Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

B ộ• GIÁO DỤC
• VÀ ĐÀO TẠO
•
TRƯỜNG ĐẠI
• HỌC
• s ư PHẠM
• HÀ NỘI
• 2
===£oCQGa===

v ũ THỊ LOAN

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUÂN
• VĂN THAC
• SĨ TO ÁN HOC
•
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của G S . T S K H . N g u y ễ n X u â n T ấn. Sự giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực
hiện luận văn này đã giúp tôi trưởng thành hơn rất nhiều trong cách
tiếp cận một vấn đề mới. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng
sâu sắc nhất đối với thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ,
động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học Thạc
sĩ cũng như hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

V ũ T h ị L o an


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của G S . T S K H . N g u y ễ n X u â n T ấn.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

V ũ T h ị L o an


M ục lục
D a n h m ụ c k í h iệ u

2

M ở đầu

4

C h ư ơ n g 1. K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

7

1 . 1 . Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù

7

1 . 2 . Sự tồn tại nghiệm

9

1.3. Tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát

14

K ế t lu ậ n

37

T ài liệu th a m k h ả o

38

1


D an h m ục kí hiệu
N : tập số tự nhiên
M : tập số thực
ệ : thuộc, không thuộc của một phần tử đối với một tập hợp
0 , L_ : tập rỗng, tập con
H : không gian Hilbert thực
l2 : không gian các dãy bình phương khả tổng
Mn : không gian Euclide n-chiều
R” : ortan không âm trong R n
RnXm : không gian các ma trận thực cấp n K m
M — {ĩĩiịị) : ma trận với các phần tử là rriij
det M : định thức của ma trận M
M T : chuyển vị của ma trận M
M “ 1 : nghịch đảo của ma trận M
lỵ : ma trận đơn vị cấp k
diagịu) : ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo bằng
các thành phần của véc-tơ u
[xk} : dãy các phần tử
\x

I : chuẩn của véc-tơ

X 1 , X 2 , X 3, . . .
X

( x , y } : tích vô hướng của véc-tơ X và y
r\ , u , K : giao, hợp, tích Decart
F : u —>V : ánh xạ từ u vào V
B [ u , r ) : hình cầu mở tâm u bán kính r
2


B{ u, r ) : hình cầu đóng tâm u bán kính r
V I { K , F) : bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi tập K và
ánh xạ F
C P { K , F ) : bài toán bù xác định bởi nón K và ánh xạ F
L C P { M , q) : bài toán bù tuyến tính xác định bởi ma trận M và véc-tơ

q
S o l{ K ,F ) : tập nghiệm của V I { K , F ) hoặc C P { K , F )
S o l{M ,q ) : tập nghiệm của L C P { M , q )

3


M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu đóng vai trò quan trọng,
có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống. Những bài toán này
được coi như những bài toán điển hình của bài toán cân bằng.
Toán tử đơn điệu được nghiên cứu từ đầu những năm 1960. F. Brow­

der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên
cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic.
P. H artm an và G. Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân
với toán tử đơn điệu. Toán tử đơn điệu được sử dụng trong nghiên cứu
phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic, trong
nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu và cân bằng. Cho đến bây giờ toán tử
đơn điệu tiếp tục là một đề tài được các nhà toán học quan tâm nghiên
cứu .
Khái niệm toán tử giả đơn điệu được giới thiệu bởi

s.

Karam ardian,

là một mở rộng quan trọng của toán tử đơn điệu. Tác giả đã chỉ ra rằng,
một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn điệu. Từ đó,

s.

Karam ardian và

s.

Schaible đưa ra một số khái niệm đơn điệu tổng

quát như giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, và tựa đơn điệu. Tác
giả thiết lập mối quan hệ về tính đơn điệu của các toán tử tương ứng
với tính đơn điệu của các hàm. Nó cho thấy rằng toán tử giả đơn điệu là
trường hợp đặc biệt của toán tử tựa đơn điệu. Trong thập kỉ qua, sự tồn
4

tại nghiệm và phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân
giả đơn điệu được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và
ứng dụng trong thực tế. Sau khi được học những kiến thức về bất đẳng
thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã
chọn đề tài: “P h ư ơ n g p h á p h iệ u c h ỉn h T ik h o n o v cho b à i to á n b ấ t
đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n g iả đ ơ n đ iệ u ” .

