Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ
vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Hương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:"Bài toán
Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một" được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Hương


4

Mục lục
Mở đầu
1 Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian B m . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian Sobolev W2m . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Không gian C m ([a, b] , E) . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Không gian S và S . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S
1.2.2 Biến đổi Fourier trong không gian L2 . . . . . .
1.2.3 Biến đổi Fourier trong không gian S
. . . . .
1.3 Toán tử làm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị . . . .
1.5 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . .
1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach
1.5.4 Định lý Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên và không
phụ thuộc thời gian
2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh . . . . .
2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh . . . .
2.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 đối với hệ đối xứng .

3
3
3
3
4
4
4
5
5
6

7
7
8
10
10
10
11
11

15
15
15
17
19
23


Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm là bình
phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm không bình
phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo
hàm theo t của nghiệm thuộc C 0 [0, T ] , L2 . . . . . . .
2.3.1 Các tính chất của toán tử A . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 . . . . . . . .
2.3.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo
t của nghiệm thuộc C 0 [0, T ] , L2 . . . . . . . . .
Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo
hàm theo t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 . . . . . . .
2.4.1 Các tính chất của toán tử A . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Bất đẳng thức năng lượng trong W21 . . . . . . .
2.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo
t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21 . . . . . . . .
2.2.1

2.3

2.4

23
25
28
28
31
31
32
32
36
37

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ
phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô
tả các quá trình truyền sóng khác nhau. Song bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với hai
biến độc lập. Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thường
được xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình là
hằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t. Việc tổng quan lý thuyết
trên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trường
hợp khác nhau.
Bố cục luận văn gồm hai chương.
Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số không
gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị,
khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối với
phương trình vi phân trong không gian Banach.
Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trình
hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian,
bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu
và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2].

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một cách hệ thống lý thuyết bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một bằng phương pháp biến đổi Fourier
và công cụ toán tử giả vi phân. Trên cơ sở đó nhận được công thức biểu
diễn nghiệm tường minh của bài toán Cauchy khi các hệ số là hằng số.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đối
xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian.

5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính. Các phương pháp
định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6. Đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng và
hyperbolic mạnh.


3

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số không gian hàm
Không gian L2

Định nghĩa 1.1. Không gian L2 (hay L2 (Rn )) là không gian gồm các

hàm u đo được và có chuẩn:

1/
2
2
u L2 (Rn ) =  |u (x)| dx < +∞.
Rn

Nhận xét 1.1. Không gian L2 là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u (x) , v (x))L2 (Rn ) =

u (x) v (x)dx.
Rn

1.1.2

Không gian B m

Định nghĩa 1.2. Không gian B m (hay B m (Rn )) là không gian bao gồm
tất cả các hàm u(x) thỏa mãn Dα u(x), |α| ≤ m liên tục và bị chặn trên
Rn với chuẩn
sup |Dα u(x)| ,

|u(x)|m =
|α|≤m

x∈Rn

ở đó α = (α1 , α2 , ..., αn ) là kí hiệu đa chỉ số với αj là các số nguyên không
n

∂ |α|
α
âm, |α| =
aj và D u =
u được gọi là đạo hàm suy rộng
∂xα1 1 ...∂xαnn
j=1
cấp α.


4

1.1.3

Không gian Sobolev W2m

Định nghĩa 1.3. Không gian W2m (hay W2m (Rn )) là không gian bao
gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2 , sao cho Dα u (x) ∈ L2 với mọi |α| ≤ m
và được trang bị bởi chuẩn
1/

2
(1.1)
|Dα u (x)|2 dx .
u W2m (Rn ) = 
|α|≤mRn

Nhận xét 1.2. Không gian W2m là không gian Hilbert với tích vô hướng
Dα uDα vdx.

