Chuyên đề số phức ôn thi quốc gia PTTH

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
A.
A.
ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT:
I. LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm số phức :
 Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là
C
= {a + b
i
/ a, b∈
R
và
2
i

= –1}. Ta có
R
⊂
C
.
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.
i
= a∈
¡
⊂
£
 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b
i
= b
i
. Đặc biệt
i
= 0 + 1.
i
 Số 0 = 0 + 0.
i
vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Số phức bằng nhau :
 Cho hai số phức z = a + b
i
và z’ = a’ + b’
i
. Ta có z = z′ ⇔
'
'

a a
b b
=


=



VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1) ⇔
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
− = + − = =
  
⇔ ⇔
  
− − = − + = =
  
3. Biểu diễn hình học của số phức:
 Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.

 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.


VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
A
z
= 1 + 4
i
,
B
z
= –3 + 0.
i
,
C
z
= 0 –2
i
,
D
z
= 4 –
i
4. Môđun của số phức:
 Số phức z = a + b
i
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM

uuuur
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
2 2
z = a + bi = a + b


VD: z = 3 – 4
i
có
2 2
3 4 3 ( 4)z i
= − = + −
= 5


Chú ý :
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z= − + = − + = + =
5. Số phức liên hợp:
 Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z a bi
= −
.

⇔
z = a + bi z = a - bi

;
z z
=
,
z = z
* Chú ý
n n
(z ) (z) ;i i; i i= = − − =
• z là số thực
⇔

z z
=
• z là số ảo
⇔

z z
= −
* Môđun số phức z = a + b.i (a; b
∈
R)
2 2
z OM a b z.z
= = + =
Chú ý:
z z
=

z
∀

∈
C
 Hai điểm biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b
i
là –z = –a – b
i

 Cho
z a bi
= +
và
' ' 'z a b i
= +
. Ta có
z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
7. Phép nhân số phức:
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
1
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
 Cho hai số phức
z a bi
= +
và

' ' 'z a b i
= +
. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
2
i
= –1 và
rút gọn, ta được:
z.z' = a.a' -b.b' + (a.b' + a'.b)i
 k.z = k(a + b
i
) = ka + kb
i
. Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈
£
 z.
z
= (a + b
i
)(a – b
i
) hay
2
2 2
z.z = a + b = z


VD: Phân tích
2
z
+ 4 thành nhân tử.

2
z
+ 4 =
2
z
–
2
(2 )i
= (z – 2
i
)(z + 2
i
).
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
8. Phép chia số phức:
 Số nghịch đảo của số phức
z a bi
= +
≠ 0 là
-1
2
1 z
z = =
z
z
hay
2 2
1 a - bi
=
a + bi a + b

 Cho hai số phức
z a bi
= +
≠ 0 và
' ' 'z a b i
= +
thì
2
' '.z z z
z
z
=
hay
2 2
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
=
a + bi a + b


VD: Tìm z thoả (1 + 2
i
)z = 3z –
i
.
Ta có (3 – 1 – 2
i
)z =
i
⇔ z =
2 2

i
i
−
⇔
(2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i i
z z z i
+ − +
= ⇔ = ⇔ = − +
+
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k ∈ N

4k 4k+1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i


VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =
13
(2 2 )i−
6
2 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i
 
= − − = − = − + = − +
 
Phần thực a =
19
2
−

, phần ảo b =
19
2
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i
3
=
5
+ (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
 ĐS : a) x =
3
2
, y =
4
3
b) x = 0, y = 1 c) x =
1 5
2
−
, y =
1 3
3
+
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
 Hướng dẫn :
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả
biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| ≤ 1 c) 1 < |z| ≤ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
 Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b
+ =
, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b
+ ≤
, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
2
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1 2a b

< + ≤
, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính
biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b)
2 3
(1 ) (2 )
2
i i
i
+
− +
5) Giải phương trình sau:
b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
 Hướng dẫn : a) z = 1 b) z =
8 9
5 5
i−
c) z = 15 – 5i.
6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
 Hướng dẫn :Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i.
cos ;sin

6 6
F
π π
 
 ÷
 
nên F biểu
diễn số
3 1
2 2
i+
. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
3 1
2 2
i
− −
. E đối xứng F qua Ox nên E
biểu diễn số
3 1
2 2
i−
. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
3 1
2 2
i− +
7) Cho
1 3
2 2
z i
= − +

. Hãy tính:
2 3 2
1
; ; ;( ) ;1z z z z z
z
+ +
.
 Hướng dẫn : Ta có
1z
=
nên
1 1 3
2 2
i z
z
= − − =
;
2
1 3
2 2
z i
= − −
;
3 2
. 1z z z
= =
;
2
1 0z z
+ + =

8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng
( )
1
2
z z+
, phần ảo của số phức z bằng
( )
1
2
z z
i
−
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
z z
= −
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi
z z
=
.
d) Với mọi số phức z, z
′
, ta có
' ', ' . 'z z z z zz z z
+ = + =
và nếu z
≠
0 thì
' 'z z

z z
 
=
 ÷
 
 Hướng dẫn :
,z a bi z a bi
= + = −
(1)
a) Lấy vế cộng vế ⇒ Phần thực của số phức z bằng
( )
1
2
z z+
. Lấy vế trừ vế ⇒ phần ảo của số phức z
bằng
( )
1
2
z z
i
−
.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔
0z z z z
+ = ⇔ = −
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔
0z z z z
− = ⇔ =