2. M ục đích nghiên cứu
Giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân, đưa ra định nghĩa, các
khái niệm liên quan, sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nó. Giới
thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải bài toán bất đẳng thức
biến phân giả đơn điệu và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm của phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov.

3. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sự tồn tại
nghiệm, phương pháp tìm nghiệm.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu các bài báo đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và các
sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu và ứng dụng của chúng
trong việc giải phương trình, bất phương trình...T ham gia các xemina
về giải tích phi tuyến liên quan đến các ánh xạ đơn điệu và giả đơn điệu.

5


Sử dụng các phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng

các phương pháp của giải tích hàm.

5. Đ ón g góp mới của luận văn
Luận văn trình bày tổng quan có hệ thống cùng với sự phân tích
về một số tính chất của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa ra
phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu.

6


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh, được sử dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng. Nhiều bài toán về lý
thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bất đẳng thức biến
phân. Để dễ hình dung ta xét bài toán trong không gian

1.1. B ất đẳng thức biến phân và bài toán bù
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. ( Xem(ỊỊT2], Định nghĩa 1.1)) Cho một tập con K
khác rỗng của

và ánh xạ F : K —> R n. Bài toán bất đẳng thức biến

phân, được ký hiệu Vlị^K^P), là bài toán tìm UT'^ K sao cho
< № ') , u - u r- ) ^ 0, V«

K.

(1.1)

u ụ được gọi là nghiệm của bài toán.
Tập hợp những điểm ủ" thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của
V I { K , F) và được kí hiệu là Sol{K, F). Sau đây, ta luôn giả sử rằng K
là tập lồi đóng, khác rỗng và F là ánh xạ liên tục trên K .
Khi K là một nón (nghĩa là u £ K thì TU & K với mọi vô hướng
r ^ 0) thì ta có bài toán sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2. Cho nón lồi K và ánh xạ F : K

7

Bài toán bù,


kí hiệu C P {K , F), là bài toán tìm u v t K sao cho
F{u*)zK%

ự { u * ) , u * } - 0,

(1.2)

trong đó, K r là nón đối ngẫu của K , được định nghĩa
Kr

[d &M 7 {d, u ) ^ Q :V u ^ K \ :

(tức là K v bao gồm mọi véc-tơ d sao cho d tạo với véc-tơ u bất kỳ thuộc
K một góc không tù).
Nếu u t K và F [ u )

K r thì u được gọi là véc-tơ chấp nhận được của

C P {K , F ) . Nếu bài toán C P { K , F) có một véc-tơ chấp nhận được thì
nó được gọi là có tính chấp nhận được.
Khi F là ánh xạ affin, nghĩa là F [ u ) — M u

q với M ĩ:

q t Kn

và K — M ị (trong trường hợp này K r — K” ), C P { K : F ) được gọi là bài
toán bù tuyến tính L C P { M , q)\
u' ^ 0, M u ' + q ^ 0, \ M u ' + q, u*y — 0.

(1.3)

Kết quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa V I { K , F ) và C P { K , F).
M ệ n h đ ề 1.1.1. Cho K là một nón lồi trong

Khi đố, u* là nghiệm

của V I { K , F ) khi và chỉ khi u* ỉà nghiệm của C P {K , F).
Chứng minh. Đ iề u k iệ n c ầ n . Giả sử u* là nghiệm của V I { K , F ) , rõ
ràng u* ^ K. Bằng cách lấy u — 0 £ K : trong (1.1) ta có

Lấy u — 2u v t K , trong (1.1) ta được


suy ra
Ợ V ) , «• >-<>.

Nói cách khác điều này cho thấy
< F (V ), u - v T } -

u> -

u ) ^ 0, Vu ẸF X.

