Luận văn thạc sĩ Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (561.27 KB, 67 trang )
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜ NG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘ I 2
LÊ XUÂ N TRƯỜ NG
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG ÁNH XẠ co
Cơ BẢN
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
LÊ XUÂ N TRƯỜ NG
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG ÁNH XẠ co
Cơ BẢN
Chuyên nghành: Toán gi ải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂ N THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Quốc Bình
Lời cám ơn
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần Quốc Bình.
Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận
văn này.
Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo
trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong
suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học
K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại
lớp.
Hà Nội, tháng 12 năm
2015 Tác giả
Lê Xuân Trường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của TS. Trần Quốc Bình
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm
2015 Tác giả
Lê Xuân Trường
Mục lục
Lời cám ơn
Mục lục
3
Mở đầu
Chương 1
6
Điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản
số kiến thức chuẩn bị
1.1Một
.
1.2Một
.
số định lý ánh xạ co cơ bản
Chương 2
Điểm bất động chung của các ánh xạ co
bất động chung của hai ánh xạ co
2.1Điểm
.
2.2Điểm
.
bất động chung của bốn ánh xạ co
2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ co giao hoán
6
8
20
20
32
40
47
47
Chương 3.
Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản
3.1. Sự phát triển của các dạng ánh xạ co cơ bản
3.2. Sự tương đương của một số dạng ánh xạ co
3.3. Định lý về các hàm nửa liên tục trên từ phải
51
56
56
6
3.4. So sánh định lý Boyd-Wong và định lý Browder
3.5. So sánh định lý Matkowski và Browder
Kết Tài
luậnliệu tham khảo
2
65
66
6
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1922, nhà toán học người Ba Lan, Stefan Banach đã phát biểu nguyên lý ánh xạ co của mình, và nó là kết quả
khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co.
Từ những năm 60 của thế kỉ trước, nhiều nhà Toán học đã mở rộng nguyên lý ánh xạ CO Banach bằng việc thay đổi
các dữ kiện ban đầu để thu được những nguyên lý ánh xạ co mới. Trong đó có thể kể tới các kết quả cơ bản của các nhà
toán học như: M. A. Krasnoselskii, E. Rakotch, M. Edelstein, D. Boy - J. Wong, F. E. Browder, A. Meir - E. Keeler...
Những năm tiếp theo, các kết quả về điểm bất động chung của cặp ánh xạ co, họ ánh xạ co cũng được nghiên cứu nhiều.
Các tác giả quen thuộc trong lĩnh vực này có thể kể đến như: G. Juck, B. Fisher,
s. s. Chang, c. s. Wong, Đ. H.
Tân...
Năm 1979, Đ. H. Tân đã so sánh các dạng ánh xạ co mà chúng tôi gọi là cơ bản nói trên và thu được sự phát triển
của các dạng co theo trình tự: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd-Wong, Meir-Keeler. Trong đó, dạng co Meir-Keeler thật
sự mở rộng hơn dạng co Boyd-Wong. Năm 1997, Jachymski chứng minh rằng dạng co Krasnoselskii, dạng CO
Browder và 6 dạng co khác tương đương nhau. Hơn nữa, Jachymski cũng chỉ ra rằng dạng co Boyd-Wong thực sự mở
rộng hơn dạng CO Browder, còn dạng co Browder mở rộng hơn dạng co Rakotch.
Qua các kết quả nghiên cứu trên, tôi nhận thấy các dạng ánh xạ co có thể được phân loại. Vì vậy, dưới sự hướng
dẫn của TS. Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được
7
trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của
thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nắm được các dạng co cơ bản như đã đề cập.
+ Hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản và so sánh chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ mối liên hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản, mức độ tổng quát và sự tương đương giữa chúng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước.
6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co.
Chương 1
Điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản
1.1.
Một số kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp, ánh xạ d : X X X — > M+ thỏa mãn các điều kiện sau với Va;, y , z € X :
i) d, {x, y) > 0, d, {x, y) = 0 <í=> X = y
ii) d ( x , y ) = d ( y , x )
iii) d ( x , y ) < d ( x , z ) + d ( z , y )
được gọi là một mêtric trên X. Tập X với mêtric d được gọi là không gian mêtric (x , d ).
