ELIP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (875.6 KB, 23 trang )
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
ELIP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
GV: Nguy n Thanh Tùng
I. KI N TH C C
S
ng trình t c c a elip) tr
c tiên
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
gi i quy t t t các l p bài toán liên quan t i Elip (tìm đi m và vi t ph
chúng ta c n n m đ c các ki n th c c b n qua s đ sau:
ce
đó d ki n đi m thu c ( E ) luôn cho ta đ c m t d u “=” đ u tiên. Các d ki n còn
l i s giúp ta tìm ra d u “=” th hai. N u c n, trong m t s bài toán ta có th tham s hóa đi m thu c ( E )
c hai d u “=” mà
w
.fa
đ
bo
ok
D a trên các ki n th c c b n này, k t h p v i các bài toán tr c các b n đã đ c tìm hi u, s giúp ta gi i
quy t d dàng các l p bài toán liên quan t i elip. C th :
+) Khi g p bài toán “Tìm đi m thu c ( E ) th a mãn đi u ki n (*) cho tr c ” thì v c b n ta c n thi t l p
x2 y2
1 M ( a sin t ; b cos t ) .
a2 b2
+) Khi g p bài toán “Vi t ph ng trình chính t c c a elip (E)” c n c t ngh a chính xác d ki n c a bài toán
d a trên các ki n th c c b n liên quan t i elip và tính đ i x ng c a elip (elip nh n hai tr c t a đ làm hai tr c
đ i x ng và g c t a đ làm tâm đ i x ng).
w
w
theo m t n. Ví nh : M ( E ) :
II. CÁC VÍ D M U
Ví d 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , vi t ph
b ng
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng ( E ) có tâm sai
5
và hình ch nh t c s c a ( E ) có chu vi b ng 20 .
3
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Gi i:
G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
Ta có e
c
5
5
c
a
a
3
3
x2 y2
1
a 2 b2
và 2.(2 a 2b ) 20 a b 5 b 5 a (v i 0 a 5 )
2
5
Khi đó ta có: a b c a (5 a )
ho c a 15 (lo i)
a
a2
a
a
3 18 45 0 3
2
2
V i a 3 b 2 . V y ph
2
ng trình chính t c c a elip ( E ) là:
x2 y 2
1
9
4
Ví d 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho elip có ph ng trình
sao cho MF1 4 MF2 , trong đó F1 , F2 l n l
01
2
x2 y 2
1 . Tìm đi m M n m trên elip
25 16
hi
D
t là các tiêu đi m trái, ph i c a elip.
F1 (3; 0)
a 5
x
y
1
c a 2 b2 3
25 16
b 4
F2 (3; 0)
ie
up
s/
c
3
MF1 a a x0 5 5 x0
Cách 1: G i M ( x0 ; y0 ) , suy ra
MF a c x 5 3 x
0
0
2
a
5
uO
2
iL
2
Ta
ng trình Elip ( E ) :
nT
Gi i:
T ph
ai
H
oc
2
om
52 y02
1 y0 0
25 16
.c
Do đó M (5; y0 ) ( E )
/g
ro
3
3
Khi đó MF1 4 MF2 5 x0 4 5 x0 x0 5
5
5
.fa
ce
bo
ok
V y M (5; 0)
Cách 2:
w
w
w
x02 y02
x02 y02
M
E
(
)
1
1 (1)
G i M ( x0 ; y0 ) , khi đó
25 16
25 16
2
MF2 4
( x 3)2 y 2 4
y 2 x 2 6 x 5 (2)
0
0
0
0
0
x0 5 y0 0
x 2 x 2 6 x0 5
2
Thay (2) vào (1) ta đ c : 0 0
.
1 3x0 50 x0 175 0
x0 35 y02 640 0
25
16
3
9
V y M (5; 0)
x2
2 2
y 2 1 đi m M ; . Vi t ph
4
3 3
ng th ng qua M c t E t i hai đi m A, B sao cho MA 2MB .
Ví d 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
đ
ng trình
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Gi i:
x02
y02 1 x02 4 y02 4 0 (1)
4
+) Do M n m trong ( E ) nên t MA 2 MB
+) G i B ( x0 ; y0 ) ( E )
(2 2 x0 ) 2
+) Mà A ( E )
(2 2 y0 )2 1 x02 4 y02 2 x0 8 y0 4 0 (2)
4
ie
uO
8 3
V i B (0;1) : x 2 y 2 0 ; V i B ; : x 14 y 10 0
5 5
V y x 2 y 2 0 ho c x 14 y 10 0 .
nT
+) T (1) và (2) ta đ
hi
D
ai
H
oc
B (0;1)
x0 0; y0 1
x02 4 y02 4 0
ch : 2
8 3
8
3
2
B ;
x0 ; y0
x0 4 y0 2 x0 8 y0 4 0
5
5 5 5
01
2
2
x A 2 x0
x A 2 2 x0
3
3
MA 2 MB
A(2 2 x0 ; 2 2 y0 )
y A 2 2 y0
y 2 2 y 2
0
A 3
3
x2 y 2
ng th ng : x 2 y 0 c t ( E ) t i
1 .
8
4
hai đi m B, C . Tìm t a đ đi m A trên ( E ) sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t
Gi i:
+) Do ( E ) B; C nên B, C c đ nh hay đ dài BC không đ i
ro
up
s/
Ta
iL
Ví d 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
/g
Suy ra di n tích ABC l n nh t khi kho ng cách h d ( A, ) l n nh t
x 2 2 sin t
ng trình tham s c a ( E ) :
nên g i A 2 2 sin t; 2 cos t
y 2 cos t
om
2 2 sin t 2 2 cos t
ce
Khi đó h d ( A, )
bo
ok
.c
+) Ph
3
2 2 sin t cos t
3
4sin t
4
4
3
3
w
w
w
.fa
3
sin t 4 1
t 4 k 2
D u“ =” x y ra khi: sin t 1
( k )
4
sin t 1 t 4 k 2
4
3
+) V i t
+) V i t k 2 A 2; 2
k 2 A 2; 2
4
4
V y A 2; 2 ho c A 2; 2 .
Nh n xét : Ngoài cách đ ( E ) d
i d ng chính t c
x2 y2
1 , trong nhi u bài toán các b n có th chuy n
a2 b2
x a sin t
nó v d ng tham s sau :
đ vi c tham s hóa đi m thu c elip đ
y b cos t
c d dàng h n.