Tức là,
{F {uíc):u ) ^ 0 :V u t K.
Vì vậy,
F (V ) t K \
Thế nên, u* là nghiệm của C P { K , F ).
Đ iề u k iệ n đ ủ . Giả sử

là nghiệm của C P { K , F), ta có

ự { u r), u - u * } = ự { u ) , u > - < № * ), u ) ^ 0, Vu =7 X.

Vì vậy,

là nghiệm của V I { K , F )

□

1.2. Sự tồ n tại nghiệm
Trước hết ta nhắc lại định lý điểm bất động của Brouwer rất quan
trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong
phương trình toán tử.
Đ ịn h lý 1.2.1. ( Xem(|Ị], Định lý Brouwer)) Cho K t_ Kn khác rỗng,

compact và lồi, ánh xạ F : K

K ỉỉên tục. Khi ấy, F có một điểm bất

động, tức là tồn t ạ ỉ x ^ K ^ x — F{x).

9


B ổ đ ề 1.2.1. ( Xem([lJ, Bổ đề 2.1)) Cho K là một tập con lồi đóng
khác rỗng của không gian

Khỉ đó với mỗi u t

có duy nhất V t K

sao cho
\u — V I — inf \u — w
wtK

(1.4)

Điểm V thỏa mẫn ( 1 .4 ) được gọi là hình chiếu vuông góc của u lên K và
ta ký hiệu
V = PK (u).
Chú ý rằng
P r [Ù) — u, Vu ^ K.
Đ ịn h lý 1.2.2. ( Xem([lJ, Định lý 2.3)) Cho K là tập lồi đóng trong
không gian Mn thì V — PK [ù) là hình chiếu của u lên K khi và chỉ khi
V

t K : (y, w — v} ^ K.

Chứng minh. Cho u t Kn và V — P k { u ) t K , vì K lồi nên
(1 —t)v + tw — V + t[w — V), Vu; t K, 0 ^ t ^ 1,
và vì vậy, theo Bổ đề 1.2.1 hàm
ậ[t) — Iu — V — t[w — v) |2 — \u — V |2 —2t (u — V, w — v} +-12 \w — V
đạt cực tiểu tại í — 0 nên 4>{0 ) ^ 0 , tức là
'u — V, w — v} ^ 0, Vw £ K ,
hoặc
(V, w — v} ^ (u, w — v} ,w ^ K.
10


Măt khác, nếu:
V ь К

: (y, w — v )

^

(u, w — v } ,w ь K ,

thì

^ (v —u, [w —u) +- [u —v ) } ^ —\u —V |2 -|-(y —u, w —Ù),

0

Vì vậy,
\v — и |2 ^ (y — u, w — Ù) ^ \v — u \\w — u\.
Từ đó, ta có
\u — w I ^ \u — V I, Vu? ĨT к ,
hay
V - Pjr(u).

□
H ệ q u ả 1.2.1. ( Xem([TJ, Hệ quả 2.4)) Cho

к

là tập lồi đóng trong

không gian Rn; thì PK ỉà toán tử không giản, tức là
\Рк{и) — Р к [ и ) I ^ \u — ủ I, Уи, и t Kn.
Chứng minh. Cho trước u :u ^ Kn, cho V — P k { u ) và V — Р к [ и ), lúc
này
V t К : ( v : w —v} ^ (и, w —v } , w t к ;
V ь К : (^и , W-V У 'ỈĨ
Та chọn

w — V

и , w —V ^>, W ^ К.

cho bất đẳng thức đầu và w — V cho bất đẳng thức thứ

hai, thêm vào đó ta có

hay
V —V

< u —u

□
Dựa vào Định lý điểm bất động Brouwer ta chứng minh được sự tồn
tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1).
Đ ịn h lý 1.2.3. ( Xem([lJ, Định lý 3.1)) Cho K khác rỗng, K L_

là

tập khác rỗng, compact và lồi, ánh xạ F : K — M.n liên tục. Khi đó, bài
toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm, tức là tồn tại u r' t K thỏa
mẫn
( F { u * ) , u - u ụ) ^ 0 , V u ^ K.
Chứng minh. Xây dựng ánh xạ ệ(u) := PK [u - F[u)).
Ta có
ệ -.K ^ K .
Do F liên tục trên K và phép chiếu PK liên tục nên ộ liên tục. Vậy theo
Định lý điểm bất động Brouwer tồn tại
u r’ — ậ[uv).
Theo định nghĩa của ậ, thì
ủ" — ậ{uụ) — PK {uụ — F { u ụ)).
Theo tính chất của hình chiếu và Định lý 1.2.2, ta có
{F {ur- ) , u - u vy ^ ü ^ u ^ K.
12

□

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.

Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K
không bị chặn, ví dụ nếu K — M thì bài toán
^ 0, ' i v ỉr

F [ u ) { y — u)

K :

không có nghiệm khi F{u) — eu.
Tiếp theo định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm.
Cho tập lồi K 7^ 0 , đặt K^L — K n

trong đó

là hình cầu đóng

bán kính R và tâm o c R". Khi đó K R là tập compact. Vậy theo Định
lý 1.2.3, ta có
uR t K R : ( F ( ur ), v - ur ) ^ 0, Vi; t K R•
Đ ịn h lý 1.2.4. ( Xem([lj, Định lý 4.2)) Cho K

( 1.6)

Mn là tập lồi, đóng,

khác rỗng và ánh xạ F : K —> Mn liên tục trên K . Điều kiện cần và đủ
để tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại
một số R > 0 sao cho có một nghiệm UR & K R của bài toán (1.6) thỏa
mẫn
\ur \ < R .

(1.7)

Chứng minh. Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm u của bài toán (1.1)
thì u là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là
\u I < R,
vi

u £ Kỵ, c_ K
13


Giả sử UR t K R thỏa mãn IUR I < R , thì UR cũng là một nghiệm của bài
toán (1.1)
T hật vậy, vì

\ uR \

< R , cho

V

t K,

w — UR + e [ y — UR )

t K R với

£

^ 0 đủ

nhỏ. Vì vậy

R>-

UR t K R í- K : 0 ^ \ F { u r ), w - U

R>,Vv t

£ ( F { u r ),v - U

K.

Điều này có nghĩa là UR là một nghiệm của bài toán (1.1).

□

Từ định lý này ta có thể rú t ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại
nghiệm. Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau
H ệ q u ả 1.2.2. ( Xem([TJ, Hệ quả 4.3))Nếu F : K —>
■R n thỏa mãn
{F{u) - F{uữ), U - U q>
--- ---------- --------------------- » 30
\u — u ữ\

khi

u^K ,

\u I —y -j-x>

(1-8)

với Uq nào đó thuộc K , thì tồn tại m ột nghiệm đối với bài toán (1.6)

1.3. T ính đơn điệu và đơn điệu tổn g quát
Dưới đây ta chỉ ra rằng một trong những tính chất của toán tử đảm
bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. ( XemỊỊĨÕ]) Ánh xạ F : K —>W 1 được gọi ỉà:
(a) Đơn điệu nếu
\ F { u ) —F{y), u — V ) ^ 0, Vw, V t K]
14


(b) Dơn điệu mạnh nếu d'y > 0 sao cho
( F { u ) — F { v ) , и — v } ^ 7 \u — V |2, Vw, V ^ К]

(c) Giả đơn điệu nếu
(F[u), V — ù) ^ 0 =?►(_F(v),v — ù) ^ 0,
với mọi u , v t К]
(d) Giả đơn điệu mạnh nếu tồn tại
(-F(w), V — ù) ^ 0

7

> 0 sao cho

(F{v), V — ù) ^

7

|w —V |2,

mọi u , v ^ K-,
(e) Tựa đơn điệu nếu
{F{u), V — и} > о

(-Р'(г)), V — и} ^ О,

mọi u , v е К]
Rõ ràng (а) =р- (6)(_d) =^- (_е) và (а)

(с)(_d) =^- (е). Ngược lại

chưa chắc đúng. Không có mối liên hệ giữa [b) và (c).
M ệ n h đ ề 1.3.1. Cho К c_ Mn lồi, đóng và F : к —у Mn liên tục.
(a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì V I { K , F ) có nhiều nhất một nghiệm.
(b) Nếu F giả đơn điệu thì S o l { K , F ) lồi.
Chứng minh. Giả sử F giả đơn điệu m ạnh với vô hướng

7

> 0 và ì / , V* t

S o l{K ,F ). Khi đó

( F { v r-), u r- - v r- ) ^ 0 và ự i y * ) , v r15

\ur- - v r-\2.


