ÔN THI TOÁN HÌNH HỌC THI QUỐC GIA 2016

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016
---------------------------***---------------------------

RÈN LUYỆN CHỨNG MINH
HÌNH HỌC PHẲNG
THEO DÀN Ý CHI TIẾT
A
F
H
M
I

G
B

E

K

C

J

D

Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG
Điện thoại: 0902.920.389

Hà Nội, Tháng 05/2016

1 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE.

N

A

I là tâm ngoại tiếp. Khi đó ta lần lượt có các yếu tố

D

sau:
E

H

M

I

B

C

K



BDEC là tứ giác nội tiếp.



IA  DE .



IA là trung trực của DE.



AM  AN .



AM 2  AN 2  AE.AB  AD.AC  AH .AK .

Bài toán 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE.

A

E trung điểm BD. Đường tròn cắt AC tại G.
G

B

D

E

C

F

EG là tiếp tuyến của đường tròn tâm F.



EC.AD  EG.AC .

H

trung điểm.

N

E

P

I

C

M
F



DE  AC , DF  AB .



MP, MN là các trung trực của DE, DF .



M là tâm ngoại tiếp tam giác DEF .



DEF ∽ ABC .



K , E , M thẳng hàng.

Bài toán 4: MD và ME vuông góc với AC và BC. P và

A

M

Q lần lượt là trung điểm của AB và DE.

P
D
Q
B



cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF. M , N , P là các

K

D

EA  EG .

Bài toán 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I. Các đường

A

B



E



.
BM.DE  BAEM
.



APM ∽ DQM .



PQ  QM .

C

2 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389


Bài toán 5: Hình vuông ABCD. E là điểm bất kỳ trên
A

B

đoạn BC. Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F.
Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G.

E

F
G

C

D

FAE vuông cân.



FA  FE  FC .



FAG  450 đồng thời AGDF nội tiếp.



G, F , E thẳng hàng.



F là trung điểm GE .

Bài toán 5: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường

A

kính. AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung điểm

F

BC. G là trọng tâm tam giác ABC.

H
M
I

G
B



E

C

J

K

D



BHCD là hình bình hành.



AH  2IJ .



EH  EK .



KA là phân giác góc BKM .



IH  3IG .

Bài toán 6: Tam giác OAB vuông cân tại O. Kẻ đường

A

thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M. Kẻ đường thẳng qua
B vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB

E

tại K và cắt OA tại I.
M

O

B
H
K

I



IM  AB .



OMI là tam giác vuông cân.



HO là phân giác góc MHI .



OKH là tam giác vuông cân.

Bài toán 7: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm

A

của BC. Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE
và DF vuông góc với các cạnh của tam giác.

E
B

I

C
F



FAED là hình vuông.



E , I , F thẳng hàng.

D

3 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389


Bài toán 8: Tam giác ABC cân. AD, BF ,CE là các

A

đường cao. I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn

DJ  DB . Hạ JK vuông góc với BF. G là trung điểm
AB.

I
G

J
F

E
H

B

K
C

D

Q

A



IG  GD, IE  ED .



IGED nội tiếp.



JKF là tam giác vuông cân.



DK là phân giác góc JDF .

Bài toán 9: Hình vuông ABCD. N là trung điểm CD.

B

Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E. BE cắt AD

E

tại M, MN cắt đường tròn tại I.

M
H
I

F

D

C

N



MDNE nội tiếp.



BEN là tam giác vuông cân.



MF , NE, BI đồng quy tại H.



BI  BC .



FEI là tam giác vuông.

Bài toán 10: Tam giác vuông ABC có đường cao AH.

A

Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D và
E

E. Gọi M là trung điểm BC.

F
B

H

C

M



D, H , E thẳng hàng.



AM  DE .

D

Bài toán 11: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I. Hạ các

A

đường DG, DM , DJ , DK vuông góc với các cạnh tương
ứng.

E

F
H
G

B

J

M

K

I
D



G, M , J , K thẳng hàng.



JM // EF.



IA  JM .

C

4 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389


A

Bài toán 12: Trực tâm H. Gọi M và N là các điểm đối
N
E

F

I

H

M

G
B

xứng của D qua AB và AC.


M , F , E , N thẳng hàng.



GI // EF.



A, F , D,C , N cùng thuộc một đường tròn.



H là tâm nội tiếp của tam giác DEF.

C

D

Bài toán 13: Hình vuông ABCD. E bất kỳ trên BC.

F

Dựng AF vuông góc AE. I là trung điểm EF. Kẻ EG //
CD. EF cắt AD tại J.

J

A
G

I

D
K



AECF nội tiếp.



AEF là tam giác vuông cân.



FA2  KF .KC .



EGFK là hình thoi.



EK  BE  DK .



Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi
ABCD.



B

GJK là tam giác vuông cân.

