TÀI LIỆU 7 ĐIỂM MÔN TOÁN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 28 trang )
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÀI LI U 7 I M MÔN TOÁN (PH N 1)
GV: Nguy n Thanh Tùng
CHUYÊN Đ 1 : S
PH C
D NG 1: TH C HI N CÁC PHÉP TOÁN
làm t t đ
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
c D NG 1 các b n c n th c hi n thành th o các phép toán sau:
/g
ro
Ví d minh h a
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
Bài 1. Hãy vi t các bi u th c sau d i d ng s ph c a bi ( a, b )
2(2 3i )
1 i 3 i 1 2i
1. A (1 2i)(3 i)
4 2i
2. B
1 i
1 i 2 i 1 i
(2 i )5 (1 i )6
3. C
4. D i 2015 i 2016 (1 i )2016
(1 2i )3 (1 i)5
5. E 1 i i 2 ... i 2015 i 2016
Gi i
2(2 3i )
2(2 3i )(1 i )
4 2i (3 2) (1 6)i
4 2i
1. A (1 2i )(3 i )
1 i
(1 i )(1 i )
2(5 i)
5 5i 2 2 4 2i 5 5i (5 i ) 4 2i 4 2i
1 1
1 i 3 i 1 2i
(1 i )2
(3 i )(2 i ) (1 2i)(1 i) 2i 7 i 3 i
1 7
2. B
i
1 i 2 i 1 i (1 i)(1 i ) (2 i )(2 i ) (1 i )(1 i)
2
5
2
10 10
5
(1 i ) 2
(2 i )5 (1 i) 6 2 i
1 i
(2 i )(1 2i )
2
3. C
.(2 i )
.(1 i)
.(3 4i) 2 .(1 i )
(1 2i )3 (1 i) 5 1 2i
5
1 i
3
3
5
3
5
5i
2i
.(3 4i) .(1 i) i 3 .(3 4i) i 5 (1 i ) i (3 4i ) i (1 i) 5 4i
5
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
4. D i 2015 i
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1008
2016
2016
2 1007
2 1008
2
1007
1008
1008
(1 i )
(i )
(1 i )
.i (i )
(1)
.i (1)
(2i )
i 1 21008.(i 2 )504 i 1 21008 21008 1 i
5. E 1 i i 2 ... i 2015 i 2016
Cách 1: Ta có E 1 i i 2 ... i 2015 i 2016 (1)
Suy ra iE i i 2 i 3 ... i 2016 i 2017 (2)
L y (1) – (2) ta đ c: (1 i) E 1 i 2007 1 (i 2 )1008 .i 1 i E 1 1 0.i .
1 qn
1 i 2017 1 (i 2 )1008 .i 1 i
E u1
1.
1 . V y E 1 1 0.i .
1 q
1 i
1 i
1 i
ai
H
oc
1 i
. Tính giá tr c a bi u th c: A 2 iz 2015 .
1 i
Gi i
1 i (1 i )2 2i
i z 2015 i 2015 (i 2 )1007 .i (1)1007 .i i
1 i
2
2
2013
A 2 iz
2 i2 2 1 3 . V y A 3 .
ie
uO
nT
Ta có: z
hi
D
Bài 2. Cho s ph c z
01
Cách 2: E là t ng c a m t c p s nhân v i s h ng đ u u1 1 và công b i q 1 nên ta có:
IL
iL
Ta
PH C VÀ CÁC
NG
C TR NG
s/
D NG 2: TÌM S
ng đ c tr ng th a mãn đi u ki n (*) cho tr
c.
/g
ro
up
N i dung bài toán: Xác đ nh s ph c z và các đ i l
.fa
ce
bo
ok
.c
om
Tr ng h p 1: Trong (*) là ph ng trình ch có m t z ( ho c z )
Ph ng pháp gi i:
B c 1: Gi i ph ng trình v i n z (ho c z ) , suy ra z (ho c z ).
B c 2: D a vào yêu c u bài toán, suy ra đáp s .
Ví d minh h a
2(1 2i)
7 8i . Tìm môđun c a s ph c w z 1 i .
1 i
Phân tích
w
w
w
Ví d 1. Cho s ph c z th a mãn (2 i) z
2(1 2i)
7 8i ch ch a z nên ta th c hi n các phép toán z a bi
1 i
+) Suy ra w z 1 i w
+) i u ki n (2 i) z
2(1 2i )(1 i )
2(1 2i)
7 8i
7 8i (2 i) z
1 i
(1 i )(1 i )
2(3 i )
(2 i ) z
7 8i (2 i ) z 4 7i
2
Gi i: Ta có: (2 i) z
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4 7i (4 7i )(2 i ) 15 10i
z
3 2i
2i
5
5
w z 1 i 3 2i 1 i 4 3i w 42 32 5 . V y w 5 .
Ví d 2. Cho s ph c z có ph n o âm và th a mãn z 2 6 z 13 0 . Tính môđun c a s ph c: w z
Gi i
ng trình z 6 z 13 0 có bi t th c ' 9 13 4 4i 2 nên ph
ng trình có hai nghi m :
2
2
01
Ph
6
.
zi
2
3(1 i ) (1 i )
1 2i
z1
2
ng trình có nghi m :
z 3(1 i ) (1 i) 2 i
2
2
nT
Gi i
ng trình z 2 3(1 i ) z 5i 0 có bi t th c ' 9(1 i )2 20i 2i (1 i ) 2
ie
uO
Ph
ng trình z 2 3(1 i ) z 5i 0 trên t p h p các s ph c.
hi
D
Ví d 3. Gi i ph
ai
H
oc
6
6
6(3 i ) 24 7
24 7
z 3 2i w z
3 2i
3 2i
i w 5 . V y w 5.
z i
3i
10
5 5
5 5
s/
ph n tính trong bài toán trên có th hi u theo 3 h
ng
ng 1 : Vì ta khá quen thu c v i công th c : (1 i) 2 2i
ro
+) H
c : 2i (1 i )2
up
Chú ý : Vi c vi t đ
Ta
iL
nên ph
a 2 b 2 0
a 1
ng 2 : Ta ch n a, b th a mãn 2i (a bi) 2 a 2 b 2 2abi
và “ch n”:
b 1
ab 1 1.(1)
+) H ng 3 : ( ây là h ng đi t ng quát – khi không nhìn th y luôn theo H ng 1, H ng 2)
G i a bi là c n b c hai c a 2i (a bi) 2 2i a 2 b 2 2abi 2i
a2 b2 0
a 2 b 2
a b
a 1; b 1
2ab 2
ab 1 ab 1 a 1; b 1
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
+) H
w
w
V y c n b c hai c a 2i là : 1 i và 1 i nên ph
Ví d 4. Gi i ph
3(1 i) (1 i )
1 2i
z1
2
ng trình có nghi m :
z 3(1 i ) (1 i ) 2 i
2
2
ng trình n z sau trên t p s ph c :
4 z 3 7i
z 2i .
z i
Gi i
+)
i u ki n : z i
+) V i đi u ki n trên :
ph
2
4 z 3 7i
z 2i 4 z 3 7i ( z i )( z 2i) z (4 3i) z 1 7i 0
z i
ng trình có bi t th c (4 3i) 2 4(1 7i) 7 24i 4 28i 3 4i (2 i) 2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
a b 3
(Làm ra nháp: Nh m a, b th a mãn
a 2; b 1 )
ab 2 1.(2) 2.(1)
D NG 2: TÌM S
PH C VÀ CÁC
C TR NG
ng đ c tr ng th a mãn đi u ki n (*) cho tr
c.
ng h p 2: Trong (*) có ch a f ( z, z ) ho c có d u môdun " " .
hi
D
Tr
NG
ai
H
oc
N i dung bài toán: Xác đ nh s ph c z và các đ i l
IL
z 3 i
z 1 2i .
