Luận văn thạc sĩ Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG THẢO

TÍNH

ỔN

ĐỊNH

CỦA

KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

CÁC


NGUYỄN HOÀNG THẢO

TÍNH ON ĐỊNH CUA CÀC
KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ

LUẬN VẰN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Quỳnh Nga


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.
Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề
tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời
cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà
Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa
học.
Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
tập thể lớp Toán giải tích K17 (đợt l)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Hoàng Thảo


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài
"Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz" được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Hoàng Thảo


Mục lục
Mở đầu...

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1.
Phép biến đổi Fourier

4
4

1.1.1.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R d )

4

1.1.2.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R d )

5

1.2. Khung trong không gian Hilbert

6

1.3. Cơ sở Riesz

14

1.4. Khung hàm số mũ

19

1.5. Khung sóng nhỏ

27

Chương
2.

Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

31

2.1. Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz tổng quát

31

2.2. Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz hàm số mũ

49

2.3. Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz sóng nhỏ

58

Kết luận

Mở đầu

70
71

Tài liệu tham khảo
1. Lý do chọn đề tài
Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn mỗi phần tử của không gian Hilbert
thành một chuỗi vô hạn. Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ phức tạp
qua các véc tơ đơn giản hơn. Đây là bài toán thường xuyên xuất hiện trong


nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật như giải tích điều hoà, phương
trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình ảnh. Mặc dù về lý thuyết dễ
thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực giao đôi khi gặp rắc rối. Ví dụ như
không phải luôn luôn dễ dàng tìm một cơ sở trực giao và có những trường hợp
khi khai triển theo chuỗi trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở
tổng quát hơn vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp.
Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở ở một
khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và do đó tính duy
nhất của biểu diễn của các cơ sở bị mất đi. Chính tính thừa này của khung có
những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì
nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn
và tín hiệu có thể khôi phục lại từ mẫu có độ chính xác tương đối thấp.
Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ nghiên
cứu chuỗi Fourier không điều hoà. Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau bài báo

của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới nhận được sự quan
tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học.
Cho H là một không gian Hilbert khả ly. Một dãy {/n}nejv trong H được gọi là
một khung nếu tồn tại các hằng số A,B > 0 hữu hạn sao cho với mọi / € H ta có
A||/||2<^K/,/„>|2HỄJV
Một khung được gọi là một cơ sở Riesz nếu sau khi bỏ đi một phần tử bất kỳ


của dãy thì nó không còn là khung nữa.
Bài toán ổn định của các khung và cơ sở Riesz được đặt ra như sau: Cho một
dãy theo một nghĩa nào đó gần với khung hay cơ sở Riesz {fk} .Ta cần tìm các
điều kiện để đảm bảo rằng {gk} cũng là một khung hay cơ sở Riesz.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán ổn định trên, nhờ sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn
nghiên cứu đề tài “Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz” để thực hiện
luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính ổn định của các khung tổng
quát, tính ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các
khung và cơ sở sóng nhỏ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và
kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz, khung hàm số
mũ, khung sóng nhỏ.Tính ổn định của các khung tổng quát, tính
Ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung và cơ

sở sóng nhỏ.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.
- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ sở
Riesz.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách tổng quan về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bị cho
chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham
khảo[1]-[3],[8].

1.1.

Phép biến đổi Fourier

Ta sử dụng các kí hiệu sau trong luận văn

ư (Md) :

=

/ : Md —> C|/ đo được và f \f (x)\p dx < 00

trong đó 1 < p < 00.
1
p

/

L P ( Md)

—

Lp (Md) là không gian Banach với chuẩn là
L°° (Md) := {/ : Md —> C|/ đo được và 3C, I/ (a;)| < c h.k.n } . L°° (Md)
là không gian Banach với chuẩn là
ll/L-(H<) : = esssup I/ (s)|
= inf{ơ| I/ (s)| < c h.k.n } .

1.1.1. Phép biến đối Fourier trong không gian L1 (Md)
Định nghĩa 1.1.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f € Ll (Md) được cho bởi
công thức
ỉ(u) = ựf)(u):= Ị

JRd


d

trong đó ( x , ư ) = xkUk, X = i x i , x 2 , - , x d ) , cư = (cưi,cư 2 , -,Wd) ■
fc=i

Một số tính chất cơ bản của / (cư) với / G Í /1 (Md) được cho trong hai
định lý sau.
Định lí 1.1.2. Cho f e L1 (Md). Khi đó