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
III. BÀI T P T
LUY N
Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , vi t ph
đ
ng trình chính t c c a elip ( E ) có tâm sai b ng
3
và đ dài
3
ng chéo hình ch nh t c s b ng 2 5 .
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
Tâm sai e
c
3
a2
.
c2
a
3
3
(2a ) 2 (2b) 2 2 5 a 2 b 2 5 b 2 5 a 2
01
ng chéo hình ch nh t
ai
H
oc
dài đ
x2 y2
1 v i a b 0
a2 b2
a2
a2 3 b2 2
3
x2 y 2
V y trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
1
3
2
nT
hi
D
+) Khi đó a 2 b 2 c 2 a 2 5 a 2
x2 y 2
1 và M (1; 1) . M t đ
8
4
th ng d đi qua M c t ( E ) t i A, B sao cho MA.MB l n nh t. Tìm t a đ A, B .
Gi i:
+) M (1; 1) thu c mi n trong c a ( E ) nên d luôn c t ( E ) t i A, B
ng trình
ng
s/
Ta
iL
ie
uO
Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có ph
up
x 1 mt
ng th ng d có d ng:
v i t , m 2 n 2 0 .
y
1
nt
+) G i A(1 mt1 ; 1 nt1 ), B(1 mt2 ; 1 nt2 ) . Trong đó t1 , t2 là nghi m c a ph ng trình:
ng trình đ
om
/g
ro
G i ph
w
.fa
ce
bo
ok
.c
(1 mt )2 (1 nt )2
1 m 2 2n 2 t 2 2(m 2n)t 5 0
8
4
5
Theo h th c Vi – et ta có: t1t2 2
a 2b 2
5(m 2 n 2 )
2
2
2
2
+) Khi đó MA.MB mt1 nt1 . mt2 nt2 m 2 n 2 t1t 2 2
m 2n2
5
m2
2 2
m n2
w
w
m2
m2
,
do
đó
l
n
nh
t
khi
và
ch
khi
1
MA
.
MB
1 n 0
m2 n2
m2 n2
ng th ng d có d ng : y 1 , suy ra t a đ giao đi m A, B c a d và ( E ) là nghi m c a h :
M t khác 0
Khi đó đ
x2 y2
A 6; 1
A 6; 1
1 x2 6
x 6
ho
c
.
4
8
y
1
y
1
y 1
B 6; 1
B 6; 1
A 6; 1
A 6; 1
V y
ho c
.
B 6; 1
B 6; 1
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy . L p ph
ng trình chính t c c a elip trong m t ph ng Oxy bi t đi m
8 1
M ;
thu c elíp và tam giác F1MF2 vuông t i M , trong đó F1 , F2 là hai tiêu đi m c a elíp.
3 3
Gi i:
+) G i ph
x2 y2
2 1 v i a b 0 và a 2 b 2 c 2
2
a
b
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
2
01
8 1
8
1
Khi đó M ;
( E ) 2 2 1 a 2 8b 2 3a 2 b 2 (1)
3 3
3a 3b
+) V i F1 (c; 0), F2 (c;0) , khi đó tam giác F1 MF2 vuông t i M nên ta suy ra:
2
2
1 2
Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Vi t ph
x2
y2 1
4
uO
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng elip ( E ) có hai tiêu
ie
V y ph
c: b 2 3 8b 2 3 b 2 3 b2 b 4 1 b 2 1 a 2 4
hi
D
+) Thay (2) vào (1) ta đ
nT
2
2
ai
H
oc
8 1
8 1
2
2
2
2
2
2
MF MF F F c
c
4c c 3 a b c b 3 (2)
3
3
3
3
2
1
Ta
iL
đi m F1 và F2 v i F1 3; 0 và có m t đi m M thu c ( E ) sao cho tam giác F1MF2 vuông t i M và có di n
s/
tích b ng 1 .
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
/g
ro
+) G i ph
up
Gi i:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
om
V i F1 3; 0 , suy ra c 3 a 2 b 2 c 2 3 hay a 2 b 2 3 (1)
MF1 3 x0 ; y0
+) G i M ( x0 ; y0 )
MF2 3 x0 ; y0
Khi đó F
MF 900 MF .MF 0 x 2 3 y 2 0 x 2 y 2 3
2
0
0
0
0
1
1
1
8
d (M , Ox).F1 F2 y0 .2 3 3 y0 1 y02 x02
2
2
3
3
w
Ta có S F1MF2
1
.fa
2
w
1
ce
bo
ok
.c
8
1
x02 y02
2 1 2 2 1 (2)
2
a
b
3a 3b
8
1
c:
2 1 3b 4 3 b 1 (do b 0 ) a 2 4
2
3(b 3) 3b
w
+) M t khác M ( x0 ; y0 ) ( E )
Thay (1) vào (2) ta đ
V y ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
Bài 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Vi t ph
x2
y2 1
4
3
ng trình chính t c c a elíp đi qua đi m M 1;
và tiêu đi m
2
c a elip nhìn tr c nh v i m t góc 600 .
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Gi i:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
G i F1 (c; 0) là tiêu đi m c a ( E ) và B1 (0; b), B2 (0; b) là hai đ nh thu c tr c nh c a ( E )
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
0
+) Do F1 B1 B2 cân t i F1 và B
1 F1 B2 60 , suy ra F1 B1 B2 đ u
Khi đó F1 B1 B1 B2 F1 B12 B1 B22 c 2 b 2 (2b) 2 c 2 3b 2 a 2 b 2 c 2 4b 2 (1)
ai
H
oc
01
3
1
3
+) V i M 1;
( E ) 2 2 1 (2)
2
a
4b
1
3
Thay (1) vào (2) ta đ c :
2 1 b2 1 a 2 4
2
4b 4b
x2
V y ph ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
y2 1
4
hi
D
x2 y2
1. Gi s F1 , F2 là hai tiêu đi m
8
4
c a elip, trong đó F1 có hoành đ âm. Tìm t a đ đi m M trên ( E ) sao cho MF1 MF2 2 .
ng trình
ie
iL
Ta
up
s/
+) ( E ) có ph
Gi i:
a 2 2
x2 y2
ng trình
1 b 2
8
4
2
2
c a b 2
uO
nT
Bài 6. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có ph
om
/g
ro
2 x0
cx0
MF1 a a 2 2 2 2
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF1 MF2 2 x0
MF a cx0 2 2 2 x0
2
a
2 2
bo
ok
.c
+) Khi đó MF1 MF2 2 2 x0 2 x0 2
2; 3 ho c M
.fa
2; 3 .
w
V y M
ce
y 3
x2
2
+) V i x0 2 y02 4 1 0 4 1 3 0
8
8
y0 3
w
w
Bài 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip có ph
ng trình
x2 y 2
1 . Tìm đi m M thu c elip sao cho
25 9
舞
góc F1MF2 900 v i F1 , F2 là hai tiêu đi m c a elip.