01
nên ph
(4 3i ) (2 i )
3i
z
2
ng trình có hai nghi m :
(th a mãn đi u ki n), suy ra
z (4 3i ) (2 i ) 1 2i
2
Ví d minh h a
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
S đ gi i
Ví d 1. Cho s ph c z th a mãn
5( z i)
2 i . Tính môđun c a s ph c w 1 z z 2 .
z 1
Phân tích
5( z i)
2 i ch a đ ng th i z và z hay ch a f ( z, z ) nên g i z a bi ( a, b R )
z 1
a ?
5( z i)
2 i bi n đ i v d ng z1 z 2
+) T đi u ki n
z w 1 z z2 w
z 1
b ?
+) Trong đi u ki n
Gi i
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+) G i z a bi ( a, b R ) , z 1
5( z i )
2 i 5( z i) ( z 1)(2 i ) 5(a bi i) (a bi 1)(2 i ) (*)
z 1
5a 2a b 2
3a b 2
a 1
(*) 5a 5(b 1)i (2a 2 b) (a 1 2b)i
5(b 1) a 2b 1 a 7b 6
b 1
+) Khi đó:
z 1 i w 1 z z 2 1 1 i (1 i )2 2 3i w 22 32 13 . V y w 13 .
Ví d 2. Tìm s ph c z th a mãn: z 2 và z 2 là s thu n o.
Phân tích
+) G i z a bi ( a, b R ) z 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 2
(1)
ai
H
oc
hi
D
f ( a, b) 0
a ?
+) T hai đi u ki n z 2 và z 2 là s thu n o 1
z
b ?
f 2 ( a, b) 0
Gi i
01
+) Trong đi u ki n z 2 ch a d u " " , c th là z nên g i z a bi ( a, b R )
nT
+) Ta có: z 2 (a bi) 2 a 2 b 2 2abi là s thu n o a 2 b 2 0 b 2 a 2 (2)
Ta
iL
ie
uO
a 1 b 1
Thay (2) vào (1): 2a 2 2
.
a 1 b 1
V y các s ph c c n tìm là: 1 i; 1 i; 1 i; 1 i .
up
s/
Ví d 3. Tìm s ph c z th a mãn ( z 1)( z 2i) là s th c và z 1 5 .
ro
Gi i
om
/g
+) G i z a bi ( a, b R ) ( z 1)( z 2i ) ( a bi 1)(a bi 2i ) [(a 1) bi ][a (b 2)i ]
[a ( a 1) b(b 2)] [ab ( a 1)(b 2)]i
(1)
.c
( z 1)( z 2i) là s th c [ab ( a 1)(b 2)] 0 2a b 2 0
bo
ok
Ta có: z 1 5 a 1 bi 5 (a 1) 2 b 2 5 (a 1) 2 b 2 5
ce
T (1) b 2 2a thay vào (2) ta đ
(2)
a 0 b 2
c: (a 1)2 (2a 2)2 5 a 2 2a 0
a 2 b 2
w
.fa
V y các s ph c c n tìm là: 2i ; 2 2i .
w
w
Ví d 4. Trong các s ph c th a mãn đi u ki n z 2 4i z 2i . Tìm s ph c z có môđun nh nh t.
Gi i
Cách 1: G i z a bi ( a, b R ) z 2 4i z 2i (a 2) (b 4)i a (b 2)i
( a 2) 2 (b 4) 2 a 2 (b 2) 2
4a 8b 20 4b 4 b 4 a
Khi đó z a 2 b 2 a 2 (a 4)2 2(a 2 4a 8) 2(a 2) 2 8 8
z min 2 2 khi a 2 0 a 2 b 2 .
V y s ph c z 2 2i . (xem thêm Cách 2
D NG 3 – Lo i 1).
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
PH C VÀ TÌM T P H P I M
D NG 3: BI U DI N HÌNH H C S
Lo i 1: Bi u di n hình h c s ph c
Ph ng pháp gi i: S d ng ki n th c:
“ M t s ph c z x yi ( x, y ) đ c bi u di n b i đi m M ( x; y ) trong t a đ ph c Oxy và ng
c l i”
Ví d minh h a
Ví d 1. Xét các đi m A,B,C trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các s
4i
2 6i
;(1 i)(1 2i );
.
i 1
3i
ai
H
oc
01
a.Ch ng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân.
b.Tìm s ph c bi u di n b i đi m D, sao cho ABCD là hình vuông.
Gi i
4i
4i ( 1 i )
2 2i A(2; 2) ; (1 i)(1 2i ) 3 i B (3;1)
i 1
2
2 6i (2 6i)(3 i) 20i
2i C (0; 2)
3i
10
10
2
2
AB (1;3)
AB CB 10
a. Khi đó :
, suy ra tam giác ABC vuông cân t i B (đpcm).
CB (3; 1) AB.CB 0
b. G i D ( x; y ) DC ( x; 2 y )
x 1
x 1
Vì tam giác ABC vuông cân t i B nên ABCD là hình vuông khi : DC AB
2 y 3 y 1
V y s ph c bi u di n b i đi m D( 1; 1) là: 1 i .
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
Ta có:
om
Ví d 2. Trong các s ph c th a mãn đi u ki n z 2 4i z 2i . Tìm s ph c z có môđun nh nh t.
ng pháp đ i s thu c Ví d 4
D NG 2 – Tr
ng h p 2)
.fa
ce
bo
ok
.c
Gi i
Cách 1: (Các b n xem l i cách gi i bài theo ph
w
w
w
Cách 2:
+) G i đi m M ( x; y ) bi u di n s ph c z x yi ( x; y R )
+) Ta có: z 2 4i z 2i ( x 2) ( y 4)i x ( y 2)i
( x 2) 2 ( y 4) 2 x 2 ( y 2) 2 4 x 8 y 20 4 y 4 x y 4 0
V y M thu c đ
ng th ng d có ph
ng trình: x y 4 0 (*)
+) Ta có: z OM z min OM min OM d
OM .ud 0 x y 0 (2*) (v i OM ( x; y ), ud (1; 1) )
x y 4 0
x 2
T (*) và (2*) suy ra:
M (2; 2) hay s ph c z 2 2i .
x
y
0
y
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
D NG 3: BI U DI N HÌNH H C S PH C VÀ TÌM T P H P ĐI M
Lo i 2: Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c.
ng pháp gi i:
B c 1: G i M ( x; y ) là đi m bi u di n s ph c z x yi ( x, y ).
B c 2: C t ngh a bài toán đ tìm m i liên h gi a x và y . C th ta có đ c đ ng th c f ( x; y ) 0 d
nh ng d ng sau:
ax by c 0 : T p h p các đi m bi u di n s ph c z là m t đ ng th ng.
x 2 y 2 ax by c 0 (ho c ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 ): T p h p các đi m bi u di n s ph c z
là m t đ ng tròn.
y ax 2 bx c : T p h p các đi m bi u di n s ph c z là m t parabol.
x2 y2
1 : T p h p các đi m bi u di n s ph c z là m t elip.
a2 b2
…..
hi
D
Ví d minh h a
01
i
ai
H
oc
Ph
uO
nT
Ví d 1. (D – 2009 ). Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn:
z (3 4i ) 2 .
iL
ie
Gi i
G i M ( x; y ) là đi m bi u di n s ph c z x yi ( x; y R ) trong m t ph ng t a đ Oxy, ta có:
Ta
z (3 4i) 2 x yi (3 4i ) 2 ( x 3) ( y 4)i 2
ng tròn tâm I (3; 4) bán kính R 2 .
ro
V y t p h p đi m bi u di n s ph c z là đ
up
s/
( x 3) 2 ( y 4) 2 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 4
om
/g
Ví d 2. (B – 2010). Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn:
z i (1 i ) z
bo
ok
.c
Gi i
G i M ( x; y ) là đi m bi u di n s ph c z x yi ( x; y R ) trong m t ph ng t a đ Oxy, ta có:
ce
z i (1 i) z x yi i (1 i)( x yi) x ( y 1)i ( x y ) ( x y )i
w
.fa
x 2 ( y 1) 2 ( x y ) 2 ( x y ) 2 x 2 y 2 2 y 1 2 x 2 2 y 2
x 2 ( y 1)2 2
ng tròn tâm I (0; 1) bán kính R 2 .
w
w
V y t p h p đi m bi u di n s ph c z là đ
Ví d 3. Cho s ph c z th a mãn z 3 i z 2 .
a. Tìm t p h p các đi m trong m t ph ng t a đ Oxy bi u di n s ph c z .
b. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n trên, tìm s có môđun bé nh t.
