bi kiep giai he phuong trinh Dai Hoc trong 10 phut

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT
- Khi máy tính casino bó tay
- Khi các kỹ năng phân tích nhân tử đưa về phương trình tích vô hiệu hóa
 Các em học sinh sẽ phải xử lý thế nào ? Hãy áp dụng những phương
pháp cực hữu ích sau đây

Chuyên đề 2. Phƣơng pháp nhân chia giải hệ phƣơng trình
1. Dấu hiệu nhận biết:
 Trƣờng hợp 1: Hệ phương trình tích
 Trƣờng hợp 2: Hệ phương trình chưa phải là hệ phương trình tích nhưng
có thể sử dụng các biến đổi đại số để đưa về hệ phương trình tích

Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình

x
( x  y ) y 
2

( x  y ) x  3 y


(1)
(2)

Điều kiện: x, y  0
+) Dễ thấy x  y  0 là 1 nghiệm của hệ
+) Với x, y  0 , chia 2 vế của phương trình (1) và (2) cho nhau ta được:

( x  y) y

x

( x  y) x 6 y
 6 y( x  y)  x( x  y)
 x2  5xy  6 y 2  0


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán



x  3y

x  2y

Với x  3 y , thay vào phương trình (1) ta được:

3y
2

2y y 

3y
4
3
 16 y  3 y
 y(16 y 2  3)  0
 4 y3 

y  0

 
3
y

4

Đối chiếu với điều kiện ta được:

y

3
3 3
 x
4
4

Với x  2 y , thay vào phương trình (1) ta được:

y y

2y
2

 2y y  2y

 4 y3  2 y

 2 y(2 y 2 1)  0
y  0
   2

y

2

Đối chiếu với điều kiện ta được:


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

2
 x 2
2

y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0, 0); (

2
3 3 3
,
) ; ( 2,
).
4
4
2

Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình
 ( x 1) y 2  x  y  3

2

 ( y  2) x  y  x  1
 ( x 1) y 2  ( x 1)  2  y

 

2
 ( y  2) x  ( y  2)  x 1

 ( x 1)( y 2  1)  2  y

 

(1)
(2)

2
 ( y  2)( x  1)  x 1

+) Nhận thấy x  1, y  2 là nghiệm của hệ phương trình.
+) Với x  1, y  2 , nhân 2 vế của phương trình (1) và (2) cho nhau, ta được:

( x2 1)( y 2 1)  1
Do

(3)

x2  1  1
y2 1  1

 VT (3)  VP(3)

Khi đó VT(3)=VP(3)  x  y  0 .
Thay x  y  0 vào hệ ban đầu không thỏa mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1,2).
Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình

1
 (4  y  2 x ) x  2 3


 (4  1 ) y  4

y  2x


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Điều kiện: x, y  0

1
2 3

4 
y  2x
x

Hệ phương trình  
4  1  4

y  2x
y


(1)
(2)

Cộng 2 vế của phương trình (1) và (2), trừ 2 vế của phương trình (1) và (2) ta được hệ :

2 3

8 
x


2
 2
 y  2x 


4
y

(3)

3 4

x
y

(4)

Nhân 2 vế của phương trình (3) và (4) ta được:

16
12 16
 
2x  y x y
 8x2  2 xy  3 y 2  0

 


1
y
2
3
x y
4

x

(thỏa mãn)
(loại)

Với y  2 x , thế vào phương trình ban đầu ta được:

1 
x 2 3
4
4 x 


 (16 x 1) x  8x 3

 16 x 1  8 x 3
 (16x 1)2  192 x


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

 256 x 2 160 x  1 0

5 2 6
x 
16


52 6
x 
16


52 6 52 6 
52 6 52 6 
Vậy hệ có 2 nghiệm 
,
,
 và 
.
16
8
16

8




2. Bài tập tự luyện

1
 (1  y  x ) 3x  2

Bài 1. 
 (1  1 ) 2 y  4 2

yx

 (1 

Bài 2. 
 (1 


12
) x 2
y  3x
12
) y 6
y  3x

(Còn tiếp)