Định nghĩa 1.2. Trong không gian mêtric ( X , d ) , dãy { x n } c X được gọi là hội tụ tới điểm X £ X nếu d (x n, a;) —> 0
khi n —>• oo. Khi đó X được gọi là giới hạn của dãy { x n } .
Định nghĩa 1.3. Trong không gian mêtric ( X , d ) , dãy { x n } c X được gọi là dãy Cauchy nếu lim d (x n, x m) = 0, tức là;
m,n—ìo o
(Ve > 0) (3iV) (Vra, n > N ) , d ( x m , x n ) < £ .
Định nghĩa 1.4. Không gian metric (X, d ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ.
Định nghĩa 1.5. Cho T là một ánh xạ đi từ X vào chính nó. Khi đó T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại X * £ X
sao cho T x * = X * . Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T đi từ không gian metric ( X , d ) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu
tồn tại số k G [0,1) sao cho:
d(Tx,Ty)^k.d(x,y), Vx, y G X.
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ T đi từ không gian metric ( X , d ) vào chính nó được gọi là ánh xạ co yếu nếu mọi X Ỷ y thì:
d { T x , T y ) < d { x , y ) , Vx, y G X .
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ T đi từ không gian metric ( X , d ) vào chính nó được gọi là tựa co khi và chỉ khi tồn tại số a G
[0,1) thỏa mãn:
d{Tx,Ty)
thỏa mãn 0 < ệ ( t ) < 1, < j > ( t ) < t thì d ( T x , T y ) < ậ ( d ( x , y ) ) .
Định nghĩa 1.10. Không gian metric X được gọi là T-quỹ đạo đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong o ( x , oo) =
{ x , T x , T 2 X ,...} đều hội tụ về một điểm nào đó nằm trong X .
Định nghĩa 1.11. Với tập A nằm trong không gian metric X , bán kính tập A được kí hiệu là ố (A) và được xác định
như sau:
Ỏ (A) = sup ịd (a, b) : a , b £ A } .
Định nghĩa 1.12. Cho ( X , d ) là không gian metric. Hàm / : X — > K u {+00} được gọi là hàm nửa liên tục trên tại X o
£ X nếu :
X—¥XQ
/ (x0) ^ limsup/ (x).
Và được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại X o £ X nếu:
X—¥XQ
/ (xo) < lim inf / (x).
Trong đó:
lim sup / (2;) = sup inf {/ ( x ) :
X^-Xo
^>0
lim inf / (a;) = inf sup {/ ( x ) :
x->xa
r )> 0
X
X
£
£
x,d
x,d
(x,
(x,
Xo)
Xo)
^ 77} ,
^ TỊ} .
1.2.
Một số định lý ánh xạ co cơ bản
Định lý 1.1 (Ánh xạ CO Banach). C h o
trong X. Khi đó tồn tại duy nhất
(x,d)
X* £
l à m ộ t không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co
X mà Tx* =
X*.
Ngoài ra, với mọi
Xo
£ X ta có T n x 0 —> X * khi n —
>• 00.
Định lý 1.2 (Ánh xạ co Rakotch). Giả sử T là ánh xạ liên tục từ không gian metric đầy đủ (V, d) vào chính
nó thỏa mãn:
d(Tx,Ty) < X (x,y) .d{x,y).
ở đ ó X ( x , y ) = X ( d ( x , y ) ) l à h à m đ ơ n điệu giảm chỉ phụ thuộc vào d (X, y) và 0 < A (d) < 1 với
mọi d > 0.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất
X*
và với mọi
Xo
£ X thì T n x 0 =
X*.
Định lý 1.3 (Ánh xạ co Krasnoselskii). Giả sửT là ánh xạ liên tục từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào
chính nó thỏa mẫn:
d(Tx,Ty)
Khi đó T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi X Q € X thì T n X Q = X*.
Định lý 1.4 (Ánh xạ CO Browder). Cho T là ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X,d) vào chính nó sao
cho với mọi x,y € X ta có:
d{Tx,Ty)
Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Định lý 1.5 (Ánh xạ CO Boyd - Wong). Cho T là ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X,d) vào chính nó
sao cho với mọi x,y G X ta có:
d(Tx,Ty) ^ip(d(x,y)).