Gi i
a) G i M ( x; y ) là đi m bi u di n s ph c z x yi ( x; y R ) trong m t ph ng t a đ Oxy, ta có:
z 3 i z 2 x yi 3 i x yi 2 ( x 3) ( y 1)i ( x 2) yi
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 y 2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6 x 2 y 10 4 x 4 5 x y 3 0
V y t p h p đi m bi u di n s ph c z là đ
b) Cách 1 (Ph ng pháp đ i s )
ng th ng d có ph
ng trình: 5 x y 3 0 (*)
T (*) ta có: y 5 x 3 z x 2 y 2 x 2 (5 x 3) 2 26 x 2 30 x 9
b 15
3
t đó suy ra: y 5 x 3
min
2a 26
26
15 3
i
V y s ph c có môđun nh nh t là: z
26 26
Cách 2 (Ph ng pháp hình h c)
x
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Nên: z min khi 26 x 2 30 x 9
ng trình: 5 x y 3 0 có véct ch ph ng ud (1;5)
Ta có: z OM z min OM min OM d OM .ud 0 x 5 y 0 (2*) (v i OM ( x; y ) )
Ta
iL
ie
ng th ng d có ph
/g
ro
up
s/
15
5 x y 3 0 x 26
3
15 3
15
T (*) và (2*) suy ra:
M ; hay s ph c z
i
26 26
26 26
x 5 y 0
y 3 26
om
(1 i) z
2 1
1 i
a. Tìm t p h p các đi m trong m t ph ng t a đ Oxy bi u di n s ph c z .
b. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n trên, tìm s có môđun l n nh t và s có môđun nh nh t.
bo
ok
.c
Ví d 4. Cho s ph c z th a mãn
.fa
ce
Gi i
a. G i M ( x; y ) là đi m bi u di n s ph c z x yi ( x; y R ) trong m t ph ng t a đ Oxy, ta có:
w
w
w
(1 i ) z
(1 i )2 z
2 1
2 1 iz 2 1
1 i
2
i ( x yi) 2 1 ( y 2) xi 1 ( y 2)2 x 2 1
( y 2) 2 x 2 1 (*)
V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z là đ ng tròn tâm I (2; 0) có bán kính R 1 .
b. Cách 1 (Ph ng pháp đ i s )
T (*) ( y 2)2 1 1 y 2 1 1 y 3 (1)
M t khác t (*) ta có: x 2 y 2 4 y 3
(2)
T (1) và (2) suy ra: 1 x 2 y 2 9 hay 1 z 9 1 z 3
2
Do đó:
z min 1 khi y 1 và x 0 hay s ph c có môđun nh nh t là: z i
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
z m ax 3 khi y 3 và x 0 hay s ph c có môđun l n nh t là: z 3i .
ng pháp hình h c)
ai
H
oc
01
Cách 2 (Ph
hi
D
CHUYÊN Đ 2 : HÌNH H C KHÔNG GIAN OXYZ
ng th ng và th a mãn đi u ki n (*) cho tr
c.
iL
ie
Bài toán 1. Tìm t a đ đi m M thu c đ
uO
nT
D NG 1: BÀI TOÁN TÌM I M (Ph n 1)
GI I
om
/g
ro
up
s/
Ta
S
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
( Ngh a là: Khi đi m M thu c đ ng th ng, ta s tham s hóa đi m M đ M ch ph thu c vào m t n t .
Sau đó c t ngh a bài toán đ thi t l p ph ng trình f (t ) 0 , tìm t và suy ra t a đ đi m M ).
Chúng ta có th chia thành 2 b c c th sau:
x x0 at
B c 1: Do M : y y0 bt M ( x0 at; y0 bt; z0 ct )
z z ct
0
B c 2: C t ngh a đi u ki n (*) ta đ c ph ng trình f (t ) 0 t M .
Ví d 1. Cho đ
ng th ng :
Ví d minh h a
x 1 y 1 z
và hai đi m A(1; 1; 2) , B (2; 1; 0) . Xác đ nh t a đ
2
1 1
đi m M
thu c sao cho :
1) Tam giác AMB vuông t i M
2) T di n OABM có th tích b ng
1
.
2
3) MA2 2 MB 2 nh nh t.
Gi i
G i M (1 2t ; 1 t ; t ) d , khi đó:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ai
H
oc
M (1; 1;0)
t 0
2
2
MA MB 2t (1 2t ) t (2 t )t 0 6t 4t 0 2 7 5 2
M ; ;
t
3 3 3
3
OA (1; 1; 2)
OA, OB (2; 4;1)
2) Ta có OM (1 2t; 1 t ; t ) d và
OB (2; 1; 0)
Suy ra: OA, OB .OM 2(1 2t ) 4(1 t ) t t 2
t 2 1
1
1 1
t 1 M (1;0; 1)
Khi đó VOABM OA, OB .OM
2
6
2
6
2
t 5
M (11; 6;5)
01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
MA (2t; t ; 2 t )
1)
. Tam giác AMB vuông t i M nên :
MB (1 2t; t ; t )
2
1
3) Ta có: MA 2 MB 4t t (t 2) 2 (2t 1) t t 18t 12t 6 18 t 4 4
3
1
5 4 1
4 khi t hay M ; ; .
Suy ra MA2 2 MB 2
min
3
3 3 3
2
2
2
2
2
2
ng th ng d :
uO
nT
x 2 y 1 z
. Tìm t a đ giao đi m c a
1
2
1
A đ n P b ng 2 3 .
iL
Ví d 2. Cho m t ph ng P : x y z 3 0 và đ
Ta
và d ; tìm t a đ đi m A thu c d sao cho kho ng cách t
s/
P
2
ie
2
hi
D
2
up
Gi i
/g
ro
Gi s M d P . Vì M d nên M t 2; 2t 1; t .
om
M t khác M P nên suy ra t 2 2t 1 t 3 0 t 1 , suy ra M 1;1;1 .
bo
ok
.c
Ta có A d nên A a 2; 2a 1; a .
ce
Khi đó d A; P 2 3
a 2 2a 1 a 3
12 12 12
a 2
2 3 a 1 3
a 4
w
w
.fa
Suy ra A 4; 5; 2 ho c A 2;7;4 .
w
Ví d 3 (A,A1 – 2013). Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đ
ng th ng :
x 6 y 1 z 2
và
1
3
2
đi m A(1; 7;3) . Tìm t a đ đi m M thu c sao cho AM 2 30 .
Gi i
Do M , suy ra M (6 3t ; 1 2t; 2 t ) . Có: AM 2 30 AM 2 120 (3t 5) 2 (2t 8) 2 (t 5) 2 120
M (3; 3; 1)
t 1
51 1 17
7t 4t 3 0
51 1 17 . V y M (3; 3; 1) ho c M ; ; .
3
M ; ;
t
7
7
7
7
7
7
7
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x 2 y 1 z 5
Ví d 4 ( B – 2011). Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đ
ng th ng :
1
3
2
và hai
đi m A( 2;1;1) , B ( 3; 1; 2) . Tìm t a đ đi m M thu c sao cho tam giác MAB có di n tích b ng 3 5 .
