BÍ kíp GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT

Thầy Duy Thành – 0906.125.835

BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT
- Khi máy tính casino bó tay
- Khi các kỹ năng phân tích nhân tử đưa về phương trình tích vô hiệu hóa
 Các em học sinh sẽ phải xử lý thế nào ? Hãy áp dụng những phương
pháp cực hữu ích sau đây

Chuyên đề 1. Phƣơng pháp miền giá trị giải hệ phƣơng trình
1. Dấu hiệu nhận biết:
 Trƣờng hợp 1: Hệ có 1 trong 2 phương trình là bậc 2 với x, y .
Cách giải: Coi phương trình là bậc 2 ẩn x , giải   0  điều kiện của y.
Coi phương trình là bậc 2 ẩn y , giải   0  điều kiện của x.
Dùng điều kiện của x, y để đánh giá phương trình còn lại.
 Trƣờng hợp 2: Hệ có 2 phương trình cùng là bậc hai với x (hoặc cùng là
bậc hai với y ).
Cách giải: Với phương trình (1), coi x là ẩn, giải   0  điều kiện của y.
Với phương trình (2), coi x là ẩn, giải   0  điều kiện của y.
So sánh điều kiện của y ở 2 phương trình và rút ra kết luận.
Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình

697
 4
2
(1)
x y 
81

 x 2  y 2  xy  3x  4 y  4  0 (2)
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :
x2  ( y  3) x  y 2  4 y  4  0

Phương trình có nghiệm    0

 ( y  3) 2  4( y 2  4 y  4)  0
 y 2  6 y  9  4 y 2  16 y  16  0
 3 y 2  10 y  7  0
7
1 y 
3


Thầy Duy Thành – 0906.125.835
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y :
y 2  ( x  4) y  x 2  3x  4  0

Phương trình có nghiệm    0

 ( x  4) 2  4( x 2  3 x  4)  0
 x 2  8 x  16  4 x 2  12 x  16  0
 3x 2  4 x  0
4
0 x
3
4
7
697
 7
 4
y  1,  , x  0,  thì x 4  y 2       
 VT(1)  VP(1), do đó
81

 3
 3
3 3
4
7
4 7
VT(1)=VP(1) khi x  , y  . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ,  .
3
3
3 3
4

2

Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình

7

2
2
(1)
 (2 x  1)(2 y  1)  xy
2

2
2

 x  y  xy  7 x  6 y  14  0 (2)
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :
x2  ( y  7) x  y 2  6 y  14  0

Phương trình có nghiệm    0
 y 2  14 y  49  4 y 2  24 y  56  0

 3 y 2  10 y  7  0
7
3
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y :
1 y 

y 2  ( x  6) y  x 2  7 x  14  0

Phương trình có nghiệm    0
 x 2  12 x  36  4 x 2  28 x  56  0

 3x 2  16 x  20  0
2 x
x  y  0 không là nghiệm của hệ.

10
3


Thầy Duy Thành – 0906.125.835
1 
1 7

(1)   2 x   2 y   
(3)
x 
y 2


1
1
Đặt f  t   2t   f '  t   2  2  0  f  t  đồng biến trên (;0) và (0; ) .
t
t
 f 1  1
1 89
 7 
 7
 Xét t  1;     7  89  1  2 y  
y  1;  .
y 21
 3  f   
 3
  3  21




10

Xét t   2;   
 3  f



7
2
7

1 191
 10 
  2x  
x   2;  .
x 30
 10  191 2
 3
 
 3  30
f  2 

 x 1
7
. Vậy hệ có nghiệm (1;2).
 VT (3)  . Dấu “=” xảy ra  
2
y  2

Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình
 x2 y 2  2x  y 2  0
 2
3
 2x  4x  3  y  0

(1)
(2)

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x :
x2 y 2  2 x  y 2  0 .
Phương trình có nghiệm   '  0  1  y 4  0  1  y  1 .

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x :
2 x2  4 x  3  y3  0 .

(3)

Phương trình có nghiệm   '  0  4  2  3  y3   0  1  y3  0  y  1. (4)
Từ (3) và (4)  y  1. Thay vào hệ ta được x=1. Vậy hệ có nghiệm (1;-1).
2. Bài tập tự luyện
 x3  y 2  2
 2
2
 x  xy  y  y  0

(Còn tiếp)