Kĩ Thuật liên hợp giải hệ phương trình ĐVH 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.32 KB, 9 trang )
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
KĨ THUẬT LIÊN HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
2 x 2 + 3 x − y = y 2 + 4 x + x + 1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2
y − 3 x − 3 + x + y = x − 4
( x 2 + 1) ( y + 2 ) + x y + 1 = 2 y + 3
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 x − 2 + 2 x 2 = 3 x 2 + y + 2 + 1
x 2 + xy + 2 y 2 + y + 1 = ( x + y + 1) x 2 + 2 y 2 + 1
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
x 2 + y 4 + 4 + x 2 − y 2 + 1 = 2 y 2 + 1 + 5 x3 + 1
2 x − 1 = 2 x − 2 y − 1 + 2 ( x − 1) y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
3 x − 2 − 4 x + y + 9 = 2 3 xy − 2 x + 2
Lời giải:
1
ĐK: y ≥ 0; x ≥ 1; x − y ≥ ;3 xy + 2 ≥ 2 x .
2
Khi đó ta có: PT (1) ⇔ ( x − y ) − 2 ( x − y ) − 1 + ( x − 1) − 2 ( x − 1) y + y = 0
2
( x − y − 1)
⇔
+ ( x −1 − y ) = 0 ⇔ x −1 = y
x − y − 1 + 2 ( x − y − 1) − 1
( 2 ) ⇒ 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 ( 3x − 2 )( x − 1)
2
thế vào PT(2) ta có:
t = 3
Đặt t = 3x − 2 + x − 1 ≥ 0 ⇒ t 2 = 4 x − 3 + 2 3x 2 − 5 x + 2 . PT ⇔ t 2 − t − 6 = 0 ⇔
t = −2 ( loai )
V ới t = 3 ⇒ 4 x − 3 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 = 9 ⇔ 3 x 2 − 5 x + 2 = 6 − 2 x
x = 2 (T / M )
x 2 − 19 x + 34 = 0
⇔
x ≤ 3
x = 17 ( loai )
Vậy x = 2; y = 1 là nghiệm của PT đã cho.
2 xy − x + 4 y = ( 2 y + 1) x 2 + 2 y
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
4 y − 3 + 3 x 2 + 2 y − 2 = 3 x − 2
Lời giải
3
Điều kiện: 3 x 2 ≥ 2 − 2 y; y ≥ .
4
( x, y ∈ R )
Ta có phương trình một của hệ phương trình ⇔ 2 xy − x + 4 y + x ( 2 y + 1) = ( 2 y + 1)
(
x2 + 2 y + x
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
⇔ 4 xy + 4 y = ( 2 y + 1)
⇔ 2 ( x + 1)
(
⇔(
⇔(
⇔
(
(
x2 + 2 y − x
)
x 2 + 2 y + x ⇔ 4 y ( x + 1) = ( 2 y + 1)
)(
x2
(
(
x2 + 2 y + x
x2 + 2 y + x
)
( x + 2 y − x ) − 2 y − 1 = 0
+ 2 y + x ) 2 x + 2 x − 2 ( x + 1) x + 2 y + 2 y + 1 = 0
+ 2 y + x )( x + 1 − x + 2 y ) = 0
( ∗)
x 2 + 2 y + x 2 ( x + 1)
x2
)
x 2 + 2 y + x = ( 2 y + 1)
Facebook: Lyhung95
)
)
2
2
2
2
2
x ≥ −1
3
suy ra x 2 + 2 y + x > x 2 + x > − x + x = 0 . Do đó ( ∗) ⇔ x + 1 = x 2 + 2 y ⇔
4
2 x + 1 = 2 y
Thế 2 y = 2 x + 1 xuống phương trình hai trong hệ ta được
3
4 x − 1 + 3x 2 + 2 x − 1 = 3 x − 2
x≥
2
Với y ≥
⇔ x − 1 − 4 x − 1 + 2 x − 1 − 3x 2 + 2 x − 1 = 0
⇔
x2 − 6 x + 2
x2 − 6x + 2
+
=0
x − 1 + 4 x − 1 2 x − 1 + 3x2 + 2 x − 1
1
1
⇔ ( x2 − 6x + 2)
+
= 0 ( ∗ ∗)
2
x − 1 + 4 x − 1 2 x − 1 + 3x + 2 x − 1
x = 3 + 7
3
1
1
2
x ≥
⇔
Vớ i
+
> 0; ∀x ≥ nên ( ∗∗) ⇔
2
7+2 7 .