.
d)
2 2
; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b= + = + = +
là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z
+ = + + + = + − + = − + − = +
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
3
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z
= − + + = − − + = − − =
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
   
= = = =
 ÷  ÷
   
9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
m m m m
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
 Hướng dẫn : Ta có

4 2 2
. 1i i i
= =
( )
4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3
1 1 . 1. . . 1 . 1.
m
m m m m m m m m
i i i i i i i i i i i i i i i i i
+ + + + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
10) Chứng minh rằng:
e) Nếu
u
r
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì
| | | |u z
=
r
và từ đó nếu hai điểm
1 2
,A A
theo thứ
tự biểu diễn số phức
1 2
,z z
thì
1 2 2 1
A A z z= −
uuuur

.
f) Với mọi số phức z, z
′
, ta có |z.z
′
| = |z|.|z
′
| và khi z
≠
0 thì
'
'
z
z
z z
=
g) Với mọi số phức z, z
′
, ta có
' 'z z z z
+ ≤ +
 Hướng dẫn :
a)
z a bi
= +
thì
2 2
z a b
= +
,

u
r
biểu diễn số phức z thì
u
r
= (a; b) ⇒
2 2
u a b
= +
r
do đó
| | | |u z
=
r
1 2
,A A
theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2
,z z
thì
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
A A OA OA z z A A z z= − = − ⇒ = −
uuuur uuuur uuur uuuur
b)
z a bi
= +
,
' ' 'z a b i
= +
,

( ) ( )
. ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i
= − + +
,
2 2 2 2
, ' ' 'z a b z a b
= + = +
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
. ' ' 'z z a b a b
= + +
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b
= − + + = + + + = + +
Vậy |z.z′| = |z|.|z′|
Khi z ≠ 0 ta có
2 2
' . ' . '
' '.
.
z z z z z
z z z
z z z z
z z

= = = =
c)
u
r
biểu diễn z,
'u
ur
biểu diễn z′ thì
'u u
+
r ur
biểu diễn z + z′ và
' 'z z u u+ = +
r ur
Khi
, ' 0u u
≠
r ur r
, ta có
( )
( )
2
2 2 2
2 2
' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u
+ = + + ≤ + + = +
r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur
⇒
' 'u u u u+ ≤ +
r ur r ur

do đó
' 'z z z z
+ ≤ +
11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h)
1z i
− =
b)
1
z i
z i
−
=
+
c)
3 4z z i
= − +
 Hướng dẫn : Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với
z x yi
= +
⇒
( )
2
2 2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y
− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với

z x yi= +
⇒
( ) ( )
2 2
2 2
1 ( 1) ( 1) 1 1 0
z i
x y i x y i x y x y y
z i
−
= ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ =
+

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với
z x yi
= +
⇒
2 2 2 2
3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y
= − + ⇔ + = − + − ⇔ + = − + −

6 8 25 0x y
⇔ + − =
. Tập hợp các điểm M là đường thẳng
6 8 25 0x y
+ − =
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
4

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
13) Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có
10
2 9
1
1
1
z
z z z
z
−
+ + + + =
−
 Hướng dẫn :
Với z ≠ 1,
( )
( )
( )
2 9 2 9 10 2 9 10
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z
+ + + + − = + + + + − + + + + = −
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a)
2 2
( )z z
+
b)

3 3
( )
z z
z z
−
+
c)
2 2
( )
1
z z
zz
−
+
 Hướng dẫn : Ta có
,z a bi z a bi
= + = −
,
2 2 2 2 2 2
( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi= − + = − −
Và
3 3 2 2 3 3 3 2 2 3
( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i= − + − = − − −
Vậy
2 2 2 2
( ) 2( )z z a b+ = −
là số thực;
3 3 3 2
( ) 3
z z b

i
z z a ab
−
=
+ −
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab
i
z z a b
−
=
+ + +
là số ảo.
15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i)
2
z
là số thực âm; b)
2
z
là số ảo ; c)
2 2
( )z z
=
d)
1

z i−
là số ảo.
 Hướng dẫn : M(x; y) biểu diễn z thì
2 2 2 2 2 2
2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi= + ⇒ = − + = − −
a)
2
z
là số thực âm khi xy = 0 và
2 2
0x y
− <
⇔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
b)
2
z
là số ảo khi
2 2
0x y
− =
⇔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c)
2 2
( )z z
=
khi xy = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d)
1
z i−
=

2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
− −
=
+ − + −
là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j)
2 0iz i
+ − =
c)
( )
2 4 0i z
− − =
e)
2
4 0z
+ =
k)
( )
2 3 1i z z
+ = −
d)
( ) ( ) ( )
1 3 2 3 0iz z i z i
− + − + =
 Hướng dẫn :

a)
1 2z i
= +
b)
1 3
10 10
z i= − +
c)
8 4
5 5
z i= −
d)
; 3 ; 2 3i i i
− − +
e)
2z i
= ±
2) Tìm :
17) a) Cho số phức
z x yi= +
(x, y∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
z i
+
−
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
z i
z i
+
−

là số
thực dương.
 Hướng dẫn :
a) Phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
, phần ảo
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
b) Là số thực dương khi
0x
=
và
2 2
1 0x y
+ − >
⇒ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu
diễn hai số phức
,i i
−
.

