CÁCH GẮN KẾT DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN LOGIC TRONG HÌNH HỌC OXY_PHẦN 1

GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ ThayTungToan

CÁCH GẮN KẾT DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
LOGIC TRONG HÌNH HỌC OXY_PHẦN 1
Giáo viên: Nguyễn Thanh Tùng

Như các bạn đều biết trong đề thi Đại Học, THPT Quốc Gia mấy năm trở lại đây, câu hỏi thuộc chủ đề
HÌNH HỌC PHẲNG OXY thường gây nhiều trở ngại với phần đông thí sinh. Bởi các bạn thường không có
phương hướng để bắt đầu bài toán từ đâu, không biết sử dụng và gắn kết các dữ kiện như thế nào để đi đến đáp
số cuối cùng. Nhằm tháo gỡ những khó khăn trên, trong bài viết này thầy xin chia sẻ kinh nghiệm giải quyết
nhanh bài toán Oxy qua chủ đề “Cách gắn kết dữ kiện và những suy đoán logic trong hình học Oxy”.
Biết gắn kết các dữ kiện của bài toán chính là “chìa khóa”, là kim chỉ nam trong việc chinh phục câu hỏi
Oxy trong đề thi. Nó sẽ giúp bạn định hướng chính xác trong việc tư duy, liên kết và khai thác các dữ kiện hợp
lí để đưa ra những suy đoán có logic. Và nếu “điểm nhấn” trong bài toán nằm ở việc phát hiện ra tính chất thuần
túy, khi đó việc biết gắn kết các dữ kiện cũng sẽ giúp bạn nhìn thấy rõ các tính chất đó.
Yêu cầu quan trọng: Vẽ hình chính xác nhằm củng cố tính đúng đắn của những suy đoán.
Một câu hỏi lúc này:
“Gắn kết các dữ kiện như thế nào ? Những đối tượng nào sẽ “ưu tiên” được gắn kết ? “.
Câu trả lời:
Những yếu tố cần gắn kết: Là những yếu tố cần tìm (yêu cầu của bài toán) được gắn kết với những điểm đã
biết tọa độ (hoặc tìm được tọa độ), những đường thẳng đã biết phương trình (hoặc viết được phương trình). Nếu
trong bài toán có nhiều điểm cần tìm, ta cần chọn thứ tự ưu tiên tìm điểm nào trước ? . Điểm nghĩ tới đầu tiên
là điểm có nhiều thông tin liên quan và có lợi tới nó nhất . Việc gắn kết này sẽ đi theo “mạch” và hướng tư duy
thông qua 10 mô hình thông dụng sau: (Trang tiếp theo).

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

1


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

MÔ HÌNH 1
Bài toán cho tọa độ 2 điểm, cho đường thẳng đi qua một điểm hoặc tìm điểm thuộc đường thẳng cho trước.
Cách gắn kết : Nối điểm cần tìm và điểm thuộc đường thẳng với 2 điểm đã biết tọa độ. Khi đó ta sẽ tư duy theo:
Hướng 1: Tìm cách tính độ dài các đoạn thẳng vừa nối qua các yếu tố bất biến (khoảng cách, góc không đổi…).
Hướng 2: Tìm cách chứng minh tam giác đặc biệt (vuông, cân…) dựa vào hình vẽ chính xác để đưa ra dự đoán.
Hướng 3: Kiểm tra quan hệ vuông góc, song song (dễ có được khi vẽ hình chính xác).
Chú ý: Trong đề bài nếu có dữ kiện đường thẳng cho biết phương trình đi qua 1 điểm, thì đường thẳng này chỉ
dành cho điểm đó (ta sẽ không gắn kết nó với các điểm khác) và thường ta sẽ đi tìm tọa độ điểm đó (có thể đề
bài không hỏi). Để dễ hình dung cho những phân tích trên chúng ta sẽ đi vào ví dụ đầu tiên:
Ví dụ 1 (THPT Quốc Gia 2015). Trong mặt phẳng với
hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC , D là điểm
đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C
trên đường thẳng AD . Giả sử H (5; 5), K (9; 3) và trung
điểm I của cạnh AC thuộc đường thẳng x  y  10  0 .
Tìm tọa độ điểm A .
facebook.com/ ThayTungToan

K

B

H
D

A(?)

I

C

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
facebook.com/ ThayTungToan
Các đối tượng cần liên kết

K

Các hướng gắn kết
và nhận định
Tính các đoạn
IH , IK , AH , AK .