ị ) f e L°° ( R d ) , v à /

<11/1
'
\ )
J L°°(Rd) 1
ii) Ị liên tục đều trên Md;
Ui) Ị (CƯ) —> 0 khi CƯ —> ±00.
Định lí 1.1.3. Nếu fjgeL1 (Md) và (3,7 € c, a, b, CƯ € Kd, OL G zị thì
i) F w + 7ỡ} = /3-T7 {/} ± 7-T7 {9}
F {Taf} ( CƯ ) = e~27ri{a'u}f ( CƯ )
Ui) T (Ebf) ( CƯ ) = / ( CƯ - 6)
ỉv) {Daf)A ( CƯ ) = (27 ĨZCƯ )° / ( CƯ )
trong đó Taf (í) := f (t - a), Ebf (í) := e2™(M)/ (í).
ơ đây ta đã sử dung ký hiêu CƯ Q = JT cư7-% Da = / Q ■■. ” trong
3 = 1

dx

T

dx

dd

đó a = {aua2, ...,ad) và cư = (cưi,cư2, ...,cưd).

1.1.2. Phép biến đối Fourier trong không gian L2 (Md)
Định lí 1.1.4. Cho / G L1 (Md) ni2 (Md). ẢTiĩ đó phép biến đổi Fourier của f là
f e L2 (Md) ưà thỏa mãn đồng nhất thức Parseraỉ f

=
L 2(M d )

L2(Md) ■


Từ định lý này ta thấy phép biển đổi Fourier T : L1 (Md) ni2 (Md) —> L2
(Md) là toán tử tuyến tính bị chặn.
Do L1 (Md) nL2 (Md) là trù mật trong L2 (Md) nên T có thể thác triển lên
toàn bộ L2 (Md) mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn, nếu / € L2 (Md)


thì
ỈN

f (x) nếu |x I < N

{ x ) :=

nếu |xI > N, N = 1,2,...

0

nằm trong Ll (Md) n L2 (Md). Do đó /JV G L2 (Md) .
Có thể kiểm tra được rằng {/jv j là dãy Cauchy trong L2 (Md) . Do tính đầy
đủ của L2 (Md) ta có thể tìm được /oo G L2 (Md) sao cho

lim

Ỉ N — fo
L 2( R d )

0.

Định nghĩa 1.1.5. Phép biến đổi Fourier f của hàm f G L2 (Md) được định nghĩa
là giới hạn /oo của |/jv| ■
Chú ý 1.1.1. Định nghĩa f của hàm f G L2 (Md) là độc lập với sự lựa chọn của fN
G L1 (Md) n L2 (Md) . Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong L1

(Md) n L2 (Md) mà xấp xỉ f trong L2 (Md) có thể sử dụng để định nghĩa f.
Định lí 1.1.6. (Định lý Plancherel)
Cho f,ge L2 (Md). Khi đó

(f ,g ) = Ọ > 9)
Dặc biệt

f\Ì2 = ỉ

1.2.

2

Khung trong không gian Hilbert

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
khung cần đến cho Chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở tài
liệu [1], [3].

Cho Tỉ là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng <
>tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ
hai.
Định nghĩa 1.2.1. Dãy {/1}^! trong !K được gọi là dãy Bessel nếu
00

3B>0-.ỵ^l(f, fi)\2i= 1
B được gọi là cận Bessel của {/i}“r
Một dãy Bessel

là một khung nếu
00

2

3A>0-.A\\f\\ <ỵ2\ự, /OI2, v/s H.
i=

1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau:
Định nghĩa 1.2.2. Một dãy {/ị}^ trong Ti là một khung nếu tồn tại
hai hằng SỐO00

A\\f\\ <ỵ2\ự, /,}|2 < BII/II2, V/€H.
2

i=

1

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung
trên tối ưu là intimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung
tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung {/ị}“1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu
A = B = 1.


Mệnh đề 1.2.3. Cho một dãy {fj}m=ì trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V.
Khi đó {fj}m=ì là một khung cho span {fj}m=ì ■
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không.
Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
m
B = Ẻ ll/ill2j=l

Bây giờ ta đặt w := span {fj}m=1 và xem xét ánh xạ liên tục
m

$ : W ^ R , $(/) :=Elơ, /;->|2.
j=l

Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g € w với ll^ll = 1 sao
cho
m
j=l

m

¿ : = E l < 9 ’ ư = i n f E i ư / ¡ > 1 “ : / ^ , 11/ 11= 1

Kj=1

Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy / € w, Ị Ỷ 0) ta có
m
j=l

m

/f

\

2
2
¿ l ơ , fí)l^ = ¿ (iiTiĩ. /í) l/ll > All/ll .

j=l

x 11711

Mệnh đề được chứng minh.