ở đây, (/? : [0, oo) —> [0, oo), (p (t) < t, với mọi t > 0, là ánh xạ nửa liên tục trên từ phải .
Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x* và với mọi x 0 € X thì T n x 0 = X*.
Do có dãy quan hệ giữa các dạng ánh xạ co (được trình bày trong Chương 3 của luận văn), ta chỉ việc trình bày
chứng minh một số định lý ánh xạ co sau đây.
Định lý 1.6 (Ánh xạ co Meir-Keeler). Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ, T là một ánh xạ (e, ổ) — co
trong X, tức là với mọi £ > 0, tồn tại ỏ > 0 thỏa mẫn
nếu £ < d ( x , y ) < £ + ỗ thì d (T x , T y ) < £
Khi đó T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi X Q € X ta có T n X o — > X * k h i n — > 00.
Chứng minh. Lấy X o tùy ý trong X. Đặt X n + 1 = T x n , c n = d ( x n , x n + i ) với n = 0,1, 2,... Giả sử c n > 0. Vì T là (e, ổ)
— co nên:
C n d (*Enj ' E n + 1) d ( T x n — 1, T x n ) < £ ^ d (íCn —1, ^ n ) C n — 1'
Suy ra c n < cn_i, hay {c n } là dãy không âm và giảm. Do đó c n — > £ > 0. Với £ đó, tồn tại ỏ > 0 thỏa mãn:
nếu £ < d (x,y) < £ + ổ thì d (T x , T y ) < £ .
Chọn k G N sao cho nếu n > k thì £ < c n < £ + ổ. Khi đó ta có
c n + 1 = d ( x n + ì , x n + 2 ) = d ( T x n , T x n + 1) < £ , vô lí. Vì vậy £ = 0 hay c n —> 0.
Bây giờ ta chứng minh dãy { c n } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, dãy { c n } không phải là dãy Cauchy, tức là có £
> 0 sao cho với mọi k G N luôn tồn tại n , m > k thỏa mãn d ( x n , x m ) > 2£ . Chọn k sao cho nếu i > k thì C ị <
— với a = min{£:,ố} . Chọn m > n > k để cho d { x m , x n ) > 2 £ và xét các số d (x n, x n + ì ) , d ( x n , x n+2),..., d
( x n , x m ) . Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:
Id (x n , X i )
Oi
- d ( x n , x i + 1 ) \ < d ( X i , x i + 1 ) < d < -.
Giả sử với mọi số j G N, n < j < ra thì d ( x n , X j ) < £ - ị ---------------. Thế mà
d ( x n , X j ) + d (X j , x m ) > d ( x n , x m ) > 2e, nên suy ra:
7/
\
{ Oí\ Oí
d { X j , X m ) >2£ - [ £ + - ) > - .
Mặt khác, nếu j = m — 1 thì ta phải có:
d {Xj,xm )
d (x m — I , X m )
cm—I <.
Mâu thuẫn, do đó giả sử ở trên là sai. Tức là tồn tại j G N, n < j < m ,
7/
a
\
ta có d { x n , X j ) > £ - ị —.
Đặt j o = min{j : n < j < m , d { x n , X j ) > £ +
Giả sử d ( x n , X j a ) > £ + —. Khi đó:
7/
\
7/
\
7/
\
d { x n ì X j o -i) > d { x n , x j o ) - d { x j o - U x j o )
3a
4 4e + 2'
>e+ _
a
a
Điều này mâu thuẫn với cách xác định j ữ . Do đó phải có d ( x n , X j 0 ) < 3 a
£+
i\
Khi đó tồn tại số j G [ n , m ] sao cho:
a
Vì £ < d (x n ,
Xj)
3o:
£ + - < d (x n , X j ) <
< £ + ỗ nên ta có: d (T x n, T x j ) = d ( x n + i ,
£
+ —.
X j + 1)
< £ . Từ đây ta có:
d ( x n , X j ) < d ( x n , x n + 1) + d(a;n+i,a;j+i) + d ( x j + i , X j )
a
a
<~+£ +4
4
Điều này mâu thuẫn với d (x n ,
.
X i ) > £-\—.
2
a
- Vậy {x n} phải là day Cauchy.
Giả sử xn->x* el. Vì T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có:
d{x*,Tx*)
< d ( x * , x n + 1 ) + d (x n, £*).
