Xấp xỉ euler maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính (LV01659)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (526.56 KB, 68 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————
BÙI THỊ NHUNG
XẤP XỈ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
—————————————
BÙI THỊ NHUNG
XẤP XỈ EULER-MARUYAMA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU
NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGÔ HOÀNG LONG
Hà Nội - 2015
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các
thầy cô, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Hoàng Long,
người thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt
tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,
nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K17 - đợt
2 (2013-2015) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,
động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên
Bùi Thị Nhung
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Ngô Hoàng Long.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên
Bùi Thị Nhung
Mục lục
Mở đầu
1
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa không gian xác suất . . . . . . .
1.1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . .
1.1.3 Kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Một số định lý giới hạn . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Một số dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Kì vọng điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Đại cương về quá trình ngẫu nhiên . . . . . .
1.2.2 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Giải tích ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Xây dựng tích phân Itô . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Công thức vi phân Itô . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Xấp xỉ Euler-Maruyama
2.1 Phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz toàn cục . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự phân kỳ của phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương
trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính . .
2.2.1 Sự phân kỳ của phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama . .
2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Chứng minh Định lý 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama khống chế . . . . . . . . .
2.3.1 Định nghĩa lược đồ Euler khống chế . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
5
6
7
7
7
8
10
10
11
12
12
13
14
14
15
15
15
17
29
. 29
.
.
.
.
.
.
32
32
34
36
39
39
2.3.2
2.3.3
2.3.4
Tính bị chặn của momen nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chứng minh kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Số hóa và mô phỏng trên máy tính
3.1 Mô hình chuyển động Brown hình học . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown hình học . .
3.1.2 Xấp xỉ E[|X1 |2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mô hình Ginzburg - Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mô phỏng quỹ đạo của nghiệm phương trình GinzburgLandau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Xấp xỉ E[|X1 |2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Đánh giá kết quả mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
50
50
50
50
54
55
.
.
.
.
55
58
58
60
Kết luận
61
Tài liệu tham khảo
62
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục đã có những bước phát
triển đột phá nhờ các nghiên cứu tiên phong của N. Wiener, A. Kolmogorov, P.
Levy, K. Itô. Một trong những lớp quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục quan
trọng nhất được xác định thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng
dXt = µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt , t ≥ 0
X = x,
0
với W là một chuyển động Brown và tích phân đối với dWt được hiểu là tích
phân ngẫu nhiên Itô.
Trong các ứng dụng thực tế của mô hình trên, những vấn đề cần giải quyết
thường được đưa về bài toán xác định kì vọng của một phiếm hàm của X . Do
phần lớn các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không thể giải ra nghiệm
một cách tường minh, việc xấp xỉ nghiệm là hết sức cần thiết. Một trong những
phương pháp xấp xỉ đơn giản nhưng rất hiệu quả và đang được sử dụng rộng
rãi trong thực tế là phương pháp Euler-Maruyama: Ta chia đoạn [0, T ] thành n
đoạn bởi các điểm chia tk =
kT
= k∆, k = 0, . . . , n. Dãy xấp xỉ X n được xác
n
định bởi
Xtn0 = x;
Xtnk+1 = Xtnk + µ Xtnk ∆ + σ Xtnk
Wtk+1 − Wtk .
Nếu µ và σ thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục thì người ta đã chứng minh
được rằng tồn tại hằng số Cp không phụ thuộc vào n sao cho
E sup Xtnk − Xtk
p
k
≤
Cp
p
n2
,
1
2
tức là lược đồ Euler-Maruyama hội tụ theo nghĩa mạnh với tốc độ bằng . Hơn
nữa, ta cũng có
|Ef (XTn ) − Ef (Xt ))|
1
C
.
n
với mọi hàm f đủ trơn và với hằng số dương C nào đó không phụ thuộc vào n.
Khi đó ta nói lược đồ Euler hội tụ yếu với tốc độ bằng 1.
Việc xác định tốc độ hội tụ mạnh và yếu của phép xấp xỉ Euler-Maruyama
trong trường hợp hệ số µ và σ không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục đến
nay vẫn chưa được trả lời một cách triệt để. Gần đây, các tác giả HutzenthalerJentzen-Kloeden [3] đã chỉ ra rằng khi các hệ số µ và σ không bị chặn tuyến tính,
lược đồ Euler-Maruyama không hội tụ theo nghĩa mạnh. Các tác giả này cùng
với Sabanis [6] cũng giới thiệu một cải tiến của phương pháp Euler-Maruyama
để xấp xỉ nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama
cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không thỏa mãn điều kiện
Lipschitz, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Xấp xỉ Euler-Maruyama cho
phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính”
cho luận văn thạc sĩ của mình.
Luận văn gồm có 3 chương. Chương I trình bày một số kiến thức chuẩn bị
về giải tích ngẫu nhiên. Tài liệu tham khảo chính của chương này là Mao [5].