C

E

Bài toán 14: Tâm nội tiếp là I. Đường tròn nội tiếp tiếp

A

xúc các cạnh tại D và E. Đường thẳng qua I vuông góc
AI cắt các cạnh tại F và G. BI cắt DE tại H. M là trung
điểm của đoạn thẳng BC.

D

H

F
I

B

M

E
G



FIB ∽ GCI .



BF.CG  IF 2  IG 2 .



IHEC nội tiếp.



BH  HC .



MH // AB.

C

5 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

A

Bài toán 15: Hình vuông ABCD. N nằm trên CD.

B

Đường tròn đường kính BN cắt AC tại F. BF cắt AD
tại M. BN cắt AC tại E. MN cắt đường tròn tại P. ME

F

và NF cắt nhau tại Q.

M
Q

E

P
D

C

N



BFN là tam giác vuông cân.



MEBA nội tiếp.



B,Q, P thẳng hàng.



ME // PC và BP  BC .



Tam giác FPE vuông.

Bài toán 16: Tâm nội tiếp I. D, E , F là các điểm nằm

A

chính giữa các cung.
E



DI  DB  DC

EI  EC  EA .
FI  FA  FB

DE, EF , FD là các trung trực của IC , IA, IB .



I là trực tâm tam giác DEF .



F
I

B

C

D
A

Bài toán 17: Tâm nội tiếp I, tâm bàng tiếp góc A là
điểm K. D là điểm nằm chính giữa cung. Đường thẳng
qua K vuông góc với AK cắt các cạnh AB và AC kéo

I

dài lần lượt tại E và F.

C

B

D

F

K



DB  DC  DI .



IBKC nội tiếp.



D là trung điểm IK.



BEK ∽ FCK .



BE.CF  KE 2  KF 2 .

E

6 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389


Bài toán 18: Tam giác ABC vuông tại A đường cao AF.

B

AD và AE là các phân giác của các tam giác FAC và
FAB. Gọi I , J , K là tâm nội tiếp các tam giác ABC,
ABF và ACF. JK cắt các cạnh tại G và H.

E

G

F

J

D

I



BA  BD,CA  CE .



I là trực tâm tam giác AKJ.



FI  FK .



BGJF ,CHKF là các tứ giác nội tiếp.



AGH là tam giác vuông cân.

K
A

H
G

A

C
D

Bài toán 19: Hình bình hành ABCD. Hạ các đường cao

CE,CF ,CG .
E
F
I



I là tâm ngoại tiếp tứ giác AECG.



Từ các tứ giác nội tiếp FGDC , FEBC , chứng tỏ
tứ giác EIFG nội tiếp.

B

C

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng 8 và
phương trình đường cao  CH : x  1 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Trên tia AI lấy
điểm E  1;7  sao cho AE  AC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng các đỉnh A và C có
tung độ lớn hơn 6.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I. Trên các cạnh AB và AD
lấy các điểm M và E sao cho AM  AE . Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM  BF . Gọi H là hình
chiếu của M trên đường thẳng EF. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là

x2  y2  4x  2y  15  0 và phương trình đường thẳng  EF  : x  2  0 . Tìm A và H biết rằng các điểm

này có tung độ dương.

7 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389


Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Phương trình

 5
đường thẳng  CD : x  3y  5  0 . Gọi M là trung điểm của AB, điểm E  0;  là trung điểm của MB.

 2
2 
Gọi N  ; 2  là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với MD và đường thẳng qua B vuông
3 
góc với MC. Biết rằng M nằm trên đường thẳng  d  : 4x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang ABCD.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao HA. Gọi I
là trung điểm của AC và D là điểm nằm trên tia đối tia AH sao cho HA  2HD . Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI là  x  2   y2  5 và đỉnh A
2

có hoành độ dương nằm trên đường thẳng  AC : x  y  1  0 .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A 1; 2  , C  4; 6  . Gọi M
và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và CD. Biết rằng trực tâm H của tam giác AMN

nằm trên đường thẳng  d  : x  y  1  0 và có hoành độ dương, đồng thời độ dài MN  3 . Viết
phương trình đường thẳng MN.
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có tọa độ điểm B  1; 3  ,
đường cao AH. Gọi    là đường tròn tâm A, bán kính R thỏa mãn điều kiện R  AH . Gọi M là tiếp
điểm của tiếp tuyến kẻ từ B tới đường tròn    sao cho đoạn thẳng MH cắt    tại N. Gọi I và K lần
lượt là trung điểm của AN và AC. Biết điểm A nằm trên đường thẳng  d  : x  y  8  0 , phương trình
đường thẳng  IK  : x  3y  8  0 , đường thẳng AN đi qua một điểm E  1; 7  đồng thời điểm C có
hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ACB  450 . Gọi M là trung điểm
của đoạn thẳng BC, N là điểm đối xứng với M qua AC, đường thẳng BN có phương trình

 BN : 7x  y  19  0 . Biết tọa độ điểm A  1; 1 , tam giác ABM cân tại A và điểm B có tung độ

dương. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.

8 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389