Cho n — > 00 ta được d (a;*, T x *) = 0, tức là X * = T x * .
Vì T là co yếu nên X * là duy nhất.
■
Định lý 1.7 (Ánh xạ co Edelstein). C h o T l à á n h x ạ c o y ế u đ i t ừ
không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó. Hơn nữa với mọi
Xo
G X, dãy { T n x 0} có một dãy con hội
tụ.
Khi đó T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Với mỗi
X
G X , đặt f ( x ) = d ( x , T x ) . Vì T là ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó / là hàm liên tục
trên không gian compact X . Vậy tồn tại X o G X sao cho / (a^o) = min{/ (a;) : X G X}. Nếu f { x o) > 0 thì X o
ỉ { T x o ) = d (T X 0 , T 2X 0 ) < d ( x 0 , T x 0) = / (so); ta gặp mâu thuẫn. Vậy / (so) = 0 và
Tính duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu.
Xo
Ỷ
T x o nên
là điểm bất động của T .
■
Định lý 1.8 (Ánh xạ co Ciric). Cho T là ánh xạ tựa co đi từ không gian mêtric đầy đủ (V, d) vào chính nó.
Hơn nữa, tập X là T - guỹ đạo đầy đủ. Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Xét tập 0 ( x , n ) = { x , T x ,..., T n x } . Giả sử X là quỹ đạo điểm của X . Chúng ta sẽ đi chứng minh rằng
dãy lặp {T n x } là dãy Cauchy.
Trước hết, với mọi 1 < ỉ < j < n thì:
d (Tx, Tjx) = d (TT^X, TTj_1x)
< a . ma x { d (r_1x, T j ~ 1 x ) ; d (r_1x, fl) ; d (rJ'_1x, TJx) ;
d ị r i ~ 1 x , T j x ) ; d (T’æ,
Suy ra:
d { T i x i T i x ) < a.diam ịo (T’ 1æ, j — i + l)) < a.diam (O ( x , n ) )
(1.1)
Do đó, với n và m (n < ra) là các số nguyên dương bất kì ta có:
d (T n x , Tmz) = d (TT n ~ 1 x, T m - n + l T n - l x )
< a.diam {p ịr n ~ 1 x, m — n + l)) .
Theo (T1) thì tồn tại số nguyên k ị , 1 < k ị < m — n + 1 thỏa mãn:
d ( T n - l x , T k ' T n ~ l x ) = diam (o ( T n ~ l x , m - n + l)).
Áp dụng (T1) lần nữa ta có:
d ( T n ~ 1 x , T k l T n ~ l x ) = d (TT n ~ 2 x, T k l + 1 T n ~ 2 x )
< a . d ỉ a m (o ( T n 2 X , k ị + l))
< a . d ỉ a m (o (T n ~ 2 x , ra — n + 2)) .
Suy ra:
d (T n x , T m x ) < a.dỉam (o (T n l x , m — n + l)) < a 2 .diam (o (T n ~ 2 x, m — n
+ 2))
Cứ tiếp tục như vậy, ta thu được kết quả sau:
d ( T n X , T m x ) < a.dỉam [o (T n ~ 1 x, ra — n + l)] < ... < a n .diam [o (x, ra)]
(1.2)
Theo định nghĩa của đường kính tập o ( x , n ) , ta tìm được số nguyên k ,
1 ^ k ^ n thỏa mãn:
d (X, T k x) = diarn [O (x, n)].
Với k ở trên ta có:
d (x, T k x ) < d { x , T x ) + d ( T x , T k x )
< d ( x , T x ) + a.diam [O (x, n)] = d ( x , T x ) + a . d (X ,
Suy ra:
Tkx) .
l
diam [o (x, n)] = d (x, T k x) < Y~—d i x ì Tx)
Từ (T2) ta có:
_
_
d(Tnx,Tmx) <
Oi
_
OL
_
-----d ( x , T x ) < --------d ( x , T x ) .
1—a
1—a
Vì lim a n = 0 nên {T n x } là day Cauchy. Hơn nưa, X là T - quy đạo
n — > 00
đầy đủ nên {T n x } có giới hạn là X * € M . Ta sẽ chứng minh T x * =
X*.
