Định lý fenchel moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUẤT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM L ồ i VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUẮT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM L ồ i VECTƠ

Chuyên ngành: Toán gỉảỉ tích
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TAN

HÀ NỘI, 2015

Lòi cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đõ và
hướng dẫn tận tình, nghiêm tũc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hớn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ớn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn
học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn K hánh Đăng


Lòi cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng
và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn K hánh Đăng


iii

DANH MỤC KI HIỆU
Xe M

Phần tử X thuộc tập M

y ị M

Phần tử y không thuộc tập M

0

Tập rỗng

M c N

M là một tập con của N

M u N

Hợp của hai tập hợp M và

M n N

Giao của hai tập M và N

M XN

Tích Đề-các của hai tập M

Mx

Với mọi X

3x

Tồn tại X

SUPxeK f ( x )

supremum của tập { f ( x ) \ x e K }

infxe^ f ( x )

infimum của tập { f ( x ) \ x e K }

co D

Bao lồi của tập D

CõD

Bao lồi đóng của tập D

int D

Phần trong của tập D

IIre II

Chuẩn của X trong không gian định chuẩn X

Rn

Không gian Euclide n chiều

CỈD,D

Bao đóng của tập D

£(Mn, Mm)

Không gian các ma trận cấp n X m

{x, y)

Tích vô hướng của X, y trong không gian Hilbert

coneA

Nón sinh bởi A

K*

Nón cực của nón K

do m (/)

Miền xác định của /

ep i(/)

Trên đồ thị của /

N

và N


iv

Mục lục

Lòi cảm ơn

ỉ

Lòi cam đoan

ỉỉ

DANH MỤC K Í HIỆU

iii

Lời mỏ đầu

1

1

5

H àm lồi vô hưóng và ứng dụng
1.1

.......................

5

1.2 Tính liên t ụ c ..............................................................................

9

1.3

2

Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất

Tính liên tục L ip s c h itz ..........................................................

10

1.4 Hàm liên h ợ p ...........................................................................

11

1.5

13

Dưới vi phân

...........................................................................

Định lý Fenchel - M oreau tổng quát và đặc trư ng bậc hai cho
hàm lồi vectơ

19

2.1

Giới t h i ệ u .................................................................................

19

2.2

Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ t r ợ .......................

20

2.3

Tính liên t ụ c ..............................................................................

27

2.4

Các đặc trưng của hàm lồi

35

...................................................


V

2.5

Định lý Fenchel-Moreau tổng q u á t .......................................

42

2.6

Đặc trưng bậc hai của hàm lồi v e c t ơ ...................................

48

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56


1

Lời mỏ đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ta biết rằng bài toán tìm cực tiểu của hàm lồi trên một tập hợp đóng vai
trò rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu và các bài toán trong thực tế. Năm
1960 -1970 Rockafellar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi, từ
đó tìm ra các điều kiện cần và đủ để đặc trưng nghiệm tối ưu của bài toán
quy hoạch lồi và hình thành nên một môn giải tích lồi mới của toán học.
Người ta đã triệt để khai thác các tính chất của hàm lồi: Tính liên tục; Tính
Lipschitz địa phương; Tính khả vi hoặc khả dưới vi phân và xây dựng nên
lý thuyết đối ngẫu của hàm lồi để chuyển bài toán gốc thành bài toán đối
ngẫu và ngược lại. Từ đó hình thành nên môn lý thuyết đối ngẫu để giải các
bài toán đối ngẫu. Định lý Fenchel - Moreau trong môn giải tích lồi đã cho
ta biết mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.
Tiếp theo bài toán quy hoạch lồi được phát triển cho bài toán tối ưu
véctơ. Giá trị của hàm số nằm trong không gian véctơ có thứ tự từng phần
được sinh bởi một cái nón. Từ đó người ta đưa ra khái niệm và tính chất
hàm lồi theo nón và quy hoạch lồi véctơ.
Việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi véctơ được nhiều tác giả trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và ứng dụng như: GS. Đinh Thế Lục,
PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tan, GS. Kim, Do
Sang.
Lý thuyết đối ngẫu của bài toán quy hoạch lồi véctơ cũng được xây dựng

cho nhiều kết quả trong môn giải tích lồi cổ điển cũng được mở rộng cho
trường hợp véctơ và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế với lý do