(u (x) , v (x))W2m =
0≤|α|≤mRn

Không gian [W2m ] là không gian đối ngẫu của W2m .
1.1.4

Không gian C m ([a, b] , E)

Định nghĩa 1.4. Giả sử E là không gian Banach. Không gian C m ([a, b] , E)
gồm các hàm u (t) xác định trên [a, b], nhận giá trị trong E, khả vi liên
tục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau
m

u (t)

1.1.5

C m ([a,b],E)

uk (t)

= sup
a≤t≤b

E

.

k=0

Không gian S và S

Định nghĩa 1.5. Không gian S (hay S (Rn )) là không gian véc tơ gồm
tất cả các hàm u (x) xác định trên Rn , khả vi vô hạn và thỏa mãn
sup xβ (Dα u (x)) < ∞
Rn

với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn , trong đó xβ = xβ1 1 xβ2 2 ...xβnn .
Dãy {ϕk (x)}∞
k=1 ⊂ S được gọi là hội tụ về 0 trong không gian S nếu
n
dãy {xα Dα ϕk (x)}∞
k=1 hội tụ đều về 0 trên R .
Định nghĩa 1.6. Không gian S (hay S (Rn ) là không gian vec tơ
gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S .
Mỗi phần tử của không gian S được gọi là một hàm suy rộng tăng
chậm.


5

1.2
1.2.1

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S

Định nghĩa 1.7. Cho u ∈ S . Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là
F u hay uˆ (ξ), là hàm được xác định bởi
n

F u (ξ) = (2π)− 2

e−i(x,ξ) u (x) dx,

(1.2)

Rn
n

ở đó ξ = (ξ1 , ..., ξn ) và (x, ξ) =

xj ξj .
j=1

Định nghĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kí hiệu là F −1 u,
là hàm được xác định bởi
n

F −1 u (x) = (2π)− 2

ei(x,ξ) uˆ (ξ)dξ.

(1.3)

Rn

Định lý 1.1. Cho u ∈ S , khi đó ta có các tính chất sau:
i) F u ∈ S .
ii) F [Dxα u] (ξ) = (iξ)α F [u] (ξ) với mọi đa chỉ số α.

iii) Dξα F [u] (ξ) = (−i)|α| F [xα u] (ξ) với mọi đa chỉ số α.
n
iv) F [u ∗ v] (ξ) = (2π) 2 F [u] (ξ) .F [v] (ξ), trong đó
(u ∗ v) (x) =

u (x − y)v (y) dy

(1.4)

Rn

được gọi là tích chập của hàm u và v.
Định lý 1.2. Phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính trên
S với ánh xạ ngược chính là phép biến đổi Fourier ngược F −1 .
Định lý 1.3. Đối với mỗi u, v ∈ S , ta có các đẳng thức sau:
1)
u (x) v (x)dx =
Rn

F u (ξ) F v (ξ)dξ.

(1.5)

uˆ (x) v (x) dx.

(1.6)

Rn

2)

u (x) vˆ (x) dx =
Rn

Rn


6

Nhận xét 1.3. Từ Định lí 1.3, chọn u = v ta nhận được
|u (x)|2 dx =
Rn

|F u (ξ)|2 dξ

(1.7)

Rn

với mọi u ∈ S . Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.
1.2.2

Biến đổi Fourier trong không gian L2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ
không gian Schwartz S lên không gian rộng hơn L2 .
Giả sử u (x) ∈ L2 . Do S trù mật trong không gian L2 , vì vậy tồn tại
dãy {uj (x)}∞
j=1 ⊂ S sao cho
uj (x) − u (x)

L2

→ 0 khi j → ∞.

2
Vậy dãy {uj (x)}∞
j=1 là dãy Cauchy trong L . Từ đây và do đẳng thức
2
2
Parseval suy ra dãy {ˆ
uj (x)}∞
j=1 cũng là dãy Cauchy trong L . Do L là
đầy đủ, nên dãy {ˆ
uj (x)}∞
j=1 hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu
là F u hay uˆ (ξ) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u (x).

Định lý 1.4. Cho u, v ∈ L2 , khi đó ta có
F u (ξ) F v (ξ)dξ.

u (x) v (x)dx =
Rn

(1.8)

Rn

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parseval trong L2 .
Khi cho u = v ta suy ra F u ∈ L2 . Tương tự ta định nghĩa được phép
biến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L2 .

2
Giả sử u (ξ) ∈ L2 và {uj (ξ)}∞
j=1 ⊂ S hội tụ đến u (ξ) trong L . Nhờ
đẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {uj (ξ)}∞
j=1
∞
2
là dãy {uj (ξ)}j=1 , đây là dãy Cauchy trong L . Do đó {uj (x)} hội tụ
đến một hàm nào đó thuộc L2 , kí hiệu hàm này là u (x) và được gọi là
phép biến đổi Fourier ngược của hàm u (ξ).
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L2 tương tự như các tính
chất của biến đổi Fourier trong S .


