Xấp xỉ euler maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính

BỌ GIAO DỤ C VẢ ĐÁO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

B Ù I THỊ N H U N G

XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
•

LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC

Hà Nội - 2015

•

•


BỌ GIAO DỤC VẢ ĐÁO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

B Ù I THỊ N H U N G

XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
•

•

C huyên ngành: Toán ứ n g dụng
M ã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TO ÁN HỌC

N gười hư ớ n g d ẫ n k h o a học: T S . N G Ô H O À N G L O N G

Hà Nội - 2015

•


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn th à n h với lòng tri ân sâu sắc m à tôi kính gửi đến các
thầy cô, bạn đồng khóa và gia đình th â n thương của tôi.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T S . N g ô H o à n g L o n g ,
người th ầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tậ n tìn h hướng dẫn và giúp đỡ
tôi hoàn th à n h luận văn này.
Tôi xin chân th à n h cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư P h ạm Hà Nội 2 đã nhiệt
tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tố t n h ấ t cho tôi trong thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh th àn h,
nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tậ p tố t n h ất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin chân th à n h cảm ơn các b ạn đồng khóa cao học K17 - đợt
2 (2013-2015) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi hoàn th à n h luận văn này.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Học viên

Bùi Thị N hung


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn th à n h tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của T S . N g ô H o à n g L o n g .
Tôi xin cam đoan luận văn là công trìn h nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trìn h nghiên cứu và hoàn th à n h luận văn tôi đã kế th ừ a những
th à n h quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trâ n trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên

Bùi Thị N hung


2.3.2
2.3.3
2.3.4
3

1

T ính bi chăn của momen nghiêm
Chứng m inh kết quả chính
Tốc độ hội tụ

Số h ó a và m ô p h ỏ n g t r ê n m á y tín h
3.1 Mô hình chuyển đông Brown hình lOC
3.1.1 Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown hình học
3.1.2 X ấ p x ỉ E [ X i | 2l
3.1.3 C’oHfi Ma,tla,hl.
3.2 Mô hình G inzburg - Landau
3.2.1 Mô phỏng quỹ đạo của nghiệm phương trìn h Ginzburg_______ Ijfl.nna.ni ■ ■ ■ ■
3.2.2 Xấp xỉ E [|X i|2ì
3.2.3 Code Matla.hl.
3.3 Đ ánh giá kết quả mô phỏng

45

50
50
50
50
54
55
55
58
58
60

K ế t lu ận

61

T à i liệ u t h a m k h ả o

62

4


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết quá trìn h ngẫu nhiên với thời gian liên tục đã có những bước p h át
triển đột p h á nhờ các nghiên cứu tiên phong của N. Wiener, A. Kolmogorov, p.
Levy, K. Itô. Một trong những lớp quá trìn h ngẫu nhiên thời gian liên tục quan
trọng n h ất được xác định thông qua các phương trìn h vi phân ngẫu nhiên dạng
f

dXt = ịi(Xt)dt + ơ ( X t)dWt,

^

Xq =

t >0

X,

với w là một chuyển động Brown và tích p hân đối với dWt được hiểu là tích
p hân ngẫu nhiên Itô.
Trong các ứng dụng thực tế của mô hình trên, những vấn đề cần giải quyết
thường được đưa về bài toán xác định kì vọng của m ột phiếm hàm của X . Do
p hần lớn các phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên trên không thể giải ra nghiệm
m ột cách tường minh, việc xấp xỉ nghiệm là hết sức cần thiết. Một trong những

phương pháp xấp xỉ đơn giản nhưng rấ t hiệu quả và đang được sử dụng rộng
rãi trong thực tế là phương pháp Euler-M aruyam a: Ta chia đoạn [0,T] th à n h n
kT
_
đoạn bởi các điểm chia tk = —— = k A , k = 0
,n. Dãy xấp xỉ x n được xác
n
định bởi
K

=

XL , = K

+ p (X "J A + " (*.",)

- W ,J

.

Nếu ụ, và ơ th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz to àn cục thì người t a đã chứng minh
được rằng tồn tại hằng số Cp không phụ thuộc vào n sao cho

<
Ọp
—

E sup

p_ ĩ

n2

L k

tức là lược đồ Euler-M aruyam a hội tụ theo nghĩa m ạnh với tốc độ bằng
nữa, ta cũng có
n
1

2

Hơn


với mọi hàm / đủ trơn và với hằng số dương c nào đó không phụ thuộc vào n.
Khi đó t a nói lược đồ Euler hội tụ yếu với tốc độ bằng 1.
Việc xác định tốc độ hội tụ m ạnh và yếu của phép xấp xỉ Euler-M aruyam a
trong trường hợp hệ số ịi và ơ không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz to àn cục đến
nay vẫn chưa được tr ả lời m ột cách triệt để. G ần đây, các tác giả H utzenthalerJentzen-K loeden ỊHJ đã chỉ ra rằng khi các hệ số /i và ơ không bị chặn tuyến tính,
lược đồ Euler-M aruyam a không hội tụ theo nghĩa mạnh. Các tác giả này cùng
với Sabanis |Ị6j cũng giới thiệu m ột cải tiến của phương pháp Euler-M aruyam a
để xấp xỉ nghiệm của các phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên có dạng này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm phương pháp xấp xỉ Euler-M aruyam a
cho các phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên với hệ số không th ỏ a m ãn điều kiện
Lipschitz, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “X ấ p x ỉ E u l e r - M a r u y a m a ch o
p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n n g ẫ u n h i ê n vớ i h ệ số k h ô n g b ị c h ặ n t u y ế n t í n h ”
cho luận văn th ạc sĩ của mình.
Luận văn gồm có 3 chương. Chương I trìn h bày một số kiến thức chuẩn bị
về giải tích ngẫu nhiên. Tài liệu th am khảo chính của chương này là Mao Ị5ị|.