Chương II trình bày về phép xấp xỉ Euler-Maruyama. Mục 2.1 trình bày về phép
xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz
toàn cục (tham khảo từ [5] và [1]). Mục 2.2 chứng minh sự phân kỳ của phép
xấp xỉ Euler-Maruyama khi áp dụng đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên
có hệ số tăng trên tuyến tính (tham khảo từ bài báo của Hutzenthaler và các
cộng sự [3]). Mục 2.3 trình bày phương pháp Euler-Maruyama khống chế áp
dụng cho phương trình với hệ số tăng trên tuyến tính (tham khảo từ bài báo
của Sabanis [6]). Chương III của luận văn tập trung vào việc nghiên cứu kết quả
của các lược đồ dạng Euler-Maruyama bằng phương pháp mô phỏng dựa trên
phần mềm Matlab. Chúng tôi tập trung vào hai mô hình là chuyển động Brown
hình học và mô hình Ginzburg-Landau ngẫu nhiên.
2. Mục đích nghiên cứu
• Xác định tính phân kỳ của lược đồ Euler-Maruyama cổ điển cho lớp các
phương trình vi phân ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn
cục.
• Xây dựng phương pháp Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăng trên tuyến tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Hệ thống kiến thức về phép tính vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình
vi phân ngẫu nhiên.
2
• Nghiên cứu tính phân kỳ của lược đồ Euler-Maruyama cho lớp các phương
trình vi phân ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục.
• Xây dựng phương pháp Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số tăng trên tuyến tính.
• Mô phỏng thuật toán xấp xỉ trên máy tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Phương trình vi phân ngẫu nhiên.
• Phương pháp giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên.
5. Đóng góp mới của đề tài
Luận văn làm rõ sự hội tụ theo nghĩa mạnh của các phương pháp xấp xỉ
nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên. Luận văn cũng xây dựng chương trình
mô phỏng phép xấp xỉ trên máy tính.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1
Không gian xác suất
Định nghĩa không gian xác suất
Định nghĩa 1.1. Cho Ω khác rỗng. Họ A các tập con của Ω được gọi là một
đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây
i. ∅, Ω ∈ A;
ii. B ∈ A thì Ω\B = B c ∈ A;
iii. A, B ∈ A thì A ∩ B ∈ A, A ∪ B ∈ A.
Nếu đại số A thỏa mãn thêm điều kiện
∞
iii’. (An )n≥1 ⊂ A thì
∞
An ∈ A,
n=1
An ∈ A thì A được gọi là một σ -đại số.
n=1
Định nghĩa 1.2. Cho Ω = Rn và C là họ tất cả các tập con mở của Rn thì
B(Rn ) = σ(C) (là σ -đại số bé nhất chứa C trên Ω) được gọi là σ -đại số Borel trên
Rn .
Định nghĩa 1.3. Cho Ω khác rỗng, A là σ -đại số trên Ω thì (Ω, A) được gọi là
một không gian đo.
Định nghĩa 1.4. Giả sử (Ω, A) là không gian đo, P : A → [0, 1] thỏa mãn
i. P(Ω) = 1;
ii. ∀(An )n≥1 ⊂ A sao cho Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j . Ta có
∞
∞
An
P
=
n=1
P (An ) .
n=1
Khi đó (Ω, A, P) là một không gian xác suất.
4
Mệnh đề 1.1. i. P(∅) = 0;
ii. Nếu A, B ∈ A, A ∩ B = ∅ thì
P (A ∪ B) = P(A) + P(B);
iii. Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B).
Mệnh đề 1.2 (Tính liên tục của độ đo xác suất). Giả sử (Ω, A) là một không
gian đo. P : A → [0, 1] là hữu hạn cộng tính, nghĩa là P (A ∪ B) = P(A) + P(B),
∀A, B ∈ A và P(Ω) = 1. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
i. P là σ -cộng tính;
ii. Nếu (An ) ⊂ A, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ,
An = A thì
n≥1
P(A) = lim P(An );
n→∞
iii. Nếu An ⊂ A, A1 ⊃ A2 ⊃ . . .,
An = A thì
n≥1
P(A) = lim P(An ).
n→∞
1.1.2
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Định nghĩa 1.5. Giả sử (Ω, A, P) là một không gian xác suất. Ánh xạ X : Ω → R
được gọi là biến ngẫu nhiên (viết tắt là bnn) nếu
X −1 (A) = w : x(w) ∈ A ∈ A, ∀A ∈ B(R).
Định nghĩa 1.6. Giả sử X là bnn xác định trên không gian xác suất (Ω, A, P).
Đặt
σ(X) = X −1 (A), A ∈ B(R) ,
thì σ(X) là σ -đại số. Ta gọi σ(X) là σ -đại số sinh bởi X .
Định nghĩa 1.7. Nếu F là một σ -đại số con của A. Ta nói X là F -đo được nếu
X −1 (A) ∈ F, ∀A ∈ B(R).
Định lý 1.1. Giả sử X và Y là hai bnn, trong đó Y là đo được với σ(X) thì tồn
tại hàm đo được f : R → R sao cho Y = f (X).