3
x − 1 + 4 x − 1 2 x − 1 + 3x 2 + 2 x − 1
x2 − 6 x + 2 = 0
y =
2
7+2 7
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = 3 + 7;
.
2
7+2 7
Đ/s: ( x; y ) = 3 + 7;
.
2
x x 2 + 1 + x − y + 1 = ( y − 1) y 2 − 2 y + 2
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình
x 2 + 12 x + 12 y − 1 + 3 = 3 y − 2 x − 4
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 1
Khi đó phương trình thứ nhất trong hệ trở thành:
( x, y ∈ R )
x x 2 + 1 − ( y − 1) y 2 − 2 y + 2 + x − y + 1 = 0
⇔
(
)
x 2 x 2 + 1 − ( y − 1) − ( y − 1)
4
2
x x 2 + 1 + ( y − 1) y 2 − 2 y + 2
+ x − y +1 = 0
x 2 − ( y − 1)2 x 2 + ( y − 1)2 + 1
+ x − y +1 = 0
⇔
2
2
x x + 1 + ( y − 1) y − 2 y + 2
⇔
( x − y + 1)( x + y − 1) x 2 + ( y − 1)
2
x x 2 + 1 + ( y − 1) y 2 − 2 y + 2
+ 1
+ x − y +1 = 0
⇔ x − y +1 = 0 ⇔ y = x +1 ≥ 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x 2 + 12 x + 12 x + 3 = 3 x − 2 x − 1
Với thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được:
Đặt do đó phương trình trở thành:
3t 4 − 12t 2 − 12t − 3
t 4 + 12t 2 + 12t + 3 − 2t 2 = t 2 − 2t − 1 ⇔ t 2 − 2t − 1 +
(
)
3 ( t + 1) t 2 − 2t − 1
Facebook: Lyhung95
t 4 + 12t 2 + 12t + 3 + 2t 2
(∗)
=0
2
3 ( t + 1)
⇔ t − 2t − 1 +
= 0 ⇔ t − 2t − 1 1 +
=0
t 4 + 12t 2 + 12t + 3 + 2t 2
t 4 + 12t 2 + 12t + 3 + 2t 2
2
2
⇔ t 2 − 2t − 1 = 0
(t ≥ 0)
(
)
2
⇒ t = 1+ 2 ⇔
x =1+ 2 ⇔ x = 3 + 2 2 ⇒ y = 4 + 2 2
(
)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = 3 + 2 2; 4 + 2 2 .
(
)
Đ/s: ( x; y ) = 3 + 2 2; 4 + 2 2 .
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x + x 3 + x = xy + y − 1
Câu 1: Giải hệ phương trình
x3 + 5 y + 17 x + 2 = 2 ( y + 3) 2 x 2 + 7
x + 2 y + 1 + x + 3 y 2 + 4 y + 1 = 3 y + 2
Câu 2: Giải hệ phương trình
2 x − 3 + y 4 − 3 = y 2 + x − 2 + 2 − y 2
2 x 2 + y 2 − 2 y + 1 = ( y + 1) x 2 + y 2 + 1
Câu 3: Giải hệ phương trình
3
3 x − 10 y + 4 = 4 ( y − x + 2 )( xy + x − 4 )
2
x2 + y2 + 1
2
2
y
−
x
+
x
+
y
+
1
=
x2 + x + 1
Câu 4: Giải hệ phương trình
2
2 x + 3 1 − y 2 = y + 1
x2 − x + 1
y + 3 y 2 − 2 y + 3x 2 + 6 = 3x + 7 y 2 + 7 + 2
Câu 5: Giải hệ phương trình
2
2
3 y − 4 x − 3 y + 3x + 1 = 0
x x + y + ( y − x ) 2 y = y 3 y − x
Câu 6: Giải hệ phương trình
2
2
xy + x y + x − 3 = 1 + x − 2
x− y
y−x
+1 + y = 2 y 1+
x
2 y +1
Câu 7: Giải hệ phương trình 2 y + 1
2
2
x
−
y
−
1
+ y 4 + x2 + 1 = 2 y
x 3x + y + ( y − 2 x ) x + 3 y = 2 ( x + y ) y
