10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 18 trang )
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
10 PH
N X HAY DÙNG KHI GI I PH
NG TRÌNH L
NG GIÁC
GV: Nguy n Thanh Tùng
Ph n x 1:
H
Khi g p các góc l n (t 3x tr lên) thì th
ng có 3 h
ng đi
ng 1 “Ghép b cùng tên” đ gi m góc và t o tích b ng vi c dùng công th c t ng (hi u) thành tích.
a b
a b
;
cos
2
2
a b
a b
;
sin a sin b 2sin
cos
2
2
a b
a b
sin
2
2
a b
a b
sin a sin b 2cos
sin
2
2
cos a cos b 2cos
cos a cos b 2sin
ai
H
oc
ng trình sau:
2. (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x 2 cos 2 x
4. (D – 2006): cos3x cos 2 x cos x 1 0
6. (B – 2002) sin 2 3x cos2 4 x sin 2 5x cos2 6 x .
nT
H
hi
D
1. (D – 2013): sin 3x cos 2 x sin x 0
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x.
5. (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0
ng d n gi i:
s/
up
2. (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x 2 cos 2 x
Ta
iL
ie
1. (D – 2013): sin 3x cos 2 x sin x 0
(sin 3x sin x) cos 2 x 0
2cos 2 xsin x cos 2 x 0 cos 2 x(2sin x 1) 0...
uO
Gi i các ph
01
( u tiên k t h p các góc cùng ch n ho c cùng l )
ro
(sin 3x sin x) (cos3x cos x) 2 cos 2 x
bo
ok
.c
om
/g
2cos 2 xsin x 2cos 2 xcos x 2 cos 2 x
2 cos 2 x 2(sin x cos x) 1 0...
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x.
(sin 7 x sin x) 2 sin 2 2 x 1 0
2cos 4 xsin 3x cos 4 x 0 cos 4 x(2sin 3x 1) 0...
.fa
ce
4. (D – 2006): cos3x cos 2 x cos x 1 0
(cos3x cos x) (1 cos 2 x) 0
w
2sin 2 x sin x 2sin 2 x 0 4sin 2 x cos x 2sin 2 x 0 2sin 2 x(2cos x 1) 0...
w
w
5. (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0
(cos 3x cos x) 4(1 cos 2 x) 2cos x 0
2cos 2 x cos x 8cos2 x 2cos x 0
2cos x(cos 2 x 4cos x 1) 0 2cos x(2cos2 x 4cos x) 0 4cos 2 x(cos x 2) 0...
6. (B – 2002) sin 2 3x cos2 4 x sin 2 5x cos2 6 x
1 cos 6 x 1 cos8 x 1 cos10 x 1 cos12 x
2
2
2
2
cos6x cos8x cos10x cos12x
2cos7 x cos x 2cos11x cos x cos x(cos11x cos 7 x) 0
2cos xsin 9 xsin 2 x 0 sin 9 xsin 2 x 0...
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
H ng 2 Chuy n ph ng trình v d ng sin u sin v (ho c cos u cos v )
ho c d ng a sin x b cos x c (ho c m r ng)
Chú ý:
ng giác: sin u sin(u) ; cos u cos( u) .
tan u tan(u) ; cot u cot( u)
Cách kh d u “–” c a các hàm l
Cách đ i tên hàm: sin u cos u ; cos u sin u ; tan u cot u ; cot u tan u .
2
2
2
2
ng trình sau:
3 sin 6 x 2sin 5x 1 2cos 2 3x .
3 cos 4 x 4sin 2 x sin 2 x 4sin 2 x
4
H
ai
H
oc
3.
2.
01
1. (B – 2013): sin 5x 2cos2 x 1
ng d n gi i:
hi
D
Gi i các ph
2.
uO
nT
1. (B – 2013): sin 5x 2cos2 x 1 sin 5x 1 cos 2 x 1 cos 2 x sin 5 x sin 2 x sin(5 x)...
2
3 sin 6 x 2sin 5x 1 2cos 2 3x
iL
Ta
up
3 cos 4 x 4sin 2 x sin 2 x 4sin 2 x
4
ro
3.
3
1
sin 6 x cos 6 x sin 5 x sin 6 x sin 5 x …
6
2
2
s/
3 sin 6 x cos 6 x 2sin 5 x
ie
3 sin 6 x 2sin 5x 1 1 cos 6 x
om
/g
3 cos 4 x 4sin 2 x sin 2 x 2 1 cos 2 x
2
bo
ok
.c
3 cos 4 x 4sin 2 x sin 2 x 2(1 sin 2 x)
3 cos 4 x 2sin 2 x(1 2sin 2 x) 2
ce
3 cos 4 x 2sin 2 x cos 2 x 2
3 cos 4 x sin 4 x 2
.fa
3
1
k
cos 4 x sin 4 x 1 cos 4 x 1 x
.
2
2
3
12 2
H ng 3
Kh và gi m s l ng góc l n b ng vi c “s d ng công th c c ng ho c t o tích thành t ng” ho c “đánh giá”.
w
w
w
Gi i các ph ng trình sau:
1. cos 4 x(2sin 3x cos x) sin x(sin 4 x 1)
2. sin 2 x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 2 x 3 cos 2 x 3
H
ng d n gi i:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1. cos 4 x(2sin 3x cos x) sin x(sin 4 x 1) .
2 sin 3x cos 4x sin x cos 4x cos x sin 4xsin x
sin 7 x sin x sin x cos 3x sin 7 x sin 3x ...