Gi i
Do M M ( 2 t;1 3t ; 5 2t ) AM (t ;3t ; 6 2t )
Ta có AB ( 1; 2;1) , suy ra: AM , AB (t 12; t 6; t )
(t 12) 2 (t 6) 2 t 2
1
,
3
5
3 5
AM
AB
2
2
t 0
M (2;1; 5)
. V y M ( 2;1; 5) ho c M ( 14; 35;19) .
t 2 12t 0
t 12 M (14; 35;19)
I M (Ph n 2)
hi
D
D NG 1: BÀI TOÁN TÌM
ai
H
oc
01
Khi đó: S MAB 3 5
uO
GI I
up
s/
Ta
iL
ie
S
nT
Bài toán 2. Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng ( ) : ax by cz d 0 và th a mãn đi u ki n (*) .
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
( Ngh a là: Khi đi m M thu c m t ph ng đã cho thì ta s ch p nh n g i đi m M theo 3 n M ( x; y; z ) . Và
lúc này ta c n đi tìm 3 d u “=” (c n thi t l p 3 ph ng trình). Ph ng trình (1) chính là ph ng
trình m t ph ng. Hai ph ng trình (2), (3) có đ c nh c t ngh a d ki n bài toán. Sau đó đi gi i
h 3 ph ng trình , tìm đ c b 3 s ( x; y; z ) và suy ra t a đ đi m M ).
Chúng ta có th chia thành 3 b c c th sau:
B c 1: G i M ( x; y; z ) . Do M ( ) ax by cz d 0 (1)
f ( x; y; z ) 0 (1)
.
B c 2: C t ngh a đi u ki n (*) ta đ c h ph ng trình
g ( x; y; z ) 0 (2)
w
w
w
.fa
x x0
B c 3: T (1),(2) và (3) , suy ra y y0 M ( x0 ; y0 ; z0 ) .
z z
0
CHÚ Ý: Do M thu c m t ph ng ( ) chúng ta có th “linh ho t” g i đi m M theo hai n, ví nh
g i M ( x; y; h( x; y )) ( th c ra vi c g i 2 n nh trên là ta đã khai thác luôn ph ng trình (1) (ph ng trình
c a m t ph ng) và đang gián ti p gi i h 3 ph ng trình trên theo ph ng pháp th ). Song có m t s
tr ng h p khi làm th l i khi n cho quá trình tính toán ph c t p và c ng k nh.
Ví d minh h a
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví d 1. Cho m t ph ng ( ) : x y 1 0 và đi m A(1; 2;3) . Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng ( ) sao cho:
1) MA MO
7
.
3
2) MA song song v i m t ph ng ( P ) : x 2 z 7 0 và MA 3 .
MA2 MO 2
2
2
2
2
2
2
7
( x 1) ( y 2) ( z 3) x y z
1) Ta có MA MO
2
49
2
2
2
3
9( x y z ) 49
MO
9
x 2 y 3 z 7 0 (2)
y x 1
. T (1) và (2) suy ra
2
và thay vào (3) ta đ c:
2
2
3z 5 3 x
9( x y z ) 49 (3)
01
Gi i
G i M ( x; y; z ) ( ) x y 1 0 (1)
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
2
2
M 1; 2;
x
y
z
1
2;
3
3
9 x 2 9( x 1)2 (3 x 5)2 49 27 x 2 12 x 15 0
.
5 4 20
x 5 y 4 ; z 20
M ; ;
9
9
9
9 9 9
AM ( x 1; y 2; z 3)
x 2 z 5 0 (2 ')
MA / /( P)
AM .n( P ) 0
2) Ta có
, khi đó:
2
2
2
2
MA 3
( x 1) ( y 2) ( z 3) 9 (3')
MA 9
n( P ) (1; 0; 2)
x 2 y 1 z
và mp ( P ) : x y z 3 0 . G i I là giao
1
2
1
/g
ng th ng :
om
Ví d 2 (B – 2011: CB). Cho đ
ro
up
s/
Ta
iL
ie
x 2z 5
T (1) và (2 ') suy ra
và thay vào (3 ') ta đ c:
y 2z 4
z 4 x 3; y 4
M (3; 4; 4)
(2 z 6)2 (2 z 6) 2 ( z 3) 2 9 ( z 3) 2 1
.
z 2 x 1; y 0 M (1; 0; 2)
bo
ok
.c
c a và ( P ) . Tìm đi m M thu c ( P ) sao cho MI vuông góc v i và MI 4 14 .
Gi i
w
.fa
ce
x 2 y 1 z
T a đ đi m I là nghi m c a h : 1
2
1 x y z 1 I (1;1;1)
x y z 3 0
w
w
Cách 1: G i M ( x; y; z ) IM ( x 1; y 1; z 1) . Ta có u (1; 2;1) là vec t ch ph
ng c a
M ( P)
x y z3 0
(1)
Khi đó: MI
x 1 2( y 1) z 1 0 (2)
( x 1)2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 224 (3)
MI 4 14
y 2x 1
T (1),(2)
thay vào (3) ta đ
z 3 x 4
c:
( x 1)2 (2 x 2)2 (3 x 3) 2 224 ( x 1) 2 16 x 5 ho c x 3
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
y 9
y 7
+) V i x 5
+) V i x 3
M (5;9; 11)
M (3; 7;13) .
z 11
z 13
Cách 2: Ta có u (1; 2; 1), n( P ) (1;1;1) l n l
t là vect ch ph
ng c a và vect pháp tuy n c a ( P ) .
ai
H
oc
M (5;9; 11)
MI 2 224 t 2 (2t ) 2 (3t ) 2 224 t 2 16 t 4
M (3; 7;13)
01
IM ( P )
Do
uIM n( P ) , u (1; 2; 3) là vect ch ph ng c a IM
IM
x 1 t
Suy ra ph ng trình IM : y 1 2t M (1 t;1 2t;1 3t ) , khi đó
z 1 3t
nT
hi
D
Nh n xét: Qua ví d trên, ta nh n th y khi g p bài toán tìm đi m vi c đ a v Bài toán 1 s giúp chúng ta s
lí “nh nhàng” h n so v i Bài toán 2 . Vì v y trong m t s bài toán tìm đi m ta nên đ t câu h i, có chuy n
bài toán v Bài toán 1 đ c hay không ? N u đ c hãy u tiên đi theo h ng này.
uO
D NG 1: BÀI TOÁN TÌM I M (Ph n 3)
iL
ie
Bài toán 3. Tìm t a đ đi m M không thu c Bài toán 1 và Bài toán 2.
GI I
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
S
w
.fa
ce
( Ngh a là: Khi đi m M không thu c Bài toán 1 và Bài toán 2 thì ta s u tiên h ng đi 1 b ng cách tr l i câu
h i “li u có chuy n đ c v Bài toán 1 ho c Bài toán 2 ?” . N u câu tr l i là “có” ta s quay v 2 bài toán đ u.
N u không làm đ c đi u này ta s “ch p nh n” đi theo h ng 2 . C th , g i M ( x; y; z ) và c t ngh a đi u ki n
w
w
bài toán đ thi p l p h ph
f1 ( x; y; z ) 0
x x0
ng trình f 2 ( x; y; z ) 0 y y0 M ( x0 ; y0 ; z0 ) ).
f ( x; y; z ) 0
z z
3
0
Ví d minh h a
Ví d 1. Cho b n đi m A(1; 0; 0), B (1;0; 2), C (1;1; 1), D(2;0; 1) .
1) Tìm t a đ đi m M sao cho MA vuông góc v i tr c tung, song song v i m t ph ng ( BCD) và t di n
MABC có th tích b ng 1 .
2) Vi t ph ng trình m t c u ( S ) đi qua b n đi m A, B, C , D .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
ai
H
oc
hi
D
2) G i I ( x; y; z ) là tâm c a m t c u ( S ) đi qua 4 đi m A, B, C , D .