18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
, ,z z z
. Hỏi trọng tâm ∆ABC biểu diễn số phức nào?
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
5
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
, ,z z z
thỏa
1 2 3
z z z
= =
.
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 3
0z z z+ + =
 Hướng dẫn :
a) Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta có
( )
( )
1 2 3
1 1
3 3
OG OA OB OC z z z
= + + = + +
uuur uuur uuur uuur

vậy G biểu diễn số phức
( )
1 2 3
1
3
z z z z
= + +
b) Vì
OA OB OC= =
uuur uuur uuur
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng
O hay
1 2 3
0z z z+ + =
.
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT
I. LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
i
thoả
2
z
= w được gọi là căn bậc hai của w.


w là số thực: w = a∈
¡

 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a
và –
a
 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.a i
và –
.a i


w là số phức: w = a + b
i
(a, b∈
¡
, b ≠ 0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của w khi
2
z w

= ⇔ ⇔


2 2
2
x - y = a
(x + yi) = a + bi
2xy = b
 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.



VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
i
.
ĐS: có 2 căn bậc hai của w là
1
z
= 1 + 2
i
,
2
z
= –1 – 2
i
.
2. Phương trình bậc hai:
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực:
2 2
0 ( 0), 4ax bx c a b ac+ + = ≠ ∆ = −
.

∆

≥
0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x

a
− ± ∆
=

∆
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
| |.
2
b i
x
a
− ± ∆
=


VD: Giải phương trình
3
8 0x
+ =
ĐS: Phương trình có 3 nghiệm
1 2 3
1 3. , 1 3. , 2x i x i x
= + = − = −
b) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
2 2
0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC+ + = ≠ ∆ = −
,
a bi∆ = +


∆
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
−
=

∆

≠
0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
B
x
A
δ
− ±
=
với
δ
là 1 căn bậc hai của
∆
.
 VD: Giải phương trình: a)
2
1 02z iz
− + =

; b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − =
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
6
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
a)
2
1 02z iz
− + =
có ∆ = –1 – 8 = – 9 =
2
(3 )i
.
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3
4
i i
z i
+
= =
,
2
3 1
4 2
i i
z i

−
= = −
b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − =
có ∆ =
2 2
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i− − − = − + − + = − +
=
2
(1 4 )i
+

Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3 2 1 4
1 3
2
i i
z i
− + + +
= = − +
;
2
3 2 1 4
2
2
i i
z i
− + − −

= = − −
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 2 1 0z z
− + − =
b)
2
7 3 2 0z z
+ + =
; c)
2
5 7 11 0z z
− + =
 Hướng dẫn :
a)
1 2
3
i
±
b)
3 47
14
i
− ±
c)
7 171
10

i
±
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
4 2
6 0z z
+ − =
b)
4 2
7 10 0z z
+ + =
 Hướng dẫn :
a)
2; 3i
± ±
b)
2; 5i i
± ±
3) Cho a, b, c ∈ R, a ≠ 0,
1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
2
0az bz c
+ + =
. Hãy tính
1 2
z z+
và
1 2

z z
theo
các hệ số a, b, c.
 Hướng dẫn :
1 2
z z+
=
b
a
−
,
1 2
z z
=
c
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z,
z
làm nghiệm.
 Hướng dẫn :
Phương trình ẩn x nhận z,
z
làm nghiệm nên có (x – z)(x –
z
) = 0 ⇔
2
( ) 0x z z x zz− + + =
.
Với z +
z

= 2a, z
z
=
2 2
a b
+
. Vậy phương trình đó là
2 2 2
2 0x ax a b
− + + =
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì
z w
=
 Hướng dẫn :
z a bi
= +
là một căn bậc hai của w ⇒
2
2 2
z w z w z w z w
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
VD:
( )
2
3 4 2i i
− = −
tức
2z i
= −
là một căn bậc hai của

3 4w i
= −
thì
z w
=
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a)
2
1z z
= +
b)
2
2 5 0z z
+ + =
c)
2
(1 3 ) 2(1 ) 0z i z i+ − − + =
 Hướng dẫn :
a)
2
2
1 1 5 1 5 1 5
2. .
2 4 4 2 4 2 2
z z z z
 
− + = ⇔ − = ⇔ = ±
 ÷
 
b)

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ±
c)
( ) ( ) ( )
2 2
1 3 8 1 2 1i i i i
∆ = − + + = = +
Phương trình có hai nghiệm phức là
1 2
2 ; 1z i z i= = − +
.
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ
số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai
2
0z Bz C
+ + =
(B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
 Hướng dẫn :
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
7
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là
( )
2 2
1,2
4
2
B
z B AC
A
δ
δ
− ±
= = ∆ = −
nên
1 2 1 2
;
B C
z z z z
A A
+ = − =
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình
( ) ( )
2
4 5 1 0z i z i
− − + − =
Có
( )
2
5 12 2 3i i