7

1.2.3

Biến đổi Fourier trong không gian S

Định nghĩa 1.9. Cho u ∈ S . Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là
F u hay uˆ (ξ), là hàm được xác định bởi
F u, ϕ = u, F ϕ , ∀ϕ ∈ S .
Định nghĩa 1.10. Cho u ∈ S . Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kí
hiệu là F −1 u, là hàm được xác định bởi
F −1 u, ϕ = u, F −1 ϕ , ∀ϕ ∈ S .

1.3

Toán tử làm trơn

Mục này mô tả phép toán xấp xỉ các hàm cho trước bởi hàm trơn.
Giả sử ϕ (x) là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ϕ (x) ≥ 0, ϕ ∈ D, giá của ϕ (x) nằm trong hình cầu đơn vị: |x| ≤ 1,
trong đó giá của hàm ϕ (x) kí hiệu là suppϕ, là tập hợp
suppϕ = {x; ϕ (x) = 0}.
ii) ϕ (x)dx = 1.
Chẳng hạn, ϕ được xác định như sau

 C exp − 1
ϕ(x) =
1 − |x|2

0

, |x| < 1
, |x| ≥ 1

thỏa mãn i) và ii), ở đó hằng số C được chọn sao cho
ϕ (x)dx = 1.
Sau đó, lấy ε > 0 là một tham số và đặt
ϕε (x) =

1
ε

n

ϕ

x
.
ε

Chú ý rằng ϕε (x) cùng thỏa mãn i) và ii), nhưng trong trường hợp này,
giá của ϕε (x) nằm trong hình cầu |x| ≤ ε. Bây giờ, cho u ∈ L1loc ta định


8

nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của ϕε và u.
Ta có
(ϕε ∗ u) (x) =

ϕε (x − y)u (y) dy.

(1.9)

Ta có các tính chất sau:
Định lý 1.5. Cho u ∈ L1loc , tích chập của ϕε và u được xác định bởi
(1.9) có các tính chất:
(a) ϕε ∗ u ∈ C ∞ , tức là hàm khả vi vô hạn.
(b) Giá của ϕε ∗ u nằm trong miền ε-lân cận của giá của u.
(c) Khi u ∈ C m và ε → 0, ta có ϕε ∗ u → u trong C m .
(d) Khi u ∈ Lp , p ≥ 1, ta có ϕε ∗ u → u trong Lp .
Từ trên ta thấy rằng ϕε ∗ được xem như phép xấp xỉ các hàm bởi các
hàm trơn trong các không gian hàm khác nhau. Tích chập này được đưa
vào đầu tiên bởi Friedrichs. Ông gọi là toán tử làm trơn ϕε ∗.

1.4

Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị

Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng P (x, D) được cho bởi công
thức
aα (x)Dα ,

P (x, D) =

(1.10)

|α|≤m

ở đó α là đa chỉ số, aα là các hàm số trơn xác định trên Rn .
Nếu thay thế Dα ở công thức (1.10) bằng đơn thức ξ α , (ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ...ξnαn )
thì ta được đa thức tương ứng sau
aα (x)ξ α .

P (x, ξ) =
|α|≤m

(1.11)


9

Đa thức P (x, ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử P (x, D).
Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:
aα (x) (Dα u) (x)

P (x, D) u (x) =
|α|≤m

aα (x) (2π)−n/2

=
|α|≤m

ei(x,ξ) Dα u (ξ) dξ
Rn

= (2π)−n/2

ei(x,ξ) ξ α uˆ (ξ) dξ

aα (x)
|α|≤m

Rn




= (2π)−n/2

ei(x,ξ) 

aα (x) ξ α  uˆ (ξ) dξ

|α|≤m

Rn

= (2π)−n/2

ei(x,ξ) P (x, ξ) uˆ (ξ) dξ.
Rn

Khi hàm số P (x, ξ) không là đa thức theo biến ξ, ta có thể định nghĩa
toán tử giả vi phân P (x, D) theo công thức sau
n

P (x, D) u (x) = (2π)− 2

ei(x,ξ) P (x, ξ) uˆ (ξ) dξ.

(1.12)

Rn

Hàm số P (x, ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân P (x, D).
Ví dụ 1.1. Khi P (x, ξ) = |ξ| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kí
hiệu là Λ, tức là
n

Λu = (2π)− 2

ei(x,ξ) |ξ| u (ξ) dξ.