2
2. sin 2 x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 2 x 3 cos 2 x 3
sin 2 x(1 2cos3x cos 2 x) sin 3x(2cos2 2 x 1) 3 cos 2 x 3
sin 2 x cos3x sin 4 x sin 3x cos 4 x 3 cos 2 x 3
sin 2 x 3 cos 2 x sin 3x cos 4 x cos3x sin 4 x 3
hi
D
ai
H
oc
2sin 2 x 2 (*) sin 2 x 1
Do
3
3 ...
sin 7 x 3 2
sin 7 x 1
01
1
3
2 sin 2 x
cos 2 x sin 7 x 3 2sin 2 x sin 7 x 3 (*)
3
2
2
ie
3 th
ng chuy n v d ng a sin x b cos x c ho c d ng m r ng .
iL
Ph n x 2: Khi xu t hi n
uO
nT
CHÚ Ý: Ch ng trình h c chính khóa không có cth c sin 3x 3sin x 4sin 3 x ; cos3x 4cos3 x 3cos x vì v y
n u xu t hi n trong đ thi thì “ý đ ” c a ng i ra đ không ph i s d ng chúng (n u các b n dùng thì ph i ch ng
minh) ngh a là các b n nên đi theo 3 h ng t duy trên.
a 2 b2
cos u
c
a 2 b2
Chú ý 1:
a
a 2 b2
s/
và sin
c
a 2 b2
b
a 2 b2
ng trình có nghi m là a 2 b2 c2
ng trình v d ng công th c nghi m v i cos .
.fa
Ta có th đ a ph
ce
i u ki n ph
Th
sin(u )
bo
ok
.c
(đ a v công th c nghi m) v i cos
c:
up
b
om
a 2 b2
sin u
a 2 b2 ta đ
ro
a
ng trình cho
/g
Chia c hai v ph
Ta
Cách gi i chung: a sin u b cos u c .
a 2 b2 2 (đ s li u bài toán “đ p”).
w
w
ng
w
Chú ý 2: Ngoài d ng nguyên g c trên, chúng ta có th g p 3 d ng m r ng sau
a sin u b cos u a 2 b2 sin v
a sin u b cos u a 2 b2 cos v
a sin u b cos u a 'sin v b 'cos v
Cách gi i c ng t
ng t , khi ta chia c hai v ph
ng trình cho
a 2 b2 .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i các ph ng trình sau:
1. (A,A1 – 2012): 3 sin 2 x cos 2 x 2cos x 1 2. (B – 2012): 2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1
(1 2sin x) cos x
3. (A – 2009):
4. (B – 2009): sinx cos x sin 2 x 3 cos3x 2(cos 4 x sin 3 x)
3.
(1 2sin x)(1 sin x)
2
x
x
5. (D – 2009): 3 cos5x 2sin 3x cos 2 x sin x 0
6. (D – 2007): sin cos 3 cos x 2.
2
2
6
6
3
3
2
2
7. (B – 2008): sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x. 8. 8 sin x cos x 2 3 3 sin 4 x .
10. 2sin 3x sin x 3 cos x 1 2cos 2 x 0
3 sin x cos x(4sin x 1) 0
H
ng d n gi i:
01
9.
ai
H
oc
1. (A,A1 – 2012). 3 sin 2 x cos 2 x 2cos x 1
nT
cos x 0
...
2cos x( 3 sin x cos x 1) 0
3 sin x cos x 1
hi
D
2 3 sin xcos x 2cos 2 x 1 2cos x 1
uO
2. (B – 2012): 2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1
2cos2 x 1 2 3 sin x cos x cos x 3 sin x
iL
ie
cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x
s/
Ta
1
3
1
3
cos 2 x
sin 2 x cos x
sin x cos 2 x cos x …
3
3
2
2
2
2
ng trình t
ng đ
up
ro
om
V i đi u ki n (*) thì ph
sin x 1
i u ki n
1 (*)
x
sin
2
ng:
/g
(1 2sin x) cos x
3.
3. (A – 2009):
(1 2sin x)(1 sin x)
.c
(1 2sin x) cos x 3(1 2sin 2 x sin x)
bo
ok
cos x sin 2 x 3(cos 2 x sin x)
cos x 3 sin x 3 cos 2 x sin 2 x
.fa
ce
1
3
3
1
cos x
sin x
cos 2 x sin 2 x cos x cos 2 x …
3
6
2
2
2
2
w
w
4. (B – 2009): sin x cos x sin 2 x 3 cos3x 2(cos 4 x sin 3 x)
w
sin x(1 2sin2 x) cos x sin 2x 3 cos 3x 2cos 4x
sin x cos 2x cos x sin 2x 3 cos 3x 2cos 4x
1
3
cos 3x cos 4 x cos 3x cos 4 x …
sin 3x 3 cos 3x 2cos 4x sin 3x
2
2
6
5. (D – 2009):
3 cos5x 2sin 3x cos 2 x sin x 0
3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0
1
3
cos 5 x sin x sin 5 x sin( x) …
sin 5x 3 cos5x 2sin x sin 5 x
3
2
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
x
x
x
x
x
x
6. (D – 2007): sin cos 3 cos x 2 sin 2 cos 2 2sin cos 3 cos x 2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
cos x sin x sin …
1 sin x 3 cos x 2 sin x 3 cos x 1 sin x
2
2
2
3
6
7. (B – 2008): sin3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin 2 x cos x.
sin x(cos2 x sin 2 x) 3 cos x(cos2 x sin 2 x) 0
01
cos 2 x 0
…
sin x cos 2 x 3 cos x cos 2 x 0 cos 2 x(sin x 3 cos x) 0
sin
x
3
co
s
x
0
3
8. 8 sin 6 x cos6 x 2 3 3 sin 4 x 8 1 sin 2 2 x 2 3 3 sin 4 x
4
ai
H
oc
3(1 cos 4 x)
8 1
2 3 3 sin 4 x cos 4 x 3 sin 4 x 1
8
hi
D
1
3
1
2
cos 4 x
cos 4 x cos
sin 4 x
…
2
2
2
3
3
3 sin x cos x(4sin x 1) 0 3 sin x cos x 2sin 2 x
3
1
sin x cos x sin 2 x sin x cos cos x sin sin 2 x sin x sin 2 x...