01
BC (0;1;1)
n( BCD ) BC , BD (1;1; 1)
1) Ta có
BD (1;0;1)
MA Oy
Do
uMA n( BCD ) , j (1;0;1) v i j (0;1; 0)
MA / /( BCD)
x 1 t
Suy ra ph ng trình MA : y 0 M (1 t; 0; t ) AM (t ; 0; t )
z t
AB (0;0; 2)
Ta có
AB, AC (2; 0; 0) AB, AC . AM 2t
AC (0;1; 1)
2t
M (4; 0;3)
1
.
VMABC 1 AB, AC . AM 1
1 t 3
6
6
M (2; 0; 3)
nT
Khi đó : IA IB IC ID
Ta
iL
ie
uO
IA2 IB 2
( x 1)2 y 2 z 2 ( x 1) 2 y 2 ( z 2)2
IA2 IC 2 ( x 1)2 y 2 z 2 ( x 1) 2 ( y 1)2 ( z 1)2
IA2 ID 2
( x 1)2 y 2 z 2 ( x 2)2 y 2 ( z 1)2
/g
ng trình m t c u ( S ) : ( x 1)2 y 2 ( z 1)2 1 .
om
V y ph
ro
up
s/
z 1
x 1
y z 1 y 0 I (1; 0; 1) R IA 1
x z 2 z 1
bo
ok
.c
Ví d 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz ,cho các đi m A(1; 0;0), B (0;1; 0), C (0;3; 2) và m t ph ng
( ) : x 2 y 2 0. Tìm to đ c a đi m M bi t r ng M cách đ u các đi m A, B, C và m t ph ng ( ).
Gi i.
.fa
ce
Gi s M ( x; y; z ) . Khi đó t gi thi t ta có: MA MB MC d ( M , ( ))
x 2y 2
5
w
w
( x 1)2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2 x 2 ( y 3)2 ( z 2)2
w
( x 1)2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2
x 2 ( y 1) 2 z 2 x 2 ( y 3)2 ( z 2) 2
2
( x 1)2 y 2 z 2 ( x 2 y 2)
5
Thay vào (3) ta đ
(1)
y x
(2) . T (1) và (2) suy ra
.
z 3 x
(3)
M (1;1; 2)
x 1
c 5(3x 8 x 10) (3 x 2)
23 23 23 14
x
M
;
;
3 3
3
3
2
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
D NG 2: VI T PH
NG TRÌNH
GI I
( Ngh a là:
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
S
NG TH NG
vi t đ
c ph ng trình đ
ng u . C th :
c 2 thông s : T a đ đi m M 0 mà đi qua
bo
ok
.c
và vecto ch ph
ng th ng ta c n có đ
nhánh tìm đi m, n u đ bài cho luôn t a đ đi m M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) thì ta chuy n luôn sang nhánh 2. N u
không cho thì ta s đi tìm đi m M 0 b ng vi c chuy n v bài toán tìm đi m (xem l i bài h c tr c).
nhánh tìm vecto ch ph ng u , ta s d a vào các m i quan h song song, vuông góc, đ ng n m trong
m t đ tìm u . N u // ' thì u u ' (a; b; c) , n u ( ) thì u n( ) (a; b; c ) , n u xu t hi n 2
trong 3 m i quan h “ , //, ( ) ” thì ta s tìm đ c c p vecto pháp tuy n n1 , n2 , khi đó
u n1 , n2 (a, b, c) . N u trong đ bài có t “c t” ho c “giao” thì tr ng h p này ta ph i đi tìm thêm
đi m th hai M v i quy t c “c t đâu tìm đi m đó” b ng vi c quay v nhánh 1. T đây, ta s tìm đ c
u MM 0 (a; b; c) .
Khi có đ 2 thông s M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và u (a; b; c ) ta s vi t đ c ph ng trình đ ng th ng
w
w
w
.fa
ce
x x0 at
x x0 y y0 z z 0
D ng tham s : y y0 bt ho c d ng chính t c:
v i abc 0 . )
a
b
c
z z ct
0
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví d minh h a
Cho hai đi m A(1;1; 2), B(2;0;1) , đ
ng th ng ' :
x 1 y 1 z
và m t ph ng ( ) : x 2 y z 4 0 . Vi t
2
1 3
01
ph ng trình đ ng th ng :
1) i qua A song song v i ' .
2) i qua A và vuông góc v i ( ) .
3) i qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và vuông góc v i m t ph ng (OAB )
4) i qua A vuông góc đ ng th i v i AB và ' .
5) i qua A vuông góc v i ' và c t tr c Ox .
6) N m trong ( ) đ ng th i c t và vuông góc v i ' .
7) Vuông góc v i ( ) , đ ng th i c t c hai đ ng th ng AB và ' .
8) C t ' và ( ) l n l t t i M , N sao cho A là trung đi m c a MN .
9) Song song v i m t ph ng ( ) , c t hai đ ng th ng OA và ' l n l t t i hai đi m P, Q sao cho
1) Do // ' u u ' (2; 1;3) là vect ch ph
ng c a
x 1 y 1 z 2
.
1
2
1
iL
ng trình:
Ta
đi qua A(1;1; 2) nên có ph
ie
uO
nT
x 1 y 1 z 2
M t khác đi qua A(1;1; 2) nên có ph ng trình:
.
2
3
1
2) Do ( ) u n( ) (1; 2; 1) là vect ch ph ng c a
hi
D
ai
H
oc
PQ 4 2 và P có hoành đ nguyên.
10) Là đ ng vuông góc chung c a AB và ' .
Gi i
om
/g
ro
up
s/
OA (1;1; 2)
3) Ta có
n(OAB ) OA, OB (1; 5; 2)
OB (2; 0;1)
Do (OAB) u n(OAB ) (1; 5; 2) là vect ch ph ng c a
.fa
ce
bo
ok
.c
1
1
y
z
x 1
1 1
3
3
Ta có G là tr ng tâm tam giác OAB G 1; ; .Khi đó có ph ng trình:
3
3
1
5
2
AB (1; 1;3)
AB
AB, u ' (0;3;1) . Do
4) Ta có
u AB, u ' (0;3;1) là vect ch ph
'
u ' (2; 1;3)
w
w
w
đi qua A(1;1; 2) nên có ph
ng c a .
x 1
ng trình: y 1 3t
z 2 t
5) G i Ox M M (m;0;0) AM (m 1; 1; 2) . Ta có u ' (2; 1;3) , khi đó:
5
5
' AM .u ' 0 2( m 1) 1 6 0 m M ; 0;0
2
2
7
1
AM ; 1; 2 . 7; 2; 4
2
2
x 1 y 1 z 2
V y đi qua A(1;1; 2) và có vect ch ph ng u (7;2; 4) nên có ph ng trình:
.
7
2
4
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6) G i ' N N (1 2t ; 1 t ;3t ) '
ai
H
oc
hi
D
E (1 t1;1 t1; 2 3t1 ) AB
G i
EF (2t2 t1; t2 t1 2;3t2 3t1 2)
F (1 2t2 ; 1 t2 ;3t2 ) '
Khi đó ( ) EF , n( ) cùng ph ng
01
Do N ( ) N ( ) 1 2t 2( 1 t ) 3t 4 0 t 7 N (13; 6; 21)
'
Ta có u ' (2; 1;3) và n( ) (1; 2; 1) khi đó:
u u ' , n( ) (7;5; 3) là vect ch ph ng c a
( )
x 13 y 6 z 21
.