Gi i:
a 5; b 3
x2 y 2
+) Elip ( E ) :
1
2
2
25 9
c a b 4
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
4
4
c
c
MF1 a a x0 5 5 x0 ; MF2 a a x0 5 5 x0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E ) 2
v i x0 0
2
x0 y0 1 (*)
25 9
2
2
4
4
5 14
2
2
2
0
Do F
x0 5 x0 64 8 x02 175 x0
1MF2 90 nên suy ra : MF1 MF2 F1 F2 5
5
5
4
+) Thay x0
5 14
vào (*) ta đ
4
c:
7 y02
9
3 2
1 y02 y0
8 9
8
4
ng chu n x
a
a2
a2
8 a 2 8c
e
c
c
x2 y 2
1.
32 16
s/
ng trình chính t c c a elip là:
up
+) Suy ra ph
Ta
iL
a 2 32
+) Khi đó: a 2 b 2 c 2 8c c 2 c 2 c 4 0
b 4
uO
ng trình đ
ie
nên ta có b c . Elip có ph
nT
hi
D
ai
H
oc
01
5 14 3 2
5 14 3 2
5 14 3 2
5 14 3 2
V y M
, M
, M
;
;
;
,M
;
.
4
4
4
4
4
4
4
4
Bài 8. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Vi t ph ng trình chính t c c a elip, bi t hai tiêu đi m cùng v i hai đ nh
trên tr c bé xác đ nh m t hình vuông và ph ng trình hai đ ng chu n là x 8 .
Gi i:
+) Ta có hai tiêu đi m F1 (c; 0), F2 (c;0) và hai đ nh B1 (0; b), B2 (0; b) thu c tr c nh xác đ nh m t hình vuông
x2 y2
1 có hai tiêu đi m F1 , F2 . Tìm t a đ đi m M
25 9
4
ng tròn n i ti p tam giác MF1 F2 b ng .
3
Gi i:
om
bo
ok
.c
thu c ( E ) sao cho bán kính đ
/g
ro
Bài 9. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
w
w
w
.fa
ce
a 5
x2 y 2
MF1 MF2 F1 F2 2a 2c
+) T ( E ) :
1 b 3
pMF1F2
ac 9
25 9
2
2
2
2
c a b 4
4
+) Suy ra di n tích tam giác MF1 F2 là: S MF1 F2 pr 9. 12
3
S MF1F2 12
1
1
+) M t khác ta có: S MF1 F2 .d ( M , Ox ).F1F2 . yM .2c 4 yM yM
3
2
2
4
4
M (0;3)
xM2 9
+) Vì M ( xM ; yM ) ( E )
1 xM 0
25 9
M (0; 3)
V y M (0;3) ho c M (0; 3) .
Bài 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Vi t ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng khi đi m M thay đ i
trên ( E ) thì đ dài nh nh t c a OM b ng 4 và đ dài l n nh t c a MF1 b ng 8 , v i F1 là tiêu đi m có
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
hoành đ âm.
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
a x0 a
G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
cx0 a c MF1 a c
MF
a
1
a
Suy ra đ dài MF1 l n nh t b ng : a c 8 (1)
hi
D
nT
x2 y2
1 . Vi t ph
8
2
hai đi m phân bi t có t a đ là các s nguyên.
ng trình đ
ng th ng d c t ( E ) t i
up
Gi i:
2
0
ie
Bài 11. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
uO
x2 y 2
1.
25 16
iL
ng trình elip ( E ) c n l p là:
Ta
V y ph
a a 2 16 8
a c 8
a 5
c:
b 4
b 4
b 4
s/
T (1) và (2) ta đ
ai
H
oc
01
x02 x02
a
b
2
2
x02 y02 x02 y02 x02 y02 OM 2
a
b
+) L i có: M ( x0 ; y0 ) ( E ) 2
2 OM b
1
2
a 2 b2 b2 b2
b2
b
x0 y0 1
a 2 b 2
Suy ra đ dài nh nh t c a OM b ng b 4 (2)
2
0
c: x0 2 2 (lo i)
.c
+) V i y0 0 thay vào (*) ta đ
om
/g
ro
x
y
1 (*) y02 2 y0 1;0;1 (vì y0 )
8
2
+) V i y0 1 thay vào (*) ta đ c: x0 2 (th a mãn)
G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
bo
ok
Suy ra 4 đi m có t a đ nguyên trên ( E ) là: M 1 (2;1), M 2 (2; 1), M 3 (2;1), M 4 (2; 1)
w
w
w
.fa
ce
Khi đó ta s l p đ c 6 ph ng trình đ ng th ng d th a mãn yêu c u đ bài là:
x 2; x 2; y 1; y 1; x 2 y 0; x 2 y 0 .
Nh n xét:
ví d trên n u ta ti p c n theo cách thông th ng là gi s d ng ph ng trình c a d r i tìm
giao đi m, sau đó s d ng đi u ki n t a đ nguyên thì chúng ta s g p khó kh n. Song n u ta làm theo chi u
ngh ch thì bài toán s tr nên “nh nhàng” h n r t nhi u. B i nh ng bài toán liên quan t i elip (hay c
đ ng tròn) ta hoàn toàn có th ch n đi u ki n cho x, y khá đ n gi n. Vì v y vi c yêu c u t a đ nguyên c a
bài toán, giúp ta ngh t i ngay gi i pháp trên.
x2
Bài 12. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) : y 2 1 . Tìm t a đ đi m M trên ( E ) sao cho bán
9
kính qua tiêu c a tiêu đi m này b ng 3 l n bán kính qua tiêu c a tiêu đi m kia.