6
2
2
6
6
ie
uO
nT
9.
3 cos x sin x cos x 2(cos x sin x) 0
3 cos x (sin x 3cos x) 0
3 cos x sin x 3 cos x sin x 3 cos x 0
iL
2sin 3x sin x
2sin 3x sin x
2sin 3x sin x
2
2
om
/g
ro
2
2
s/
2
up
2
Ta
10. 2sin 3x sin x 3 cos x 1 2cos 2 x 0
sin x 3 cos x 0
...
sin x 3 cos x 2sin 3x sin x 3 cos x 0
sin x 3 cos x 2sin 3x
.c
bo
ok
c các b “cùng tên, cùng góc” thì ngh t i vi c phân tích thành tích.
ce
Ph n x 3: Khi nhóm đ
.fa
( 2sin 2 x sin x 1 (sin x 1)(2sin x 1) ; cos3 x 3cos2 x 4cos x 2 (cos x 1)(cos2 x 2cos x 2)…)
c đ Horner – n u ph
ng
w
w
w
( ho c nh m nghi m ho c các em dùng máy tính đ tr giúp và có th s d ng thêm l
trình t d ng b c 3 tr lên trong đó có ít nh t m t nghi m “đ p” đ t o tích).
Gi i các ph ng trình sau:
1.(D – 2010): sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0
3. (2sin x 1)(cos x 1) cos 2 x 2cos x 7sin x 5
2. 9sin x 6cos x 3sin 2 x cos 2 x 8
4. 2cos3 x 3cos 2 x 2sin 2 x 4cos x 4sin x 5
5. 8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
H
ng d n gi i:
1.(D – 2010): sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0
sin 2 x (1 2sin 2 x) 3sin x cos x 1
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2sin x 3sin x 2 sin 2 x cos x 0
(2sin x 1)(sin x 2) cos x(2sin x 1) 0 (2sin x 1)(sin x cos x 2) 0...
2. 9sin x 6cos x 3sin 2 x cos 2 x 8
9sin x 6cos x 6sin x cos x 1 2sin 2 x 8
(6sin x cos x 6cos x) (2sin 2 x 9sin x 7) 0
6cos x(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) 0 (sin x 1)(6cos x 2sin x 7) 0
sin x 1 ho c 2sin x 6cos x 7 (vô nghi m do 22 62 72 ) x k 2 (k ) .
2
3. (2sin x 1)(cos x 1) cos 2 x 2cos x 7sin x 5
ai
H
oc
01
2sin x cos x 2sin x cos x 1 1 2sin 2 x 2cos x 7sin x 5
(2sin x cos x cos x) (2sin 2 x 9sin x 5) 0
cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 5) 0 (2sin x 1)(sin x cos x 5) 0...
4. 2cos3 x 3cos 2 x 2sin 2 x 4cos x 4sin x 5
hi
D
2cos3 x 3(2cos2 x 1) 2sin 2 x 4cos x 4sin x 5
nT
(cos3 x 3cos2 x 2cos x 4) (sin 2 x 2sin x) 0
uO
(cos x 1)(cos2 x 2cos x 4) 2sin x(cos x 1)
ie
(cos x 1)(cos2 x 2cos x 4 2sin x) 0
iL
cos x 1 (1) ho c cos2 x 2(sin x cos x) 4 (2)
up
s/
Ta
Gi i (1) x k2 . Gi i (2) cos 2 x 2 2 sin x 4 . Ta có:
4
om
/g
ro
cos 2 x 2 2 sin x 1 2 2 4 , suy ra (2) vô nghi m.
4
V y ph ng trình có nghi m x k2 (k ) .
bo
ok
.c
5. 8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11 .
w
.fa
ce
3
Ta có: sin 6 x cos6 x (sin 2 x cos2 x)3 3sin 2 x cos2 x(sin 2 x cos2 x) 1 sin 2 2 x
4
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
3
8 1 sin 2 2 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
4
w
w
( 3 sin 4 x 3 cos 2 x) (2sin 2 3x 3sin 2 x 1) 0
3 cos 2 x(2sin 2 x 1) (2sin 2 x 1)(sin 2 x 1) 0 (2sin 2 x 1)( 3 cos 2 x sin 2 x 1) 0...
CHÚ Ý: Các Ví d 1,2,3,4,5 còn có m t cách ti p c n khác. Các em xem ti p
Ph n x 4:
Khi ph
ng trình l
các ph n x sau !