Chương II trìn h bày về phép xấp xỉ Euler-M aruyam a. Mục 2.1 trìn h bày về phép
xấp xỉ Euler-M aruyam a cho phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz
to àn cục (tham khảo từ [5] và [T]). Mục 2.2 chứng m inh sự p h ân kỳ của phép
xấp xỉ Euler-M aruyam a khi áp dụng đối với phương trình vi p hân ngẫu nhiên
có hệ số tăn g trên tuyến tín h (tham khảo từ bài báo của H utzenthaler và các
cộng sự (3Ị). Mục 2.3 trìn h bày phương pháp Euler-M aruyam a khống chế áp
dụng cho phương trìn h với hệ số tăn g trên tuyến tính (tham khảo từ bài báo
của Sabanis |Ị6j). Chương III của luận văn tậ p tru n g vào việc nghiên cứu kết quả
của các lược đồ dạng Euler-M aruyam a bằng phương pháp mô phỏng dựa trên
ph ần mềm M atlab. Chúng tôi tậ p tru n g vào hai mô hình là chuyển động Brown
hình học và mô hình G inzburg-Landau ngẫu nhiên.

2. M ục đích nghiên cứu
• Xác định tính ph ân kỳ của lược đồ Euler-M aruyam a cổ điển cho lớp các
phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz toàn
cục.
• Xây dựng phương pháp Euler-M aruyam a cải tiến cho phương trìn h vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăn g trên tuyến tính.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
• Hệ thống kiến thức về phép tín h vi p hân ngẫu nhiên Itô và phương trìn h
vi ph ân ngẫu nhiên.

2


•

Nghiên
cứu tín h p hân kỳ của lược đồ Euler-M aruyam a cholớp

trìn h vi p hân ngẫu nhiên không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz toàn

các phương
cục.

• Xây dựng phương pháp Euler-M aruyam a cải tiến cho phương trìn h vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăn g trên tuyến tính.
• Mô phỏng th u ậ t to án xấp xỉ trên máy tính.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Phương

trìn h vi ph ân ngẫu nhiên.

•

Phương

ph áp giải số phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên.

5. Đ óng góp mới của đề tài
Luận văn làm rõ sự hội tụ theo nghĩa m ạnh của các phương pháp xấp xỉ
nghiệm phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên. Luận văn cũng xây dựng chương trìn h
mô phỏng phép xấp xỉ trên máy tính.

6. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.

3


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1

Không gian xác suất

1.1.1

Đ ịn h nghĩa không gian xác suất

Đ ị n h n g h ĩ a 1.1. Cho íì khác rỗng. Họ A các tập con của íì được gọi là một
đại số nếu th ỏ a m ãn các điều kiện sau đây
i. 0,Í2 € A\
ii.

B e Ả

th ì

n \B

= B c e Ả-,

iii. A, B € A thì
Nếu đại số A th ỏ a m ãn thêm điều kiện
00

00

i i i \ (An)n>! c A thì fl A n e A , u A n e A th ì A được gọi là m ột ơ-đại số.
n= 1

n= 1

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2. Cho íì = R n và c là họ t ấ t cả các tậ p con mở của R n thì
ổ ( R n) = ơ(C) (là (T-đại số bé n h ất chứa c trên Í2) được gọi là ơ-đại số Borel trên
R .
Đ ị n h n g h ĩ a 1.3. Cho Í2 khác rỗng, A là (T-đại số trên Í2 th ì (Í2,^4) được gọi là
m ột không gian đo.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4. Giả sử

là không gian đo, p : A —> [0,1] th ỏ a m ãn

i. P(Í2) = 1;
ii. V(Ẩn)n>i c A sao cho Ai n Aj = 0, Vi Ỷ j- Ta có

Khi đó (Í2,.A,P) là một không gian xấc suất.
4


M ệ n h đ ề 1.1. i. P(0) = 0;
ii. Nếu A , B € А, А п В = $ thì
¥ ( A u B ) = Р(Л) + Р(Я);
iii. Nếu А с В thì Р(Л) < P (ß ).
M ệ n h đ ề 1.2 (Tính liên tục của độ đo xác suất). Giả sử (Í2,.Ẩ) là m ộ t không
gian đo. p : А —> [0,1] ỉà hữu hạn cộng tính, nghĩa ỉà P ( i u ß ) = P(Ẩ) + P(-B),

VA, В € A và P(f2) = 1. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
i. p là ơ-cộng tính;
ii. Nếu (An) с Л, Ai с A 2 с . . . ,

и A n = A thì
n> 1

p (A) = lim Р(Л„);
T í— V

00

iii. Nếu A n с Л, Ai D A 2 D . . fì A n = Ả thì
n> 1

p (A) = lim p (An).
n—ỳ00

1.1.2

B iến ngẫu n hiên và hàm phân phối

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5. Giả sử (Í2, л , P) là m ột không gian xác suất. Ánh xạ X : íì —> R
được gọi là biến ngẫu nhiên (viết t ắ t là bnn) nếu
X ~ l {A) = {w : x(w) €

a

} € A, VA € B(R).