□

Hệ quả 1.2.4. Một họ các phần tử {fj}m=1 trong V ỉà một khung của V khi và

chỉ khi span {fj}m=1 = V.
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần
thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj}k=ì là một khung của V và { g j } m = 1 là một


tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj}k=iu{gj}m=1 cũng là một khung của V.
Ví dụ 1. Lấy

5

« = «2,e. = (0. lf, e2 = (^, ịr, e3 = (^, -\)T.

2

{ei, e2, 63} là một khung chặt với cận khung là -.


Thật vậy, với X = (xi, X2Y G T-t bất kì, ta có
E I ( x , e ó ) |2 = X 2 2 +

+ \ x 2) +

- \ x 2)

= \ {xl2+x22)
_ 3 I |2

= „\x\ .
2II

Ví dụ 2. Giả sử {efc}“=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) {efc}^°=1 là khung Parseval.
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {e fc}^°=1 hai lần ta thu được {AKLi
= {eiĩ eu e2, e2, ... } khi đó {/fc}“=1 là khung chặt với cận khung Ả = 2.
00 00

Thật vậy, ta có lơ, /fc)|2 = 2 E lơ, efc)|2 = 2II/I|2, V/ € n.
k=1
fc = l
Nếu chỉ d được lặp lại ta thu được
= {ei, ei, e2, es, ... } khi

00

ll/l| <£lơ, /0I2<2||/I|2, V f e n .
2

k=1

Vì vậy {fk}^=ì là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung
trên là 2.


ựk
ựý2' ụỉz' ựf3' V3'
7^3,
1
nghĩa là { f k j ^ i là dãy mà mỗi véc tơ —I=ek được lặp lại k lần. Khi đó
với (iii)
mỗiGià

/ € PL
sử {ftit.i
có '■= {ei, 7^62,

00

00

Ị

*1

\

2
fk)\ = J2 \f> ựkGk) l/ll -

2

k

Vì thế {fk} là một khung chặt của PL với cận khung A = 1.
Ví dụ 3. Cho K = L2(T) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo Lebesgue
chuẩn hóa. Khi đó ịeins : n G là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho K = L2(T).
Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì {eins\E : n € z} là một khung Parseval cho
L2(E).
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.5. Cho PL là không gian Hilbert và X là không gian con đóng của PL.
Gọi p là phép chiếu trực giao từ PL lên X và {eị}i€l là một cơ sở trực chuẩn của
PL. Khi đó {Pei}i&1 là một khung Parseval của X.

Chứng minh. Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ. Khi đó Pf = f. Ta có
£lơ, Pe<)I2 = £ I( P f , eí)|2 = £ lơ, e.)|2 = ll/ll2.
iel
iel
iel
Do đó {Peị}i€l là một khung Parseval của X.

□

Bây giờ ta se chứng minh ịei n s \ „ là môt khung Parseval cho
V * J TL G
L\E).
Cho / e L2(E). Đặt /(í) =

f ( t ) nếu t G E 0 nếu
t £ T\E.


Khi đó f(t) G L2(E). DO đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi L2(E) là
một không gian con đóng của L2(T). Gọi p là phép chiếu trực giao từ L2(T) lên
L2(E). Khi đó p{eins) = eins\E. Do {eins} z là cơ sở trực chuẩn của L2(T) nên, theo
Bổ đề 1.2.5 {eins\E} z là khung Parseval cho L2{E).
Định lí 1.2.6. Giả sử { f k } k L \ là một dẫy trong Pi. Khi đó { f k } k L i là
một dẫy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T '■ {Ckìti Y^Ckỉk
k=1
là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2(N) vào Pi và ||T|| < ỰB.
Chứng minh. Trước hết, giả thiết

là dãy Bessel với cận Bessel

B. Giả sử {ck}Zi G /2(N). Ta phải chỉ ra T{ck}^=1 là hoàn toàn xác
00

định, tức là c k f k là hội tụ. Xét m , n G N, n > m. Khi đó:
fc=i
n
k =1

m
Ckỉk

fc=l

Ckỉk

c

kfk

k = m +1

= sup
M=1

(. Ckfk, 9ỵ

fc=i

Do {Cfc}^°=1 G /2(N), ta biết rằng ị |cfc|2 ị là day Cauchy trong c.


f«
ì00
Tính toán trên chỉ ra rang s c k f k > là một dãy Cauchy trong Tí

U=1

và do đó hội tụ.