Từ đó suy ra 0 ^

7

|u* — Vv \2 ^ u r' — Vv. Khẳng định (a) được chứng

minh.
Bây giờ, cho F liên tục và giả đơn điệu. Để chứng minh (6) ta chỉ ra
rằng
S o l{ K ,F ) - O '
ubK
T hật vậy, nếu u r' t S o l ( K , F) th ì (F { u v),u — u vy ^ 0 với mọi u t K . Vì
F giả đơn điệu nên (-F(u), u — u vy ^ 0,Vu t K. Do đó, u* thuộc vế phải
của đẳng thức trên. Trái lại, giả sử u* thuộc vế phải của đẳng thức. Lấy
u t K

tùy ý, từ TU* + [1 —t ) u t K với mọi Tt (0 ,l),ta có
( F [ t u v -\- (1 — t ) u ), u — u*y ^ 0 , V r t ( 0 , 1 ) .

Cho

T

—*■1 tâ được (F{u*),u — u*y ^ 0. Do đó, UT' t Sol{K, F). Với mỗi

u ĨT K thì tập [u* t K : ( F { u ),u — u*y ^ 0} lồi và vì giao của các tập
lồi là tập lồi nên S o l { K , F ) lồi.

□

Trong chứng minh Mệnh đề 1.3.l|(b) ta thấy nếu F liên tục và giả
đơn điệu trên nón lồi K th ì u* t Sol{K, F) khi và chỉ khi
( F { u ) , u - u ) ^ 0 , V u ^ K.
Đây chính là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Nội
dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [TỊ, ỊH].

16


Chương 2
Phư ơng pháp hiệu chỉnh T ikhonov
cho bài toán bất đẳng thứ c biến
phân giả đơn điệu
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh T ikhonov
Một trong những ý tưởng cơ bản trong việc tìm nghiệm của bất đẳng
thức biến phân là sự thay thế bài toán ban đầu bằng một dãy các bài
toán mà ta dễ tìm nghiệm hơn. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết
tắ t TRM) là một trong những phương pháp như vậy.
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho bất đẳng thức
biến phân đơn điệu. Vì bài toán đơn điệu có thể không có tính chất ổn
định như bài toán đơn điệu mạnh. Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu
bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Điều thú vị là sự nghiên cứu bài
toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến
phân đơn điệu.
Xét bài toán V I { K , F ) trong không gian

nhất của

Kí hiệu ánh xạ đồng

là I và đặt Fe — F + e l với mọi £ > 0. Để giải bài toán

V I { K , F ), ta giải dãy bài toán V I { K , F £k) với [£k\ là một dãy số thực
dương hội tụ tới 0 và F£k — F

£kI. Với mỗi k t N, chọn một nghiệm

17


u k t Sol{K, F£k) và tính giới hạn lim u k. Khi giới hạn tồn tại, ta có thể hi
vọng nhận được nghiệm của V I ( K , F). Để kết thúc quá trình tính toán
sau một số hữu hạn bước và nhận được nghiệm xấp xỉ của V I { K , F), ta
đưa ra tiêu chuẩn dừng. Chẳng hạn, ta có thể kết thúc quá trình tính
toán khi Iu k —

1 ^ 9, với 9 > 0 là hằng số.