Ta có:
d {x\Tx*) < d (x\Tn+1x) + d (TTnx, Tx*)
<
d (X *, T n + Ì x ) + a . max { d (T n x , X*), d (T n x, T n + Ì x ) ,
d { x \ T x *), d (T n x , T x *), d ( T n + Ì x , X*)}
< d ( x \ T n + 1 x ) + a . [ d (T n x , T n + 1 x ) + d (:T n x , X *)
+ d{x*,Tx*) + d(Tn+1x,x*)\.
Suy ra:
d { x * , T x * ) < —^—[(1 + a ) d ( x \ T n + l x ) + a . d (:T n x , T n + 1 x )
+ a.d{Tnx,x*)}.
Cho n — > 00 ta thu được d (æ*, T x *) = 0. Chứng tỏ rằng X * là điểm bất động của T . Tính duy nhất của điểm bất
động được suy ra từ giả thiết T là tựa co.
■
Định lý 1.9 (Ánh xạ co Walter). C h o { X , d ) là không gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X —> X có quỹ đạo bị
chặn, hơn nữa với mọi X, y G X ta có:
d(Tx,Ty) < ệịdiamịo (x,y))].
(1.3)
ở đ ó , o ( x , y ) = 0 ( x ) u o ( y ) = { x , T x , T 2 x , . . . , y , T y , T 2 y ,...} và ệ : [0, 00) —> [0, oo), ệ (t) < t , với
mọi t > 0 , là ánh xạ liên tục, tăng.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần chứng minh bài toán phụ sau đây:
"Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X —> X có quỹ đạo bị chặn, hơn nữa với mọi x,y G
X, tồn tại số n ( x ) G N s a o c h o v ớ i n > n ( x ) thì:
d (T n x , T n y ) < ệ [diam (o (x, y ) ) ] .
Khi đó tồn tại
Z
G X s a o c h o lim T k x =
k—ïoa
Z, X
GX. "
Để chứng minh bài toán phụ này, ta tiến hành qua 4 bước.
Bước 1: Chứng minh: Nếu m = max { n (a;) , n ( y ) } thì d i a m ị o ( x m , y m Ỵ \ < ệ ị d i a m ( o (X , y ) ) ] .
Giả sử n > m và r > 0. Với 2 phần tử (u , V ) bất kì trong o ( x m , y m ) có thể được biểu diễn dưới một trong các
dạng sau: (x n, y n+r), ( x n + r , y n ) , ( x n , x n + r ) , ( y n , y n + r ) Trong trường hợp ( u , v ) biểu diễn ở dạng thứ nhất, ta có:
d (u , v ) = d ( T n X , T n y r) < ệ [diam (o (x, y r ) ) ] < ệ [diam (o (x, y ) ) ] .
Tương tự khi ( u , v ) được biểu diễn ở các dạng còn lại. Như vậy, với mọi trường hợp ta đều có: d i a m ( o (x m , y m ) ) <
ệ [diam (o (x, y ) ) ] .
Tiếp theo, ta xây dựng dãy { k (z)} c N và A ị c X như sau: k (0) = 0, k (z + 1) = k (z) + max{n(a;fcW),
n ( y k ^ ) } , và
A i = o ( x k ^ , y k ^ ) , ĩ = 0,1, 2,...
Bước 2: Chứng minh d i a m (A+i) ^ ệ [ d i a m (A)] , ^ = 0,1,2,...
Với i = 0 thì việc chứng minh tương tự bước 1.
= y k ^ và ¡1 = max{n(a;fcb));n ( y k ( ' i ' 1 ) } .
Với i bất kì, ta đặt a =
Theo trường hợp thứ nhất ta có ngay:
fcW+/i
Tuy nhiên, a P = æ
d i a m ( o (Q;m, ¡ 3 M)) < ệ [ d i a m ( o (a, ¡ 3 ))] .
= x W ) + ™ x { n ( x k ụ ì ) M y k { i ì ) } = X*(<+1). Tương tự,
ß n _ yfc(t+i)
Từ đó ta có:
dzara (O (ci:^, /3^)) = d i a m (Ẩí+i).
Như vậy, ta đã có thể kết luận d i a m (Ẩí+i) ^ ệ [ d i a m (Aị)] , i = 0,1,2,...
Bước 3: Chứng minh lim ũ ị = 0 với ũ ị = d i a m { A i ) .