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
a 3
x2
c 2 2
+) T ( E ) : y 2 1 b 1
e
9
3
a
2
2
c a b 2 2
MF a ex0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E ) 1
MF2 a ex0
MF 3MF2
MF1 3MF2 0
T gi thi t ta có: 1
MF1 3MF2 MF2 3MF1 0
MF2 3MF1
MF2 3MF1 0
10 MF1.MF2 3 MF12 MF22 0 16MF1.MF2 3 MF1 MF2 0
16 a ex0 . a ex0 3. 2a 0 16( a 2 e 2 x02 ) 12a 2
01
2
+) M t khác M ( E ) y02 1
81
9 2
x0
32
8
hi
D
2 2
4.
3
2
nT
32
x02 23
46
y0
9 32
8
uO
a2
x 2
4e
2
0
ai
H
oc
2
up
s/
Ta
iL
ie
9 2 46
9 2
9 2 46
9 2
46
46
V y M
ho c M
ho c M
ho c M
;
;
;
;
8
8
8
8
8
8
8
8
A 0
Nh n xét: Trong gi i toán ta bi t A.B 0
, và ta th ng ch quen v i chi u bi n đ i thu n. Nh ng
B 0
c l i s giúp gi i bài toán ng n g n h n r t nhi u, mà ví
om
/g
ro
trong nhi u tr ng h p, vi c bi n đ i theo chi u ng
d trên là m t đi n hình.
ng chu n c a ( E ) là 6. L p ph
bo
ok
gi a hai đ
.c
Bài 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m M 3;1 , đ
ng elip ( E ) đi qua đi m M và kho ng cách
ng trình chính t c c a ( E ) .
Gi i:
w
w
w
.fa
ce
x2 y2
+) G i ph ng trình chính t c c a elip ( E ) là: 2 2 1 v i a b 0
a
b
a
a
+) Elip ( E ) có hai ph ng trình đ ng chu n là x và x
e
e
Do đó kho ng cách gi a hai đ ng chu n là:
a 2a 2
9a 2 a 4
2
4
2
2
2
2
(1)
2
6 a 3c a 9c 9(a b ) b
e
c
9
3 1
+) M t khác M 3;1 ( E ) 2 2 1 (2)
a b
Thay (1) vào (2) và rút g n ta đ c: a 4 12a 2 36 0 a 2 6 b 2 2
V y ph
ng trình ( E ) c n l p là:
x2 y 2
1
6
2
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Bài 14. Trong m t ph ng t a đ Oxy . L p ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng có m t đ nh và hai
tiêu đi m c a ( E ) t o thành m t tam giác đ u và chu vi hình ch nh t c s c a ( E ) là 12 2 3 .
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
x2 y2
1 v i a b 0
a2 b2
Ta có chu vi hình ch nh t c s : 4(a b) 12 2 3 a b 3 2 3
(1)
+) Không m t tính t ng quát gi s đ nh B (0; b) và hai tiêu đi m F1 (c; 0), F2 (c;0) t o thành tam giác đ u
b2
Do BF1 F2 luôn cân t i B , nên BF1 F2 đ u khi BF1 F1F2 BF F1 F2 c b 4c c
3
2
x2 y 2
1
36 27
hi
D
iL
ie
Bài 15. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có hai tiêu đi m F1 3;0 , F2
3; 0 và đi qua đi m
s/
Ta
ng trình chính t c c a ( E ) và v i m i đi m M thu c ( E ) , hãy tính giá tr bi u th c
up
P MF12 MF22 3OM 2 MF1 .MF2
/g
ro
Gi i:
bo
ok
( E ) có hai tiêu đi m F1 3;0 , F2
om
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
.c
+) G i ph
2
nT
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
1
A 3; . L p ph
2
2
2 3
b b 3 2 3 3b 2 3 9 2 3 b 3 3 a 6
3
uO
+) V y ph
c:
2
ai
H
oc
4
2 3
+) Khi đó a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 a
b (2) (do a, b 0 )
3
3
Thay (2) vào (1) ta đ
2
01
2
1
x2 y2
1 v i a b 0
a2 b2
3; 0 , suy ra c 3
ce
+) Khi đó a 2 b 2 c 2 3 a 2 b 2 3 ( E ) :
x2
y2
1
b2 3 b2
ng trình chính t c c a ( E ) là :
w
V y ph
w
w
.fa
1
3
1
+) V i A 3; ( E ) 2
2 1 4b 4 b 2 3 0 (4b 2 3)(b2 1) 0 b 2 1 a 2 4
2
b 3 4b
x2
y2 1 .
4
c
c
MF1 a a x0 ; MF2 a a x0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
2
OM 2 x 2 y 2 ; x0 y 2 1
0
0
0
4
2
2
c
c
c
c
Khi đó P a x0 a x0 3 x02 y02 a x0 a x0
a
a
a
a
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
a2
x02
3c 2 2
9 2
2
2
2
2
2
x
x
y
x
x
y
3
4
3
4
3
y0 4 3 1
0
0
0
0
0
0
2
a
4
4
V y P 1 .
Bài 16. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có ph
ng trình
x2 y 2
1 v i hai tiêu đi m F1 , F2
9
5
舞
(hoành đ c a F1 âm). Tìm t a đ đi m M thu c elip sao cho MF1 F2 = 60 0
2
F1 (2;0)
x2 y 2
a 9
1 , suy ra 2
c a 2 b2 2
9
5
b 5
F2 (2;0)
c
c
2
2
MF1 a a x0 3 3 x0 ; MF2 a a x0 3 3 x0
+) M ( x0 ; y0 ) ( E ) 2
2
x0 y0 1 (*)
9
5
Ta có MF 2 MF 2 F F 2 2MF .F F .cos MF
F
1
1 2
1
2
1 2
1 2
nT
2
ai
H
oc
ng trình
hi
D
+) ( E ) có ph
01
Gi i:
2
3 5 5
3 5 5
75
5 5
. V y M ;
ho c M ;
y0
.
4 4
4
16
4
4
iL
c: y02
Ta
3
vào (*) ta đ
4
s/
+) Thay x0
ie
uO
2
2
2
3
3 x0 3 x0 42 2. 3 x0 .4.cos 60 0 4 x0 3 x0
3
3
3
4
Oxy , cho đ
ng tròn (C ) : x 2 y 2 8 . Vi t ph ng trình chính
t c elip ( E ) , bi t r ng ( E ) có đ dài tr c l n b ng 8 và ( E ) c t (C ) t i b n đi m t o thành b n đ nh c a m t
hình vuông.
om
/g
ro
up
Bài 17 (A – 2012). Trong m t ph ng t a đ
w
.fa
ce
bo
ok
.c
Gi i:
w
x2 y2
1
a 2 b2
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
w
G i ph
+) (E) có đ dài tr c l n b ng 8 2a 8 a 4
+) (E) c t (C ) t i b n đi m phân bi t t o thành b n đ nh c a m t hình vuông nên 4 đ nh n m trên hai đ
phân giác thu c góc ph n t th nh t và th hai .