ng giác có nhi u bi u th c cùng ch a nhân t chung, chúng ta ngh
t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c n u nhân t chung
gi i thi u t i các b n b ng các bi u th c ch a nhân t chung th ng g p:
d
i m u s ). Sau đơy th y
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
B ng T ng K t M t S Nhân T Chung Th
4
1 sin x
5
1 cos x
6
7
1 2sin x
1 2cos x
Bi u Th c Ch a Nhân T Chung
tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1 cos 2x ; sin 3x …
cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1 cos 2x ; cos3x …
cos 2x ; 1 tan x ; 1 cot x ; 1 tan 2 x ; 1 cot 2 x ; sin3 x cos3 x ; sin x ; cos x
4
4
x
x
x
x
cos2 x ; cot 2 x ; sin 2 ; cos 2 ; tan 2 ; cot 2 ; 2cos x sin 2 x …
2 4
2 4
2 4
2 4
x
x
x
x
sin 2 x ; tan 2 x ; sin 2 ; tan 2 ; cos 2 ; cot 2 ; 2sin x sin 2 x …
2
2
2
2
2
2
cos x sin 2 x ; 1 4sin x ; 3 4cos x ; 2cos 2 x1 ; cot x 2cos x ; cos3x …
sin x sin 2 x ; 1 4cos2 x ; 3 4sin 2 x ; 2cos 2 x 1; tan x 2sin x ; sin 3x …
ai
H
oc
01
1
2
3
Nhân t
Chung
sin x
cos x
sin x cos x
hi
D
STT
ng G p
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
Gi i các ph ng trình sau:
1. (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2 x sin x
2. (B – 2004): 5sin x 2 3(1 sin x) tan 2 x.
cos 2 x
1
x
x
sin 2 x sin 2 x.
3. (A – 2003): cot x 1
4. (D – 2003): sin 2 tan 2 x cos 2 0.
1 tan x
2
2
2 4
1 sin 2 x cos 2 x
2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
6. (B – 2005): 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
1 cot 2 x
sin 2 x 2cos x sin x 1
7. (D – 2011) :
8. (D – 2010) : sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0.
0.
tan x 3
9.(A – 2007): (1 sin 2 x) cos x (1 cos2 x)sin x 1 sin 2 x. 10. (A,A1 – 2013): 1 tan x 2 2 sin x
4
11. (B – 2011): sin 2 x cos x sin x cos x cos 2 x sin x cos x. 12. (A,A1 – 2014): sin x 4cos x 2 sin 2 x
H
ng d n gi i:
.fa
ce
1. (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x
(2cos x 1)(2sin x cos x) sin x(2 cos x 1) (2cos x 1)(sin x cos x) 0...
w
w
2. (B – 2004): 5sin x 2 3(1 sin x) tan 2 x.
w
i u ki n: cos x 0 x
Khi đó ph
ng trình đ
2
ng đ
n (n )
sin 2 x
ng: 5sin x 2 3(1 sin x).
(1 sin x)(1 sin x)
(1 sin x)(5sin x 2) 3sin 2 x 2sin 2 x 3sin x 2 0...
3. (A – 2003): cot x 1
1
cos 2 x
sin 2 x sin 2 x
2
1 tan x
sin 2 x 0
i u ki n:
, khi đó ph
tan x 1
ng trình t
ng đ
ng:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
cos x
(cos x sin x)(cos x sin x)
1
sin 2 x sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x
cos x sin x
cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin 2 x) 0...
sin x
x
x
4. (D – 2003): sin 2 tan 2 x cos 2 0.
2
2 4
i u ki n: cos x 0 x n (n )
2
ng đ
ai
H
oc
hi
D
nT
uO
up
sin 2 x(1 sin 2 x 2cos2 x 1) 2 2 sin 2 x cos x
ng:
iL
ng trình t
Ta
1
, do đó ph
sin 2 x
s/
Ta có 1 cot 2 x
ie
1 cos x
(1 cos x)
1 0 (1 cos x)(sin x cos x) 0...
1 sin x
1 sin 2 x cos 2 x
2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
1 cot 2 x
i u ki n: sin x 0 x n (n ) .
01
1 cos x
2
2 sin x 1 cos x
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
0
.
2
cos 2 x
2
1 sin x (1 cos x)(1 cos x) 1 cos x
.
0
2
(1 sin x)(1 sin x)
2
om
/g
ro
cos x 0
…
2 cos x(sin x cos x) 2 2 cos x (vì sin x 0 ) 2cos x(sin x cos x 2) 0
sin x cos x 2
6. (B – 2005): 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
.c
1 sin 2 x sin x cos x cos2 x sin 2 x 0
bo
ok
(sin x cos x)2 sin x cos x (cos x sin x )(cosx sinx ) 0
(sin x cos x)(sin x cos x 1 cos x sin x) 0 (sin x cos x)(2cos x 1) 0…
ce
sin 2 x 2cos x sin x 1
0.
tan x 3
.fa
7. (D – 2011) :
w
w
w
cos x 0
(*)
i u ki n:
tan x 3
Khi đó ph ng trình t ng đ ng: sin 2 x 2cos x (sin x 1) 0
2cos x(sin x 1) (sin x 1) 0 (sin x 1)(2cos x 1) 0...
8. (D – 2010) : sin 2 x cos2 x 3sin x cos x 1 0.
sin 2 x cos x cos x(2sin x 1)
Ta có
2
cos 2 x 3sin x 1 2sin x 3sin x 2 (2sin x 1)(sin x 2)
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(sin x cos x 2) 0...
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
9.(A – 2007): (1 sin x) cos x (1 cos x)sin x 1 sin 2 x.
sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) (sin x cos x)2
(sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) 0 2 sin x (1 cos x)(1 sin x) 0...
4
ai
H
oc
01
10. (A,A1 – 2013): 1 tan x 2 2 sin x
4
i u ki n: cos x 0
sin x cos x
Ph ng trình t ng đ ng:
2(sin x cos x) (sin x cos x)(1 2cos x) 0...
cos x
11. (B – 2011): sin 2 x cos x sin x cos x cos 2 x sin x cos x.