∆ = − + = −
nên hai số cần tìm là
1 2
3 ; 1 2z i z i= + = −
.
c) Phương trình
2
0z Bz C
+ + =
có hai nghiệm là
;z a bi z a bi
= + = −
thì
( )
2B z z a
= − + = −
là số
thực và
2 2
.C z z a b
= = +
là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2 1 0z i z iz
+ − − =
b) Tìm số phức B để phương trình
2
3 0z Bz i

+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
 Hướng dẫn :
a)
( )
( )
2
2
0z i z i
+ − =
có 3 nghiệm là
2 2 2 2
; ;
2 2 2 2
i i i
− − +
.
b) Ta có
1 2 1 2
; . 3z z B z z i+ = − =
nên
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i
+ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± +
9) Tìm nghiệm của phương trình
1
z k

z
+ =
trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k =
2
; c) k = 2i.
 Hướng dẫn :
2
1
1 0z k z kz
z
+ = ⇔ − + =
có 2 nghiệm
( )
2 2
1,2
4
2
k
z k
δ
δ
±
= = ∆ = −
a) k = 1 thì
1,2
1 3
2 2
z i
= ±

b) k =
2
thì
1,2
2 2
2 2
z i
= ±
c)
( )
1,2
2 1 2k i z i= ⇒ = ±
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a)
3
1 0z
+ =
; b)
4
1 0z
− =
; c)
4
4 0z
+ =
; d)
4 3
8 8 1z z z
+ = +
 Hướng dẫn :

a)
( )
( )
3 2
1 3 1 3
1 0 1 1 0 1, ,
2 2 2 2
z z z z z z i z i
+ = ⇔ + − + = ⇔ = − = + = −
.
b)
4 4 2
1 0 1 1 1,z z z z z i− = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± = ±
c)
( ) ( )
4 4 2
4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i
+ = ⇔ = − ⇔ = ± ⇔ = ± − = ± +
d)
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2
1 1 3
1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,
2 4 4
z z z z z z z z z i
+ − = ⇔ + − + + = ⇔ = − = = − ±
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình

2
0z bz c
+ + =
nhận
1z i
= +
làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình
3 2
0z az bz c
+ + + =
nhận
1z i
= +
và z = 2 làm nghiệm.
 Hướng dẫn :
a)
( ) ( ) ( )
2
1 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c
+ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + = + = ⇔ = − =
b) Lần lượt thay
1z i
= +
và z = 2 vào phương trình, ta được
2 (2 2 ) 0
8 4 2 0
b c a b i
a b c
+ − + + + =



+ + + =

⇔
2 4
2 2 6
4 2 8 4
b c a
a b b
a b c c
+ = = −
 
 
+ = − ⇔ =
 
 
+ + = − = −
 
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)
I. LÝ THUYẾT
I. LÝ THUYẾT
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
8
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
1. Số phức dưới dạng lượng giác :
a) Acgumen của số phức z ≠ 0 :

 Cho số phức z = a + b
i
≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của
góc
( , )Ox OM
ϕ
=
uur uuuur
được gọi là một acgumen của z.
 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng
ϕ
+ k2π (k∈
¢
)
(z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác 0).


VD: Biết z ≠ 0 có một acgumen là
ϕ
. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z;
z
; –
z
;
1
z
.
 z biểu diễn bởi
OM
uuuur

thì –z biểu diễn bởi –
OM
uuuur
nên có acgumen là
ϕ
+ (2k + 1)π

z
biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –
ϕ
+ k2π
 –
z
biểu diễn bởi –
'OM
uuuuur
nên có acgumen là –
ϕ
+ (2k + 1)π

1
z
=
1
2
| |
z
z
z
−

=
, vì
2
1
| |z
là một số thực nên
1
z
−
có cùng acgumen với
z
là –
ϕ
+ k2π.
b) Dạng lượng giác của số phức z = a + b
i
:
 Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) với
ϕ
là một acgumen của z.
( )
Vôùi

⇔
2 2
a b
z = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =
r r



VD :
 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng π nên có dạng lượng giác là z = cosπ +
i
sinπ
 Số 1 +
3
i
có môđun bằng 2 và một acgumen bằng
ϕ
thoả cos
ϕ
=
1
2
và sin
ϕ
=
3
2
. Lấy
ϕ
=

3
π
thì 1 +
3
i
= 2(cos
3
π
+
i
sin
3
π
)
 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)


Chú ý :
 Số – cos
ϕ
–
i
sin
ϕ

có dạng lượng giác là cos(
ϕ
+ π) +
i
sin(
ϕ
+ π)
 Số cos
ϕ
–
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(–
ϕ
) +
i
sin(–
ϕ
)
 Số – cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(π –
ϕ
) +
i

sin(π –
ϕ
)
2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) và z′ =
r
′(cos
ϕ
’ +
i
sin
ϕ
’) với
r
,
r
′≥ 0
z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')]
và
z r
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]
z' r'