Câu 8: Giải hệ phương trình
2
2
2 xy − 1 − 1 + ( y − 1) + x = y
( x − 1) 2 x − y + ( 2 x − y − 1) x = 3 x − y − 2
Câu 9: Giải hệ phương trình
2
x − 3 + ( x − 4 ) ( x + 2 x − y ) = 1
x + y + x = 2 +1 y
Câu 10: Giải hệ phương trình
5 x 2 − 48 y + 47 = 10 y − 9 + 8 x + 6 y − 5
(
)
(
)
(
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
x + x 3 + x = xy + y − 1
Câu 1: Giải hệ phương trình
x3 + 5 y + 17 x + 2 = 2 ( y + 3) 2 x 2 + 7
Lời giải:
ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1 . Khi đó: PT (1) ⇔ x − y − 1 + x
(
)
x2 + 1 − y = 0
Vì x + y − 1 = 0 ⇔ x = 0; y = 1 không phải nghiệm nên ta có:
1
x
=0
= 0 ⇔ ( x 2 − y + 1)
+
2
x + y −1
x2 + 1 + y
x
+
1
+
y
⇔ y = x 2 + 1 thế vào (2) ta có:
PT ⇔
x2 − y +1
+ x
x + y −1
x2 + 1 − y
(
)
Phương trình (2) có dạng x 3 + 5 x 2 + 17 x + 7 = 2 x 2 + 4 2 x 2 + 7
(
)
(
)
⇔ (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) = 2 x 2 + 7 2 x 2 + 7 + 2 x 2 + 7 + 2 x 2 + 7
3
2
Xét hàm số f (t ) = t + t + t , f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞ )
3
2
( 2x
)
x = 1; y = 2
+ 7 ⇔ x + 2 = 2x 2 + 7 ⇔
x = 3; y = 10
Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) = {(1; 2 ) ; ( 3;10 )} .
Phương trình trên có dạng f ( x + 2 ) = f
2
x + 2 y + 1 + x + 3 y 2 + 4 y + 1 = 3 y + 2
Câu 2: Giải hệ phương trình
2 x − 3 + y 4 − 3 = y 2 + x − 2 + 2 − y 2
Lời giải
ĐK: x + 2 y + 1 ≥ 0, x + 3 y 2 + 4 y + 1 ≥ 0, 2 x − 3 ≥ 0, y 4 ≥ 3, y 2 ≤ 2
Khi đó (1) ⇔
(
) (
x + 2 y + 1 − y −1 +
⇒
⇒
(*)
)
x + 3 y2 + 4 y + 1 − 2 y −1 = 0
x + 2 y + 1 − ( y + 1)
2
x + 2 y +1 + y +1
+
x + 3 y 2 + 4 y + 1 − ( 2 y + 1)
2
x + 3y2 + 4 y +1 + 2 y +1
=0
x − y2
x − y2
+
=0
y +1+ x + 2 y +1 2 y +1+ x + 3y2 + 4 y +1
1
1
=0
⇒ ( x − y2 )
+
y +1+ x + 2 y +1 2 y +1+ x + 3y2 + 4 y +1
(
)
⇒ ( x − y2 ) 2 y +1 + x + 3 y2 + 4 y +1 + y +1 + x + 2 y +1 = 0
x = y2
⇒
x + 2 y + 1 + x + 3 y 2 + 4 y + 1 = −3 y − 2
x = y2
x = y2
Kết hợp với (1) ta có
⇒
2
3 y + 2 = −3 y − 2 y = −
3
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
4
•
2
2
TH1. y = − ⇒ y 4 − 3 = − − 3 < 0 ⇒ Loại.
3
3
•
TH2. x = y 2 thế vào (2) ta được
Với
2x − 3 + x2 − 3 = 2x − 2 + 2 − x
(3)
3 ≤ x ≤ 2 ⇒ VT (3) ≤ 2 x − 3 + 2 x − 3 = 2 2 x − 3 ≤ 1 + ( 2 x − 3)
⇒ VT (3) ≤ 2 x − 2 ≤ 2 x − 2 + 2 − x = VP (3).
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 2 ⇒ y 2 = 2 ⇔ y = ± 2.
(
)
Thử lại ta được ( x; y ) = 2; 2 thỏa mãn hệ đã cho.