2sin x cos2 x sin x cos x cos x 1 2sin 2 x sin x
2sin x(1 sin x)(1 sin x) cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 2sin x)
(1 sin x) 2sin x(1 sin x) cos x 1 2sin x) 0
hi
D
(1 sin x) 2sin 2 x 1 cos x 0 (1 sin x)(cos 2 x cos x) 0...
ng trình có m t cos 2x thì ta d a vào các d u hi u đi kèm đ bi n đ i:
ie
Ph n x 5: Khi ph
uO
nT
12. (A,A1 – 2014): sin x 4cos x 2 sin 2 x sin x sin 2x 4cos x 2 0
sin x(1 2cos x) 2(1 2cos x) 0 (1 2cos x)(sin x 2) 0...
ng trình sau:
om
Gi i các ph
/g
ro
up
s/
Ta
iL
cos2x = cos2 x sin 2 x (cos x sin x)(cos x sin x) : N u có y u t sin x cos x
= 2cos2 x1: N u vi c t o ra “ –1” giúp ta kh s t do.
= 1 2sin 2 x : N u vi c t o ra “ +1” giúp ta kh s t do.
= cos2x (Gi nguyên): N u có 2cos3 x cos x ; sin x 2sin3 x ; sin 2x cos x sin x ; cos x sin x sin 2x
bo
ok
.c
1. ( HY – 2000) sin3 x cos3 x cos 2x
2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1
3. (D – 2006): cos3x cos 2x cos x 1 0
4. (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x 2 cos 2x sin x 0
.fa
ce
5. 2cos3 x 3 sin x cos 2x 4sin 2 x cos x 2
H
6. (A – 2003): cot x 1
cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x.
1 t anx
2
ng d n gi i:
w
w
w
1. ( HY – 2000). sin3 x cos3 x cos 2x
(sin x cos x) (1 sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x)
(sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) 0 2 sin x (1 cos x)(1 sin x) 0...
4
2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1
2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 2cos x 1 2cos x( 3 sin x cos x 1) 0...
3. (D – 2006): cos3x cos 2x cos x 1 0
cos3x 1 2sin 2 x cos x 1 0 2sin 2 x sin x 2sin 2 x 0
4sin 2 x cos x 2sin 2 x 0 2sin 2 x(2cos x 1) 0...
4. (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x 2 cos 2x sin x 0
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
sin 2 x cos x sin x cos 2 x cos x 2cos 2 x 0
sin x(2cos2 x 1) cos 2 x(cos x 2) 0 cos 2 x(sin x cos x 2) 0...
5. 2cos3 x 3 sin x cos 2 x 4sin 2 x cos x 2
cos x(2cos2 x 1) 3 sin x cos 2 x 2(1 2sin 2 x) 0
cos x cos 2 x 3 sin x cos 2 x 2 cos 2 x 0 cos 2 x(cos x 3 sin x 2) 0...
6. (A – 2003): cot x 1
cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x.
2
1 tan x
p các bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích và g p ph
nT
Ph n x 6: Khi g
hi
D
ai
H
oc
01
sin 2 x 0
i u ki n:
, khi đó ph ng trình t ng đ ng:
tan x 1
cos x
(cos x sin x)(cos x sin x)
sin 2 x sin x cos x
1
sin x
sin x
1
cos x
cos x sin x
cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin 2 x) 0...
sin x
ng trình
uO
ch a sin 2 x; cos2 x; 1 sin 2x ; cos 2x hƣy ngh t i các d ng tích c a chúng :
ie
+) sin 2 x (1 cos x)(1 cos x)
s/
Ta
+) cos 2 x (cos x sin x)(cos x sin x)
iL
+) cos2 x (1 sin x)(1 sin x) ; 1 sin 2 x (sin x cos x)2
up
( Xem thêm Ph n x 3 )
ng trình sau: 1. 2cos3 x cos 2 x sin x 0
bo
ok
Gi i các ph
.c
om
/g
ro
Chú ý: V i sin 2 x , cos2 x ngoài cách phân tích nh trên ta có th ngh t i vi c h b c theo công th c
1 cos 2 x
1 cos 2x
; cos2 x
.
sin 2 x
2
2
2. sin 2 x 4cos 2 x 3 4 2 sin x
4
H
ng d n gi i:
w
w
.fa
ce
3. 1 2 sin 2 x (1 tan x).sin x
4
w
1. 2cos3 x cos 2 x sin x 0
2cos3 x 2cos2 x 1 sin x 0
2 cos2 x(1 cos x) (1 sin x) 0
2(1 sin x)(1 sin x)(1 cos x) (1 sin x) 0
(1 sin x) 2(1 sin x)(1 cos x) 1 0
(1 sin x) 2(sin x cos x) 2sin x cos x 1 0
(1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x)2 0
(1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) 0 …
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2. sin 2 x 4 cos 2 x 3 4 2 sin x
4
1 cos 2 x
sin 2x 4.
3 4 2 sin x
2
4
2 cos 2x (1 sin 2x) 4
2 sin x
4
2(cos x sin x)(cos x sin x ) (sin x cos x)2 4( sin x cos x) (cos x sin x)(3sin x cos x 4) 0...
sin x cos x
sin x
cos x
hi
D
(sin x cos x)2 (cos x sin x)(cos x sin x)
ai
H
oc
01
4. 1 2 sin 2 x (1 tan x).sin x
4
i u ki n : cos x 0 x n (n )
2
Khi đó ph ng trình t ng đ ng :
1 sin 2 x cos 2 x (1 tan x)sin x
uO
nT
sin x
(sin x cos x) 2sin x
0 2 sin x (sin 2 x sin x) 0 …
4
cos x
Ph n x 7: Khi ph
ie
ng trình có d ng: a sin 2x b cos 2 x c sin x d cos x e 0 ta ngh t i vi c bi n đ i
s/
ng trình v d ng: Asin 2 x B sin x C 0 ho c Acos2 x B cos x C 0 ( A, B, C có th ch a hàm
ng giác) , quan ni m là ph
ng trình b c 2 v i sin x ho c cos x (ph
ng pháp h ng s bi n thiên)
ng trình sau:
om
Gi i các ph
/g
ro
l
a ph
up
II.