Đ ị n h n g h ĩ a 1.6. Giả sử X là bnn xác định trên không gian xác suất (Í2,.A,P).
Đ ặt
a{X) = { x ~ l {A), A 6 Ổ(R)},
th ì ơ (X ) là (T-đại số. Ta gọi ơ (X ) là ơ-đại số sinh bởi X .
Đ ị n h n g h ĩ a 1.7. Nếu T là một (T-đại số con của Л. Ta nói X là ^ - đ o được nếu
X L l (A) € T , VA £ Ổ(R).
Đ ị n h lý 1.1. Giả sử X và Y là hai bnn, trong đó Y là đo được với ơ (X ) thì tằn
tại hàm đo được f : R —» R sao cho Y = f ( X ) .
Đ ị n h n g h ĩ a 1.8. Hàm p h ân phối của X là
Fx {x) = Ỹ [ X < X].

5


Đ ị n h n g h ĩ a 1.9. Bnn X được gọi là có ph ân phối liên tục tuyệt đối với hàm
m ật độ f ( x ) nếu
Fx{x) =

I

Vx e R.
—

00

Đ ị n h n g h ĩ a 1.10. Bnn X được gọi là có ph ân phối chuẩn N ( a , ơ 2) nếu hàm
m ật độ của X là
1
-(.-ạ)2
f ( x ) = /— y • e

•
V 2iĩơ2

1.1.3

K ì vọn g

Bnn X được gọi là bnn rời rạc nếu X nhận không quá đếm được giá trị. Khi
đó X có biểu diễn
x (w ) =

x nlAn(w ),

(1-1)

n> 1
trong đó

{

khi

1

w GA
■

khi

0

w ỆA

I A được
chỉ tiêu
p Ả và
(A n)
с Л,
Giả sửgọiX làcóhàm
thể biểu
diễncủa
bởitậcông
thức
(1.11
thìx n e R, Vn.
Е[Х] = ^ > ПР(Л П),
n> 1
nếu tổng trên có nghĩa, tức là hoặc ^2 |жп|Р(Ап) <
n> 1
mọi n.
Nếu y là bnn không âm thì

(1.2)
+00

hoặc x n cùng dấu với

E [У] = sup { é [X] : với mọi bn n X là rời rạc, không âm và X < у } .
Giả sử Y là bnn tổng quát. Đ ặt Y + = max {Y, 0} và Y ~ = —min {Y, 0} . Ta có
Y = Y + —Y ~ , |Y| = y + + Y ~ . Bnn Y được gọi là khả tích nếu E |V +] < + 0 0 và

E [ y - ] < + 0 0 . Khi đó kì vọng của Y được xác định bởi
E [У] = E [У+] - E [Y~].
M ệ n h đ ề 1.3. i. Nếu X = a

hầu chắc chắn (tức là P [ x =a] = 1) thì Ерг] = а;

ii. Nếu X > 0 thì E p i] > 0;
iii. Nếu Е[Х] = 0 (trong đó X > o) thì P [ x = 0] = 1, khi đó X = 0 hầu chắc
chắn;
iv. Nếu X > Y thì E p i] > E [У];
V. Tính chất tuyến tính: E[aX + bY] = aE[X] + ỐE[Y].
6


1.1.4

M ột số định lý giới hạn

Đ ị n h lý 1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu). Nếu x n > 0 và x n t X thì E X n —> EX.
Đ ị n h lý 1.3 (Bổ đề Fatou). i. Nếu (x n) là dẫy bnn và 3n ữ : E p í “ ] < +oo thì
lim infE [X n] > E[lim infX n];
ii. Nếu (x n) là dẫy bnn và 3no : EỊX+ ] < +oo thì
lim sup E[Xn] < E[lim supX n].
Đ ị n h lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue). Giả sử (x n) là dãy bnn thỏa
mẫn
i.
ii. Tốn tại Y khả tích tức là E[|Y|] < +oo sao cho \ x n \ < Y hầu chắc chắn với
mọi n thì
lim E[|X„ - x\] = 0 và lim Epr„] = E[X].
Tí

1.1.5

—^ oo

n —V

00

M ột số bất đẳn g thứ c

B ấ t đ ẳ n g th ứ c M a rk o v

Nếu X > 0 và a > 0 th ì p p r > a] < ^ ỉ^ l_
a
B ấ t đ ẳ n g th ứ c H o ld e r
1 1

............

„ ,

L

Nếu p, q > 1 và - + - = 1, đ ặt ||X|I = (E [|X H )i th ì IIXYI^ < \\X\\LP • ||y||L,.
p
q
B ấ t đ ẳ n g th ứ c J e n s e n

Giả sử ip là hàm lồi th ì E[yj(a:)] >

1.1.6

M ột số dạng hội tụ

Đ ị n h n g h ĩ a 1.11. Dãy bnn (x n) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến bnn X
nếu
p \w : lim X n(w) = X ( w ) = 1.
L n—
»00
Dãy bnn (x n) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b nn X nếu
Ve > 0 : lim F[\xn - x \ > e\ = 0.


Day bnn ( l n) được gọi là hội tụ trong Lp (p > 1) đến b nn X nếu EỊỊXnl5’] <

+00

lim E [\xn - x \ p] = 0.
M ệ n h đ ề 1.4. i. Nếu x n -ỉ' X thì x n -» X]
ii. Nếu x n
p >

1

X thì x n Л X.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.12. Họ bnn (x a)aej được gọi là khả tích đều nếu
lim supE [ \x a \ ■Iỵx |>j4]] = 0.
A^+<x>a e I

Đ ị n h lý 1.5. x n

X khi và chỉ khi họ ( x n)n>! là khả tích đều và (x n) д X.