H
Các tam giác
IHK , AHK , AHI , AKI
có gì đặc biệt ?

Kiểm tra tính khả thi và suy đoán Kết luận
Dựa vào độ dài HK đã biết, ta kiểm
tra được mối quan hệ AH  HK .
Vẽ hình chính xác, lấy thước đo ta
suy đoán IH  IK  IA (thực ra đây

là tính chất quen thuộc) và
AH  HK .

(?)
A(?)

I

IH  AK

Bằng việc vẽ hình chính xác ta
nhận ra được yếu tố vuông góc.

+) IH  IK
I
+) HI là
trung trực
của AK 
A đối xứng
với K qua
IH  A .

Hướng dẫn giải bài toán:
+) I thuộc đường thẳng x  y  10  0 và chứng minh IA  IK , suy ra tọa độ điểm I .
+) Chứng minh IA  IK và HA  HK  HI là đường trung trực của AK
Suy ra A đối xứng với K qua HI  A .
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

2

HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

MÔ HÌNH 2
Bài toán cho tọa độ 2 điểm, cho phương trình 2 đường thẳng trong đó có 1 đường biết vị trí tường minh và 1
đường không biết vị trí chính xác (thường đề bài cho dưới dạng đi qua một điểm).
Cách gắn kết : Tìm điểm thuộc đường thẳng chưa rõ vị trí qua việc nối nó với các điểm đã biết tọa độ hoặc
dựng đoạn vuông góc với đường thẳng biết vị trí tường minh (nhằm tính khoảng cách). Khi đó ta sẽ tư duy theo:
Hướng 1: Tìm cách tính độ dài các đoạn thẳng vừa nối và đoạn vuông góc vừa dựng qua các yếu tố bất biến
(khoảng cách, góc không đổi…).
Hướng 2: Chứng minh tam giác đặc biệt (vuông, cân…) dựa vào hình vẽ chính xác để đưa ra dự đoán.
Hướng 3: Kiểm tra đường thẳng đi qua các đoạn vừa nối (ở phần gắn kết) với đường thẳng có vị trí tường minh
có quan hệ vuông góc hay song song không ?
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD B(?)
vuông tại A và B có phương trình cạnh CD là 3x  y  14  0 .
3

Điểm M là trung điểm của AB , điểm N  0;   là trung điểm
2

của MA . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên
M
MD và MC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết
điểm M nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  3  0 , hai đường thẳng
N
5

3


AH và BK cắt nhau tại điểm P  ;   .
A(?)
2 2
facebook.com/ ThayTungToan

C(?)

K
P
H

D(?)

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
facebook.com/ ThayTungToan
Các đối tượng cần liên kết

Các hướng gắn kết
và nhận định
Tính độ dài MP, MN ?
Tính khoảng cách
d (M , CD) , d (M , NP) ?

C

M

P

(?)

Tam giác MNP có gì
đặc biệt ? (vuông, cân…)

N
D

MP  CD

Kiểm tra tính khả thi và suy đoán Kết luận
Muốn tính được phải dựa vào các
yếu tố định lượng đã biết như: độ
dài NP , khoảng cách d ( P, CD)
hoặc d ( N , CD) . Nhưng chúng
không có mối quan hệ.
Kiểm tra, đo đạc không cho ta được
yếu tố đặc biệt gì.

MP  CD

M

Bằng việc vẽ hình chính xác ta
nhận ra được yếu tố vuông góc.

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

3


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ ThayTungToan

Hướng dẫn giải bài toán:
+) Chứng minh MP  CD , suy ra phương trình MP ,
Suy ra tọa độ điểm M (là giao của 2 đường thẳng).
+) Suy ra tọa độ điểm A ( N là trung điểm của MA ),
suy ra B ( M là trung điểm của AB ),
+) Viết phương trình BC (đi qua B , vuông góc AB ),
AD (đi qua A , vuông góc AB ), suy ra tọa độ C , D .

C(?)

B(?)

I
K
P

M
H
N
A(?)

D(?)

MÔ HÌNH 3
Cho phương trình hai đường thẳng biết vị trí và tọa độ 1 điểm. Yêu cầu viết phương trình đường thẳng.
Cách gắn kết : Gắn kết 2 đường thẳng đã biết phương trình (biết cả vị trí) giúp ta tìm được tọa độ giao điểm của
hai đường này. Dựng các giao điểm của đường thẳng cần viết với các đường biết phương trình. Từ đó ta sẽ tìm
tọa độ các giao điểm này bằng cách nối nó với các điểm đã biết tọa độ.
Hướng 1: Tìm cách tính độ dài các đoạn thẳng vừa nối.
Hướng 2: Kiểm tra tam giác sau khi được nối có gì đặc biệt (vuông, cân…).