Ta
iL
ph ng trình v d ng tích b ng m t trong hai k thu t sau:
I. Nhóm, tách ghép đ làm xu t hi n nhân t chung ( xem l i k thu t này qua các ph n x 1, 3, 4, 5 và 6)
.c
1.(D – 2010) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0 2. 8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
ce
bo
ok
3. (B – 2005): 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0 4. 9sin x 6cos x 3sin 2 x cos 2 x 8
H
ng d n gi i:
w
w
.fa
1.(D – 2010) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0
2sin x cos x (1 2sin 2 x) 3sin x cos x 1 0
w
2 sin 2 x (2cos x 3) sin x cos x 2 0
sin x (2cos x 3)2 8(cos x 2) (2cos x 5)2
Suy ra: sin x
(2cos x 3) 2cos x 5 1
(2cos x 3) 2cos x 5
ho c sin x
cos x 2
4
2
4
1
5
k 2 (k ) .
x k 2 ho c x
6
2
6
+) V i sin x cos x 2 sin xcos x 2 (vô nghi m)
+) V i sin x
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
V y ph
5
ng trình có nghi m x k 2 ;
k2 k .
6
6
2. 8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
8 sin 6 x cos6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
3
8 1 sin 2 2 x 6 3 sin 2 x cos 2 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
4
2 sin 2 2x (2 3 cos 2 x 3) sin 2x 3 cos 2 x 1 0
sin 2 x (2 3 cos 2 x 3)2 8( 3 cos 2 x 1) (2 3 cos 2 x 1)2
Gi i (1)
01
2 3 cos 2 x 3 2 3 cos 2 x 1
2 3 cos 2 x 3 2 3 cos 2 x 1 1
3 cos 2 x 1 (1) ho c sin 2 x
4
4
2
3
1
1
2
cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos
…
2
2
2
6
3
hi
D
1
5
x k ho c x
k .
2
12
12
3. (B – 2005): 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
(2)
ai
H
oc
sin 2 x
ie
Ta
cos x (2sin x 1)2 8sin x (2sin x 1)2
iL
1 sin x cos x 2sin x cos x 2cos2 x 1 0
2 cos2 x (2sin x 1) cos x sin x 0
uO
nT
Gi i (2) sin 2 x
1
(2sin x 1) 2sin x 1
(2sin x 1) 2sin x 1
sin x (2)
(1) ho c cos x
4
2
4
2
2
Gi i (1) cos x cos
x
k2
3
3
Gi i (2) sin x cos x 0 sin x 0 x k
4
4
.c
om
/g
ro
up
s/
Suy ra: cos x
bo
ok
2
ng trình có nghi m x
k 2 ; k k .
4
3
4. 9sin x 6cos x 3sin 2 x cos 2 x 8
ce
V y ph
w
.fa
9sin x 6cos x 6sin x cos x 1 2sin 2 x 8
2sin 2 x (6cos x 9)sin x 6cos x 7 0
w
w
2sin 2 x (6cos x 9)sin x 6cos x 7 0
sin x (6cos x 9)2 8(6cos x 7) (6cos x 5) 2
Suy ra: sin x
9 6cos x 6cos x 5
9 6cos x 6cos x 5 7 6cos x
1 (1) ho c sin x
4
4
2
(2) …
CHÚ Ý:
+) Các Ví d 1, 2 các em xem l i cách gi i khác ph n x 4.
+) Cách gi i Ví d 3 ch ch ng t m t đi u có m t góc nhìn khác, nh ng h i dài – khi đi theo I có th nhìn th y
luôn và khá ng n g n.
+) Cách ti p c n th II ch làm đ c khi delta có “hình th c” là s chính ph ng ( u 2 ), n u không đ c ta
chuy n ph ng trình b c 2 v i sin x sang cos x ho c ng c l i. N u v n không n thì ta s đi theo cách I (Cách I
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
“m nh” h n cách II).
k k
k k
; ; k v i k Z ) thì kh nó b ng cách
;
(g mc
6
4
3 2
“dùng b ng công th c chuy n v góc nh n và các công th c c ng, tích, h b c” .
Ph n x 8: Khi xu
t hi n góc c ng thêm
Gi i các ph
ng trình sau:
1
1
7
4sin
x.
1. (A – 2008):
3
sin x
4
sin x
2
ai
H
oc
01
3
2. (D – 2005): cos4 x sin 4 x cos x sin 3x 0.
4
4 2
x
x
3. (D – 2003): sin 2 tan 2 x cos2 0
2
2 4
4. ( HXD – 1997):
5. 2sin 2 x 4sin x 1 0
6
1
6. sin 4 x cos 4 x
4
4
hi
D
nT
uO
ie
ng d n gi i:
7
4sin
x.