(1.13)

Rn

Khi biểu trưng P (x, ξ) là hàm thuần nhất bậc 0 theo biến ξ, tức là
P (x, kξ) = P (x, ξ) , ∀k > 0,
thì toán tử giả vi phân tương ứng P (x, D) được gọi là toán tử tích phân
kì dị.
−1
Kí hiệu: K (x, y) = Fξ→y
P (x, ξ) .
Khi đó
n

P (x, D) u (x) = (2π)− 2

K (x, x − y) u (y) dy.
Rn

(1.14)


10

Ví dụ 1.2. Giả sử j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n là cố định và biểu trưng P (x, ξ)
được xác định bởi
P (x, ξ) =

ξj
·
|ξ|

(1.15)

Khi đó
−1
K (x, y) = Fξ→y
P (x, ξ) = cn

yj
,
|y|n+1

(1.16)

1 Γ 12 (n + 1)
trong đó cn =
·
·
1
2π
π 2 (n+1)
Toán tử P (x, D) tương ứng được gọi là toán tử Riesz, được kí hiệu là
Rj .
Ta có
n
(xj − yj )
Rj u (x) = (2π)− 2 cn
n+1 u (y) dy.
|x
−

y|
n
R

1.5
1.5.1

Khái niệm nửa nhóm
Nửa nhóm

Định nghĩa 1.11. Cho E là một không gian Banach, Tt , (t ≥ 0) là họ
các toán tử tuyến tính bị chặn trên E. Khi đó họ Tt được gọi là nửa
nhóm nếu:
i) T0 = I, với I là toán tử đồng nhất trên E.
ii) Tt+s = Tt Ts , t, s ≥ 0.
iii) Tập hợp
D=

u ∈ E; ∃ lim+
t→0

Tt u − u
t

(1.17)

là trù mật trong E.
1.5.2

Toán tử sinh của nửa nhóm

Cho toán tử A có miền xác định D (A) là tập hợp D trong (1.17).
Toán tử A cho bởi
Tt − I
Au = lim+
u
(1.18)
t→0
t


11

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tt .
Nhận xét 1.4. Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định D (A)
là trù mật trong E, nhưng nói chung A không là toán tử bị chặn.
1.5.3

Phương trình vi phân trong không gian Banach

Ta xét bài toán Cauchy sau
du (t)
= Au (t) , t > 0,
dt

(1.19)

u (0) = u0 .

(1.20)

trong đó u0 ∈ E, A là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E.
Định lý 1.6. Bài toán Cauchy (1.19), (1.20) có nghiệm duy nhất u (t)
được cho bởi công thức
u (t) = Tt u0 ,

(1.21)

trong đó Tt là nửa nhóm có A là toán tử sinh.
1.5.4

Định lý Hille-Yosida

Giả sử A là toán tử đóng trong không gian Banach E. Định lý HilleYosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinh
của nửa nhóm nào đó. Trước khi xét định lý ta nhắc lại các khái niệm
sau:
Cho A là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach E. Tập
các λ ∈ C sao cho (λI − A)−1 không tồn tại và bị chặn được gọi là phổ
của toán tử A.
Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính quy của toán tử A. Nếu λ
thuộc tập chính quy của toán tử A thì (λI − A)−1 được gọi là giải thức
của A.
Định lý 1.7. (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác định
trù mật trong E. Giả sử tồn tại số thực β sao cho với mọi λ > β, tồn
tại giải thức (λI − A)−1 của A thỏa mãn
C
(λI − A)−m ≤
, λ > β, m = 1, 2, ....
(1.22)
(λ − β)m

Khi đó tồn tại một nửa nhóm Tt mà có toán tử sinh là A.


12

Chứng minh. Cho A1 = A − βI. Từ (1.22) ta có
(λI − A1 )−m ≤

C
, λ > 0.
λm

(1.23)

Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm St có toán
tử sinh là A1 , và nếu St ≤ C, khi đó Tt = eβt St thỏa mãn điều kiện
của định lý.
Do đó, không mất tính tổng quát, giả sử β = 0 trong (1.22), tức là
(λI − A)−m ≤

C
, λ > 0, m = 1, 2, ....
λm

(1.24)

Cho
Jλ =

A

I−
λ

−1

, λ > 0.