2

đó tôi chọn đề tài:
“ Định lý Fenchel - M oreau tổng quát và đặc trư ng bậc hai cho hàm
lồi vectơ “
Để làm luận văn về các kiến thức chính liên quan tới định lý này trong
tối ưu véctớ.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày những kiến thức cơ bản trong giải tích lồi đặc biệt là các tính
chất:
• Tính liên tục
• Tính Lipschitz địa phương
• Tính khả dưới vi phân
Lý thuyết đối ngẫu và định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp vô hướng
sau đó trình bày các khái niệm liên quan đến hàm lồi véctớ và các tính chất
của nó, mở rộng định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp tổng quát, đặc
trưng cấp 2 cho hàm lồi véctơ và tìm ra một số ứng dụng trong quy hoạch
tối ưu véctớ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu bài toán Fenchel - Moreau đặc trưng cấp 2 cho hàm lồi véctơ
và tìm ra đối tượng.
4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Nghiên cứu định lý Fenchel - Moreau và biểu diễn cấp 2 qua việc khai
thác các tính chất của hàm lồi véctơ và tìm ra những ứng dụng trong tối ưu
véctơ.
5. Phương pháp nghiên cứu

3

Tổng hớp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả trong giải tích lồi
vô hướng và tìm cách mở rộng các kết quả này cho trường hợp véctơ.
6 . Đóng góp của đề tài

Biết tổng quan về quy hoạch lồi vô hướng và mở rộng một số kết quả từ
vô hướng sang véctơ và tìm ra ứng dụng.
Cụ thể, bố cục của luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết
luận và tài liệu tham khảo:
Chương I: Hàm lồi vô hướng và ứng dụng
1.1 Định nghĩa tập lồi, các hàm lồi và tính chất
1.2 Tính liên tục
1.3 Tính lipschitz
1.4 Hàm liên hợp
1.5 Dưới vi phân
Chương II: Định lý Fenchel - Moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho
hàm lồi vectơ
2.1 Giới thiệu
2.2 Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ
2.3 Tính liên tục
2.4 Các đặc trưng của hàm lồi
2.5 Định lý Fenchel - Moreau tổng quát
2.6 Đặc trưng cấp hai của hàm lồi vectớ


4

Luận văn này là thành quả làm việc của tác giả dưới sự hướng dẫn của GS.
TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã tận tình dìu dắt tác giả trong
những bước đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2,
Phòng Sau Đại học cùng toàn thể các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường ĐHSP Hà Nội 2.
Tác giả xin cảm ơn những người thân, các bạn bè, những người đã dành
cho tác giả nhiều quan tâm ưu ái để luận văn sớm được hoàn thành. Bản
thân tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn, kiến thức và
kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến chân tình của các
thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn K hánh Đăng


5

Chương 1
Hàm lồi vô hưóng và ứng dụng
Mục đích của chướng này là giới thiệu các khái niệm cớ bản của tập lồi,
hàm lồi, các tính chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân
của hàm lồi và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. Chương này được viết dựa
trên tài liệu [ 1 ].

1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất
Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực, X* = { / : X —>M tuyến tính

liên tục} là không gian đối ngẫu của X , R là tập số thực, ký hiệu
R = R u {± o o }.

Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Tạp A c X là tập lồi nếu Va, ò G A, với mọi A G [0,1] ta
có
Xa + (1 —À)ò G A.
Tập A c X với mọi Va, ò G A đoạn thẳng nối a v ầ b được xác định bởi

[a,

6] =

{x

GA :

X

= Xa + (1 — À)ò; 0 < À < 1}


6

. Tiếp theo là các khái niệm khác liên quan tới tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Cho A c X . Khi đó
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập Ả được gọi là bao lồi của A

ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng
của A, ký hiệu là cõA.

Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:
1) A là tập lồi khi và chỉ khi Ả = COẢ;
2) coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
3) cõA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
4) Ả là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = cõA.
M ệnh đề 1.1. Giả sử A c X là một tập lồi, khi đó
i) Phần trong in tA và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với Xi G ỉn tA , x 2 G A thì [xi, x2) c in tA ;
iii) Nếu in tA

0 thì A = in t A , in t A = in t A.

Khái niệm tách các tập lồi đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tối
ưu.
Định nghĩa 1.3. Cho các tập A, B c X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên
tục / Ỷ 0 tách A v ầ B nếu tồn tại một số a sao cho
(/, y) <

OL <

(/,

x ) , với mọi

X

e A, với mọi y G B .

(1.1)

7

Trong đó, (/, x) = f ( x ) là tích vô hướng giữa X và. X*.
Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là
(/> y) < a < ( / 5x ) với mọi X € A :y € B
thì ta nói / tách chặt A và B.
Siêu phẳng H = {x € X : (/, x) = <ỵ} gọi là siêu phẳng tách A và B .
Các tập A và B được gọi là tách được.
Nhận xét 1.1.

i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với
( f , y) < ( f : x ) , Vrr e A, Vy e B.

ii) Phiếm hàm / 7^ 0 tách chặt A và B, nếu tồn tại số £ > 0 sao cho
( f , y) < ( f , x) - £ , \ / x e A, My e B.
Đỉnh lý 1.1. ([1], Định lí 1.2.2) Cho A và B là các tập lồi trong X ,
A n B = 0 hoặc in tA 7^ 0 hoặc in tB Ỷ 0- Khi đó tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục / 7^ 0, / G i tách A v à B.
Hệ quả 1.1. Cho A và B là các tập lồi trong X , ỉn tA 7^ 0 khi đó A ,B
tách được nếu và chỉ nếu (in tA ) n B = 0 .
Định lý 1.2. ([1], Định lí 1.2.3) Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian
lồi địa phương X và x ữ ị A. Khi đó tồn tại f £ X * , f ^ 0 tách chặt A và
x 0.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A c X ta có
i) cõA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;


ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng nếu và chỉ nếu A đóng theo tô pô yếu.
Tiếp theo ta trình bày về hàm lồi:

Cho A c X là tập lồi / : A -> 1 .
Định nghĩa 1.4. Hàm / được gọi là hàm lồi nếu với mọi X, y G A; VA G
[0,1] ta CÓ
/ ( \ x + (1 - A)y) < Af ( x ) + (1 - A)f (y).
Neu (1.2) xảy ra thực sự Vx Ỷ y thì / thực sự là lồi trên Ả
Định nghĩa 1.5.

i) Trên đồ thị của hàm / được ký hiệu

epỉ f = { ( x , ữ ) G Ì x R sao cho X £ A : f { x ) < a} ;

ii) Miền hữu hiệu của hàm / ký hiệu là d o m f
d o m f — {x € A : f { x ) < + 00 } ;

iii) Hàm / được gọi là hàm chính thường nếu
d o m f 7^ 0 và f ( x ) > —00 với Mx € X;

iv) Tập mức tại a G M của hàm / là tập
lev(f, à) = {x € A : f { x ) < c»í} ;

v) Hàm / được gọi là lõm trên A nếu —/ l à hàm lồi trên A.

( 1 .2 )


1.2 Tính liên tục
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa về hàm số liên tục. Hàm số / : D —> R

được gọi là liên tục nếu x n —y X, thì f ( x n) —y f ( x) .
Định nghĩa 1.6.

i) Bao đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là el f
epi(clf) = cl (epif);

ii) Bao lồi đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là cõf
epi(cõf) = cö ep if;

iii) Hàm / được gọi là đóng nếu epi f là tập đóng trong I x R .
iv) Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới tại X G X nếu
f ( x ) < lim i n f / ( 2/);
y ->x

v) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên tại X £ X nếu
f ( x ) > lim sup f(y)]
y^tx
vi) Hàm / được gọi là liên tục tại X G X nếu / là nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại

X.