A
Ví dụ 3. (Khối D – 2014). Trong mặt phẳng với
hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường
phân giác trong của góc A là điểm D(1; 1) .
Đường thẳng AB có phương trình 3x  2 y  9  0 ,
tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC có phương trình x  2 y  7  0 . Viết phương
trình đường thẳng BC .
facebook.com/ ThayTungToan

B

D(1; 1)

C

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
facebook.com/ ThayTungToan
Ở bài toán này, hai dữ kiện đã biết là đường thẳng AB và tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC giúp ta “tháo” luôn được tọa độ điểm A . Dựng các giao điểm của BC với AB và tiếp tuyến tại A

lần lượt là B và T . Như vậy dữ kiện đã biết là tọa độ điểm A, D và hai đường thẳng AB, AT . Lúc này ta có
hai lựa chọn là tìm tọa độ của B hoặc T .
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

4


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Các đối tượng cần liên kết

Các hướng gắn kết
và nhận định

Tính TA, TD, BA, BD ?

A

Tam giác TAD, BAD
có gì đặc biệt ?
(vuông, cân…)
T

B

facebook.com/ ThayTungToan

D(1; 1)

Kiểm tra tính khả thi
và suy đoán

Kết luận

Dựa vào d ( D, AB), d ( D, AT )
. Nhưng ta không tìm được
mối quan hệ.
Bằng việc vẽ hình chính xác
và đo đạc ta nhận thấy
TA  TD hay ta suy đoán tam
giác TAD cân tại T .

Tam giác
TAD cân
tại T
hay
TA  TD

A

Hướng dẫn giải bài toán:
+) Tìm được tọa độ điểm A là giao
của 2 đường thẳng biết phương trình.
+) Chứng minh TA  TD  T
Suy ra phương trình BC (đi qua D, T ).

T
B

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
cho tam giác ABC có A(1; 4) , tiếp tuyến tại A
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt
ADB
BC tại D , đường phân giác trong của góc 

có phương trình d : x  y  2  0 , điểm M (6;7)
thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB .

C

D(1; 1)

A

1

E
D

B

F
M
C

facebook.com/ ThayTungToan

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN

facebook.com/ ThayTungToan
Ở bài toán này, hai dữ kiện đã biết là đường thẳng DF và AC (ta viết được – đi qua A, M ) giúp ta “tháo”
được tọa độ giao điểm F . Dựng các giao điểm của AB với DF , AC lần lượt là E và A . Như vậy dữ kiện đã
biết là tọa độ điểm A, F và hai đường thẳng DF , AC . Yêu cầu bài toán tương đương với việc đi tìm thêm tọa
độ điểm E .

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

5


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Các đối tượng cần liên kết

Các hướng gắn kết
và nhận định

A

Tính EA, EF ?

facebook.com/ ThayTungToan
Kiểm tra tính khả thi
và suy đoán
Dựa vào độ dài AF hoặc
d ( A, DF ) . Ta nhận thấy có
mối quan hệ EA  AF .

F
E
B

Tam giác EAF có gì
đặc biệt ?
(vuông, cân…)

M
C

Bằng việc vẽ hình chính xác
và đo đạc ta nhận thấy
EA  AF hay ta suy đoán
tam giác EAF cân tại A .

Kết luận

Tam giác
EAF cân
tại A
hay
EA  AF

Chú ý: Nếu bài toán cho tọa độ một điểm nhưng chưa rõ vị trí, thì điểm này chỉ dành cho việc viết phương
trình đường thẳng đi qua nó và nó không sử dụng trong việc liên kết các điểm khác. Cụ thể ở bài toán trên điểm
M chỉ giúp ta viết phương trình AC và ta không dùng nó vào việc liên kết các điểm khác.
Hướng dẫn giải bài toán:
+) Viết phương trình AC (đi qua A, M ), suy ra tọa độ giao điểm F .

+) Chứng minh tam giác EAF cân tại A hay EA  AF  E  phương trình AB (đi qua A, E ).

MÔ HÌNH 4
Cho tọa độ 1 điểm và điểm cần tìm nằm trên đường thẳng biết phương trình.
Cách gắn kết : Nối điểm cần tìm với điểm đã biết tọa độ.
Hướng luôn đi: Đi tính độ dài đoạn vừa nối.
Chú ý: Nếu trong bài toán có nhiều hơn 1 điểm cần tìm, thì điểm đầu tiên được tìm sẽ là điểm có nhiều dữ kiện
liên quan tới nó và điểm này thường là điểm quan trọng nhất trong bài toán (vì tìm được nó, các điểm sau sẽ
tìm đơn giản).