(
r
′≠ 0)
 Ta có
1
'z
và
z
có cùng acgumen là –
ϕ
’ + k2π nên
1 1
[cos( ') sin( ')]
' '
i
z r
ϕ ϕ
= − + −
.
Do đó
[cos( - ') sin( - ')]
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
(
r
’

≠
0)


VD:
1
3 3
2 cos sin
4 4
z i
π π
 
= +
 ÷
 
và
2
5 5
2 sin cos
12 12
z i
π π
 
= +
 ÷
 
. Tính
1 2
.z z
và

1
2
z
z
Với
2
2 cos sin
12 12
z i
π π
 
= +
 ÷
 
;
1 2
.z z
=
5 5 3 1
2 2 cos sin 2 2 6 2.
6 6 2 2
i i i
π π
 
 
+ = − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
và
1
2
z
z
=
2 2 2 1 3 2 6
cos sin 2
3 3 2 2 2 2
2
i i i
π π
 
 
+ = − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
9
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
a) Công thức Moa–vrơ : Cho số phức z =
r
(cos

ϕ
+
i
sin
ϕ
)

[ ]
n
n
r(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ)
(n∈
*
¥
)
b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :`
 Mọi số phức z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là
δ
 
=

 ÷
 
φ φ
r cos + isin
2 2
và
2 2
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
δ δ
 
     
= − + ⇒ =
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

φ φ
r cos +π + isin + π
2 2


VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:
( )
100
1 i
+

và căn bậc hai của w = 1 +
3.i
 Ta có 1 +
i
=
1 1
2 2 cos sin
4 4
2 2
i i
π π
 
 
+ = +
 ÷
 ÷
 
 
.
Do đó
( )
100
1 i
+
=
( )
100
50
2 cos sin 2 cos25 sin 25
4 4

i i
π π
π π
 
 
+ = +
 ÷
 
 
 
 w = 1 +
3.i
=
2 cos sin
3 3
i
π π
 
+
 ÷
 
có 2 căn bậc hai là
2 cos sin
6 6
i
π π
 
+
 ÷
 

và
7 7
2 cos sin
6 6
i
π π
 
+
 ÷
 
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
( )
19
1 i+
và công thức Moavrơ để tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

− + − + −
ð ð ð ð ð
.
 Hướng dẫn :
1 2 cos sin
4 4
i i
π π
 
+ = +

 ÷
 
Ta có
( )
19
19
0 0 1 1 2 2 18 18 19 19
19 19 19 19 19
0
1
n
k k
n
k
i i i i i i i
=
=
+ = = + + + + +
∑
ð ð ð ð ð ð
với phần thực là
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

− + − + −
ð ð ð ð ð
( )
19 19
19
9 9

19 19 2 2
1 2 cos sin 2 2 2
4 4 2 2
i i i i
π π
 
 
+ = + = − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
có phần thực
9
2 512
− = −
Vậy
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

− + − + −
ð ð ð ð ð
= –512.
2) Tính:
21
2004
5 3 3
;
1

1 2 3
i i
i
i
 
+
 
 ÷
 ÷
 ÷
+
−
 
 
 Hướng dẫn :
( )
2004
2004 2004
1002 1002
1 2 1 1
cos sin cos sin
1 2 2 4 4 2 2
i i
i i
i
π π
π π
 
+
     

= = + = + = −
 
 ÷  ÷  ÷
+
     
 
( )
( )
21
21
21
21 21
5 3 3 2 2
1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 2
3 3
1 2 3
i
i i i
i
π π
π π
 
+  
 
= − + = + = + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
−

 
 
 
3) Cho số phức
( )
1
1 3
2
w i= − +
. Tìm các số nguyên dương n để
n
w
là số thực. Hỏi có số nguyên dương
m để
m
w
là số ảo?
 Hướng dẫn :
( )
1 4 4 4 4
1 3 cos sin cos sin
2 3 3 3 3
n
n n
w i i w i
π π π π
= − + = + ⇒ = +
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
10

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
W là số thực khi
4
sin 0
3
n
π
=
, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
m
w
là số ảo.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

( ) ( )( )
i
iii
i
i 1
32321
1
1
10
2
+−++−+







−
+
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
;
2
31
1
2
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
b.
( )
( )
;0
2
1
.32 =







+++−
i
izizi
c.
;0||
2
=+ zz
d.
0
2
2
=+ zz
;
3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i)
2
+ (1+i)
3
+ + (1+i)
20
b. 1 + i + i
2
+ i
3
+ ……+ i

2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện
sau:
a.
;4|3| =++ zz
b.
;2|1| =−+− izz
c.
( )
( )
ziz +−2
là số ảo tùy ý; d.
|;2|||2 izziz +−=−
5. Các vectơ
>−>−
',uu
trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng
( )
'.'.
2
1
'. zzzzuu +=
>−>−
;
b. Chứng minh rằng
>−>−
',uu
vuông góc khi và chỉ khi
.|'||'| zzzz −=+

6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,k
iz
z
=
−
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
=
−
−
iz
z
và
.1
3
=
+
−
iz
iz
8. Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
=







−
+
iz
iz
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1 tan
1 tan
i
i
α
α
+
−
10. Giải các phương trình sau trên C :
a.
01
2
2
34
=+++− z
z
zz
bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1
−=

;
b.
( ) ( )
0363263
22
2
2
=−+++++ zzzzzz
c. (z
2
+1)
2
+(z+3)
2
=0a.
( )
( )( )
01
32
=++− izziz
d.
( ) ( )
.0124
2
2
2
=−+++ zzzz
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz

sau :
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
11
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
a.