Đ ị n h lý 1.6. (x n) д X khi và chỉ khi mọi dẫy con (Х Пк) с { x n), tồn tại dẫy
con (x mk) с (Х Пк) sao cho (x mk)

1.1.7

^ X.

K ì vọn g điều kiện

Đ ị n h n g h ĩ a 1.13. Cho không gian xác suất (Í2,.A,P), X là biến ngẫu nhiên khả
tích (X e L 1), T là (T-đại số con của Л. Kì vọng của X với điều kiện ĩ r, kí hiệu
là Y = E ( X |J r) là bnn th ỏ a m ãn
1. Nếu Y là ^ - đ o được tức là y - ^ A ) e F , V A e Ổ(M);
2. Y e L 1;
I. í X d P = í YdP, y A e J-, tức là

•M

JaA

E ( X ■I A) = E(Y • IA), VẨ G T .
M ệ n h đ ề 1.5. i. Nếu X = a hầu chắc chắn thì E ( X |J r) = a hầu chắc chắn;
ii. Nếu X > 0 hầu chắc chắn thì E ( X |J r) > 0 hầu chắc chắn.
Nếu X > Y hầu chắc chắn thì E ( X |J r) > E ( y |J r) hầu chắc chắn;
iii. E (aX + bY\J7) = a E (X |J r) + ò E (y |J r) hầu chắc chắn, Va,b e R;

iv. Nếu X là T - đo được thì E ( X |J r) = X hầu chắc chắn;
V.

Nếu X

độc lập

với T thì E ( X |J r)

v i. E(E(X|JT)) = E[X];

=

E p i]

hầu

chắc chắn;


v ii. Nếu T i с ĩ
Е (Е(Х|

2

С A thì
= Е ( E ( X |^ i ) |^ 2 ) = E ( X |^ i ) hầu chắc chắn, УХ e L 1]

viii. Nếu X , Y e L 1, X là J^-do được thì
E ( X Y \ F ) = X E ( Y \ F ) hầu chắc chắn;

ix. Nếu % độc lập với ơ(X,Q) thì
E (XịơựH, ổ)) = E(X|Ổ) hầu chắc chắn.
Đ ị n h lý 1.7. Giả sử Al, A 2 , . . . , A n là m ộ t phân

hoạch của Í2 thỏa mãn

n

Aị e Л, Aị n Aj = 0, Mi Ф j, và l j Aị = ũ. Dặt Q = ơ(Ai , A 2, . . . , A n). Với mọi
i—1
X £ L 1 ta có

Kw « ) - Ê p £ õ /
i= 1

Đ ị n h lý 1.8. Giả sử X và Y là hai bnn phân phối liên tục tuyệt đối với hàm
m ậ t đ ộ đ ố n g t h ờ i l à f x Y t ứ c là

Fx ,y {x,y ) = p [X < X, Y < y}=

fx,y {u,v) ảv.

khi
khi
với

Ỉ Y

f Y {y) > 0
f Y {y) = 0

là hàm mật độ của bnn Y . Đặt

+00
—

Khi đó

00

E (X |Y ) = h(Y).

Đ ị n h lý 1.9. Giả sử ip : R 2 —» R là hàm Borel. Nếu X và Y là hai bnn độc lập
thì
E[X=x

9


1.2

Q uá trìn h ngẫu n h iên

1.2.1

Đ ại cương về quá trìn h ngẫu nhiên

Giả sử (Í2, J r,P) là một không gian xác suất.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.14.

• Họ (Ft)t > 0 các (T-đại số con của T được gọi là m ột lọc
nếu Tị c T s với mọi s > t > 0.
• Lọc

( .^ > 0

được gọi là liên tục phải nếu T t = fì T s với mọi t > 0.
s>t

• Lọc ( . ^ > 0 được gọi là th ỏ a m ãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục
phải và ^ 0 chứa t ấ t cả các tậ p Ả c íì sao cho Ả c B e T và P ( 5 ) = 0.
Ta sẽ luôn giả sử rằng t ấ t cả các không gian xác suất với lọc được đề cập
đến trong luận văn này đều th ỏ a m ãn điều kiện thông thường.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.15. Họ (x t)tei các bnn nhận giá trị trên É 6* được gọi là một quá
trình ngẫu nhiên (viết t ắ t là qtnn) với tậ p chỉ số I và không gian trạn g th ái Ká.
Tập chỉ số I thường là nửa đường th ẳn g thực R_|_ = [0,oo), đoạn [o, 6] hay tập
các số nguyên dương.
Khi I là tậ p (con của) các số nguyên dương thì (x t)tei được
với thời gian rời rạc còn khi I là khoảng con của R_|_ thì (X ị ) teI
trình với thời gian liên tục.
Với mỗi thời điểm cố định t e I, ánh xạ Í2 3 w I-» x t (w) e
M ặt khác, cố định w e Í2, ánh xạ I 3 t I-» Xt(w) € M.d được gọi
của quá trìn h X ứng với w.

gọi là quá trình
được gọi là quá
É 6* là một bnn.
là m ột quỹ đạo

Đ ị n h n g h ĩ a 1.16. Q tn n (-X'i ) i >0 được gọi là

• liên tục ( liên tục trái, liên tục phải) nếu với hầu chắc chắn mọi w e Í2, hàm
t (-> Xị{w) là liên tục (liên tục trái, liên tục phải) trên đoạn [0,oo);
• cadlag nếu nó là liên tục phải và với hầu chắc chắn mọi w e íì giới hạn trái
lim^í x s(w) tồn tại và hữu hạn với mọi t > 0;
• khả tích nếu X ị khả tích với mọi t > 0;
• tương thích với lọc (Tt) nếu X ị là Tt-âo được với mọi t > 0;
• đo được nếu ánh x ạ R_|_ X Í2 3 (t, w) I-» x t (w) e

là Ổ(R_|_) X Jr/ổ ( R 'i )-đo

được;
• đo được dần nếu với m ọi t > 0, ánh x ạ [0,í] X íì 3 (s , w ) !->
B{ [ 0, t } ) X J rt / B ( R d)-đo được.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.17. Giả sử