C(?)

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
cho tam giác ABC cân tại C . Các điểm M , N
lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C của
tam giác. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E
sao cho AE  AC . Đường thẳng CN có phương
trình y  1  0 và E (1;7) . Biết điểm C có hoành
độ dương và A nằm trên đường thẳng 2 x  y  1  0 .
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
facebook.com/ ThayTungToan

M
A(?)

N

B(?)

E( 1;7)

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
facebook.com/ ThayTungToan
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

6


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Các đối tượng cần liên kết

Các hướng gắn kết
và nhận định

C(?)

Tính CE, AE ?
A(?)
E( 1;7)

N

B(?)

H

facebook.com/ ThayTungToan

Kiểm tra tính khả thi
và suy đoán
Chọn tính CE (vì C có nhiều
dữ kiện có lợi hơn A ). Muốn
thế ta cần gắn kết CE với yếu
tố bất biến tính được là
EH  d ( E, CN ) . Kiểm tra tính
đặc biệt của CEH , ta được
CH  EH hay CEH vuông
cân tại H  CE  2EH .

Kết luận

CE  2EH

Hướng dẫn giải bài toán:
+) Dựng EH  CN ( H  CN ), chứng minh CEH vuông cân tại H  CE  2EH  C .
+) Do AC  AE  A , suy ra tọa độ điểm B ( B đối xứng với A qua CN ).

MÔ HÌNH 5
Cho tọa độ 2 điểm và điểm cần tìm không nằm trên đường nào biết phương trình.
Cách gắn kết : Nối điểm cần tìm với 2 điểm đã biết tọa độ.
Hướng luôn đi : Đi tính các đoạn vừa nối hoặc chứng minh tính đặc biệt của tam giác tạo thành (thường có 2
tính chất đặc biệt tồn tại trong tam giác này, như: Vuông cân, đều, vuông và có mối quan hệ độ dài…).

B(?)
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
cho tam giác ABC vuông cân tại A .
7 

Gọi M  ; 4  , N lần lượt là trung điểm của AB, AC .
2 
Điểm H (0;6) là hình chiếu vuông góc của B trên AP ,
với P là trung điểm của BN . Xác định tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh C có tung độ âm.
facebook.com/ ThayTungToan

H

M

P

yC < 0
A(?)

N

C(?)

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

7


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

GẮN KẾT CÁC DỮ KIỆN VÀ NHỮNG SUY ĐOÁN
facebook.com/ ThayTungToan
Các đối tượng cần liên kết
H
M

Các hướng gắn kết Kiểm tra tính khả thi và suy đoán Kết luận
và nhận định
Tính được CH  CM nên ta chọn
một trong hai. Ví như CH . Muốn
Tính đoạn CH , CM ? thế ta cần tìm mối quan hệ của CH
với đoạn MH đã biết. Đo đạc cho
CH  2MH
ta dự đoán: CH  2MH .
và
Tam giác CHM có
CH  MH
Bằng việc vẽ hình chính xác ta suy
gì đặc biệt ?
yC < 0 (vuông, cân, mối
đoán được CH  MH hay CHM
quan
hệ
độ
dài…)
vuông tại H .
C(?)
Hướng dẫn giải bài toán:

B(?)
H(0;6)

+) Chứng minh tam giác CHM vuông tại H
và CH  2HM  C .
+) Chỉ ra A đối xứng với H qua CM  A
+) do M là trung điểm của AB  B .

1

( )

1

7

M

2

P

;4

I
1
2
1

A(?)

N

yC < 0
C(?)

Hi vọng qua 5 mô hình thông dụng đầu tiên, cùng với những phân tích trong các ví dụ đi kèm đã giúp bạn
biết cách “làm chủ” bài toán Oxy, biết cách đặt ra các câu hỏi và gắn kết các dữ kiến để đưa ra những phân tích,
suy đoán có logic. Khi đó các bạn sẽ yêu thích và có một cái nhìn “thiện cảm” hơn với hình học Oxy . Chúc các
bạn sẽ thành công trong việc chinh phục câu hỏi thuộc chủ đề này trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới.

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU
HẸN CÁC BẠN Ở 5 MÔ HÌNH TIẾP THEO….

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

8