(
Đ/s: ( x; y ) = 2; 2
)
2
2
2
2
2 x + y − 2 y + 1 = ( y + 1) x + y + 1
Câu 3: Giải hệ phương trình
3
3 x − 10 y + 4 = 4 ( y − x + 2 )( xy + x − 4 )
Lời giải
ĐK: ( y − x + 2 )( xy + x − 4 ) ≥ 0
(*)
Ta có ⇔ ( y + 1) x 2 + y 2 + 1 = 2 x 2 + ( y − 1) ≥ 0 ⇒ y + 1 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 + 1 + y + 1 > 0.
2
Khi đó (1) ⇔ x 2 + y 2 + 1
)
(
x 2 + y 2 + 1 − ( y + 1) + x 2 − 2 y = 0
⇔ x + y + 1.
2
(x
⇔
2
2
x 2 + y 2 + 1 − ( y + 1)
x + y +1 + y +1
2
2
− 2 y ) x2 + y 2 + 1
y +1+ x + y +1
2
2
2
+ x2 − 2 y = 0
+ x2 − 2 y = 0
x2 + y 2 + 1
x2
⇔ ( x2 − 2 y )
+ 1 = 0 ⇔ y = .
y + 1 + x2 + y2 + 1
2
Thế vào (2) ta được 3x3 − 10.
x2
x2
x2
+ 4 = 4 − x + 2 x. + x − 4
2
2
2
⇔ 3x3 − 5 x 2 + 4 = 2
(x
2
− 2 x + 4 )( x 3 + 2 x − 8 )
(3)
2
Ta cần có ( x 2 − 2 x + 4 )( x 3 + 2 x − 8 ) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 3 ( x 3 + 2 x − 8 ) ≥ 0
⇔ x3 + 2 x − 8 ≥ 0 ⇔ x ( x 2 + 2 ) ≥ 8 ⇒ x > 0.
Khi đó (3) ⇔ 3x3 − 5 x 2 + 4 = 2 x 2 − 2 x + 4. x 3 + 2 x − 8
(4)
Áp dụng BĐT Côsi ta có VP (4) ≤ ( x 2 − 2 x + 4 ) + ( x3 + 2 x − 8 ) = x 3 + x 2 − 4
(5)
Với x > 0 thì x3 + x 3 + 8 ≥ 3 3 x3 .x 3 + 8 = 6 x 2 ⇒ x 2 ≤ 2 x3 − 5 x 2 + 8
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
⇒ VP (5) ≤ x 3 + 2 x 3 − 5 x 2 + 8 − 4 = 3 x3 − 5 x 2 + 4 = VT (4).
Kết hợp với (5) ⇒ VP (4) ≤ VT (4).
2
3
4
x − 2 x + 4 = x + 2 x − 8
Dấu " = " xảy ra ⇔ 3
⇔ x = 2 ⇒ y = = 2.
3
2
x = x = 8
Thử lại ta thấy x = y = 2 thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: ( x; y ) = ( 2; 2 )
2
x2 + y2 + 1
2
2
−
+
+
+
1
=
y
x
x
y
x2 + x + 1
Câu 4: Giải hệ phương trình
2
2 x + 3 1 − y 2 = y + 1
x2 − x + 1
Lời giải
x ≥ 0
ĐK:
−1 ≤ y ≤ 1
(*)
Khi đó (1) ⇔ y 2 − x =
x2 + y 2 + 1
x + x +1
2
− x2 + y2 +1
⇔ ( y 2 − x ) x 2 + x + 1 = x 2 + y 2 + 1 − x 2 + y 2 + 1. x 2 + x + 1
⇔ ( y 2 − x ) x2 + x + 1 = x2 + y 2 + 1
(
x2 + y 2 + 1 − x2 + x + 1
x2 + y 2 + 1 − x2 − x − 1
⇔ ( y 2 − x ) x 2 + x + 1 = x 2 + y 2 + 1.
⇔ ( y − x) x + x +1 =
2
2
(y
2
)
x2 + y2 + 1 + x2 + x + 1
− x ) x2 + y2 + 1
x2 + y 2 + 1 + x2 + x + 1
y2 = x
⇔
x 2 + x + 1 + x 2 + x + 1. x 2 + y 2 + 1 = x 2 + y 2 + 1
(4)
(3)
Với x ≥ 0 ⇒ VT (3) ≥ 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1. x 2 + y 2 + 1 > VP (3).