−=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b.



+−=+
−−=
izz
izz
25

55
2
2
2
1
21
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a. -1-i
3
; b.
4
sin
4
cos
ππ
i−
c.
;
8
cos
8
sin
ππ
i−−
d.
ϕϕ
cossin1 i+−

;
2

0






<<
π
ϕ
13. Cho PT : z
2
+ kz + 1=0 (-2<k<2). Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường
tròn đơn vị.
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện sau :
2 1 3z z i z− + − = +
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
( )
;31
3
sin
3
cos
7
5
iii +







−
ππ
b.
( )
( )
9
10
3
1
i
i
+
+
; c.
2000
2000
1
z
z +
biết rằng
.1
1
=+
z
z
16. CMR: 3(1+i)

2011
= 4i(1+i)
2009
- 4(1+i)
2007
17. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i








−
−
33
33
là số thực, là số ảo?
18. Viết dạng lượng giác số z =
1 3
2 2
i−
. Suy ra căn bậc hai số phức z ?
19. Với giá trị nguyên dương n nào thì số phức sau là số thực, số ảo ? 1)
3 3
( )

3 3
−
−
i
n
i
2)
7
( )
4 3
+
−
i
n
i
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
 Hướng dẫn :
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
 Hướng dẫn : z = a + bi ⇒ |z| =
2 2
a b
+
. Ta có |z| ≥
2
a
= a và |z| ≥

2
b
= b
3) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
 Hướng dẫn :
a)
7 4
5 5
i
+
b)
18 13
7 7
i
−
4) Giải phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 7 8 0z z
+ + =
b)
4
8 0z
− =
c)
4
1 0z
− =
 Hướng dẫn :

a)
7 47
6
i
− ±
b)
4
8
±
,
4
8i
±
c)
1, i
± ±
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
12
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
 Hướng dẫn :
1 2 1 2
3, 4z z z z+ = =
⇒
1 2
,z z
là nghiệm phương trình
2

3 4 0z z
− + =
với ∆ =
2
( 7 )i

⇒
1,2
3 7
2
i
z
±
=
6) Cho hai số phức
1 2
,z z
. Biết rằng
1 2 1 2
,z z z z+
là hai số thực. Chứng tỏ
1 2
,z z
là hai nghiệm một phương
trình bậc hai với hệ số thực.
 Hướng dẫn :
Đặt
1 2 1 2
,z z a z z b+ = =
với a, b ∈ R. Khi

1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
1 2
( )( ) 0z z z z− − =
hay
2
1 2 1 2
( ) 0z z z z z z
− + + =
⇔
2
0z az b
− + =
7) Chứng minh rằng nếu
1z w
= =
thì số
( )
1 0
1
z w
zw
zw
+
+ ≠
+
là số thực.
 Hướng dẫn : Ta có
2

. 1z z z
= =
1 1
1
1 1
1 1
1
z w z w z w z w
z w
zw zw
zw zw
zw
+
+ + + +
 
= = = =
 ÷
+ +
+ +
 
+
nên
( )
1 0
1
z w
zw
zw
+
+ ≠

+
là số thực.
8) Giải phương trình:
a)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0z i z i
+ − − + − + =
b)
2
3 3
3 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
 
− − =
 ÷
− −
 
c)
( )
( )
2
2
2
1 3 0z z+ + + =
 Hướng dẫn :
a)

( ) ( )
2
3 3 2
3 6 3 13 0
3 3 2 3
z i i z i
z i z i
z i i z i
+ − = − = −
 
+ − − + − + = ⇔ ⇔
 
+ − = + =
 
b)
2
3
1 5
1
(1 ) 3 2
3 3
2
2 2
3 4 0
4 35
3 (4 ) 3 8
2 2
4
17 17
2

iz
z i
i z i
iz iz
z i
iz i z i
z i z i
z i
z i
+


= −
= − +


+ = − +

+ +
 
−
− − = ⇔ ⇔ ⇔


 ÷

+ − = −
− −
 




= +
=


−


c)
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i+ − + = ⇔ + − + + + + = 
 
Phương trình
2
1 3 0z iz i
− + − =
có nghiệm
1 2
1 2 ; 1z i z i= + = − −
Phương trình
2
1 3 0z iz i
+ + + =
có nghiệm

3 4
1 2 ; 1z i z i= − = − −
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2
( ) 2( ) 5x yi x yi+ − + +
. Với giá trị nào của x, y thì số phức
trên là số thực.
 Hướng dẫn : Phần thực là
2 2
2 5x y x− − −
, phần ảo là
2( )xy y
−
. Số phức trên là số thực khi y = 0
hoặc x = 1.
10) Thực hiện các phép tính:
a) d)
3 3
(1 2 ) (1 2 )i i+ − −
; g)
2010 2009
(1 ) (1 )i i+ + −
e)
2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
+ +
−
− −