V y đi qua N ( 13; 6; 21) có vect ch ph ng u (7;5; 3) có ph ng trình:
7
5
3
x 1 t
7) V i A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ra ph ng trình AB : y 1 t
z 2 3t
G i c t AB và ' l n l t t i E , F và ta có n( ) (1; 2; 1)
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
10
t2
3t t 2
2t t t t 2 3t2 3t1 2
23 9 34 27 17 30
7
E ; ; , F ; ;
2 1 2 1
2 1
1
7 7 7
7 7
2
1
7
5t2 4t1 2
t 16
1
7
23
9
34
x
y
z
23 9 34
7
7
7
đi qua E ; ; có vect ch ph ng u n( ) (1; 2; 1) nên có ph ng trình:
7 7
1
2
1
7
ro
up
8) Ta có ' M M (1 2t ; 1 t;3t ) ' . Do A(1;1; 2) là trung đi m c a MN N (1 2t; t 3; 4 3t ) .
/g
M t khác N ( ) 1 2t 2(t 3) 4 3t 4 0 t 3 M (7; 4;9)
x 1 y 1 z 2
6
11
5
x y
z
ng trình OA :
1 1 2
ng trình:
.c
om
Khi đó đi qua A(1;1; 2), M (7; 4;9) nên có ph
bo
ok
9) V i A(1;1; 2), O (0; 0;0) , suy ra ph
w
w
.fa
ce
P (a; a; 2a) OA (a )
G i
PQ (2b a 1; b a 1;3b 2a )
Q (1 2b; 1 b;3b) '
Do // ( ) PQ n( ) PQ.n( ) 0 (2b a 1) 2(b a 1) (3b 2a) 0 (v i n( ) (1; 2; 1) )
b a 3 PQ ( a 5; 2 2a;5a 9)
w
Khi đó PQ 4 2 PQ 2 32 ( a 5) 2 (2a 2) 2 (5a 9) 2 32
13
(lo i)
30a 2 108a 78 0 a 1 ho c a
5
V i a 1 b 2 P (1;1; 2), Q ( 3;1; 6) PQ ( 4; 0; 4) 4.(1; 0;1)
ng th ng đi qua P (1;1; 2) và có vect ch ph
ng u (1;0;1) nên có ph
x 1 t
ng trình: y 1
z 2 t
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x 1 t
10) V i A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy ra ph ng trình AB : y 1 t
z 2 3t
G i I , J l n l t là giao đi m c a v i AB và ' (v i u ' (2; 1;3) )
I (1 m;1 m; 2 3m) AB
G i
IJ (2m n; m n 2;3m 3n 2)
J (1 2n; 1 n;3n) '
Khi đó IJ là đo n vuông góc chung, khi và ch khi:
ie
Ta
s/
/g
ro
up
c y u t đi m và véc t pháp tuy n
GI I
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
S
NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 1)
iL
D NG 3: VI T PH
Cách ra đ 1: C t ngh a đ
9
x 5
1
ng trình : y 3t
5
7
z 5 t
hi
D
nT
ng c a . Suy ra ph
uO
AB
Do
u AB, u ' (0;3;1) là vect ch ph
'
ai
H
oc
01
9 1 7
4
m
I ; ;
IJ . AB 0
(2m n) ( m n 2) 3(3m 3n 2) 0
2m n 0
5 5 5
5
.
0
IJ
u
2(2m n) ( m n 2) (3m 3n 2) 0
12m 11n 8
n 8
J 21 ; 13 ; 24
'
5
5
5 5
( Ngh a là: Khi đ ng tr c m t bài toán yêu c u vi t ph ng trình m t ph ng ( ) ta s đ t ra hai câu h i:
“ Bài toán đã cho đi m và véc t pháp tuy n ch a? N u ch a cho thì tìm b ng cách nào?” . N u câu tr l i cho
câu h i 1 là đã bi t, thì ta ch vi c áp d ng cách vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng đ đ a ra đáp s . N u
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ph i tr l i câu h i 2 thì ta s đi theo s đ trên nh sau:
N u là tìm đi m ta s chuy n v bài toán tìm đi m (các b n xem l i bài h c tr c).
N u mu n khai thác đ c véc t pháp tuy n thì đ bài s cho theo ba h ng gián ti p:
H ng 1: Cho ( ) / /( ) đó ( ) đã bi t ph ng trình khi đó n( ) n( ) (a; b; c ) .
H ng 2: Cho ph ng trình đ ng th ng d và bi t d ( ) , lúc này n( ) ud (a; b; c ) .
H ng 3:
bài cho 2 trong 3 y u t là “m t vuông góc v i m t, đ ng song song v i m t,
đ ng n m trên m t” khi đó ta s tìm đ c c p véc t ch ph ng c a ( ) là u1 , u2 và suy ra đ c
n( ) u1 , u2 (a; b; c) .
Sau khi đã tr l i đ c câu h i 2 thì vi c vi t ph ng trình m t ph ng lúc này s không có gì khó kh n
nh công th c: a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 . )
01
ng trình m t ph ng ( ) đi qua đi m M (1; 2; 0) và
hi
D
Vi t ph
ai
H
oc
Ví d minh h a
1) song song v i m t ph ng ( ) : x y 2 z 7 0 .
ng th ng AB v i A(2; 3;1), B (3; 0; 2) .
nT
2) vuông góc v i đ
x 1 y 1 z
.
2
1 1
ie
ng th ng :
iL
4) song song đ ng th i v i tr c Ox và đ
uO
3) vuông góc v i các m t ph ng ( P ) : x 2 y z 2 0 ; (Q ) : 2 x y z 0 .
Ta
x y 1 z 1
.
2
1
3
6) đi qua đi m N (2; 3;1) , đ ng th i : a) song song v i tr c Oy . b) vuông góc v i m t ph ng xOy .
s/
ng th ng ' :
up
5) và ch a đ
/g
ro
7) đi qua các đi m A(2; 1; 2), B ( 3;1; 1) .
ng th ng d :
x 4 y 1 z 1
2
1
2
.c
om
8) vuông góc v i m t ph ng ( R ) : x y 3 z 1 0 và song song v i đ
bo
ok
Gi i
1) Do ( ) // ( ) nên n( ) n( ) (1; 1;2) là vect pháp tuy n c a ( )
ce
M t khác ( ) đi qua đi m M (1; 2; 0) nên suy ra ph
ng trình ( ) :
w
.fa
x 1 ( y 2) z 0 hay x y z 3 0 (th a mãn song song v i ( ) ).
2) Do AB ( ) n( ) AB (1;3; 3) là vect pháp tuy n c a ( )
w
w
M t khác ( ) đi qua đi m M (1; 2; 0) nên suy ra ph ng trình ( ) : x 1 3( y 2) 3 z 0 hay x 3 y 3 z 5 0 .
3) Vect pháp tuy n c a ( P ), (Q ) l n l t là n( P ) (1; 2;1), n(Q ) (2;1; 1)
2 1 1 1 1 2
( ) ( P)
Do
;
;
n( ) n( P ) , n(Q )
(1;3;5) là vec t pháp tuy n c a ( ) .
( ) (Q)
1 1 1 2 2 1
Suy ra m t ph ng ( ) có ph ng trình: x 1 3( y 2) 5 z 0 hay x 3 y 5 z 5 0 .
4) Ta có i (1;0;0), u (2; 1;1) l n l t là vect ch ph ng c a tr c Ox và đ ng th ng .
Ox / /( ) 0 0 0 1 1 0
Do
n( ) i, u
;
;
(0; 1; 1) là vec t pháp tuy n c a ( ) .
/ /( )
1 1 1 2 2 1
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Suy ra m t ph ng ( ) có ph ng trình: 0( x 1) ( y 2) z 0 hay y z 2 0 .
Ox / /( )
Ki m tra k t qu : Ch n M 1 (1;0; 0) Ox và M 2 (1; 1; 0) . Ta có: M 1 ( ); M 2 ( )
(th a mãn)
/ /( )
V y ph ng trình m t ph ng ( ) là: y z 2 0
5) ' đi qua đi m N (0;1; 1) và có vect ch ph
ng u ' (2;1; 3)
8( x 1) 5( y 2) 7 z 0 hay 8 x 5 y 7 z 2 0 .