Hàm / được gọi là hàm liên tục nếu nó đồng thời

vừa liên tục trên vừa liên tục dưới;
vii) Hàm / được gọi là liên tục trên X nếu / liên tục tại mọi X G X .


10

M ệnh đề 1.2. ([1]) Hàm f là đóng nếu và chỉ nếu
l e v ( f , a ) = {X : f { x ) < a} ,

là tập đóng với a £ M.
M ệnh đề 1.3. ([1]) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới
Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục.
Định lý 1.3. ([1], Định lý 1.3.5) Cho / là hàm lồi chính thường trên X .
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) f bị chặn bên trong một lân cận của Xq g X ;
ii) f liên tục tại x ữ;
iii) i nt (epif ) Ỷ 0 /
iv) in t(dom f ) ^ 0 v à f liên tục trên in t(dom / ) đồng thời
ỉnt(epif)

=

{ ( æ ,

a ) E X X X : X E ỉ n t ( d o m f ), f ( x )

<

a }

.

1.3 Tính liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.7. Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký
hiệu là II•II. Hàm / : X —y M được gọi là Lipschitz địa phướng tại x ữ G X
nếu tồn tại lân cận u của x 0 v ầ k > Q sao cho
'ix^x' £ u : If ( x ) — f(x' )\ < k\\x — x'

(1.3)

11

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phướng trên tập D c X nếu / Lipschitz địa phương tại mọi X G D.
Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập D c X nếu
(1.3) đúng với mọi X £ D.
Định lý 1.4. ([1]) Giả sử X là không gian định chuẩn, f là hàm lồi trên
tập lồi mỏ D c X , f bị chặn trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc
D. Khi đó f Lipschitz địa phương trên D.
Hệ quả 1.3. Giả sử / : D —>■R là hàm lồi liên tục tại Xq thuộc tập lồi mỏ
D khi đó f Lipschitz địa phương trên D.

1.4 Hàm liên hợp
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian liên hợp của X ,
/ là hàm xác định trên X . Ta có thể cho tương ứng hàm với một hàm lồi
như sau.
Định nghĩa 1.8. Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm / hay hàm liên hợp
với / được xác định trên X như sau
f*(x*) = s u p { ( x * , x ) - f ( x ) } ,

Vz* G X*.

( 1.4)

xex

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa 1.8 ta có
f ( x ) + f*(x*) > ( x \ x ) ,

Vz G X,Vz* G X*.

Bất đẳng thức (1.5) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel.

( 1.5)


12

Từ định nghĩa 1.8 suy ra

/ " ( * ) = ( / T ( z ) = sụp {<**,*> - / * 0 0 } •
X*

M ệnh đề 1.4. Với hàm bất kỳ ta cố /** < / .
Đỉnh lý 1.5. ([1]) Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó /*
là hàm lồi chính thường.
Đỉnh lý 1.6. ([1]) Giả sử X , Y là các không gian lồi địa phương, A : X —>■
Y là phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác định trên Y .
Đặt
f ( x ) = Ằg(Ax + 2/0) + (x*o,x) + 7 oTrong đó y0 £ Y, Xq £ X*, 7o G R, X > 0. Khi đó,
= A#(A- 1A - 1*(;r* - £*)) - (rr* - x l , A ~ l yữ) > ~ 7o.

Hệ quả 1.4.

i) f ( x ) = g { x + z 0)

/*(z*) = £*(£*) - (z*, Eo) ;

ii) f ( x ) = g ( x ) + (x*ữ, x ) => /*(z*) = £*(z* - a?2);

m) /( z ) = Ag(x), X > 0 =>

= A#*(A“ V ) ;

ivj /(x ) = A#(A_ 1 :r), A > 0 => /*(x*) = A#*(z*);
w /( a ) = ỡ(Ax), À > 0 => f*(x*) = £*(À_V ) .
Định lý 1.7. ([1], Định lý 1.4.3, Fenchel - Moreau) Giả sử X là không gian
lồi địa phương Hausdorff, / : X —> (—00 , +oo]. Khi đó / = /** khi và
chỉ khi f lồi đóng.