Do đó (4) ⇔ y 2 = x, thế vào (2) ta được 2 x + 3 1 − x =
Ta có
(
x + 1− x
)
2
x +1
(5)
x2 − x + 1
= 1 + 2 x (1 − x ) ≥ 1 ⇒ x + 1 − x ≥ 1
⇒ VT (5) = 2
(
)
x + 1− x + 1− x ≥ 2 + 1− x ≥ 2
(6)
Lại có 4 ( x 2 − x + 1) − ( x + 1) = 3x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0
2
2
⇒ 4 ( x 2 − x + 1) ≥ ( x + 1) ⇒ 2 x 2 − x + 1 ≥ x + 1 ⇒
2
x +1
x − x +1
2
≤2
(7)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Từ (6) và (7) ⇒ VT (5) ≥ VP (5), dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ⇒ y 2 = 1 ⇔ y = ±1.
Thử lại ( x; y ) = {(1;1) , (1; −1)} thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , (1; −1)}
y + 3 y 2 − 2 y + 3x 2 + 6 = 3x + 7 y 2 + 7 + 2
Câu 5: Giải hệ phương trình
2
2
3 y − 4 x − 3 y + 3x + 1 = 0
Lời giải.
Điều kiện căn thức xác định.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y − 3x − 2 + 3 y 2 − 2 y + 3x 2 + 6 − 7 y 2 + 7 = 0
⇔ y − 3x − 2 +
y − 3x − 2
3 y − 2 y + 3x 2 + 6 + 7 y 2 + 7
2
=0
1
= 0 ⇒ y = 3x + 2
⇔ ( y − 3x − 2 ) 1 +
2
2
2
3
y
−
2
y
+
3
x
+
6
+
7
y
+
7
Thế vào phương trình thứ hai của hệ thu được
7
7 25
23 x 2 + 30 x + 7 = 0 ⇔ x ∈ − ;1 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −1) , − ; .
23
23 23
Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm.
x x + y + ( y − x ) 2 y = y 3 y − x
Câu 6: Giải hệ phương trình
2
2
xy + x y + x − 3 = 1 + x − 2
Lời giải.
Điều kiện x ≥ 2; y ≥ 0 . Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với
x
(
⇔
) (
x + y − 2y + y
x ( x − y)
x + y + 2y
+
)
2 y − 3y − x = 0
y ( x − y)
2 y + 3y − x
=0
x
y
⇔ ( x − y)
+
=0
x + y + 2y
2 y + 3 y − x
x
y
+
> 0, ∀x ≥ 2; ∀y ≥ 0 nên thu được x = y .
Rõ ràng
x + y + 2y
2 y + 3y − x
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
x3 − 1
x3 − 1 + x3 + x − 3 − x − 2 = 0 ⇔ x3 − 1 +
=0
x3 + x − 3 + x − 2
1
3
⇔ ( x3 − 1) 1 +
= 0 ⇒ x =1⇔ x =1⇒ x = y =1
3
x + x −3 + x−2
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 .
x− y
y−x
+1 + y = 2 y 1+
x
2 y +1 .
Câu 7: Giải hệ phương trình 2 y + 1
2
2
x
−
y
−
1
+ y 4 + x2 + 1 = 2 y
(
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Lời giải.
Điều kiện căn thức xác định
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có y > 0 ⇒ x > 0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x + y +1
3y − x +1
x
+ y = 2y
⇔ x x + y +1 + y 2 y +1 = 2 y 3y − x +1
2 y +1
2 y +1
⇔x
⇔
(
)
x + y +1 − 2 y +1 + 2 y
x( x − y)
x + y +1 + 2 y +1
+
(
)
2 y +1 − 3y − x +1 + ( x − y ) 2 y +1 = 0
2y ( x − y)
2 y +1 + 3y − x +1
+ ( x − y) 2 y +1 = 0
x
2y
⇔ ( x − y)
+
+ 2 y +1 = 0
x + y +1 + 2 y +1
2 y +1 + 3y − x +1
x
2y
Rõ ràng
+
+ 2 y + 1 > 0, ∀x > 0; y > 0 .
x + y +1 + 2 y +1
2 y +1 + 3y − x +1
Thế thì ta được x = y , phương trình thứ hai của hệ trở thành
(
)
2
x − 1 + x4 + x2 + 1 = 2 x ⇔
(
2
x = x = 1
2
x − 1 + x 4 + ( x − 1) = 0 ⇔
⇔ x∈∅.
x = 0
)
Vậy, hệ đã cho vô nghiệm.
x 3x + y + ( y − 2 x ) x + 3 y = 2 ( x + y ) y
Câu 8: Giải hệ phương trình
2
2
2 xy − 1 − 1 + ( y − 1) + x = y
Lời giải.
