P. Có thể tìm giá trị của
những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phụ lục.
Chương 4. Ổn định của các khung phẳng


4-4
4.2.2 Thanh có một đầu ngàm một đầu tự do.
Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng
như trên (hình 4-4a), trong đó ta ký hiệu M
A
= c; Q
A
= e. Biểu đồ M
m
do tải trọng ngang
và do lực nén P gây ra có dạng đường cong như trên (hình 4-4b). Mô men uốn tại đầu
ngàm B:
AAB

PydPyecM
+=++= l
,
trong đó d là mô men uốn tại đầu ngàm do riêng tải trọng ngang gây ra, từ đó ta
có:
l
cd
e
−
=
.










Sau khi sử dụng các phương trình (2-7), (2-6) và điều kiện biên khi z = l; y'(l) = 0,
cũng tương tự như trên ta thiết lập được phương trình của mô men uốn M
m
:
+= z
c.cosα(z)M
m
()
zαsin

vcosv
d1vsinvc
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
(4-7)
Để xác định chuyển vị ở các đầu thanh ta tạo trạng thái k, trong trường hợp tổng
quát nhất, biểu đồ
k
M
có dạng như trên (hình 4-4c), còn phương trình
(z)M
k
có dạng như
(4-4).
Sau khi thay (4-4), (4-7) vào (4-1), lấy tích phân và biến đổi ta dễ dàng thiết lập
được công thức xác định chuyển vị cho thanh có đầu ngàm đầu tự do như sau:
()
v
bcad
(v)
ac
(v)
bd
EJ
321km

θ
66
θ
3
θ
3
∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=
llll
, (4-8)
trong đó:
()
()
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
v
tgv
cosv
1
v
6
(v)
v
tgv
cosv
2

-vtgv1
v
3
v
1
v
tgv
v
3
v
2
3
2
2
2
1
θ
θ
θ
(4-9)
P
a,
b,
M =c
A
Q =
A
e
z
l

m
M
k
M
m
M
k
M
c
d
a
b
c,
A
B
y
A
P
y
A

Hình 4-4. Thanh đầu ngàm, đầu tự do
Chương 4. Ổn định của các khung phẳng


4-5
là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P. Có thể tìm các giá trị
của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phần phụ lục.
Chú thích:
1. Giữa các hàm số α(v), β(v), θ

1
(v), θ
2
(v) và θ
3
(v) có những liên hệ sau:
() () ()
()
()
()
()
()
()
()
()
.
θ
β
θ
α
θ
θβ
θ
β
α
θ
β
α
θ
α

;βθβαθ;αθ
(v)
v
(v)
v
1;
(v)
(v).v
3
v
(v)
v
1;v
3
v
(v)
v
1;v
3
v
(v)
v

v
v
tgv
(v) (v);
12
vtgv
v(v) v

v
tgv
(v)
313
1
2
3
2
3
2
1
3
2
21
==+
=+=+
=+==

Những liên hệ này giúp ta biến đổi được dễ dàng các hàm số trong phương trình ổn
định sẽ nghiên cứu dưới đây.
2. Đối với những thanh chịu uốn cùng với kéo, trong tất cả các biểu thức thiết lập ở
trên ta cần thực hiện những phép thay thế sau:
iβα =
và
EJ
P
β
keo
=
;

22
βα −=
;
zz ishβsinα =
;
zz chβcosα =
.
4.3 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp lực

Khi vận dụng phương pháp lực để tính ổn định của các khung phẳng ta cũng tiến
hành theo thứ tự tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu.
4.3.1 Cách chọn hệ cơ bản.















P
1 2
P

1

2
3
4
5
6
3
2
X
1
X
2
X
1
X
1

P

P
2
X
3
1

2
4
5
6

4
X
6
2
5
1

4
2
X
P

X
11
X
1

3
2
P
2
X
X
3
2
P +X
4

Hình 4-5. Hệ cơ bản
a)

b)
c)