J fc=i

Vậy T{cfc}^°=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ
llT {ck}Zi\\ = SUP \{T {c*KLi > 9)\ ,
llpll=l
tính toán trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < \JB.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và
||T|| < /ẽ,
khi đó

00

ỵ 2\ { f , h ) \ 2 < l|r||2 ll/ll2, V / S W
fc=0

chỉ ra

là dãy Bessel với cận Bessel B.

□
00

Hệ quả 1.2.7. Nếu

là một dẫy trong T-t và Ckỉk hội tụ với
k=1
ỉà một dãy Bessel.

mọi {cfc}“=1 € /2(N) thì

00

là một dẫy Bessel trong ĩỉ, thì c k f k hội
k=1
tụ không điều kiện với mọi { C f c }^° e /2(N).
Hệ quả 1.2.8. Nếu

=1

Do một khung

là một day Bessel nên toán tử
00

2

T:í (N)^H,

=
fc=l

bị chặn bởi Định lí 1.2.6. T được gọi là toán tử tổng hợp. Gọi
T* : Ti —> /2(N) là toán tử liên hợp của T.
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có
( T ' f , e,) = ( f , Te,) = Từ đó T*f = {(/,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành


của T và T* được gọi là toán tử khung
00

S - . H - > H , S Ị = TT'Í = ự,
k = 1

là một khung với toán tử khung s và

Mệnh đề 1.2.9. Giả sử

cận khung A, B. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.
(ịị) {S'
tối ưu của

là khung với các cận B 1,A 1. Nếu A, B là các cận
thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của {s-1/*;}^. Toán

tử khung của {s_1/fc}^1 là s-1.
Khung {s-1/fc} được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng
nhất. Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của TI thì mọi phần tử trong TI có
thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó ta
có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
Định lí 1.2.10. Giả sử

là một khung với toán tử khung là s.

Khi đó
00

/ = £(/, 5_1A>A. V/ Ẽ H,
k =1

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f G Tí.
Chứng minh. Giả sử / G Tí. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Bổ đề
1.2.9 ta có
00

00

/ = S S ~ l Ị = Y, {s-'ỉ, /,)/. = E (/> •S'-1/,)/.. V/ e n.
i= 1
i= 1


Do { f k } k L i là một dãy Bessel và {(/,

s

1

/fc)}fcli G /2(N), theo Hệ quả 1.2.8

chuỗi hội tụ không điều kiện.

□

Định lí 1.2.11. M ộ t d ẫ y { f k } k L i trong Tí là khung của Tí khi và chỉ khi
00

^: {/fc}fc°= 1 J 2 c k f k
k =1

là ánh xạ hoàn toàn xác định tuyến tính liên tục từ l2(N) lên Tí.
Định nghĩa 1.2.12. Cho { f k } k L i là một dãy trong Ti. Ta gọi { f k } k L i là một
d ẫ y đầy đủ nếu span { f k } k L i = T í .

1.3.

Cơ sở Riesz

Định nghĩa 1.3.1. Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng { ư e k } ^ = 1 , trong
đó { e k } ^ = 1 là một cơ sở trực chuẩn của Ti và
ư-.n^n
là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Định lí 1.3.2. Nếu { f k } ^ = i là một cơ sở Riesz của Ti thì tồn tại duy nhất một
dãy { g k } k L i trong Ti sao cho

/

=

Xh/.9*>/*.

V/eM,

(1.1)
fc = l

cũng là một cơ sở Riesz và { f k } k L i ì {ỡfc}fc°= 1 là song trực giao,
tức là
(fji 9k) ồj,k

í

1 khi j = k
0 khi j

Ỷ

kHơn nữa, chuỗi (1.1) hội tụ không điều kiện với mọi f € Tt.


Ta gọi {<7fc}fcLi là cơ sở Riesz đối ngẫu của {/fc}£°=1.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu

= {ưek}™=1 là một cơ sở Riesz của Ti,

thì tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
A\\f\\2 k =1

và nhỏ nhất có thể

Giá trị ỉớn nhất có thể của hằng số Ả ỉà của B
là \\ư\\2.
Chứng minh. Cho / € ĩỉ
00 00 00

2

fc=l

fc=l

fc=l

Elơ, A}| 2 = E lơ. U e k ) I2 = E l^*/,e„)l
Từ đó suy ra { f k } % L i là một dãy Bessel với cận trên là \\ư\\2.
Do
||[/|| = ||[/1 = sup \ \ ư * f \ \
11/11=1
nên tồn tại dãy {5,ị}lT1 e T í sao cho \\gi\\ = l,Vĩ và ||[/*<7ị|| —>• \ \ u \ \ khi i
—>• oo.
Do Kỡi, /fc)|2 = ||£Cỡl|r \\u\\2 khi i —>• oo nên \\u\\2 là cận trên tối
fc=i

ưu của khung {/fc}“=1.