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
6) a) Ta có MN (1; 1;1) và j (0;1; 0) là vect ch ph ng c a tr c Oy .
Khi đó ( ) có vect pháp tuy n : n( ) MN , j (1;0;1) nên có ph ng trình :
1.( x 1) z 0 hay x z 1 0 (th a mãn song song v i Oy )
b) Ta có MN (1; 1;1) , k (0; 0;1) là vect pháp tuy n c a m t ph ng xOy
MN ( )
Do
n( ) MN , k (1; 1; 0) là vect pháp tuy n c a ( )
( xOy ) / /( )
Khi đó ( ) có ph ng trình: 1.( x 1) 1.( y 2) 0. z 0 hay x y 1 0 .
01
1 3 3 2 2 1
M ( )
Ta có MN ( 1;3; 1) Do
;
;
n( ) u ' , MN
(8;5; 7)
' ( )
3 1 1 1 1 3
là vec t pháp tuy n c a ( ) . Suy ra m t ph ng ( ) có ph ng trình:
up
s/
7) Ta có MA (1;1; 2) và MB ( 4;3; 1)
ro
1 2 2 1 1 1
c xác đ nh nh sau: n( ) MA, MB
;
;
(5;9; 7)
3 1 1 4 4 3
ng trình m t ph ng ( ) : 5( x 1) 9( y 2) 7 z 0 hay 5 x 9 y 7 z 13 0 .
om
.c
Suy ra ph
/g
Khi đó vect pháp tuy n c a ( ) đ
bo
ok
8) M t ph ng ( R ) có vect pháp tuy n n( R ) (1;1; 3) .
ng th ng d có vect ch ph
ng ud (2;1; 1)
w
.fa
ce
1 3 3 1 1 1
( R) ( )
Do
n( ) n( R ) , ud
;
;
(2; 5; 1)
d / /( )
1 1 1 2 2 1
Suy ra ph ng trình ( ) : 2( x 1) 5( y 2) z 0 hay 2 x 5 y z 12 0 .
w
w
Ki m tra k t qu : Ch n đi m M 0 (4; 1;1) d . Nh n th y M 0 (4; 1;1) ( ) (do 2.4 5.( 1) 1 12 0 )
Suy ra d ( ) (không th a mãn vì theo đ bài d // ( ) )
V y không t n t i m t ph ng ( ) th a mãn đi u ki n bài toán.
Chú ý quan tr ng : Trong các bài toán có y u t song song (nh đ ng th ng song song v i m t ph ng
ho c hai m t ph ng song song v i nhau), khi s d ng tính ch t song song đ tìm ra vect pháp tuy n c a
m t ph ng c n l p, ta m i s d ng đi u ki n c n nh ng ch a đ . Vì v y tr c khi k t lu n ph i có b c
ki m tra l i đi u ki n đ (đi u ki n song song) đ đ a ra đáp s chính xác cho bài toán.
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
D NG 3: VI T PH
Cách ra đ 2: Khai thác đ
NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 2)
c véct pháp tuy n nh ng không có đ
GI I
hi
D
ai
H
oc
01
S
c y u t đi m
ng trình m t ph ng ( ) mà ta ch khai thác đ c y u t véct pháp
tuy n (gi ng nh Cách ra đ 1 ) mà không có đ c y u t đi m. Thì sau khi tìm đ c n( ) (a; b; c) ta s g i
ph ng trình m t ph ng ( ) có d ng: ax by cz m 0 . Tìm cách c t ngh a d ki n bài toán (th ng là y u t
đ nh l ng) đ thi t l p ph ng trình f ( m) 0 , tìm m và suy ra ph ng trình ( ) ).
N u bi t c y u t đi m M 0 mà m t ph ng ( ) đi qua ( đây là Cách ra đ 1 ) ta v n có th đi
iL
CHÚ Ý:
ie
uO
nT
( Ngh a là: Khi bài toán yêu c u vi t ph
up
s/
Ta
theo s đ c a Cách ra đ 2 này. B i B c 2 trong khâu c t ngh a ta s thay t a đ đ đi m M 0 vào
ph ng trình ax by cz m 0 và d dàng tìm đ c m đ có đ c ph ng trình m t ph ng ( ) .
/g
ro
Ví d minh h a
ng trình m t ph ng ( R )
bo
ok
.c
om
Ví d 1. Cho hai m t ph ng ( P ) : x y z 3 0 và (Q ) : x y z 1 0 . Vi t ph
vuông góc v i ( P ) và (Q ) sao cho kho ng cách t (O ) đ n ( R ) b ng 2.
n( P ) (1;1;1) và n( Q ) (1; 1;1) l n l
Gi i
t là vect pháp tuy n c a ( P ) và (Q )
w
w
w
.fa
ce
Do ( R ) vuông góc đ ng th i v i ( P ) và (Q ) nên ( R ) có vect pháp tuy n:
n( R ) n( P ) , n( Q ) (2; 0; 2) 2.(1; 0; 1) . V y ph ng trình ( R ) có d ng: x z m 0
m
Ta có: d (O; ( R )) 2
2 m 2 2 m 2 2
12 12
V y ph
ng trình c a ( R ) : x z 2 2 0 ho c x z 2 2 0 .
Ví d 2. Cho ph
ng trình m t ph ng ( P ) : 2 x y 2 z 10 0 , đ
c u ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 3 0 . Vi t ph
ng th ng :
x 1 y z 2
và m t
1
1
3
ng trình:
1) m t ph ng ( ) vuông góc v i ( P ) , song song và cách m t kho ng b ng
2.
2) ti p di n c a ( S ) và song song v i ( P ) .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
1) Ta có n( P ) (2; 1; 2) , u (1;1; 3) l n l
t là các vect pháp tuy n, ch ph
ng c a ( P ) và .
( ) ( P)
Vì
n( ) n( P ) , u (5; 4;3) là vect pháp tuy n c a ( )
( ) / /
Khi đó m t ph ng ( ) có d ng: 5 x 4 y 3 z m 0 .
m 11
m 1 10
52 4 2 3 2
m 9
V y m t ph ng ( ) có ph ng trình : 5 x 4 y 3z 11 0 ho c 5 x 4 y 3z 9 0 .
2) G i ( ) là ti p di n c a ( S ) . Do ( ) / /( P ) n( ) n( P ) (2; 1;2)
Khi đó m t ph ng ( ) có d ng : 2 x y 2 z m 0 v i m 10
d I , ( ) R
ai
H
oc
V i m t c u ( S ) ta có tâm I (1; 1; 2) và bán kính R 3 ( ) là ti p di n c a ( S )
01
56 m
Ch n M (1;0; 2) d , ( ) d M , ( ) ( vì // ( ) ) 2
2 1 4 m
nT
hi
D
3 m 1 9 m 8 ho c m 10 (lo i)
22 12 22
V y ti p di n c a ( S ) là: 2 x y 2 z 8 0 .
NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 3)
iL
c véct pháp tuy n
Ta
Cách ra đ 3: Không c t ngh a đ
ie
uO
D NG 3: VI T PH
GI I
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
S
Ngh a là: Khi bài toán yêu c u vi t ph ng trình m t ph ng ( ) mà vi c khai thác các d ki n c a bài toán
không giúp ta tìm đ c luôn véct pháp tuy n thì ta s đi theo 4 b c sau:
B c 1: G i d ng ph ng trình m t ph ng ( ) là: ax by cz d 0
( v i a 2 b 2 c 2 0 ). Trong tr ng h p này bài toán th ng cho các y u t đ nh tính qua 4 cách ra đ sau:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1: Bi t t a đ 2 đi m thu c m t ph ng ( ) .
2: Bi t m t ph ng ( ) ch a m t đ ng th ng cho tr c.
3: Bi t ( ) đi qua m t đi m và song song v i m t đ ng th ng.