Điều kiện y ≥ 0; 2 xy ≥ 1 ⇒ x > 0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
(
x
(
⇔
) (
3x + y + 2 y
+
)
x + 3 y − 2 y + ( x − y ) 3x + y = 0
3x + y − 2 y + y
3x ( x − y )
)
y ( x − y)
x + 3y + 2 y
+ ( x − y ) 3x + y = 0
y
3x
⇔ ( x − y)
+
+ 3x + y = 0
x + 3y + 2 y
3x + y + 2 y
3x
y
+
+ 3x + y > 0, ∀x, y > 0 .
Rõ ràng
3x + y + 2 y
x + 3y + 2 y
Thế thì ta được x = y , phương trình thứ hai của hệ trở thành
(
)
( 2x
2
− 2)
2
x2 = 1
2
+ ( x − 1) = 0 ⇔
⇔ x = 1.
x
=
1
2 x2 − 1 + 1
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 .
2
2 x − 1 − 1 + ( y − 1) + x − y = 0 ⇔
2
2
( x − 1) 2 x − y + ( 2 x − y − 1) x = 3 x − y − 2
Câu 9: Giải hệ phương trình
2
x − 3 + ( x − 4 ) ( x + 2 x − y ) = 1
Lời giải.
Điều kiện 2 x ≥ y; x ≥ 3 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
( x − 1) 2 x − y − x + 1 + ( 2 x − y − 1) x − 2 x + y + 1 = 0
⇔ ( x − 1) ( 2 x − y − 1) + ( x − 1) ( 2 x − y − 1) = 0
( 2 x − y − 1)( x − 1) + ( 2 x − y − 1)( x − 1) = 0
⇔
2x − y +1
x +1
1
1
⇔ ( 2 x − y − 1)( x − 1)
+
=0
2x − y +1
x + 1
x = 1
1
1
Rõ ràng
+
> 0 nên ta được ( 2 x − y − 1)( x − 1) ⇔
⇒ 2x − y = 1 .
2x − y +1
x +1
2 x − y = 1
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
x − 3 − 1 + ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x − y ) = 0 ⇔ x − 3 − 1 + ( x − 4 ) ( x 2 + 1) = 0
x−4
1
+ ( x − 4 ) ( x 2 + 1) = 0 ⇔ ( x − 4 )
+ x 2 + 1 = 0
x − 3 +1
x − 3 +1
1
Lại có
+ x 2 + 1 > 0, ∀x ≥ 3 nên ta được x = 4; y = 7 .
x − 3 +1
⇔
(
)
x + y + x = 2 +1 y
Câu 10: Giải hệ phương trình
.
5 x 2 − 48 y + 47 = 10 y − 9 + 8 x + 6 y − 5
Lời giải.
9
Điều kiện x ≥ 0; y ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
10
x− y
x− y
x + y − 2y + x − y = 0 ⇔
+
=0
x + y + 2y
x+ y
1
1
⇔ ( x − y)
+
=0
x + y + 2y
x + y
1
1
Ta thấy
+
> 0 nên thu được x = y .
x + y + 2y
x+ y
Phương trình thứ hai của hệ trở thành 5 x 2 − 48 x + 47 = 10 x − 9 + 14 x − 5
⇔ x − 10 x − 9 + x + 2 − 14 x − 5 + 5 ( x 2 − 10 x + 9 ) = 0
x 2 − 10 x + 9
x 2 − 10 x + 9
+
+ 5 ( x 2 − 10 x + 9 ) = 0
x + 10 x − 9 x + 2 + 14 x − 5
1
1
⇔ ( x 2 − 10 x + 9 )
+
+ 5 = 0
x + 10 x − 9 x + 2 + 14 x − 5
1
1
9
+
+ 5 > 0, ∀x ≥ nên x 2 − 10 x + 9 = 0 ⇔ x ∈ {1;9} .
Rõ ràng
10
x + 10 x − 9 x + 2 + 14 x − 5
Kết luận hệ có hai nghiệm x = y = 1; x = y = 9 .
⇔
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