Mặt khác,
Từ đó
Iiư*/ir > ĨĨ^^II/II 2,V/€H
1

hay _1 — là một cận khung dưới của { f k } ^ L i *\-l
Đặt h = (ư*)~1g hay g = ư*h.

MTh!

sup
llsll/o IMI


Khi đó g Ỷ 0 tương đương với h Ỷ 0- Ta có

Từ đó tồn tại dãy { h i } Ỷ 0 sao chơ

INI l|f/_1ll2
\ \ u -11

\\U'ht\
hay
\\ư*h.112
1

Từ đó, ị ị ụ l i 112 là cận dưới tối ưu của khung { f k } k L i -

□

Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để { f k } k L i là một cơ sở
Riesz.
Định lí 1.3.4. C h o m ộ t d ã y { f k } ^ = i trong Tí, các điều kiện sau là tương
đương:
( i ) { f k } ^ = i là một cơ sở Riesz của Tí.
{/fc}fc°= 1 đầy đủ trong Tí, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho với
mỗi dãy hữu hạn {cfc} ta có:


(Hi) {/fc}^! là dẫy Bessel đầy đủ và nó có dẫy song trực giao đầy đủ {s'fclfcl 1
cũng là một dẫy Bessel.
Mệnh đề 1.3.5.
là cơ sở Riesz khi và chỉ khi
00
khung và nếu Y), c i f i = 0) vài {Cị}“ 1 G / 2 (N) thì Cị = 0, Vì.

là một

ï=1

Chứng minh. (=>) Giả sử {/ị}“ 1 là cơ sở Riesz của không gian Hilbert H , nghĩa là
fi = Tei,\/i, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch và {ei}“1 là một cơ sở
trực chuẩn của %.
Với mọi / G “H ta có
00

00

E lơ. /OI = E lơ, re,)I
2

i =1

2

= \ \ T ' f \ \ 2 < irfimi 2 = l|r|| 2 ||/|| 2 .

i=l

Đặt g = T'ỉ khi đó / = {T')-'g.
Vì vậy
1

1

II/II 2 < E|(Ĩ’T
I ƠS, /OI 2 < mi 2 ii/n 2 , ' i f e u .
2

-1
|r*/||
=
2
llsll >
T

i= 1

II (r*)-1!

IKr1
)’

Vậy { f i } Z i là một khung.
Giả sử Ỵ 2

Cịfi

i= 1

= 0 với {

Cl

}°°=1

00

G / 2 (N). Khi đó
00

00

0 = Ỵ^Ciỉi = ỵ2ciTei = TC^Zciei)i= 1
i= 1
i= 1
Do

T

00

khả nghịch nên Y2 C ị C ị = 0 . Vì {eị}°°
i= 1
C ị = 0, với mọi % .

1

là cơ sở trực chuẩn nên

00

(•<=) Giả sử {/ 1}°°! là một khung và Ỵ 2 c i f i = 0 với {c i }“ 1
i= 1

G / 2 (N) thì

12
■


Cị = 0, với mọi i.
Gọi {ei}“1 là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của /2(N). Do

là một

khung nên theo Định lí 1.2.11 toán tử tổng hợp T là tuyến tính, liên tục, toàn ánh.
00

Điều kiện ỵ , d f i = 0 kéo theo d = 0,với mọi ỉ nói lên T là đơn ánh.

í= 1

Vậy T là song ánh thỏa mãn f i = Teị, với mọi i. Do đó

là cơ sở

Riesz.
Mệnh đề được chứng minh.

□

Định lí 1.3.6. Một cơ sở Riesz

của ĩi là một khung của ĩi và

các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung. Cơ sở đối ngẫu Riesz
là một khung của và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung. Theo Định
Chứng minh. Theo Mệnh đề

1.3.3 một cơ sở Riesz { f k } ^ = i của ĩ i cũng

lí 1.3.2, tồn tại duy nhất một dãy

1 trong T - t sao cho

/ = XV’»*>A,V/e w
k =1

và {g k} cung là một cơ sở Riesz của T í . Mặt khác, theo Định lí 1.2.10, ta lại có
/ = Eưs-‘A)A,v/e-H.

fc = l

Từ đó g k = 51-1 f k là cơ sở đối ngẫu của {/fc} và cũng là cơ sở Riesz của
n.

□

Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc đặc biệt là
khung hàm số mũ. Nội dung của chương này dựa trên tài liệu tham khảo [1],