Đ ịn h lý 2.1.1. ( Xem([5j, Định lý 2.2)) Giả sử rằng K c_

là tập lồi,

đóng, khác rỗng, F : K —>
■M.n là ánh xạ giả đơn điệu liên tục. Nếu bài
toán V I { K , F ) có nghiệm thì
(a) Sol{K, Fe) khác rỗng và compact với mọi £ > 0;

(b) Dẫy

với (w(£)f thuộc S o l{ K , Fe) hội tụ tới phần tử có chuẩn

nhỏ nhất trong S o l { K , F ) khỉ £ —r 0-1-;
(c) lim dỉamSol{K, Fe) — 0; với d ỉa m ũ
eịo
đường kính của tập ũ ^ Rn.

sup( \u — V I : u , v E Of ỉà

2.2. Vấn đề mở liên quan đến phương pháp hiệu
chỉnh T ikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến
phân giả đơn điệu
Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ
của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu
K c_ Kn là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K —>№.n là ánh xạ giả đơn điệu
liên tục và bài toán V I { K , F ) có một nghiệm, khi đó có tồn tại £i > 0
sao cho ánh xạ FB — F -\-EỈ là giả đơn điệu với mỗi £ t (0, £i) hay không?
18


Có tồn tại e2 > 0 sao cho bài toán V I { K , F e) có duy nhất nghiệm với
mọi £ e (0, £2) hay không?
Ta sẽ xét ví dụ sau đây để trả lời phủ định câu hỏi thứ nhất.
V í d ụ 2.2.1. ( Xem(|l4j, Ví dụ 2.1)) Cho F xác định bởi
F{U!,U2) = [u\ +- u ị ) { - u 2, u 1)T, Vu = {ии и 2) t м 2,
với chỉ số trên aT ký hiệu ma trận chuyền vị. Rõ ràng F khả vi liên tục
nhưng không liên tục Lipschitz trên M2. Và
Sol[R2, F ) - U 0,0)T}.

Ánh xạ hiệu chỉnh Fe của F được cho bởi
F£[u ) — F [и] + eu
-

[u\ + u2) { - u2, u 1)t + г{иъ и 2)т

-

(_(_«? -h u ị ) { - u 2) + £Щ, IuỊ -H u\)ui -H £U2)T,

với mọi и — {ии и 2)т t R 2. Mặc dù F giả đơn điệu trên R 2 nhưng F£
không giả đơn điệu trên R 2 với г > 0 tùy ý.
Ta sẽ nghiên cứu câu hỏi thứ hai trong phần tiếp theo.

2.3. T ính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh
2.3.1. B ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n k h ô n g rà n g b u ộ c
Sự hội tụ của lớp các ánh xạ giả đơn điệu, đặc biệt là ánh xạ giả affin
đã được giới thiệu và đưa ra các tính chất bởi M. Bianchi, N.Hadjisavvas
19


và s. Schaible. Để dễ trình bày ta giới hạn trong luận văn này cho
trường hợp ánh xạ là giả affin. Ta xét ánh xạ F : K —* M.n có dạng
F{u) — M u + q, F không nhất thiết giả affin nhưng Fe — F + e l là giả
affin, với £ > 0 đủ nhỏ. Ta đưa ra điều kiện đủ để bài toán bất đẳng
thức biến phân liên quan tới Fe — F + e l có nghiệm duy nhất.
Đ ịn h n g h ĩa 2.3.1. Cho K là tập con của

Ánh xạ F : K

W 1 được

gọi là giả affin trên K nếu F và —F đều giả đơn điệu.
Khi K —

ta có tính chất tiếp theo về ánh xạ giả affin được chứng

minh bởi M. Bianchi, N. Hadjisavvas và s. Schaible. Các tác giả đã sử
dụng hai định lý từ hình học đại số và hình học xạ ảnh.
Đ ịn h lý 2.3.1. ( Xem [2]) Ánh xạ F : W 1 —> W 1 là giả affin khi và chỉ
khi tồn tại ma trận đối xứng lệch M

1

1 ^ " , nghĩa là M T — —M , véc-tơ

q t Rn và một hàm số dương g : Mn —>• M sao cho
F [ u ) — g{u){Mu +- q), Vw t Mn.
Ta chứng minh được các kết quả sau.
Đ ịn h lý 2.3.2. Giả sử F { u ) — g{u){Mu +- q) với g :

