đề thi chuyên toán vào lớp 10 môn toán vào trường năng khiếu HCM

TRUNG TÂM DẠY – HỌC THÊM

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LẦN 1 – 2016

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

MÔN THI: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)


Bài 1: (2 điểm)
a) Phương trình x 2 + ax + b =0 có hai nghiệm nguyên và 3a  b  8 . Tìm hai
nghiệm nguyên đó.
b) Tìm các số a, b, c sao cho a + b + c = 3 và 𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4 = 𝑎3 +𝑏 3 + 𝑐 3 .
Bài 2: (1,5 điểm)
Hình vuông ABCD có AB = 3a, E là trung điểm CD, F thuộc cạnh BC sao cho CF = a.
Các điểm G, H lần lượt thuộc các cạnh AB, AD (A ≠ 𝐺 ≠ 𝐵) sao cho GH // EF. Đặt
BG  x .
a) Tính diện tích tứ giác EFGH theo a, x.
b) Xác định vị trí điểm G để diện tích tứ giác EFGH lớn nhất.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho các số dương a, b ( a ≠ 𝑏). Đặt x =√𝑎𝑏 , y = √

𝑎 2 +𝑏 2
2

. Chứng minh trung

bình cộng của a và b lớn hơn trung bình cộng của x và y.
b) Cho m, n là các số nguyên dương và ( 5n + m) chia hết cho ( 5m + n). Chứng
minh n chia hết cho m.

Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi D là điểm chính giữa của
cung BC không chứa điểm A. Vẽ đường tròn (I) đi qua D và tiếp xúc với AB tại B, và
đường tròn (J) đi qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm của hai đường tròn (I)
và (J).
a) Chứng minh B, E, C thẳng hàng.
b) Một đường tròn tâm K di động nhưng luôn đi qua A, D và cắt AB, AC lần lượt tại M,
N. Chứng minh BM = CN.
c) Khi K di động, chứng tỏ trung điểm P của MN luôn thuộc một đường cố định.
Bài 5: (2 điểm)
Có n điểmA1, A2, …, An ( n > 1). Tất cả các trung điểm của các đoạn
AiAj( 1≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑛) đều được tô đỏ. Gọi Sn là số điểm đã tô.
𝑛(𝑛−1)

a) Chứng minh S ≤
.
2
b) Tính Sn khi n = 2016 và A1, A2,…., A2016 thuộc tia Ox sao cho OAk = 2k(cm) với mọi
k thoả 1≤ 𝑘 ≤ 2016. Chứng minh Sn≥ 2𝑛 − 3 với mọi n > 1.

HẾT