(^ ^ > 0

và (Tí)í>0 là hai qtnn.
10

là


• Y được gọi là m ột bẩn sao của X nếu PpQ = Yị\ = 1 với mọi t > 0;
• X và Y được gọi là b ấ t k hả ph ân biệt PpTí = Yị] = l với mọi t > 0.
Dễ thấy nếu X và Y là b ấ t khả p hân biệt th ì Y là m ột bản sao của X . Điều
ngược lại nói chung không đúng.

1.2.2

T hời đ iểm dừng

Đ ị n h n g h ĩ a 1.18. Bnn T : Í2 —> [0,oo] được gọi là thời điểm dừng nếu với mọi
t, biến cố {T < t} £ Tị.
T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu T < oo hầu chắc chắn.
T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại к € [0,oo) sao cho T < к
hầu chắc chắn.
Với mỗi qtn n X và thời điểm dừng T, t a kí hiệu X T (w) = X T(w}(w).
M ệ n h đ ề 1.6. Giả sử lọc (Tị) thỏa mẫn điều kiện thông thường, ta cố
i. T là thời điểm dừng khi và chỉ khi {T < t} e Tị với mọi t;
ii. Nếu T = t hầu chắc chắn thì T là thời điểm dừng;
iii. Nếu s và T là hai thời điểm dừng thì s л T, s V T cũng là cấc thời điểm
dừng;

iv. Nếu (Tn)n> 1 là dẫy các thời điểm dừng thì supnTn và infn Tn cũng là cấc thời
đ i ể m dừng;

V. Nếu s > 0 và s là thời điểm dừng thì T = s + s cũng là thời điểm dừng.
M ệ n h đ ề 1.7. Giả sử T là thời điểm dừng hữu hạn, đặt
Tn(w) = (k + l ) / 2 n nếu k / 2 n < T(w) < (k + l ) / 2 n.
Khi đó (Tn)n> 1 là dẫy thời điểm dừng hội tụ hầu chắc chắn đến T. Dẫy (Tn) được
gọi là dãy xấp xỉ rời rạc của T.
Với mỗi tậ p Borel A, đặt
TA = inf{í > 0 : Xị € A}.
M ệ n h đ ề 1.8. Giả sử lọc (Ft) thỏa mẫn điều kiện thông thường và quá trình
ngẫu nhiên tương thích (X ị ) cố quỹ đạo liên tục. Khi đố
i. Nếu Ả là tập mở thì Ta là thời điểm dừng;
ii. Nếu A là tập đóng thì T a cũng là thời điểm dừng.

11


Với mỗi thời điểm dừng T t a đặt
= {A e T : A n {T < t} e Tị,

với mọi ị > 0}.

T t là (T-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T.
M ệ n h đ ề 1.9. Giả sử lọc {Ft) thỏa mẫn điều kiện thông thường, ta

có

la 'ỵ* ỉiỡi (T~đãì SOỊ
il. Nếu S < T thì F s С T t ì
i i i . D ặ t J~T+ =

f ì J"T+£■ K h i đ ó J~T+ = J~t ' ị
6>0

iv. Nếu X T cố quỹ đạo liên tục phải thì X T là T T -ẫo được.

1.2.3

M artin gale

Giả sử ( T ^ t e i là một lọc.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.19. Q uá trìn h ngẫu nhiên (Mị)tei
ứng với lọc (Ft) và độ đo xác suất p nếu

được gọi là một

martingale

1. E[|Mí|] < oo với mọi í;
2. Mị là Tị-ăo được với mọi i;
3. E[Mi|.Fe] = M s hầu chắc chắn với mọi t > s.
Nếu điều kiện th ứ ba được thay bởi E [Mil,Fe] > M s hầu chắc chắn với mọi t > s
th ì {Mị) được gọi là martingale dưới. {Mị) được gọi là martingale trên nếu (—Mị)
là m artingale dưới.
V í d ụ 1.1. Giả sử X là một bnn khả tích,
là một lọc. Đ ặt X ị = EỊXỊ^ị].
Khi đó (X ị ) là một m artingale và được gọi là m artingale chính quy.

1.2.4

M ột số bất đẳn g thứ c

T h ờ i g ia n rời rạc

Đ ị n h lý 1.10. Giả sử (x n) là martingale dưới. Khi đó với mọi a > 0 và N e N
ta có
1. f lP ( m a x ln > a) < E[ тах|Х дг| > а] < Е(|Хдг|),
n
n
2. aP(min X n < - a ) < E ( | x 0| + \XN \),
n

3. aP (m ax |X n | > a) < 2Е(|ХЛГ| + | x 0|).
n
12


Đ ị n h lý 1.11. Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm
thỏa mãn E[|Xj|p] < oo với mọi i < N . Khi đó
1. P (m ax |X n | > a) < а _рЕ(|Хдг|р),
n
2. E[m ax|X n n <
n
(-P -T E p -tfH .
-

1'

T h ờ i g ia n liê n tụ c

Đ ị n h lý 1.12. Giả sử (M t) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có
quỹ đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó
1. Với mọi а > 0,
P(sup \MS\ > a) < E[|Mi|]/a;
s
2. Nếu 1 < p < oo thì
E[8up|Men < ( ^ - ) PE[\Mt n
s