ỉ-¥ 00
Từ kết quả của bước 2 và tính chất của hàm ệ ta có ngay ữi+1 < ệ ị d i ) <
tồn tại số a > 0 sao cho lim ũ ị = a .
ỉ-¥ 00
Ta có:
ũị. Chứng
tỏ rằng dãy {ữị} là dãy giảm, vì thế
a = lim ữi+1 < lim ệ (ữi+i) = ệ lim ũị = ệ (a).
ỉ-¥ 00
ỉ-¥00
ỉ-¥00
Theo giả thiết thì ệ ( a ) < a với mọi a > 0. Điều đó bắt buộc a = 0. Tức
là lim ũ ị = 0.
%—¥ 00
Bước 4: Chỉ ra sự tồn tại số z sao cho lim T k x = z .
k—ĩoa
Theo chứng minh ở bước 3 ta có kết quả:
lim diam (Aị) = lim diam {o ( x k ^ \ y k ^ ) ) = 0.
i—ìo o
•¿—>•00
Điều này chứng tỏ rằng lim d i a m { o { x k , y k ) ) = 0. Như vậy, cả hai dãy
fc—>0o
{æfc} và { y k } là day Cauchy và chúng có chung một giới hạn, giả sử giới hạn đó là Z
G X.
Vì y G X là tùy ý nên lim x k = lim T k x = Z với mọi X G X .
k—foo
fc—foo
Trở lại việc chứng minh định lý.
Dựa vào kết quả của bài toán phụ ở trên, ta thấy rằng tồn tại số Z € X sao cho lim T k x = z với mọi X € X .
k— f 00
Giả sử rằng z Ỷ T z . Khi đó d i a m (0 ( z )) = A > 0. Ta có thể chọn được hai dãy { p (fc)} và { q (fc)} sao cho:
k-¥oo
p
q
0 < p (fc) < q (fc), lim d ( z W , z W ) = X .
Do lim z k = z nên tồn tại k 0 G N sao cho với k , l > k 0 thì d ( z k, z l) < —. Do đó, với số p nào đó mà 0 < P < k o thì
nó phải rơi vào trường hợp p ( k ) = p với k vô hạn lần. Vì thế, có một dãy con {r ( k ) } của dãy { q ( k ) } sao cho
lim d ( z p , z r ^ ) = A. Nếu r ( k ) = q vô hạn lần thì d (z p, z q ) = A.
k—> 00
Trường hợp ngược lại, tồn tại một dãy con {s ( k ) } của dãy {r (k )} thỏa mãn d (z p, z ) = A, với s ( k ) — > 00, k —
> 00. Trong bất kỳ trường hợp nào, luôn tồn tại p , q > 0 sao cho d (z p, z q ) = A.
Nếu p , q > 1, thế thì theo (1.3) ta có:
dự,zq) = d(T{zp-l),T{zq-1))
< ệ [ d i a m (o (zp_1, z?_1))] < ệ [ d i a m ( o (z))] .
Vì A = d ( z p , z q ) = d ỉ a m ( o (z)) nên điều này cho ta A < m - Mặt khác, nếu d ( z , z q ) = A, thì do lim z k =
z ta có:
fc—>0o
A = lim d (zfc, z q) < ệ [ d i a m (ơ ( z k ~ 1 , z q ~ l
k—ĩoa
Như vậy, trong bất cứ trường hợp nào ta cũng có điều mâu thuẫn do ệ (A) < A với mọi A > 0. Suy ra T ( z ) = z . m
Chương 2
Điểm bất động chung của các ánh xạ co
2.1.
Điểm bất động chung của hai ánh xạ co
Định lý 2.1. Cho
s,
T là các ánh xạ đi từ không gian mêtric đầy đủ (x,d) vào chính nó. Giả sử tồn tại
các số thực không ăm ũị thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x,y phân biệt thuộc X:
( i ) ai + ữ2 + ữ3 + ữ4 + ữ5 < 1
(ii) ữi = a 2 h o ặ c a3 = a4
(iii)
Nếu
s,
d ( S x , T y ) ^ a \ d ( x , S x ) + a 2d ( y , T y ) + a ^ d (x , T y ) + O ị d ( y , S x ) + a 5 d ( x , y ) .