(1.25)

Khi đó ta có:
(1) Jλm ≤ C, m = 1, 2, ....
(2) Cho x ∈ D (A) , AJλ x = AJλ x = λ (Jλ − I) x. Từ đó với mỗi x ∈ E
ta có
AJλ x = λ (Jλ − I) x,

(1.26)

Jλ x → x (λ → ∞) , x ∈ E.

(1.27)

Thật vậy, cho x ∈ D (A), ta có
(Jλ − I) x = (1/λ) Jλ Ax → 0 khi λ → +∞.
Vì vậy từ Jλ ≤ C, D (A) trù mật, do đó (1.27) đúng.
Nói chung, khi A là toán tử bị chặn thì ta định nghĩa
∞

exp (A) =
j=0

Aj
·
j!

Trong trường hợp này ta có
exp (A) ≤ exp A .
Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có
exp (A + B) = exp (A) exp (B) ,


13

d
exp (tA) = A exp (tA) = exp (tA) A.
dt
Mặt khác, AJλ = λ (Jλ − I) là toán tử bị chặn. Vì vậy, từ
exp (tAJλ ) = exp {tλ (Jλ − I)}
= exp (tλJλ ) exp (−tλI)
và từ (1), (2), với t ≥ 0 ta có
exp (tAJλ ) ≤ C exp (tλ) exp (−tλ) = C.

(1.28)

Hơn nữa,
d
exp (tAJλ ) = AJλ exp (tAJλ )
dt
= exp (tAJλ ) AJλ
= exp (tAJλ ) Jλ A.
Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với x ∈ D (A).

Ta có Jλ , Jµ (λ, µ > 0) là giao hoán, vì thế AJµ (= µ (Jµ − I)) và exp (tAJλ )
(λ)
giao hoán. Ta viết Tt = exp (tAJλ ). Cho x ∈ D (A), ta có
t
(λ)

Tt

(µ)

− Tt

d
Tt−s (µ) Ts(λ) x ds
ds

=x
0
t

Tt−s (µ) Ts(λ) (Jλ − Jµ ) Axds.

=
0

Từ (1.27) và (1.28), hàm này hội tụ đều trong một khoảng hữu hạn với
t ≥ 0 khi λ, µ → +∞.
(λ)
(µ)
Hơn nữa, từ x ∈ D (A) trù mật và (1.28) ta có Tt x − Tt x hội tụ

đều trong một khoảng hữu hạn với t ≥ 0 với mọi x ∈ E bất kỳ.
Ta viết giới hạn của sự hội tụ là Tt x. Có Tt x liên tục với t ≥ 0 và
(1) Tt x ≤ C x .
(2) Tt+s = Tt Ts .
Ta chứng minh (2): Có Tt+s (λ) = Tt (λ) Ts (λ) khi λ → +∞. Ta cũng có
T0 x = x, vì thế
(3) Tt x → x khi t → 0+ .


14

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tt . Để làm được, ta
gọi A là toán tử sinh của Tt và chỉ ra A ⊃ A.
Thật vậy, cho λ > 0, (λI − A ) là một song ánh từ D (A ) lên E. Do
đó, (λI − A) cũng là một song ánh từ D (A ) lên E. Vậy D (A)= D (A ).
Để chứng minh A ⊃ A ta làm như sau. Với x ∈ D (A) ta có
t

Tt (λ) x − x =

Tt (λ) Jλ Axdt.
0

Vì vậy
t

Tt x − x =

Tt Axdt khi λ → +∞.
0

Do đó
lim (Tt x − x) /t = Ax.

t→0+

Chứng minh tính duy nhất. Cho Tt là một nửa nhóm bất kì có toán tử
sinh cực tiểu A. Trong trường hợp này ta giả sử Tt chưa là một toán tử
tuyến tính thỏa mãn Tt ≤ Ceβt . Ta có
t

Tt−s exp (sAJλ ) (A − AJλ ) xds (x ∈ D (A)),

Tt x − exp (tAJλ ) x =
0

ở đó ta áp dụng AJλ ⊃ Jλ A thu được bất đẳng thức. Từ đó
exp (tAJλ ) x → Tt x khi λ → +∞.