13

Dưới đây ta liệt kê một số tính chất quan trọng của hàm liên hợp.
1. Giả sử / là hàm lồi chính thường đóng trên X . Khi đó
f ( x ) = sup {h(x) : h — affine liên tục, h < f } .
2. Giả sử cõf là hàm chính thường. Khi đó
r

= ẽõ/.

3. Giả sử cõf là hàm chính thưòng. Khi đó

/* = ( c õ/ r -

1.5 Dưối vỉ phân
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng bậc nhất trong các bài toán
tối ưu. Lớp hàm lồi có tính khả dưới vi phân rất đẹp mà các lớp hàm khác
không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm / xác

định trên D e l ; / : D —>M, \f{x)\ < + 00 .
Ta biết rằng trong trưòng hợp / khả vi tại x 0 g do mf , khi đó tại lân cận
của x 0, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó. Đối với hàm
lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm / theo phương d tại x 0 G X ký hiệu là
f ' { x 0, d) được xác định như sau

f ( xa,d) = A
^—
ỉ { x ° + xa}À~ ỉ(xữ)
>0
nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±oo).


14

Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập lồi không rỗng của 1 và^o £ D.
Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x 0 nếu tồn tại một
số A > 0 sao cho x 0 + Xd e D.
Tạp hớp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x ữ được ký hiệu là
T ( D , X o).

Nhận xét 1.3. Nếu / là hàm lồi chính thường trên X thì
i) f ' ( x 0, •) là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi A > 0 thì
f ' ( x 0, \ d ) =

d).

ii) Với mọi X G d o m f thì f ' { x 0, •) là dưới tuyến tính.
M ệnh đề 1.5. ([1], Mệnh đề 1.5.1) Cho hàm f : X —>M là hàm lồi chính

thường trên X khi có đạo hàm theo phương tại mọi điểm Xq g d o m f đồng
thời
/'(so,ri) = i n f /(Xo + Af
A>0

A

- /(Xo).

Định nghĩa 1.11. i) Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu Vx G
K , VA > 0, Àz G K .
ii) Tầp K được gọi là nón có đỉnh tại x ữ nếu K — x ữ là nón có đỉnh tại 0.
iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi và
Væ, y G K , Va, ß > o : a x + ß y E K .
iv) Neu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng.
v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một
nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi A ký hiệu K a .


15

M ệnh đề 1.6. ([1]) Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X . Khi đó
i) Nếu f liên tục tại mọi điểm của u c X thì f liên tục tại mọi điểm
của nón K ụ sinh bỏi điểm u có thể trừ điểm 0,
ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X .
Định lý 1.8. Cho / : X —> M là hàm lồi chính thường trên X liên tục tại
các điểm của tập u c X . Khi đó
i) Nếu tại d' G X thỏa mãn X + d! G u mà f ( x , d!) hữu hạn thì hàm
f { x , •) liên tục tại mọi điểm của nón K ụ _ x sinh bởi tập u — X (có thể
trừ điểm ồ);

ii) Nếu f liên tục tại X thì

hữu hạn và liên tục trên X .

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh rằng f ( x , •) liên

tục tại mọi điểm của tập u — X.
Trước hết ta chỉ ra rằng /( x , •) là hàm chính thưòng. Do\f{x, d)\ < +00
nên X G dom f . Từ Mệnh đề 1.5 ta nhận được
f ( x , d ) < f ( x + d) - f ( x ) ,

VdeX.

Nếu 3dị G X : f ' ( x, dị) = —oo, theo Định lý 1.4: X + d! Gi nt ( domf ) .
Do đó với £ > 0 đủ nhỏ
X +

. Vì X + Acỉ' —

(d! + e { d ' — d ị )) =

X + d2 G d o m f

+ Ac?2) + + Ag?i).

Cho nên
f { x + Ađ!) < - ■ f i x + ÀGỈ2) + - ! (X + Ac?i);
1 + £
1+ £

16

=> f i x , đ!) < — j- f ' { x ì d2) + zr^— f' (x, di).