11) Tìm z, biết:
a)
(1 5 ) 10 2 1 5i z i i
− + + = −
; b)
(3 2 ) 1 4i z i z
− = − +
c)
1 3
1
z i
i i
i
+
+ + = +
−

d)
2 3
1 3 2 1
1
i
z i z
i
−
+ − = −
+
; e)
( 2 3) 2 3 2 2i z i i
− + = +

; f)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
g)
( ) ( )
2
1 1 2 2
1
z i
z i i
i
+
+ + − − =
−
h)
1 2
2 3
1 1
i z i
z i
i i
− + −
− + =
+ −

i)
( )
2 2
1 5 5
1
iz i
i z i
i
+
+ − − =
−
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
13
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
 Hướng dẫn :
a)
1 2z i
= −
; b)
1 3
5 5
z i= +
; c)
2 3z i
= −
; d)
1
5

z i
= − −
;
e)
i
; f)
2 4
5 5
i− −
g)
3z i
= −
h)
3z i
=
i)
2 3z i
= +
12) Biết
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
3 3 0z z+ + =
. Hãy tính:
a)
2 2

1 2
z z
+
; b)
3 3
1 2
z z
+
; c)
1 2
2 1
z z
z z
+
; d)
2 2
1 2
z z
+
 Hướng dẫn :
a)
2 2
1 2
z z
+
= –3; b)
3 3
1 2
z z
+

=
6 3
; c)
1 2
2 1
z z
z z
+
= –1; d)
2 2
1 2
z z
+
= 6.
13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
 Hướng dẫn : Hai số phức cần tìm là
1
3 7
2 2
z i
= +
và
2
3 7
2 2
z i
= −
14) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2

8(1 ) 12 16 0z i z i+ − − − =
; b)
( )
2
2 2 0z i z i
− + − =
;
c)
( )
2
2 1 4 0iz i z
− − − =
; d)
( )
2
5 8 0z i z i
− − + − =
 Hướng dẫn :
a)
2 , 8 6z i z i
= = − +
; b)
1 2
2;z z i= = −
; c)
1 2
2; 2z z i= − = −
; d)
1 2
2 ; 3 2z i z i= + = −

15) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b)
4 2
6 25 0x x
+ + =
; b)
4 2
16 100 0x x
− + =
; c)
4 2
3 3 3 0x x i
− + − =
d)
4 2
3(1 2 ) 8 6 0x i x i− + − + =
; e)
4
7 24 0x i
+ − =
; f)
4
28 96 0x i
− + =
 Hướng dẫn :
a)
( ) ( )
1 2 , 1 2x i x i
= ± − = ± +
; b)

( ) ( )
3 , 3x i x i
= ± − = ± +
; c)
( ) ( )
2 , 1x i x i
= ± − = ± +
d)
( ) ( )
2 , 1x i x i
= ± + = ± +
; e)
( ) ( )
2 , 1 2x i x i
= ± + = ± −
; f)
( ) ( )
3 , 1 3x i x i
= ± − = ± +
16) Tìm z biết: a)
2
z z
=
; b)
2 2 4z z i
+ = −
c)
2 1 2z i z i
+ − = − +
và

1 10
10z
=
 Hướng dẫn : Gọi z = x + y
i
⇒
z
= x – y
i
và
2 2 2
2z x y xyi= − +
.
a)
2
z z
=
⇔
2 2
(1)
2 (2)
x y x
xy y

− =

= −

(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) ⇒ x = 0 hoặc x = 1
Nếu y ≠ 0 ⇒ (2) có nhiệm x = –

1
2
thay vào (1) ⇒ y =
3
2
±
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số
1 3 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;
2 2 2 2
   
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
1 3
2 2
i− +
; z =
1 3
2 2
i
− −
b)
2
4
3
z i
= +

c)
1 3 ; 1 3z i z i
= − = − +
17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
14
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
c)
2z i
− =
; b)
3
1
3
z i
z i
−
=
+
; c)
1z z i
= − +
; d)
(2 3 ) 2 0i z i m
+ + − =
(m là tham số)
 Hướng dẫn :
a)

2 2 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y
− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
b)
2 2
2 2
( 3)
3 ( 3)
1 1 1 0
3 ( 3)
( 3)
x y
z i x y i
y
z i x y i
x y
+ −
− + −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ + +
+ +

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c)
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y
= − + ⇔ + = − − − ⇔ + = − + − ⇔ + − =
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
d)

2 6
2 2 6 3 4
13
(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
3 4
2 3 13 13
13
m
x
m i m m
i z i m z z i x y
m
i
y
−

=

− − +

+ + − = ⇔ = ⇔ = − ⇒ ⇒ + + =

+
+

= −


Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính

5
(1 )i+
,
( )
6
3 i−
.
 Hướng dẫn :
( )
4 1 i
− +
.
19) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( )
8
3 i+
.
Hướng dẫn:
3 1
3 2 2 cos sin
2 2 6 6
i i i
π π
 
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
.
20) Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
. ĐS: A=11/4
21) Tìm số phức z thoả mãn:
2 2z i− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
( ) ( )
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − −
.
22) Tìm số phức z thỏa mãn:

( )
( )
1
1 1
3
1 2
z
z i
z i
z i

−
=

−


−

=

+

. HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i.
23) Giải phương trình:
4
1
z i
z i
+

 
=
 ÷
−
 
. ĐS: z∈{0;1;−1}
24) Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i}
25) Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1,
1 3
2 2
z i= ±
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
15
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
26) Giải phương trình:
2
4 3
1 0
2
z

z z z− + + + =
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
. ĐS: z=1±i,
1 1
2 2
z i= − ±
.
27) Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
.
28) Cho phương trình: (z + i)(z
2
−2mz+m
2
−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.

29) Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
α
làm nghiệm biết:
a.
α
= 2−5i b.
α
= −2−i
3
c.
α
=
3 - 2i
30) Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
−iz
2
−2iz−2 = 0. b. z
3
+(i−3)z
2
+(4−4i)z−7+4i = 0.
31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 2z i z z i− = − +
. ĐS:
2
4
x
y =

.
32) Trong các số phức thỏa mãn
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
2 3
2
z i− + =
⇒ … ⇒
( ) ( )
2 2
9
2 3
4
x y− + + =
.
• Vẽ hình ⇒|z|
min
⇒z.
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= +
.

33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
34) Trong các số phức thỏa mãn
1z z i
= − +
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1.
Bài 1.
(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
. Tìm phần thực
và phần ảo của z.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
4 3 7
2
z i

z i
z i
− −
= −
−
trên tập
£
.
 Hướng dẫn :
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
16
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
a)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
⇔
2
(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i
 
+ − − + = +
 
⇔
[ ]
2 (2 ) 1 2 8i i i z i
− − − = +
⇔
8
1 2

i
z
i
+
=
+
⇔
(8 )(1 2 )
1 4
i i
z
+ −
=
+
⇔
10 15
2 3
5
i
z i
−
= = −
. Phần thực là 2, phần ảo –3
b)
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −

= −
−
⇔
2
(4 3 ) 1 7 0z i z i− + + + =
Ta có ∆ =
2 2
(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i+ − + = − = −
. Phương trình có 2 nghiệm:
1
4 3 2
3
2
i i
z i
+ + −
= = +
và
2
4 3 2
1 2
2
i i
z i
+ − +
= = +
Bài 2.
Bài 2.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện

| (3 4 ) | 2z i
− − =
.
 Hướng dẫn :
Đặt z = x + y
i
(x, y∈
¡
) ⇒
(3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i
− − = + − + = − + +
Ta có
| (3 4 ) | 2z i
− − =
⇔
2 2
( 3) ( 4)x y
− + +
= 2 ⇔
2 2
( 3) ( 4)x y− + +
= 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 3.
Bài 3.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả:
| (2 ) | 10z i
− + =
và

.z z
= 25.
 ĐS: z = 3 + 4
i
hoặc z = 5 + 0
i
.
Bài 4.
Bài 4.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của
phương trình
2
2 10 0z z
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z
= +
.
 Hướng dẫn :
2
2 10 0z z
+ + =

có ∆′ = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i
. Nghiệm là
1
1 3z i= − +
,
2
1 3z i= − −
Ta có:
1
1 9 10z = + =
và
2
1 9 10z = + =
nên
2 2
1 2
20A z z
= + =
Bài 5.
Bài 5.
(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i
− + + = − +
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
( )

2
1 6 3 0z i z i
− + + + =
 Hướng dẫn :
a) Gọi z = a + bi, ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i
− + + = − +
⇔
( ) ( ) ( )
2
6 4 8 2
2 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6
2 2 6 5
a b a
i a bi i a bi i a b a b i i
a b b
+ = = −
 
− + + + − = − + ⇔ + − + = − ⇔ ⇔
 
+ = =
 
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b)
( )
2
1 6 3 0z i z i
− + + + =

có ∆ =
2 2
(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i+ − + = − − = −
Do đó phương trình có 2 nghiệm:
1
1 1 5
1 2
2
i i
z i
+ + −
= = −
;
2
1 1 5
3
2
i i
z i
+ − +
= =
Bài 6.
Bài 6.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z
=
và
2
z

là số thuần ảo
 ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
Bài 7.
Bài 7.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp
điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa
1 (1 )z i z
− = +
 Hướng dẫn :
Gọi z = x + yi, ta có
2 2 2 2
( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y
+ − = + + ⇔ + − = − + +
⇔
2 2 2 2
2 1 0 ( 1) 2x y y x y+ + − = ⇔ + + =
. Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R =
2
.
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
17
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 8.
Bài 8.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
( 2 ) (1 2 )z i i

= + −
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức
z iz
+
 Hướng dẫn :
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
= + −
⇒
( ) ( )
1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i− = + − ⇔ − = +
.
5, 2a b
⇒ = − =
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3

(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
4 4
1 1 1 1 1
i i i i
z i
i i i
− − − + − − +
= = = = = − −
− − − +

⇒ z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i ⇒
z iz
+
= –8 – 8i. Do đó :
( ) ( )
2 2
8 8 8 2z iz
+ = − + − =
.
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
18