T có điểm bất động thì hai điểm bất động đó trùng nhau và ỉà duy nhất.
Chứng minh. Đặt X 2 n +1 =
s
( x 2 n ) , x 2 n + 2 = T (X 2 n + 1), ,n = 0,1, 2 , . . .
Theo ( U i ) ta có: d ( x 1 , x 2 ) = d ( S x 0, T x i)
< aid (æ0, X i ) + a 2 d ( x 1 } x 2 ) + a 3 d ( x 0 , x 2 ) + a 4 d ( x 1 , x 1 )
+ a 5 d (æ0, X i )
Suy ra:
d (x ,x2) <
4
ai
^ ~ °5d (æ0, æ i ) . 1 — 02 — 03
Tương tự:
d (x2, x3) <
0/ 2
°5d ( x i , x 2 ) .
1 — 01—04
Đặt :
Oi + 03 a5
02 + 04 + a 5
----------------, s = ------------:------1 — 02 — C L 3
1 — ai — a4
Khi đó:
d (2:277 + 1 ; 2:277+2) — c d ( x 2 n j 2:277+1) d ( x 2n+2 ; 2:271+3) — s d
(2:277+1 ; 2:271+2) ■
Bằng quy nạp ta có kết quả với mọi 71 = 0,1, 2, . . .
d ( x 2 n + 1 , x 2 n + 2 ) = r ( r s ) n d (2:0, 2:1) d ( x
2n
+2
,x2n+3) = (rs)n+1d
(2:0,2q) .
Do r . s < 1 và d ( x n , x n + i ) < (1 + r ) (rs) n d ( x 0 , x i ) , nên { x n } là
71 = 0
71 = 0
dãy Cauchy trong không gian metric (X, d ) . Khi đó { x n } hội tụ đến X * . Chúng ta sẽ chứng minh rằng X * là điểm
bất động chung của s và T . Ta có:
d ( x * , S x * ) < d ( x * , x 2 n + 2) + d {x 2 n +2, S x * )
= d ( x * , x 2 n + 2 ) + d ( S x * , T x 2„+!,).
Hơn nữa,
d { x 2 n + 2 , S x * ) = d { S X * , T X 2 n+i)
< a i d { x * , S x * ) + a 2 d { x 2 n + ì , x2n+2) + a3d ( x * , x2n+2)
+ ũịd ( x 2 n + i , S x * ) + a 5 d ( x * , x 2 n + 1 ) .
Cho n — > 00 ta nhận được:
d (æ*, S x * ) <
( ö l + 04)
d (æ*, S x * ) .
Vì öl + a4 < 1 nên phải có d ( x * , S x * ) = 0. Như vậy s có điểm bất động
là X * .
Tương tự, ta cũng chỉ ra được
X*
là điểm bất động của T . Ngoài ra nếu y * cũng là điểm bất động của T (và cũng
là điểm bất động của V) thì:
d(x*,y*) = d (Sx*, Ty*)
< a i d ( x * , S x * ) + a 2 d ( y * , T y * ) + ữ3d ( x * , T y * ) + ữ ị d ( y *, S x * ) + a 5 d
(x*, y*)
= a3d(x*,Ty*) + a4d(y*,Sx*) + a5d(x*,y*)
= (a3 + ữ4 + ữ5) . d ( x * , y * ) .
Nếu thêm điều kiện:
03 + 04+05 < 1,
thì điểm bất động của S , T là duy nhất. Chú ý rằng điều kiện (z), ( i i )
thỏa mãn (2.1), nhưng chỉ (z) thì không thỏa mãn. Thật vậy, với mỗi Oi, 02, o5 thuộc [0, 00) với d ị Ỷ 02 và ữi + ữ2 +
05 < 1, chúng ta có thể
tìm được a3, a4 thuộc [0, 00) thỏa mãn (z) nhưng không thỏa mãn (2.1). Điều này có thể thấy khi xét hàm /:
/ (x, ỳ ) = (1 - a 2 - X ) (1 - Oi - y ) - (01 + X + o5) (o2 + y + o5),
ta định nghĩa một tập compact lồi như sau:
K = { ( x , y ) £ [0,1] X [0,1] : ữi + ữ2 + X + y + ữ5 < 1} ,
/ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực biên của K . Bằng tính toán, chúng ta kết luận rằng:
min(i^) = — |ữi — ữ2| (1 — ữi — ữ2 — ữ5)
Từ ữi + ữ2 + ữ5 < 1, minf ( K ) < 0 nếu và chỉ nếu ữi Ỷ o2. Nếu ữi Ỷ ữ2 thì bởi tính liên tục của /, tồn tại điểm (ữ 3, ữ4)
thuộc tập:
K \ { ( x , y ) e K : d ị + d 2 + X + y + a5 = 1}
sao cho / (ữ3, d ị ) < 0. Điều này có nghĩa là tồn tại (ữ3, d ị ) thỏa mãn (z) nhưng không thỏa mãn (2.1).