15

Chương 2
Hệ phương trình hyperbolic với hệ
số biến thiên và không phụ thuộc
thời gian
2.1
2.1.1

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một

Định nghĩa

Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một có dạng tổng quát là
∂u
=
∂t

n

Ak (x, t)
k=1

∂u
+ B (x, t) u + f (x, t),
∂xk

(2.1)






u1 (x, t)
f1 (x, t)
..
..
, f (x, t) = 
,
ở đó u (x, t) = 

.
.
uN (x, t)
fN (x, t)
Ak (x, t) và B (x, t) là các ma trận vuông cấp N .
Dưới đây ta xét hệ phương trình với hệ số biến thiên và không phụ
thuộc thời gian. Kí hiệu nghiệm của phương trình đặc trưng
n

P (λ; ξ) = det λI − i

Ak ξk − B

=0

(2.2)

k=1

là λ1 (ξ) , ..., λN (ξ).
Xét hệ phương trình gồm phần chính
∂u
−
M [u] =
∂t

n

Ak
k=1

∂u
= 0.
∂xk

(2.3)


16

Xét các nghiệm đặc trưng λi (ξ) của
n

p (λ; ξ) = det λI −

Ak ξk

= 0,

(2.4)

k=1

ở đó λi (ξ) là các hàm thuần nhất bậc một.
Định nghĩa 2.1. Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic nếu
tồn tại một hằng số C > 0, sao cho ∀ξ ∈ Rn thì
|Reλi (ξ)| ≤ C, i = 1, 2, ..., N ,

(2.5)

ở đó λi (ξ) , i = 1, 2, ..., N là các nghiệm của (2.2).
Điều kiện (2.5) được gọi là điều kiện Hadamard.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình
∂
∂t
với A1 =

u1
u2

=

0 1
1 2

∂
∂x1

u1
u2

,

(2.6)

0 1
.
1 2

Ta có

P (λ, ξ1 ) = det [λI − iξ1 A1 ] =

λ
−iξ1
−iξ1 λ − 2iξ1

= λ2 − λiξ1 − i2 ξ12 = 0.
√
Phương trình có nghiệm λ1,2 (ξ1 ) = iξ1 ± iξ1 2.
Do đó Reλ1,2 (ξ1 ) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5).
Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic.
Ví dụ 2.2. Xét hệ phương trình
∂
∂t
với A1 =
Ta có

1 1
.
−1 0

u1
u2

=

1 1
−1 0

∂

∂x1

u1
u2

,

(2.7)


17

P (λ, ξ1 ) = det [λI − iξ1 A1 ] =

λ − iξ1 −iξ1
iξ1
λ

= λ2 − iξ1 λ + i2 ξ12 = 0.
3ξ12
1
Phương trình có nghiệm λ1,2 (ξ1 ) = iξ1 ±
·
2
2
√
3
|ξ1 |. Do đó không thỏa mãn điều kiện Hadamard
Ta có |Reλ1,2 (ξ1 )| =
2

(2.5).
Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic.
Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic mạnh
n
∂u
∂u
nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [u] =
−
Ak
∂t k=1 ∂xk
thì hệ vẫn là hyperbolic.
Định nghĩa 2.3. Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ đối xứng nếu các
T
ma trận Ak là các ma trận Hermitian, tức là A¯k = Ak , k = 1, 2, ..., n.
2.1.2

Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh

Định lý 2.1. Điều kiện cần để (2.3) là hệ hyperbolic mạnh đó là các
n

n

nghiệm λi (ξ) của (2.4) đều là thực, và với ξ ∈ R bất kì,

Ak ξk là ma
k=1

trận chéo hóa được.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra rằng với ξ ∗ và λi nào đó (ở đây ta giả

sử đó là λ1 ), nếu Imλ1 (ξ ∗ ) = 0, tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu không còn đúng. Thật vậy, ta giả sử
−Imλ1 (ξ ∗ ) = c > 0

(2.8)

Với ma trận B bất kì thì (2.2) tương đương với
av,j (iξ)v λj = 0.

P (λ, iξ) ≡ p (λ, iξ) +

(2.9)

|v|+j≤m−1

Cho λ∗ (ξ) là nghiệm của (2.9). Ta xét
uξ (x, t) = exp (λ∗ (ξ) t) exp (iξx) , ξx = ξ1 x2 + . . . + ξn xn .