1.2.5

\ p - l '

C huyển động B row n

Đ ị n h n g h ĩ a 1 .20. Giả sử (Í2,
là không gian xác suất với lọc ( ^ ) 4>0 - Q tnn
0 được gọi là m ột chuyển động Brown ứng với lọc ( ^ ) 4>0 nếu
1. B 0 = 0;
2. В liên tục;
3. B t — B s độc lập với Ts với mọi t > 0;
4. B t — B s có p hân phối chuẩn Af(Q,t — s).
Đ ị n h n g h ĩ a 1.21. Giả sử (-Bị1) , . . . , ( B ị) là n chuyển động Brown độc lập. Khi
đó В = ( ( B Ị , . .. , B ị ) T ,t > 0) là một chuyển động Brown n chiều.
Có rấ t nhiều m artingale tương ứng với chuyển động Brown.
M ệ n h đ ề 1.10. Giả sử (B t) là một chuyển động Brown. Khi đó các quá trình
sau đều là martingale
i. Mị = Bị]
ii. Mị = BỊ - t;
iii. M t = eaBi~a^ 2.

13


1.3
1.3.1

G iải tích ngẫu n h iên Itô

X ây dựng tích phân Itô

Đ ị n h n g h ĩ a 1.22. Ta có (Í2, .F,P) là không gian xác suất và (BtỊptìtxy là m ột
chuyển động Brown, (Tị) lọc th ỏ a m ãn điều kiện thông thường. Xét họ các quá
trìn h ngẫu nhiên đơn giản kí hiệu là L 0
Tí

—1

ft{w) = r]{w)Iữ{t) +
i=0
trong đó 0 < to < ti < Í 2 < • • • < tn = T, TỊ là JT0-đo được, Ệi là T t - â o được,
E(»72 + £?) < +oo, với mọi i > 0.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.23. Nếu f e L 0 th ì t a định nghĩa

/
M ệ n h đ ề 1.11. i. E

T

n-1

ỉ t à B t = Y , í i (Bti+1- B ti)
i=0
ỉtàBt

= 0;

ii. Tính chất đẳng cự: E
]

=El

/i2d i;

\TẨ
iii. Tỉnh chất tuyến tính: Nếu
f,£ g e IT
Lo J.LN
thì

Ị

{aft + bgt)dBt = a

Jn

ỊJ n ỉịảBị + b Jín gtàBị.

Đ ặt
M ị TỊ = ị f : ị O , T ị

X

Í2 —> R sao cho ft là Tí-đo được và E

/ S2ds

< +oo

M ệ n h đ ề 1.12. Nếu f e jMj?0 Ty Khi đó tồn tại dẫy ( / ”) c L p Tj sao cho

/

[ /” - fs] ds —» 0

khi

n —> oo.

l

Ta đặt
[ f sả B s = L 2 - lim [ f t d B a, Ví € [0,T].
14

ị.


Ta thấy tích p hân trên M. cũng th ỏ a m an các tín h chất của M ệnh đề 1.11
T iếp theo, t a x é t VịQ

J

ỉgds <

+00

rp -ị

= ị /

: [0,T] X íì

—

» R sao cho / i là F t - â o được và

hầu chắc c h ắ n ị . Ta có M 2 c V 2. Bằng cách xét dãy quá trìn h

dừng, t a cũng có thể định nghĩa được tích p hân ngẫu nhiên cho quá trìn h ngẫu
nhiên thuộc V. Tuy nhiên tích ph ân trên V 2 không còn giữ được tín h chất đẳng
cự.

1.3.2

C ông th ứ c v i phân Itô

Đ ị n h n g h ĩ a 1.24. Giả sử a(t,w ) và b(t,w) là hai quá trìn h ngẫu nhiên tương
thích với lọc Tị và
/Í T |a ( s ,to )|d s + /Í T |ỏ(s,iu)| ds <
•'o
•'o
Q u á tr ìn h n g ẫ u nh iên

gọi là quá

trình

x t = Xq+

+00

hầu chắc chắn.

/í* a ( s ) d s + /í* Ỏ(s)d5s (Xo là ^o-đo được) được

Itô. Ta viết
dXt = a(t)dt + b(t)dBt .

(1.3)

Đ ị n h lý 1 .13. Cho F : [0, T\ X R —> R thuộc không gian c 1,2. Giả sử (X ị ) teịQTỊ
là quá trình Itô cho bởi công thức (|1.3ịỊ. Dặt Yị = F ( t , X ị ) thì
dYt =

dF

dF

1

F

dF
dt + b (t)^—( t , X t)dBị.
OX

M ệ n h đ ề 1 .13. Cho hàm số f : [0,T] —» R sao cho í
Xị —

f [s')ắBg. Thi X ị co phan phoi chViãĩi J\f ( ° ' í

1.4

/ 2(s)ds < + 0 0 . Dặt

ỉ 2(s)dsj .

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.4.1

Đ ịn h nghĩa phương trìn h v i phân ngẫu nhiên

• Giả sử (Í2,

là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc { J i} i>0 th ỏ a m ãn

điều kiện thông thường.
• B(t) =
B 2 (t) , . . . , B m(t))T , t > 0 là chuyển động Brown m chiều xác
định trên không gian (Í2,^ j P ) , B t là ^í-đ o được.
15


Giả sử 0 < io < T < oo và £ là véc tơ ngẫu nhiên, .7^-đo được, nhận giá trị
trong
và E[|£|2] < oo.
Giả sử

f :Rd

X

[0, T]

g :Rd

X

[0, T] -> R d x . m

là các hàm Borel đo được.
Xét phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên d, chiều
Ị

dx(t) = f ( x ( t ) ,t ) d t + g(x(t),t)dB(t),

0 < ỈQ < t < T

(1.4)

^ z(ío) = Ệ,
Phương trìn h trên có thể viết dưới dạng tích phân
x(t) = Ệ+ í f ( x ( s ) , s ) ả s + í g(x(s),s)ảB(s).