1+ £

1+ £

( 1.6)

Do X + d2 G d o m f nên f ( x , d 2) < + 00 . Vì vậy từ (1.6) ta suy ra
f ' ( x, d' ) = —oo. Điều này mâu thuẫn với điều kiện \f(x,d')\ < + 00 .
Do đó /'( x , •) là hàm chính thưòng.
Nếu di G u — X thì / bị chặn trên với hằng số c trong một lân cận đủ nhỏ
V của X + di . Khi đó
f ( x , d) < f { x + d ) ~ f ( x ) < c - f ( x ) ,
f ' (x, ■)

V d e V - X]

hữu hạn và bị chặn trên tập V — X]

=>

liên tục tại d\ (theo Định lí 1.4).

Khẳng định i) được chứng minh.
ii) Do tính lồi nên nếu / liên tục tại 0 thì / liên tục trong một lân cận của
0. Áp dụng Mệnh đề 1.6 ta nhận được khẳng định ii).

□

M ệnh đề 1.7. Tại mỗi X G D ta có: T ( D :X) là một nón lồi.
M ệnh đề 1.8. ([1]) Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng
D ç X vào M và X G D, d € T( D, X) khi đó
i) f cố đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập

+

A>0[a + AdeDj

bị chặn dưới và
f ( X í d ) = inf j / ( * + A r f ) - / M

A>0i Z+ A d e ö j ;


17

ii) f ' ( x, ■) là hàm thuần nhất dương, lồi khi d o m f ' ( x , •) lồi.
Hệ quả 1.5. f ( x , •) là hàm thuần nhất dương lốn nhất xác định trên d o m f ( x , ■)
cố tính chất
f ( x + Xd) — f ( x ) > f ( x , Xd),

Md € d o m f ' ( x , •); À > 0, X + Ằd € D.

Định nghĩa 1.12. Cho hàm / : X —>M là hàm lồi trên X . Dưới vi phân /
tại x 0 e X , ký hiệu d f ( x 0) và được định nghĩa như sau
d f ( x 0) = {£ G X* : f ( x ) - f ( x 0) > (£, X - x 0) ,

Vz G X } .

Nếu tập d f ( x 0) 7^ 0 ta nói rằng / khả vi dưới vi phân tại x 0.
M ệnh đề 1.9. ([1], Mệnh đề 1.5.4) Cho hàm f lồi chính chính thường trên
X và X € domf . Khi đó các khẳng định sau là tương đương
ỉ) X* e d f ( x oỵ
ỉỉ) ỉ { x o) +

= (x*,x0);

iii) f !(xữ, d) > (x*, d),

Vd G X.

Định lý 1.9. ([1], Định lý 1.5.7)
i) Cho /i, /2 là các hàm lồi chính thường trên X . Khi đó
dfi (x) + ỡ /29x) c a / ( / i +

Mx € X .

ỉ'ỉj Nếu tại Xq G domf i n d o m f 2 một trong hai hàm là liên tục thì
d f i ( x ) + d f 2(x) = a / ( / i + / 2)(^),

Vrr € X.


18

M ệnh đề 1.10. Cho / là một hàm lồi từ tập con lồi không rỗng D ç X

vào M và X G -D, £ € L(x, 1R) khi đó
£edf(x)^ad)< f(x,d),

W eT(D,x).

Chứng minh. Do / khả vi dưới vi phân tại X nên ta có
d o m f ( x , •) = T ( D , X).
Theo định nghĩa của dưới vi phân ta có
f ( x + Xd) — f ( x ) < £(Ad), d £ T ( D , x)] X > o, X + Xd G -D.

Theo Hệ quả 1.5 ta có
í(đ)< /'(z,đ),

WeT(D,x)-,

Lấy tùy ý y e D =ï y — X £ T ( D, x ) .
Từ giả thiết và Mệnh đề 1.8 ta có
£{y - x ) < f ' (x, y - x) < f ( x + y - x) - f ( x ) = f ( y ) - f {x).
Vậy £ e ỡ /(z ).