3
4
sin x
2
3
Ta có: sin x
sin x 2 sin x cos x
2
2
2
s/
Ta
1
/g
ro
up
1
sin x
iL
H
1.
sin 4 2 x cos 4 2 x
cos 4 4 x
tan x tan x
4
4
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
1
7
(sin x cos x)
sin
x sin 2 x sin x
4
4
2
4
sin x 0
n
Khi đó ta có đi u ki n:
(n ) .
sin 2 x 0 x
2 2
cos x 0
Ph ng trình đ c vi t l i:
1
1
sin x cos x
2 2(sin x cos x )
2 2(sin x cos x)
sin x cos x
sin x cos x
w
sin x cos x 2 sin 2 x(sin x cos x) (sin x cos x)(1 2 sin 2 x) 0
w
3
7
và
nh trong bài trên các b n có th kh b ng vi c s d ng công th c t ng:
2
4
3
3
3
cos x
sin x
sin x cos cos x sin
2
2
2
1
1
1
7
7
7
cos x
sin x
(sin x cos x)
sin
cos x cos
sin x
x sin
4
4
2
2
2
4
Chú ý: Ngoài cách kh l
ng
3
1
3
2. cos4 x sin 4 x cos x sin 3x 0. 1 2sin 2 x cos2 x sin 4 x sin 2 x 0
4
4 2
2
2
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
2
2 sin 2x cos 4 x sin 2 x 3 0 sin 2 x (1 2sin 2 x) sin 2 x 1 0
sin 2 2 x sin 2 x 2 0 sin 2 x 1 ho c sin 2 x 2 (vô nghi m) x
4
k (k ) .
1 cos x
2
1 sin x (1 cos x)(1 cos x) 1 cos x
2 sin x 1 cos x
0
.
0
.
2
2
(1 sin x)(1 sin x)
2
2
cos x
2
s/
Ta
iL
ie
Ta s ch ra tan x tan x 1 theo các cách bi n đ i sau:
4
4
1 tan x 1 tan x
Cách 1: tan x tan x
1
.
4
4
1 tan x 1 tan x
nT
hi
D
sin 4 2 x cos 4 2 x
cos 4 4 x
tan x tan x
4
4
uO
4. ( HXD – 1997):
ai
H
oc
1 cos x
(1 cos x)
1 0 (1 cos x)(sin x cos x) 0...
1 sin x
01
x
x
3. (D – 2003): sin 2 tan 2 x cos2 0
2
2 4
i u ki n: cos x 0 x n (n )
2
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
ro
up
Cách 2: tan x tan x tan x .cot x 1
4
4
4
2 4
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
1
sin x sin x cos cos 2 x
2
4
4
2
cos 2 x 1
Cách 3:
1
cos 2 x
cos x cos x
cos cos 2 x
2
2
4
4
n
Khi đó ta có đi u ki n: cos 2 x 0 x
(n ) (*)
4 2
Ph ng trình đ c vi t l i thành:
1
sin4 2x cos4 2x cos4 4x 1 sin 2 4 x cos 4 4 x
2
1
(lo i)
2
k
ng trình là: x
(k ) .
2
w
2 (1 cos2 4 x) 2cos4 4 x 2cos4 4 x cos2 4 x 1 0 cos2 4 x 1 ho c cos 2 4 x
sin 4 x 0 x
k
, đ i chi u v i đi u ki n (*) ta đ
4
c nghi m c a ph
5. 2sin 2 x 4sin x 1 0 2 sin 2 x cos cos 2 x sin 4sin x 1 0
6
6
6
3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1 0 2 3 sin x cos x 4sin x 2sin 2 x 0 2sin x
3 cos x sin x 2 0...
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
1 cos 2 x
2
2
1
2
1
1 cos 2 x
1 cos 2 x 1 sin 2 x 1
4
4
6. sin x cos x
2
2
4
2
2
4
4
4
2
2
2
2
...
1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x
4 2
i ph ng trình l ng giác không quên vi c cho đi u ki n n u ph ng trình ch a n
d i m u (không nh t thi t ph i gi i chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n. Vì v y ta c n n m đ c
ph ng pháp lo i nghi m đ gi i quy t t t 2 d ng toán sau
Ph n x 9: Khi gi
ng trình ch a n d
im u
01
D ng 1: Ph
ng pháp gi i:
ai
H
oc
Ph
2l
(l , m) .
m
2k
B c 2: Gi i ph ng trình đ c nghi m x
(k, n ) .
n
B c 3: Ki m tra đi u ki n b ng 2 cách sau:
+) Cách 1 (Ph ng pháp hình h c):
2l
Bi u di n x
trên đ ng tròn đ n v g m m đi m
m
2k
C {C1; C2 ;...; Cm} ; bi u di n x
trên đ ng tròn đ n v g m n đi m D {D1; D2 ;...; Dn } . Xét
n
hi u E D \ C E1; E2 ;...; Er
c 1: Cho đi u ki n, ta đ
c x
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
B
bo
ok
.c
om
/g
ro
Khi đó nghi m c a ph ng trình ban đ u là: x Ei k 2 (i 1; r , k )
+) Cách 2(Ph ng pháp đ i s - cách này mang tính ch t tham kh o):
2k
2l
2k
2l
( x ch p nh n khi
)
x b lo i khi
n
m
n
m
ng trình 1 cot 2 x
w
w
.fa
ce
Ví d : Gi i ph
1 cos 2 x
sin 2 2 x
Gi i:
w
m
(m) (1)
2
sin 2 x cos 2 x
1
cos 2 x
1 cos 2 x
Khi đó ph ng trình t ng đ ng: 1
sin 2 x (1 cos 2 x)(1 cos 2 x)
sin 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x cos 2 x (sin 2 x cos 2 x)cos 2 x sin 2 x
i u ki n: sin 2 x 0 x
cos 2 x 0
cos 2 x 0
cos 2 x(sin 2 x cos 2 x 1) 0
1
sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x
4
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
k
2 x 2 k
x 4 2
k
x
4 2 (k ) (2)
2 x k 2 x k
4
4
4
x k
5
2
2 x
x k
k 2
4
4
2
2
x=
4
4
+
k
2
=
4
+
k2
4
x=
;
2
+k =
2
+
k2
01
=
m2
2
ai
H
oc
x≠
m
k
(k )
4 2
Chú ý: Khi g p d ng ph ng trình ch a n d i m u, ta không quên vi c cho đi u ki n (không nh t thi t ph i gi i
chi ti t đi u ki n) và ph i ki m tra l i đi u ki n. Trong quá trình gi i có th “linh ho t” lo i đi nghi m không c n
thi t đ rút ng n l i gi i.