4: ( ) đi qua m t đi m và vuông góc v i m t m t ph ng.
B c 2: ng v i m i cách ra đ B c 1, giúp ta c t ngh a bài toán và có đ c h hai ph ng trình b n n . T
đây ta s tìm cách rút 2 n theo 2 n còn l i đ thay l i vào ph ng trình ( ) .
B c 3: Nh B c 2 giúp ta có đ c ph ng trình ( ) còn ch a 2 n s . Lúc này ta s c t ngh a nh ng d ki n
còn l i c a bài toán (th ng là các y u t v đ nh l ng) đ đ c m t ph ng trình ch a hai n ( s đ trên ta
có g ( a; b) 0 )
B c 4: T g ( a; b) 0 ( th ng là ph ng trình đ ng c p b c 2) giúp ta tìm m i liên h gi a a, b ( a kb) . Ch n
a, b . Suy ra đ c ph ng trình m t ph ng ( ) .
01
f (a; b; c; d ) 0
c 2 vi c khai thác h 1
đ rút 2 n theo 2 n còn l i
f 2 (a; b; c; d ) 0
(h hai ph ng trình b n n) ta có th “linh ho t” v i s li u c th c a bài toán. Ngh a là bi u th c đ
theo 2 n có th không theo s đ trên ( s đ ta minh h a vi c rút 2 n c, d theo 2 n a, b ).
ai
H
oc
B
nT
Ví d minh h a
uO
x y 1 z 1
và đi m A(1; 2;3) . L p ph
4
3
1
A , song song v i và cách O m t kho ng b ng 1.
Ví d 1. Cho đ
c rút
hi
D
CHÚ Ý:
ng trình m t ph ng ( ) đi qua
Ta
iL
ie
ng th ng :
s/
Gi i
up
G i m t ph ng ( ) có d ng ax by cz d 0 v i a 2 b 2 c 2 0
ro
+) Do A ( ) a 2b 3c d 0 (1)
.c
om
/g
n( ) (a; b; c)
+) Do // ( ) n( ) .u 0 4a 3b c 0 (2) v i
u (4;3;1)
.fa
ce
bo
ok
c 4a 3b
T (1) và (2) suy ra :
, khi đó m t ph ng ( ) vi t l i thành: ax by (4a 3b) z 11a 7b 0
d 11a 7b
11a 7b
Ta có d (O, ( )) 1
1 104a 2 130ab 39b 2 0
2
2
2
a b (4a 3b)
w
w
w
2a b
13(2a b)(4a 3b) 0
4a 3b
+) V i 2a b , ch n a 1, b 2 , suy ra m t ph ng ( ) : x 2 y 2 z 3 0
+) V i 4a 3b , ch n a 3, b 4 , suy ra m t ph ng ( ) : 3x 4 y 5 0
V y ph ng trình m t ph ng ( ) c n l p là : x 2 y 2 z 3 0 ho c 3x 4 y 5 0 .
Ví d 2. Cho t di n ABCD , có A(1; 2;1), B (2;1;3), C (2; 1;1) và D (0;3;1) . Vi t ph
qua A, B sao cho kho ng cách t (C ) đ n ( P ) b ng kho ng cách t D đ n ( P) .
ng trình m t ph ng ( P) đi
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
G i m t ph ng ( P) có d ng: ax by cz d 0 v i a 2 b 2 c 2 0
3a b
c
A ( P)
a 2b c d 0
2
Vì ( P) đi qua A(1; 2;1), B ( 2;1; 3)
B ( P)
2a b 3c d 0
d 5a 5b
2
Khi đó m t ph ng ( P ) đ c vi t l i thành :
3a b
5a 5b
z
0 2ax 2by (3a b) z (5a 5b) 0 ( P )
2
2
2a 6b
2b 2a
a 2b
Ta có: d (C ; ( P )) d ( D; ( P ))
a 3b b a
4a 2 4b 2 (3a b) 2
4a 2 4b 2 (3a b)2
b 0
ai
H
oc
+) V i a 2b ch n a 4; b 2 , suy ra m t ph ng ( P ) : 4 x 2 y 7 z 15 0
+) V i b 0 ch n a 2 , suy ra m t ph ng ( P ) : 2 x 3 z 5 0
01
ax by
iL
ie
uO
nT
hi
D
Nh n xét : V i đi u ki n đ c bi t c a bài toán trên, các b n có th có cách gi i khác là: “kho ng cách t C
đ n (P) b ng kho ng cách t D đ n (P)” (P) song song v i CD ho c (P) đi qua trung đi m c a CD.
Và quay v Cách ra đ 1 (đây c ng là cách gi i c a B Giáo D c – cách gi i này là hay nh t v i s li u
trên). Nh ng n u kho ng cách không b ng nhau ? thì cách này l i không làm đ c. Lúc này ph ng pháp
gi i ví d trên v n phát huy tác d ng.
NG TRÌNH M T PH NG (Ph n 4)
s/
Ta
D NG 3: VI T PH
ng trình m t ph ng theo đo n ch n.
GI I
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
S
ro
up
Cách ra đ 3: S d ng ph
( Ngh a là: Khi m t ph ng ta c n vi t đi qua các đi m đ c bi t thu c các tr c t a đ , lúc này ta có th ngh t i
vi c vi t ph ng trình m t ph ng theo đo n ch n theo 2 b c trên).
Ví d minh h a
Ví d 1. Cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0) . Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A và c t các tr c Ox, Oy l n l
sao cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đ ng th ng AM.
t t i B, C
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
Ta có: AM (1; 2; 3) ph
x t
ng trình AM : y 2t
z 3 3t
G i B (b; 0; 0) Ox, C (0; c;0) Oy . Do G AM G (t; 2t ;3 3t ) (1)
nT
t t i A, B, C sao cho tam giác ABC nh n M là tr ng tâm.
uO
c t tr c Ox, Oy, Oz l n l
ng trình m t ph ng P đi qua M
hi
D
Ví d 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đi m M 1; 2;3 . Vi t ph
ai
H
oc
01
b c
M t khác: G là tr ng tâm tam giác ABC G ; ;1 (2)
3 3
b
2
3 t
t
3
x y z
c
T (1) và (2) 2t b 2 . Suy ra ph ng trình m t ph ng (P): 1 6 x 3 y 4 z 12 0 .
2 4 3
3
c 4
1 3 3t
ie
Gi i
G i A( a; 0; 0) Ox, B (0; b; 0) Oy, C (0; 0; c) Oz
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
x A xB xc 3xM
a 3 A(3; 0;0)
Do M là tr ng tâm tam giác ABC nên ta có: y A yB yc 3 yM b 6 B (0; 6; 0)
c 9 C (0; 0;9)
z A z B zc 3 z M
x y z
Khi đó P đi qua A, B, C nên có ph ng trình: 1 hay 6 x 3 y 2 z 18 0 .
3 6 9
ng trình m t ph ng
ce
bo
ok
.c
Ví d 3. Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hai đi m M 1; 2;1 ; N 1; 0; 1 . Vi t ph
AM
( P ) đi qua M , N c t tr c Ox, Oy theo th t t i A và B (khác O ) sao cho
3.
BN
.fa
Gi s ( P ) c t Ox, Oy, Oz l n l
Gi i
t t i A a;0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c
w
w
w
1 2 1
a b c 1 2
x y z
Nên ( P ) có d ng P : 1 . Vì ( P ) đi qua M , N nên ta có:
2 b 1
a b c
b
1 1 1
a c
a 3
2
M t khác AM 3BN AM 2 3BN 2 a 1 4 1 9
a 1
x y z
3
1
V i a 3 c P : 1 P : x 3 y 4 z 3 0 . V i a 1 0 (lo i)
c
4
3 1 3
4
V y ph
ng trình m t ph ng P c n l p là: x 3 y 4 z 3 0 .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