Ta gi s A là m t giao đi m c a (E) và (C ) thu c đ
ng
ng phân giác : y x .
+) G i A(t ; t ) ( t 0 ). Ta có: A (C ) t t 8 t 2 (vì t 0 ) A(2; 2)
2
+) Mà A ( E )
2
22 22
16
.
2 1 b2
2
4 b
3
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
x2 y 2
1
16 16
3
Bài 18 (B – 2012). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC 2 BD và đ
V y ph
ng trình chính t c c a elip (E) là:
v i các c nh c a hình thoi có ph
ng trình x 2 y 2 4 . Vi t ph
ng tròn ti p xúc
ng trình chính t c c a elip ( E ) đi qua các
ai
H
oc
01
đ nh A, B, C , D c a hình thoi. Bi t A thu c tr c Ox .
Gi i:
x2 y2
1 ( v i a b 0 )
a 2 b2
Vì (E) đi qua các đ nh A, B, C, D và A Ox nên không m t tính t ng quát gi s : A( a; 0) và B (0; b) .
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD 2OA 4OB OA 2OB
a 2b (vì a b 0 ) hay A(2b;0) và B (0; b )
G i H là hình chi u c a O lên AB
hi
D
ng trình chính t c c a elip ( E ) :
up
ng trình chính t c c a elip ( E ) là:
om
V y ph
1
1
1
1
1
1
hay 2 2 b 2 5 a 2 4b 2 20
2
2
2
OH
OA OB
4 4b b
ro
Xét tam giác OAB ta có:
s/
Ta
ng tròn x 2 y 2 4 ti p xúc v i các c nh c a hình thoi)
Bài 19. Trong m t ph ng t a đ Oxy . L p ph
.c
x2 y 2
1
20 5
/g
OH R 2 ( vì đ
iL
ie
uO
nT
G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có tâm sai b ng
3
, bi t di n
5
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
tích c a t giác t o b i các tiêu đi m và các đ nh trên tr c bé c a ( E ) b ng 24.
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
Ta có tâm sai e
x2 y2
1 v i a b 0 và a 2 b 2 c 2
a 2 b2
c 3
5
a c
a 5
3
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
+) G i F1 (c; 0), F2 (c;0) là các tiêu đi m và B1 (0; b), B2 (0; b) là các đ nh trên tr c bé.
Suy ra F1 B2 F2 B1 là hình thoi , khi đó: S F1B2 F2 B1
2
1
1
12
F1 F2 .B1 B2 .2c.2b 2bc 24 bc 12 b
2
2
c
2
5
12
Khi đó a 2 b 2 c 2 c c 2 25c 4 1296 9c 4 c 4 81 c 3 (do c 0 )
3 c
Suy ra a 5; b 4 . V y ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
x2 y 2
1
25 16
4
, đ ng tròn ngo i ti p hình ch nh t c
5
ng trình chính t c c a elip và tìm t a đ đi m M thu c
ng trình x 2 y 2 34 . Vi t ph
( E ) sao cho M nhìn hai tiêu đi m c a ( E ) d
i m t góc vuông và M có hoành đ d
ng.
ai
H
oc
s c a elip có ph
01
Bài 20. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có tâm sai e
Ta có tâm sai e
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
ng tròn ngo i ti p hình ch nh t c s có bán kính R 34 a 2 b 2 34 b 2 34 a 2
ce
Vì đ
c 4
4
c a
a 5
5
.c
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
bo
ok
+) G i ph
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
Gi i:
2
w
w
.fa
4
Khi đó a 2 b 2 c 2 a 2 34 a 2 a a 2 25 a 5; b 3; c 4 .
5
x2 y 2
1
25 9
Bài 21. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) : 4 x 2 9 y 2 36 có hai tiêu đi m F1 và F2 v i F1 có hoành
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
w
V y ph
đ âm. Tìm t a đ đi m M thu c ( E ) sao cho MF12 2MF22 đ t giá tr nh nh t. Tìm giá tr nh nh t đó.
Gi i:
+) Ta có ( E ) : 4 x 2 9 y 2 36
x2 y2
1 , suy ra
9
4
a 3; b 2
c
5
e
2
2
3
a
c a b 5
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
MF1 a ex0 ; MF2 a ex0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E ) x 2 y 2
v i 3 x0 3
0
0
1 (*)
4
9
5
6
81
2
2
Khi đó P MF12 2MF22 a ex0 2 a ex0 3a 2 2aex0 3e 2 x02 x02
x0
3
5
5
6
81
+) Xét hàm f ( x0 ) x02
v i x0 3;3
x0
5
5
6
3
; f '( x0 ) 0 x0
3;3
5
5
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Ta có f '( x0 ) 2 x0
3
108
5
min P f ( x0 ) 36 khi x0
5
3
x0 [ 3;3]
5
3
16
4
+) Thay x0
vào (*) ta đ c: y02 y0
5
5
5
Ta
iL
ie
uO
T b ng bi n thiên suy ra min f ( x0 )
up
s/
4
3 4
3
V y MF12 2MF22 đ t giá tr nh nh t khi M
;
;
ho c M
.
5
5 5
5
x2 y 2
1 và đi m I (1; 2) . L p ph ng trình đ
16 9
th ng d đi qua I , c t ( E ) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho I là trung đi m c a AB .