Hệ quả 2.1 ( R. Kannan). C h o
s
l à á n h x ạ đ i t ừ không giãn mêtric
1
đầy đủ (X, d) vào chính nó. Giả sử rằng tồn tại số r thuộc [0, -) Sdd cho với mọi x,y thuộc X tã có:
d (Sx, Ty) < r(d (x, Sx) + d (y, Sy))
Khi đó
s
c ó điểm bất động duy nhất.
Hệ quả 2.2 (P. Srivastava và V. K. Gupta). C h o S , T l à h ã i á n h
xạ đi từ không giãn mêtric (X, d) vào chính nó. Giả sử rằng với mọi x,y € X, tồn tại số thực không ăm
d ị , d 2 thỏã mẫn đồng thời: d ) d ị + d 2 < 1
b) d ( S x , T y ) < d ị d ( x , S x ) + d 2 d ( y , T y )
K h i đ ó S , T c ó d u y nhất một điểm bất động chung.
Tổng hợp từ hai hệ quả trên, ta thu được kết quả sau:
Mệnh đề 2.1. Cho S,T là hãi ánh xạ đi từ không giãn mêtric ( X , d ) v à o chính nó. Giả sử rằng với mọi
x,y G X tồn tại số thực không ăm dị, d 2 thỏd mãn dị + d 2 < 1 và: (*) d ( S x , T y ) < d ị d ( x , S x ) +
d2d(y,Ty)
là (*) đúng khi thdy thế s
thế T bởi s.
Khi đó hoặc
bởi T hoặc
là
(*) đúng khi thdy
Vi du tiép theo sê xem xét miîc dô rông hdn hê quâ Srivastava va Gupta.
Ví dụ 2.1. Đặt X = {1,2,3}. Khoảng cách d trong X được xác định như sau:
¿(1,2) = 1, ¿(2,3) = } ¿(1,3) = }
Với s, T là các ánh xạ trên X thỏa mãn:
5( 1) = 5(2) = 5(3) = 1 T (1) = T(3) = 1 T (2) = 3.
Chọn di = a 2 = a3 = Û5 = 0, Û4 = Thế thì điều kiện của định lý 2.1 thỏa mãn. Tuy nhiên, không có số thực không âm
ai,a2,a3,a5 nào có thể chọn để thỏa mãn đồng thời:
T ữ2 T Û3 T Û5 < 1)
và:
d ( S x , T y ) < CLị.d (X, Sx) + a 2 .d (y , T y ) + ữ3.d ( x , T y ) + a 5 .d (x, y).
Giả sử ngưọc lại, tức là tồn tại các số ữi,a2,a3,ữ5 thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó:
d ( S (3), T (2)) < a x . d (3, s (3)) + a 2 . d (2, T (2))
+ Û3- d (3, T (2)) + a c , . d (3, 2).
Tức là:
5 5oi , 4o2 , 4a5 ^ 5
7 < 7 + Y + Y < ^ ( « 1 + « 2 + a 5) ■
,
,
^
Vô lí vì ai + a2 + 03 + 05 < 1. Vậy giả sử trên đã sai.
Hệ quả 2.3 (G. Hardy và T. Rogers). Cho
s
ỉà ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó.
Giả sử tồn tại các số thực không ăm ũị, Ũ 2, as, CI4, CI5 thỏa mẫn đồng thời:
ữi + ữ2 + ữ3 + ữ4 + ữ5 < 1,
và:
d (Sx, Sy) < ữi.d (x, Sx) + a 2 .d (y, Sy) + a 3 .d (x, Sy)