(1.5)

Đ ị n h n g h ĩ a 1.25. Q uá trìn h ngẫu nhiên {^(i)}^ gọi là nghiệm của phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên (1.4) nếu th ỏ a m ãn

1. x ( t) liên tục và là Tị-âo được;
e £} ([t0, T ] , R d) và g{x{t),t) e £ 2 ([t0, T ] , R dxm) tức là

2.
/

|/(a:(s), s)|ds < oo

vầ

/

ta

|ộ(a:(s), s)|2ds < oo hầu chắc chắn;

ta

3. x( t ) th ỏ a m ãn phương trìn h (1.5).
C h ú ý 1.1. Nếu t a kí hiệu nghiệm của phương trìn h (1.4) bởi x( t ;tQ,Ệ) th ì từ
phương trìn h (1.5) t a có với mọi s £ [to,T],
(t) = z(s) + /

I

f ( x ( u ) , u ) ả u + Ị g(x(u),u)ảB(u) với s < t < T.

ì :

( 1 .6 )

M ặt khác, (1.6) lại là một phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên trên đoạn [s,T] với
giá trị b an đầu là a:(s) = x(s;to,Ệ). Kí hiệu nghiệm của phương trìn h vi phân
ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t\s,x(s-,tQ,Ệ)). Khi đó, nếu phương trìn h vi p h ân ngẫu
nhiên (1.4) và (1.6) có nghiệm duy n h ất th ì hai nghiệm này phải trù n g nhau
trên đoạn [s,T], tức là
* 0 ,0

= x (^ s >x (s ; * 0 , 0

).

to < s < t < T.

(1.7)

Tính chất (1.7) được gọi là tính chất dòng hoặc tín h chất nửa nhóm của nghiệm.

16


1.4.2

Sự tồ n tạ i và duy n h ất n ghiệm

Đ ị n h lý 1.14. Giả sử tằn tại hai

số dương K và K sao cho

hằng

1. (Diều kiện Lipschitz) Với mọi x , y e № d và t e [*0)^1
- f ( y , t ) I2 V \g(x,t) - g (y,t)|2 < K \x - y\2.
2. (Diều kiện tăng tuyến tính) Với mọi x , y e № d

X

( 1,8)

[io,^]

| / ( i , i ) | 2 V | j ( i , t ) | a < * ■ ( ! + | i | 2).

(1,9)

Khi đó phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất thỏa mãn
E

a:(s)2ds

< oo,

í +_ - J

(1,10)

trong đó tính “duy nh ất” hiểu theo nghĩa: Nếu x ( t ) cũng là nghiệm của
phương trình (1.4) thì
p [z (i) = x(t), Vi € [to,T]

= 1.

D ể chứng minh định lý ta xét bổ đề sau.
B ổ đ ề 1.1. Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (jl-9h được thỏa mẫn và x ( t) là
nghiệm của phương trình (1.4) thì
E

sup |a:(í)|
[ỈQ

~ t a ) ( T —Íq + 4 )
< ( l + 3E[|^|2]) . e3K(T~ta

,T]

Hơn nữa x{t) thỏa mẫn điều kiện (1.10).
Để đơn giản về m ặt kí hiệu, t ấ t cả các định lý trong ph ần này sẽ được ta
chứng m inh cho trường hợp d = m = 1. Các chứng minh này cóthể mở rộng cho
trường hợp nhiều chiều một cách trực tiếp.
Chứng minh. Với mỗi n e N, xét dãy thời điểm dừng
Tn =

T A in /|í

€

[to,T]

:

|a:(í)| > n | .

Ta c ó |a:(s)| < n với mọi s € [ t o, Tn ] và Tn t T . Do đ ó nếu đ ặt x n ( t ) = x ( t A Tn ) t h ì
x n(t) —> x (t) hầu chắc chắn khi n —» oo. Hơn nữa x n(t) th ỏ a m ãn phương trìn h


Áp dụng các b ất đẳng thức |a + b + c|2 < 3(|a|2 + |ò|2 + |c|2),

f(x)dx
n

fb

(b — a) I

|/(a:)|2da: và điều kiện (1.9) cho hàm / , t a có

Ja
\x n{t)\2 < 3|£|2 + 3(í —ío) [

\ĩ{Xn{s),s)\%a
to

+ 3 /

5(^n(s),s)Iiota

< m\2+ 3X (í —Íq)

í (1 + la:n('5)|'á)Iíota

g(xn(s), s )ĩto
+ 3

Lấy sup theo t e [ío,s] rồi lấy kì vọng hai vế t a được
E

sup Ix n(t)ự

< 3E(|£|2) + 3K(s - tữ) í (1 + E[|a:ri(ti)|2])Iíũta

2'
+ 3E

sup
tữ
g ( x n ( u ) , u ) l ta< u < r n à B ( s )

/

Áp dụng b ất đẳng thức Doob và điều kiện (1.9) cho hàm g, t a được
< 3E(\£\'Z) + 3K(s - tQ) í (1 + E[|a:ri(«)|:á])Iiũ
E

ta

+ 12E

/

líK^ní^)) 'u)| Iía
L ía

< 3E[|e|2] + 3K { T - to + 4) í (1 + E[|a;n(«)|2])d«.
J ta

Suy ra
1+ E

sup |zn(s)|

< 1 + 3E[|£|2]+

-ta
+ 3K{T - t 0 + 4) /

Ị1+ E

'ta

Áp dụng b ất đẳng thức Gronwall cho hàm ti(s) = 1 + E

sup \xn(v)Ỹ

sup \xn (t)Ý
-ta
E

sup Ix n(t)y

<

(l +

3 E [ | £ | 2 ] ) e 3 - K ' ( T - i a ) ( T - i a + 4)_

Lt a < t < T

18

dtí.