Gi i:
+) I (1; 2) thu c mi n trong c a ( E ) nên d luôn c t ( E ) t i A, B
ng
bo
ok
.c
om
/g
ro
Bài 22. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
x 1 mt
ng th ng d có d ng:
v i t , m 2 n 2 0 .
y 2 nt
+) G i A(1 mt1 ; 2 nt1 ), B(1 mt2 ; 2 nt2 ) . Trong đó t1 , t2 là nghi m c a ph ng trình:
ng trình đ
.fa
ce
G i ph
w
w
w
(1 mt )2 (2 nt ) 2
1 9m 2 16n 2 t 2 2(9m 32n)t 71 0
16
9
2(9m 32n)
Theo h th c Vi – et ta có: t1 t2
9m 2 16n2
x x 2 xI
2 m(t1 t2 ) 2
+) I là trung đi m c a AB khi A B
y A yB 2 yI
4 n(t1 t2 ) 4
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
2m(9m 32n)
9m 2 16n 2 0
m(t1 t2 ) 0
9m 32n 0 (do m2 n 2 0 )
n(t1 t2 ) 0
2n(9m 32n) 0
9m 2 16n 2
m 32
V i 9m 32n 0 9m 32n , ta ch n
n 9
x 1 32t
Suy ra ph ng trình d :
hay 9 x 32 y 73 0
y 2 9t
01
x2
y 2 1 . Tìm t a đ các đi m B, C
9
ai
H
oc
Bài 23. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m A(3; 0) và elip ( E ) :
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
thu c ( E ) sao cho tam giác ABC vuông cân t i A .
Gi i:
s/
+) Ta có B, C thu c ( E ) và tam giác ABC vuông cân t i A . M t khác A(3; 0) Ox và elip ( E ) nh n Ox, Oy
.c
om
/g
ro
up
B (m; n)
làm các tr c đ i x ng nên B, C s đ i x ng nhau qua tr c Ox . Do đó g i
v i n0
C
(
m
;
n
)
2
m
m2
2
AB (m 3; n)
B, C ( E )
n
1
n2 1
+) Suy ra
, khi đó
9
9
AB.AC 0
AC (m 3; n)
(m 3)2 n2 0
n 2 (m 3) 2
.fa
ce
bo
ok
m 3
m2
2
2
Suy ra
(m 3) 1 5m 27 m 36 0
12
m
9
5
+) V i m 3 n 0 (lo i)
w
w
w
12 3
12 3
B 5 ; 5
B 5 ; 5
12
3
+) V i m n , suy ra
ho c
5
5
C 12 ; 3
C 12 ; 3
5
5 5
5
x2
y 2 1 . Tìm t a đ các đi m B, C
9
thu c ( E ) sao cho tam giác ABC vuông cân t i A , bi t đi m B có tung đ d ng.
Bài 24. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m A(3; 0) và elip ( E ) :
Gi i:
+) Do A(0;3) ( E ) ; B , C ( E ) và ABC cân t i A nên B, C đ i x ng nhau qua tr c hoành Ox
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
x02
Khi đó g i B ( x0 ; y0 ) C ( x0 ; y0 ) và
y02 1 v i x0 3
9
+) Ta giác ABC vuông cân t i A nên:
1
1 2
12
9
3
(do x0 3 ) y02
AH BC 3 x0 .
9 x02 x0
y0
2
2 3
5
25
5
12 3
12 3
+) Do B có tung đ d ng nên ta có: B ; và C ; .
5
5 5
5
x2 y 2
1. Tìm đi m M có hoành đ d
25 9
ai
H
oc
Bài 25. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho ( E ) :
Gi i:
a 5
x
y
1
c a 2 b2 4 .
25 9
b 3
ie
ro
up
s/
Ta
x02 y02
1
25
9
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF 5 4 x ; MF 5 4 x
0
2
0
1
5
5
Vì tam giác F1MF2 vuông t i M nên :
uO
nT
2
iL
+) ( E ) :
ng thu c ( E ) sao
hi
D
0
cho F
1MF2 90 , trong đó F1 , F2 là các tiêu đi m.
2
01
2
9 x02
BC 2 y0
G i H là trung đi m c a BC H ( x0 ; 0)
3
AH 3 x0 3 x0
2
2
4
4
175
81
MF MF F F 5 x0 5 x0 64 x02
y02
5
5
16
16
2
1 2
/g
2
2
om
2
1
5 7 9
5 7 9
c: M
ho c M
.
;
4 4
4 ; 4
4
Bài 26. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có tâm sai e , đ ng tròn ngo i ti p hình ch nh t c
5
2
2
s c a elip có ph ng trình x y 34 . Vi t ph ng trình chính t c c a elip và tìm t a đ đi m M thu c elip
ng nên ta đ
.fa
ce
bo
ok
.c
+) Do M có hoành đ d
+) G i ph
+) Vì đ
w
w
w
( E ) sao cho M nhìn hai tiêu đi m d
i m t góc vuông và M có hoành đ d
Gi i:
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
ng.
x2 y2
1 v i a b 1
a2 b2
ng tròn ngo i ti p hình ch nh t c s có bán kính R 34 nên a 2 b 2 34
c
a2 b2 4
2
2
2
a 5
e
25(a b) 16a
Khi đó ta có h :
c4
5 2 2
a
a
b 3
a 2 b 2 34
a b 34
V y ph
x2 y 2
ng trình chính t c c a elip ( E ) là:
1
25 9
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
x02 y02
1
25
9
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF 5 4 x ; MF 5 4 x
0
2
0
1
5
5
Vì tam giác F1MF2 vuông t i M nên :
2
MF MF F1 F
2
1
2
2
2
2
2
4
4
175
81
5 x0 5 x0 64 x02
y02
5
5
16
16
ng nên ta đ
5 7 9
5 7 9
c: M
ho c M
.
;
4 4
4 ; 4
01
+) Do M có hoành đ d
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
x2 y 2
Bài 27. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng th ng d : 3 x y 4 0 và elip ( E ) :
1 . Vi t
9
4
ph ng trình đ ng th ng vuông góc v i d và c t ( E ) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác OAB
b ng 3.
Gi i:
+)
ng th ng vuông góc v i đ ng th ng d : 3 x y 4 0 nên có d ng: x 3 y c 0
Khi đó ph ng trình hoành đ giao đi m c a và ( E ) là:
ie
4 x 2 ( x c) 2 36 5 x 2 2cx c 2 36 0 (*)
up
x2 c
x c
ng th ng c t ( E ) t i hai đi m phân bi t A x1 ; 1
, B x2 ;
3
3
2c
x1 x2 5
v i x1 , x2 là nghi m c a (*) và
. Khi đó:
2
36
c
x x
1 2
5
bo
ok
.c
om
/g
ro
+)
s/
' 180 4c 2 0 3 5 c 3 5 (2*)
Ta
iL
Ta có d c t ( E ) t i hai đi m A, B khi và ch khi (*) có hai nghi m phân bi t hay
2
c
10
, suy ra: SOAB 3
w
w
w
d (O , )
ce
x x
10
2
x2 x1 2 1
3
3
.fa
AB
V y ph
ng trình đ
x1 x2
2
4 x1 x2
10
720 16c 2
15
c
1
1 10
AB.d (O, ) 3 .