ng trình: x
c nghi m ph
hi
D
ng tròn đ n v ), ta đ
Ta
ng pháp gi i:
s/
Ph
iL
D ng 2: Tìm nghi m thu c m t kho ng, m t đo n
ie
uO
nT
K t h p (1) và (2) (bi u di n trên đ
2k
(k, n ) .
n
up
ng trình đ
B
c 2: Khai thác đi u ki n x D
/g
c 1: Gi i ph
ro
c nghi m x
B
2k
2k
k,n
D
(k0 , n0 ) nghi m x0 0 .
n
n0
l
(l , m)
ng tròn đ n v n u các đ u mút c a D có d ng
m
.fa
ce
bo
ok
+) Cách 2: Có th dùng đ
.c
om
+) Cách 1 (Ch n đi u ki n): x D
ng trình: cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0
w
w
Ví d 1: Tìm x thu c đo n [0;14] nghi m đúng ph
w
Gi i:
Ph
ng trình t
ng đ
ng: cos3x cos x 4(2cos 2 x 1) 2cos x 4 0
2cos 2 x cos x 8cos2 x 2cos x 0 2cos x(cos 2 x 4cos x 1) 0 2cos x(2cos2 x 4cos x) 0
4cos2 x(cos x 2) 0 cos x 0 ho c cos x 2 (lo i) x
V i x [0;14] 0
Hay nghi m c a ph
2
k ( k )
28
3,96 k {0;1; 2;3}
2
2
3 5 7
ng trình: x ; ; ;
2 2 2 2
k 14 0,5 k
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
cos3x sin 3x
ng trình: 5 s inx
cos 2 x 3
1 2sin 2 x
Ví d 2 (A – 2002). Tìm nghi m thu c kho ng (0;2 ) c a ph
Gi i:
1
7
i u ki n: sin 2 x x m và x
l (m, l )
12
2
12
Khi đó ph ng trình t ng đ ng:
5sin x.(1 2sin 2 x) cos3x sin 3x (1 2sin 2 x)(cos 2 x 3)
ai
H
oc
hi
D
nT
1
5cos x cos 2 x 3 (vì sin 2 x ) 2cos2 x 5cos x 2 0
2
1
cos x 2 (lo i) ho c cos x x k 2 (k )
2
3
Cách 1
01
5(sin x cos x cos 3x cos3x sin 3x) (1 2sin 2 x)(cos 2 x 3)
5(2sin 2 x cos x cos x) (1 2sin 2 x)(cos 2 x 3)
5cos x(2sin 2 x 1) (1 2sin 2 x)(cos 2 x 3)
2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) 0
3
bo
ok
ce
c x
.fa
Vì x (0;2 ) nên ta đ
Ph n x 10: Khi đ
w
w
ng “Hãy
w
i H c – Cao
3
và x
ng tr
0
2
0
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
1
5
k2 2 k k 0 x
6
6
3
3
3
1
7
5
+) V i x 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) 0 k2 2 k k 1 x
6
6
3
3
3
Cách 2 : S d ng đ ng tròn đ n v :
+) V i x
5
3
5
3
c m t bài toán gi i ph
ng trình l
ghi nh 9 ph n x đ u tiên”
Ph n x 1: Khi g p các góc l n (t 3x tr
Ph n x 2: Khi xu t hi n 3 th ng chuy
lên) thì th
ng giác trong kì thi
(chi ti t xem l i các ph n x tr
ng có 3 h
c)
ng đi……………………
n v d ng a sin x b cos x c
ho c d ng m r ng c a nó ……………………………………………………….....
Ph n x 3: Khi nhóm đ
c các b “cùng tên, cùng góc” thì ngh t i vi c
phân tích nó thành tích………………………………………………………………
Ph n x 4: Khi ph
ng trình l ng giác có nhi u bi u th c cùng ch a nhân t chung,
chúng ta ngh t i vi c chuy n ph ng trình v d ng tích (ho c đ gi n c
n u nhân t chung d i m u s )………………………………………………….
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
B ng T ng K t M t S Nhân T Chung Th ng G p…….................
Ph n x 5: Khi trong ph ng trình có m t cos 2x thì ta d a vào các d u hi u
đi kèm đ bi n đ i…………………………………………………………………….
Ph n x 6: Khi g
p các bi u th c “đ ng d ng” hƣy ngh t i vi c nhóm đ t o tích
và g p ph
ng trình ch a sin 2 x; cos2 x; 1 sin 2x ; cos 2x hƣy ngh t i
các d ng tích c a chúng………………………………………………………………
Ph n x 7: Khi ph
ai
H
oc
01
Ph n x
ng trình có d ng: a sin 2x b cos 2 x c sin x d cos x e 0
ta ngh t i vi c bi n đ i ph ng trình v d ng tích b ng m t trong hai k thu t…
8: Khi xu t hi n góc c ng thêm k ; k ( g m c k ; k ; k v i k Z )
6
4
3 2
thì tìm cách kh chúng………………………………………………………………
ie
N CÁC B N Ã QUAN TÂM !
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
C M
uO
nT
hi
D
Ph n x 9: Nh cho đi u ki n khi ph ng trình ch a n d i m u…………………………...
Ph n x 10: Khi đ ng tr c m t bài toán gi i ph ng trình l ng giác trong kì thi
i H c – Cao ng “Hãy ghi nh 9 ph n x đ u tiên” ……………
GV: Nguy n Thanh Tùng
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
