bai toan khao sat ham so và mot so bai toan lien quan

CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A- Kiến thức cần nhớ
a, Các bước khảo sát hàm số
- Tìm tập xác định:
Lưu ý: hàm số bậc 3, bậc 4 có tập xác định D = ¡ , hàm phân thức
y=

-

ax + b
(ad − bc ≠ 0, c ≠ 0) có tập xác định D = ¡
cx + d

Sự biến thiên:
• Xét chiều biến thiên:
+)Tính y’
+) Tìm điểm tại đó y’=0 hoặc không xác định
+) Xét dấu y’ và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số
• Tìm cực trị: tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực
tiểu
Lưu ý: Hàm phân thức y =

-

-

-

-

 −d 
\ 
 c 

ax + b
(ad − bc ≠ 0, c ≠ 0) không có cực
cx + d

trị.
• Tìm giới hạn
• Lập bảng biến thiên
Đồ thị
+) Xác định giao điểm của đồ thị với ox, oy. Hoặc xác định tọa độ các
điểm đồ thị đi qua
+) Vẽ các đường tiệm cận( nếu có)
+) Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
b, Dạng bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành
độ x0 thuộc đồ thị.
Phương pháp:
+) Tính y’
+) Tính f '( x0 )
+) Tính f ( x0 )
+) Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
Viết phương trình tiếp tuyến, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k
Phương pháp:
+) Tính y’
+) Giải phương trình y ' = k để tìm ra các giá trị x
+) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là x cụ thể ở trên.
Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

d: y = ax+b


-

Phương pháp:
+) Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: y = ax+b nên suy ra
hệ số góc của tiếp tuyến bằng a
+) Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc là a
Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y=ax+b
Phương pháp:
+) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên hệ số góc của
tiếp tuyến cần tìm là

−1
a

+) Viết phương trình tiếp tuyến với hệ số góc là

−1
.
a

c, Dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) xác định, liên tục trên

[ a; b]
Phương pháp:
+) Tính đạo hàm f’(x)

+) Tìm các điểm x1 , x2 ,... trên ( a; b ) mà f '( x) = 0 hoặc f '( x) không xác
định.
+) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f (a), f (b)
+) Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số trên tương ứng là giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho.
B- Bài tập vận dụng
Câu 1 (Tốt nghiệp bổ túc 2004)
Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có đồ thị (Cm), m là tham số.
a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1..
Câu 2 (Tốt nghiệp phổ thông 2004)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
y = 2sin x − sin 3 x trên đoạn [0 ; π].
3

b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = − x + 1 −

4
trên đoạn [-1;2].
x+2

1
9
4
2
3
d, Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x − 2 x 2 − 7 x − 1 trên đoạn [-2;2].
4
2

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − x + 3 trên đoạn [-2;1].

Câu 3 (Tốt nghiệp phổ thông 2009).


Cho hàm số y =

2x +1
.
x−2

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
– 5.
Câu 4 (Tốt nghiệp phổ thông 2010)
1
4

3
2

3
2
Cho hàm số y = x − x + 5.

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b, Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm
thực phân biệt.
Câu 5 : (Đề tốt nghiệp 2012)
1

4

4
2
Cho hàm số : y = f ( x) = x − 2 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 , biết
f "( x0 ) = −1 .

Câu 6: (Đại học khối B - 2003)
- Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1)
(m là tham số)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
b,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2 .
Câu 7: (Đại học khối B – 2004)
1
3

Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x

(1)

có đồ thị (C).

a, Khảo sát hàm số (1).
b, Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là
tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 8: (Đại học khối D – 2005)
1

3

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = x 3 −

m 2 1
x + (*) ( m là tham số).
2
3

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 2.
b, Gọi M là điểm thuộc (C m) có hoành độ bằng –1.Tìm m để tiếp tuyến của (C m)
tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
Câu 9: (Đại học khối B – 2008)
Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1
(1).
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).


b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua điểm M(-1;-9).
Câu 10 (Cao đẳng 2010)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 – 1.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng – 1.
Câu 11: Cao đẳng 2011
1
3

3
2
Cho hàm số: y = − x + 2 x − 3x + 1.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 12. CĐ- 2012
Cho hàm số y =

2x + 3
(1)
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc
với đường thẳng y = x + 2.