720 16c 2 .
3
2
2 15
10
16c 4 720c 2 8100 0 c
3 10
(th a mãn (2*))
2
ng th ng c n l p là 2 x 6 y 3 10 0 ho c 2 x 6 y 3 10 0 .
Bài 28. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho bi t elip ( E ) có chu vi hình ch nh t c s b ng 16 2 3 , đ ng
th i m t đ nh c a ( E ) t o v i hai tiêu đi m m t tam giác đ u. Vi t ph
t a đ và c t ( E ) t i b n đi m là b n đ nh c a m t hình vuông.
ng trình đ
ng tròn (T ) có tâm là g c
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
x2 y2
1 v i a b 0
a2 b2
ai
H
oc
Ta có chu vi hình ch nh t c s là 4(a b) 16 2 3 a 4 2 3 b (1)
+) G i M (0; b) là đ nh c a ( E ) mà MF1 F2 là tam giác đ u, khi đó:
b
3F1 F2
(2)
b 3c c
2
3
M t khác ta có : a 2 b 2 c 2 (3)
nT
Ta
ng trình đ
uO
ie
x2 y2
1
64 48
ng tròn (T ) có d ng: x 2 y 2 R 2
ng trình ( E ) :
up
+) Ph
2
s/
V y ph
2
b
c: 4 2 3 b b 2 b 4 3 a 8
3
iL
Thay (1), (2) vào (3) ta đ
hi
D
MO
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
/g
ro
ng tròn (T ) c t ( E ) t i b n đi m phân bi t A, B, C , D .
Do (T ) và ( E ) đ u nh n Ox, Oy làm các tr c đ i x ng nên ABCD là hình ch nh t
bo
ok
.c
om
B ( x; y )
G i A( x; y )
C ( x; y )
Khi đó hình ch nh t ABCD thành hình vuông thì AB BC 2 x 2 y x 2 y 2
ng trình đ
w
V y ph
w
w
.fa
ce
x2 y2 R2
2
R2
2
2
x
y
384
y2
x
2
Do A (T ) ( E ) nên x, y th a mãn:
1 2
R2
2
7
64 48
R R 1
2
2
x y
2.64 2.48
ng tròn (T ) c n l p là x 2 y 2
384
.
7
x2 y2
1 và đi m M (2;1) . Vi t ph ng trình đ ng
25 9
th ng d đi qua M c t ( E ) t i hai đi m A, B sao cho trung đi m c a đo n th ng AB n m trên đ ng th ng
: y 2x .
Bài 29. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
22 12
1 nên M n m trong ( E ) , suy ra m i đ ng th ng qua M đ u c t ( E ) t i hai đi m phân bi t
25 9
+) N u d đi qua M (1; 2) và song song v i Ox hay d có ph ng trình x 1
thì trung đi m c a AB là đi m I (1; 0) không thu c đ ng th ng y 2 x (lo i)
+) Do
ng trình đ
ng th ng d đi qua M (2;1) có h s góc k có d ng: y k ( x 2) 1
Khi đó t a đ A, B là nghi m c a h :
hi
D
50k (2k 1)
x1 x2 25k 2 9
25k (2k 1) 9 18k
;
I
: là trung đi m c a AB
2
2
25k 9 25k 9
y y 2(9 18k )
1 2
25k 2 9
ai
H
oc
y k ( x 2) 1
y kx 2k 1
2
x
y2
2
2
2
1
(25k 9) x 50k (2k 1) x 25(2k 1) 225 0 (*)
25 9
+) G i A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) . Ta có:
01
Do đó g i ph
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
1
1
k
d:y x
9 18k 50k (2k 1)
2
2
+) Khi đó I
(2k 1)(50k 9) 0
9
25k 2 9
25k 2 9
k
d : y 9 x 34
50
50
25
1
9
34
V y ph ng trình đ ng th ng d c n l p là y x ho c y x .
2
50
25
x2 y2
1 ngo i ti p tam giác đ u ABC . Tính di n tích
16 4
tam giác ABC , bi t ( E ) nh n A(0; 2) làm đ nh và tr c tung làm tr c đ i x ng.
om
/g
ro
Bài 30. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
bo
ok
.c
Gi i:
+) Do ABC là tam giác đ u và A(0; 2) nên B, C đ i x ng nhau qua tr c tung
nên g i B ( x0 ; y0 ) C ( x0 ; y0 ) v i x0 0
a 3
2 y0 3x0 y0 2 3 x0 B x0 ; 2 3 x0
2
w
w
Khi đó h
ce
dài tam giác đ u ABC là a 2 x0 và chi u cao h 2 y0
.fa
+)
w
+) Ta có B ( E )
2
0
x
16
2
3x0
4
2
1 x0
16 3 x0 0
16 3
x0
13
13
32 3
16 3 22 a 2 x0 13
1
768 3
B
S ABC ah
;
13
2
169
48
13
h 2 y0
13
V y S ABC
768 3
.
169
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Bài 31. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
x2 y 2
1 . Tìm các đi m M thu c ( E ) sao cho
100 25
0
F
1MF2 120 , trong đó F1 , F2 là hai tiêu đi m c a ( E ) .
Gi i:
1 2
1
2
1
2
1
2
ai
H
oc
x02 y02
1 (*)
100 25
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF a c x 10 3 x ; MF a c x 10 3 x
0
0
2
0
0
1
a
a
2
2
Khi đó ta có: F F 2 MF 2 MF 2 2MF .MF .cos F
MF
01
a 10
+) Elip ( E ) có
c a 2 b 2 5 3 F1F2 2c 10 3 .
b 5
2
2
3
3
3
3
10
10
x0 10
x0 2 10
x0
x0 .cos120 0
2
2
2
2
3
3
300 200 x02 100 x02 x02 0 x0 0
2
4
2
+) Thay x0 0 vào (*) ta đ c: y0 25 y0 5
2
ie
uO
nT
hi
D
10 3
ng th ng : x y 5 0 và hai elip có ph
s/
Bài 32. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ
Ta
iL
V y M (0;5) ho c M (0; 5) .