—>K ỉà hàm số

dương khả vỉ liên tục, M t Rn*n là ma trận đối xứng lệch và không suy
biến, g c l " là véc-tơ tùy ý cho trước. Khi đố tồn tại £ > 0 sao cho bài
toán hiệu chỉnh V I { K , F S) có nghiệm duy nhất với mọi £ ỉr (0,ẽ).
Nếu det M

0 và M T — —M , khi đó n phải là số chẵn. Điều này chỉ

ra rằng giả thiết của Định lý 2.3.2 là khá chặt chẽ. Ta tìm cách để mở
rộng khả năng áp dụng của Định lý 2.3.2, P hát biểu sau là mở rộng của
20


Định lý 2.3.2, Nó đưa ra điều kiện đủ về tính duy nhất nghiệm của bài
toán hiệu chỉnh cho lớp bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Vì định
lý sau là mở rộng của Định lý 2.3.2 nên ta không cần chứng minh riêng
hai định lý này.
Đ ịn h lý 2.3.3. Giả sử F :

—>

là ánh xạ có dạng

F [ u ) = g(u){Mu H- q),
với g :

—»■К ỉà hàm số dương khả vi liên tục, M b R w n là ma trận

nửa xác định dương, không suy biến, v à q ^ R n. Khỉ đó tồn tại £ > 0 sao
cho bài toán hiệu chỉnh V I { K , Fe) có nghiệm duy nhất với mọi £ t (0, ẽ).
Để chứng minh Định lý 2.3.3 ta cần các kết quả phụ sau đây:
B ổ đ ề 2.3.1. Nếu К ^ шп là tập compact, lồi, khác rỗng, g : R7^
là hàm số dương khả vi liên tục thì ánh xạ
u

G(u)

9{ u Ỵ

là liên tục Lipschitz trên к .
Chứng minh. Vì g dương và khả vi liên tục trên
tục trên

Với mọi u , v

nên G khả vi liên

K , bằng phương pháp Định lý giá trị cho

hàm giá trị véc-tơ ta có
\G{u) — G{v) I ^

sup |VƠ(^í;) I \u — V I ^ L \u — V I,
wb L
’ltji’J

sup |VG(_iü) I là hữu hạn vì к compact và VG{w) liên tục. Do
wbB
đó, G{u) là Lipschitz trên к với hằng số Lipschitz L.
□

với L

21


B ổ đ ề 2.3.2. ( Xem [2J và [6J) Cho G : Mn —> Mn có dạng
G{u) — M u +- q,

với M ^

rà Ç e E n. Khi đớ; G giả đơn điệu

trên Kn khi và chỉ khi

M ỉà nửa xác định dương.
Chứng minh. Đ iề u k iệ n đ ủ . Nếu M là nửa xác định dương thì
( M u , и} ^ 0 j V m c K " .

Do đó, với и, V bất kỳ thuộc Mn ta có
( G[v) — G[u), V — и) — Ọắ{v — и), V — ù) ^ 0.
Nghĩa là ánh xạ G là đơn điệu trên Mn. Do đó, G giả đơn điệu trên
Đ iề u k iệ n c ầ n . Cho G giả đơn điệu trên Mn. Lấy и tùy ý thuộc Rn, ta
phải chứng m inh ( М и ,и ) ^ 0. Giả sử trá i lại ( М и ,и ) < 0. Với

V

£ Rn

tù y ý th ì đại lượng

(G(tu), V — tu} — —t2 {Mu, ù) -ị- t[{Mu, V} — (ợ, u)J + ( q, V},
là dương với t > 0 đủ lớn. Do đó, vì G giả đơn điệu nên ta

có

(G{y), V — tuУ — ( G{v): v} — t ( M v -ị- q ,ù ) > 0,
với mọi í > 0 đủ lớn. Do đó \ M v -\-q,u} ^ 0 với mọi V t Rn. Thế
V

—

— tu

với

t -

R vào bất đẳng thức cuối ta được
Ợẩ[_—tu) + q, ù) ^ 0.

Cho t

-fx) và kết hợp với giả thiết ( M u, иу < 0, ta nhận được điều

mâu thuẫn.

□
22