(2.10)


18

thỏa mãn M uξ = 0, ở đó ξ là một tham số thực.
Đặt ξ = τ ξ ∗ trong (2.9), với τ > 0 đủ lớn. Ta sẽ chứng minh trong số
các nghiệm λi ∗ (τ ξ ∗ ) , i = 1, 2, . . . , m của P (λ, iτ ξ ∗ ) = 0, tồn tại một
λ∗ (τ ξ ∗ ) thỏa mãn
1
Reλ∗ (τ ξ ∗ ) ≥ cτ khi τ → +∞.
2

Thật vậy, nếu ta đặt λ/τ = λ thì ta có thể viết (2.9) là:
1
τ m p (λ , iξ ∗ ) + Q (λ , τ ) = 0,
τ

(2.11)

ở đó Q (λ , τ ) là một đa thức có bậc nhỏ hơn (m − 1) đối với λ , và những
hệ số của nó là những đa thức của 1/τ . Với những giả thiết ban đầu,
p (λ , iξ ∗ ) = 0 có một nghiệm iλ1 (ξ ∗ ). Do đó, khi τ → +∞, iλ1 (ξ ∗ ) có
một nghiệm iλ1 (ξ ∗ ) + ε, ở đó ε hội tụ đến 0 khi 1/τ → 0.
Do đó, nếu τ > τ0 , thì phần thực của nghiệm iλ1 (ξ ∗ ) + ε lớn hơn
1
− Imλ1 (ξ ∗ ). Vì vậy nếu τ > τ0 thì (2.9) có λ∗ (τ ξ) thỏa mãn
2
1
1
Reλ∗ (τ ξ ∗ ) ≥ − τ Imλ1 (ξ ∗ ) = cτ.
2
2
Từ đó (2.9) được chứng minh.
Tiếp theo, nếu (2.9) đúng, ta thấy tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu của M không đúng. Thật vậy, nếu nó đúng thì với một tập compact
bất kì K của Dδ , tồn tại một số thực dương C và một số nguyên dương
l, và cho u (x, t) ∈ C thỏa mãn M u = 0
m−1

sup |u (x, t)| ≤ C
(x,t)∈K

j=0

∂
∂t

j

u (x, 0) ,
l

ở đó |·|l là chuẩn của B l (Rn ).
Ta lấy K chứa điểm (0, t0 ) ⊂ Dδ , t0 > 0. Khi đó
uτ (x, t) = exp [λ∗ (τ ξ ∗ ) t] exp (iτ ξ ∗ x)
là một nghiệm trong C thỏa mãn M uτ = 0.
Do đó, từ |λ∗ (τ ξ ∗ )| ≤ c τ (τ > τ0 ), (2.11) và (2.12) ta có
exp

1
cτ t0
2

≤ exp [Reλ∗ (τ ξ ∗ ) t0 ] = |uτ (0, t0 )| ≤ Cτ m+l−1 ,

(2.12)


19

ở đó τ > τ0 . Nếu τ → +∞ thì bất đẳng thức này là sai.
Tiếp theo, nếu

Ak ξk không chéo hóa được thì tồn tại một ma trận
thường N sao cho


λ1 0 0 ... 0
N
Ak ξk ∗ N −1 =  1 λ1 0 ... 0  .
∗
Ta xác định B thỏa mãn


N BN −1

0 1 0
0 0 0
=

...
0
...


... 0
... 0 
.

0

Để đơn giản ta viết
A·ξ =

Ak ξk .

(2.13)

Nếu đặt ξ = τ ξ ∗ , τ > 0 trong (2.2), ta có
det (λI − iA · τ ξ ∗ − B) = det λI − iτ N (A · ξ ∗ ) N −1 − N BN −1


λ − iτ λ1 (ξ ∗ ) −1
0 ... 0
=  −iτ
λ − iτ λ1 (ξ ∗ ) 0 ... 0  = 0.
∗
Vì vậy nó có một nghiệm (λ − iτ λ1 (ξ ∗ ))2 − iτ = 0.
Trong trường hợp này λ± (τ ξ ∗ ) = iτ λ1 (ξ ∗ ) ± (iτ ) , ở đó λ1 (ξ ∗ ) là
1
thực, vì vậy tồn tại Reλ± (τ ξ ∗ ) nào đó tương tự với τ 2 khi τ → +∞.
Điều này cho thấy điều kiện của Hadamard không thỏa mãn. Do đó (2.1)
không phải là một hệ hyperbolic. Vậy định lý được chứng minh.
2.1.3

Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ đối với tính hyperbolic mạnh của
hệ phương trình đối xứng.
Định lý 2.2. Cho Ak là các ma trận Hermitian, khi đó hệ phương trình
(2.3) là hệ hyperbolic mạnh.