ng trình
up
x2 y2
x2 y2
1 và ( E2 ) : 2 2 1 ( a b 0 ). Bi t hai elip này có cùng tiêu đi m và ( E2 ) đi qua đi m M
25 16
a
b
thu c đ ng th ng . Tìm t a đ đi m M sao cho elip ( E2 ) có đ dài tr c l n nh nh t.
om
/g
ro
( E1 ) :
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
+) Elip ( E1 ) có hai tiêu đi m F1 (3;0), F2 (3; 0) . D th y F1 , F2 n m cùng phía v i
Vì M ( E2 ) và ( E2 ) nh n F1 , F2 là hai tiêu đi m nên ta có: MF1 MF2 2a
Khi đó elip ( E2 ) có đ dài tr c l n nh nh t khi và ch khi MF1 MF2 nh nh t
+) G i N đ i x ng v i F1 (3; 0) qua N ( 5; 2) . Khi đó ta có ph
ng trình NF2 là: x 4 y 3 0
+) Ta có MF1 MF2 MN MF2 NF2 68 . Suy ra MF1 MF2 nh nh t khi M NF2
01
17
x 5
x 4 y 3 0
17 8
V y t a đ đi m M là nghi m c a h :
M ;
5 5
x y 5 0
y 8
5
ai
H
oc
17 8
V y M ; .
5 5
uO
nT
hi
D
x2 y 2
Bài 33. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
1 và hai đi m A(3; 2), B (3; 2) . Tìm trên ( E )
9
4
đi m C có t a đ d ng sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t.
Gi i:
+) Ph ng trình đ ng th ng AB là: 2 x 3 y 0
ie
x02 y02
1
9
4
2 x 3 y0
1
1
Khi đó S ABC AB.d (C , AB ) . 52. 0
2 x0 3 y0 (1)
2
2
13
M t khác theo B t đ ng th c Bu – nha ta có:
ro
up
s/
Ta
iL
+) G i C ( x0 ; y0 ) v i x0 , y0 0 . Do C ( E )
x02 y02 x0 y0
x
y
2 1 1 0 0 2 2 x0 3 y0 6 2 (2)
4 3 2
3 2
9
2
T (1) và (2) suy ra S ABC 6 2
om
/g
2
.c
2
.fa
ce
bo
ok
x02 y02
3 2
1
3 2
3 2
9
x0
4
+) D u “=” x y ra khi :
; 2 . V y C
; 2 .
2 C
2
2
x0 y0
y 2
0
3
2
w
w
Bài 34. Trong m t ph ng t a đ Oxy . L p ph
w
tiêu đi m c a ( E ) d
ng trình chính t c c a elip ( E ) , bi t đi m M 1; 3 nhìn hai
i m t góc vuông và hình ch nh t c s c a ( E ) n i ti p đ
ng tròn có ph
ng trình
x 2 y 2 20 .
Gi i:
x2 y2
+) G i ph ng trình chính t c c a elip ( E ) là 2 2 1 v i a b 0
a
b
1
0
Do F
nên OM F1 F2 OM c 2 a 2 b 2 4 (1)
1MF2 90
2
+) Hình ch nh t c s c a ( E ) n i ti p đ ng tròn : x 2 y 2 20 a 2 b 2 20 (2)
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
T (1) và (2) suy ra a 2 12; b 2 8 . V y elip ( E ) c n l p là:
x2 y 2
1
12 8
x2 y2
1 có hai tiêu đi m F1 , F2 . Tìm t a đ đi m M
25 9
4
ng tròn n i ti p tam giác MF1 F2 b ng .
3
Gi i:
thu c ( E ) sao cho bán kính đ
hi
D
ai
H
oc
a 5
MF1 MF2 F1 F2
x2 y2
+) Ta có ( E ) :
1 b 3
p
9
25 9
2
2
2
c a b 4
4
2.9.
1
2 pr
3 3 y y 3
Khi đó S MF1 F2 pr d ( M , Ox ).F1F2 d ( M , Ox )
M
M
F1 F2
2
8
01
Bài 35. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
+) M t khác M ( E ) xM 0 . V y M (0;3) ho c M (0; 3) .
uO
ie
Ta
12 4
1 (1)
a 2 b2
ro
Do M ( E )
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
s/
ng trình chính t c c a elip ( E ) là
up
+) G i ph
i m t góc vuông.
iL
đi m M , sao cho M nhìn hai tiêu đi m c a ( E ) d
Gi i:
ng trình chính t c c a elip ( E ) đi qua
nT
Bài 36. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m M 2 3; 2 . Vi t ph
Gi i:
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
1
0
+) M t khác F
nên OM F1 F2 c c 4 a 2 b 2 16 (2)
1MF2 90
2
x2 y 2
T (1) và (2) suy ra a 2 24; b 2 8 . V y elip ( E ) c n l p là:
1.
24 8
x2
Bài 37. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m C (2; 0) và elip ( E ) : y 2 1 . Tìm các đi m A, B trên ( E )
4
sao cho CA CB và tam giác CAB có di n tích l n nh t.
+) Theo gi thi t ta có C là đ nh n m trên tr c l n c a elip ( E ) .
Do CA CB , suy ra A, B đ i x ng nhau qua tr c hoành
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
x02
2
y0 1
G i A( x0 ; y0 ) ( E ) 4
v i x0 (2; 2)
B( x ; y )
0
0
1
1
Khi đó S ABC d (C , AB ). AB 2 x0 . 2 y0 (2 x0 ) y0
2
2
x02 (2 x0 )3 (2 x0 )
2
2 2
2
(1)
S ABC (2 x0 ) . y0 (2 x0 ) . 1
4
4
M t khác áp d ng B T Cauchy ta có:
2 x0 2 x0 2 x0
(2 x0 )3 .(2 x0 )
2 x0 4. 4
(2 x0 )3 .(2 x0 ) 27 (2)
3
3
3
27
27
3 3
2
T (1) và (2) suy ra: S ABC
S ABC
4
2
3
A 1;
, B 1;
2
2 x0
3
D u “=” x y ra khi
2 x0 1 x0 1 y0
3
2
A 1; 3 , B 1;
2
3
2
ie
3
2
up
N CÁC B N Ã QUAN TÂM !
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
C M
s/
Ta
iL
3
3
3
3
V y A 1;
ho c A 1;
, B 1;
, B 1;
.
2
2
2
2
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
4
GV: Nguy n Thanh Tùng
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