-ta< v < u

t a được


Do x n (t) h-^° x(t), áp dụng Bổ đề Fatou ta có
E

sup \xn(t)\2 < lim inf E
71—
V00

-ta < t< T

sup \xn(t)\2
-t a < t< T

ío)(T—ío+ 4 )
< (l + 3E(|£|2)) e3K{T —
Do đó
E

ị

|a:(s)|2ds

LJ Q
u

=Ị

E[|a:(s)|2]ds <

-• '0u

[ (l + 3E[|e|2]) e3K(T~

ta)(T

—ío+ 4 )^Ị

J u
ữ

Bổ đề được chứng minh xong.
B â y giờ c h ú n g t a c h ứ n g m i n h Đ ị n h lý 1.14
Tính duy nhất: Giả sử X, X là hai nghiệm của phương trìn h (1.4). Khi đó
x(t)-x(t)=

í

[ f ( x ( s ) , s ) ~ f( x ( s ) , s ) ] ả s + Í

[g(x(s),s)~ g(x(s),s)]ảBs. (1.11)

io

ta

Đ ặt u (t ) = E( sup |a:(s) —í ( s ) |2). Áp dụng b ấ t đẳng thức |a + ỏl2 < 2(|a|2 + |ỏ|2)

ư { t ) < 2E

+ 2E

r

sup

ta< s
"'to

sup

r
/

ta< s
f( x ( u ) ,u ) - f( x ( u ) ,u ) du
r

ỡ(®00>s) - ỡ(Ẽ(s),s) àB(u)

to

Áp dụng b ất đẳng thức Doob và điều kiện (1.8), ta được
ư { t ) < 2E

sup (s - í0) /

\ f ( x ( u ) , u ) - f ( x ( u ) , u ) \ dti

/

IổOO í),«) - 5 0 0 ) , ti)12chi

/

+ 8E

í-í

L ía

< 2 K ( T — t(j) í E(|a:(ti) —a:(ti)|2)dti + 8K í E(|a:(ti) —a:(ti)|2)dtí
ta

''ta

< 2K {T + 4) / u (s)ds.

J ta
Áp dụng b ấ t đẳng thức Gronwall ta được Ư(T) = 0, tức là sup |a:(s) —í(s ) | = 0
ta < s < t

hầu chắc chắn. Điều này chứng tỏ phương trìn h có không quá m ột nghiệm.
Sự tồn tại nghiệm: Với t e [to,T] xét dãy lặp Picard như sau


Xét không gian
[ \f(s ,w )\ 2ảs
.ta

M 2 = M 2 ([ío,T1],®) = 'ị / : tương thích với lọc Tị và E

< oo

Ta chứng minh bằng quy nạp x n (t) e M 2. Trước tiên vì
E "

Ỉ T
/
| a : o ( s , « ; ) | 2d s

" f T

/

= E

.ta

nên

XQ(t) e

£ 2d s

= ( T - t o ) E [ | í | a],

-ta

M 2. Ta có

E [ M í ) | 2] < 3E [|£|2] + 3K T ( T + 1) + 3K ( T + 1) [ E [la^xOOI2] da.
ta

Đ ặt C\ = 3E [\Ệ\2] + 3K T ( T + 1) + 3K ( T + 1), VJfc t a có
max E [|z„(í)|2] < C\ + 3K ( T + 1) í max E [|a:ri_ i(s )|2] ds
lJị 1< C 1 + 3 K ( T + 1) [ ( E [ | e | 2] + max E [|a:ri_ i(s )|2]'ì ds
J ta V
1)
< ƠI + 3K ( T + 1)T • E [|£|2] +
+ 3 K ( T + 1) í ( max E [^ „(s)!2] ^ ds.
J ta \1 J
Đ ặt c *2 = C\ + 3K ( T + 1)TE [|£|2] và áp dụng b ấ t đẳng thức Grorrvvall cho
u(t) = max E [^ „(í)!2] t a được
l
max E [ M í ) | 2] < C2e3KT{T+1).
1< n < k

Cho k

oo th ì sup E [^ „(í)!2] < C 2 e3KT(T+1\ Vn > 1, t € [ío, T]. Vậy x n(t) € M ‘
n> 1

Ta có
|a:i(í) - z 0 ( t) |

= |a ;i(í)-£ |

[ ỉ{C,s )ds+ Í g(Ệ,s)dB(s)

=

ta

< 2 [ ỉ{C,s)ds

ta

+ 2 [ g{C,s)dB(s)
J ta

ta

Lấy kì vọng và sử dụng điều kiện tăn g tuyến tín h ta được
í-í
E [ |a ;i ( i ) - a ;o ( i ) |2] < 2E [ (1 + \c\2)ả + 2E
(l + № d s
'-''ta
L ía

/

< 2K(t - to)2 (l + E [\Ệ\2]) + 2K ( t - to) (l + E [\Ệ\2])

20