Định nghĩa 1.8. Hàm phân phối của X là
FX (x) = P [X < x] .
5
Định nghĩa 1.9. Bnn X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm
mật độ f (x) nếu
x
f (t)dt, ∀x ∈ R.
FX (x) =
−∞
Định nghĩa 1.10. Bnn X được gọi là có phân phối chuẩn N (a, σ 2 ) nếu hàm
mật độ của X là
f (x) = √
1.1.3
1
2πσ 2
·e
−(x−a)2
2σ 2
.
Kì vọng
Bnn X được gọi là bnn rời rạc nếu X nhận không quá đếm được giá trị. Khi
đó X có biểu diễn
X(w) =
xn IAn (w),
(1.1)
n≥1
trong đó
IA (w) =
1
khi
w∈A
0
khi
w∈
/A
.
IA được gọi là hàm chỉ tiêu của tập A và (An ) ⊂ A, xn ∈ R, ∀n.
Giả sử X có thể biểu diễn bởi công thức (1.1) thì
E[X] =
xn P(An ),
(1.2)
n≥1
|xn |P(An ) < +∞ hoặc xn cùng dấu với
nếu tổng trên có nghĩa, tức là hoặc
n≥1
mọi n.
Nếu Y là bnn không âm thì
E [Y ] = sup E [X] : với mọi bnn X là rời rạc, không âm và X ≤ Y .
Giả sử Y là bnn tổng quát. Đặt Y + = max {Y, 0} và Y − = − min {Y, 0} . Ta có
Y = Y + − Y − , |Y | = Y + + Y − . Bnn Y được gọi là khả tích nếu E Y + < +∞ và
E Y − < +∞. Khi đó kì vọng của Y được xác định bởi
E[Y ] = E[Y + ] − E[Y − ].
Mệnh đề 1.3. i. Nếu X = a hầu chắc chắn (tức là P[X = a] = 1) thì E[X] = a;
ii. Nếu X ≥ 0 thì E[X] ≥ 0;
iii. Nếu E[X] = 0 (trong đó X ≥ 0) thì P[X = 0] = 1, khi đó X = 0 hầu chắc
chắn;
iv. Nếu X ≥ Y thì E[X] ≥ E[Y ];
v. Tính chất tuyến tính: E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ].
6
1.1.4
Một số định lý giới hạn
Định lý 1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu). Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X thì EXn → EX.
Định lý 1.3 (Bổ đề Fatou). i. Nếu (Xn ) là dãy bnn và ∃n0 : E[Xn−0 ] < +∞ thì
lim inf E[Xn ] ≥ E[lim inf Xn ];
ii. Nếu (Xn ) là dãy bnn và ∃n0 : E[Xn+0 ] < +∞ thì
lim sup E[Xn ] ≤ E[lim sup Xn ].
Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue). Giả sử (Xn ) là dãy bnn thỏa
mãn
hcc
i. Xn → X;
ii. Tồn tại Y khả tích tức là E[|Y |] < +∞ sao cho |Xn | ≤ Y hầu chắc chắn với
mọi n thì
lim E[|Xn − X|] = 0 và lim E[Xn ] = E[X].
n→∞
1.1.5
n→∞
Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Markov
Nếu X ≥ 0 và a > 0 thì P[X ≥ a] ≤
E[X]
a
.
Bất đẳng thức H¨
older
Nếu p, q > 1 và
1 1
+ = 1, đặt X
p q
1
p
= (E[|X|p ]) p thì XY
1
≤ X
Lp
· Y
Lq .
Bất đẳng thức Jensen
Giả sử ϕ là hàm lồi thì E[ϕ(x)] ≥ ϕ(E[X]).
1.1.6
Một số dạng hội tụ
Định nghĩa 1.11. Dãy bnn (Xn ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến bnn X
nếu
P w : lim Xn (w) = X(w) = 1.
n→∞
Dãy bnn (Xn ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến bnn X nếu
∀ε > 0 : lim P[|Xn − X| > ε] = 0.
n→∞
7
Dãy bnn (Xn ) được gọi là hội tụ trong Lp (p ≥ 1) đến bnn X nếu E[|Xn |p ] < +∞
và
lim E [|Xn − X|p ] = 0.
n→∞
hcc
P
Mệnh đề 1.4. i. Nếu Xn → X thì Xn → X;
Lp
P
ii. Nếu Xn −−→ X thì Xn → X.
p≥1
Định nghĩa 1.12. Họ bnn (Xα )α∈I được gọi là khả tích đều nếu
lim sup E |Xα | · I[|Xα |>A] = 0.
A→+∞ α∈I
L1
P
Định lý 1.5. Xn → X khi và chỉ khi họ (Xn )n≥1 là khả tích đều và (Xn ) → X.
P
Định lý 1.6. (Xn ) → X khi và chỉ khi mọi dãy con (Xnk ) ⊂ (Xn ), tồn tại dãy
hcc
con (Xmk ) ⊂ (Xnk ) sao cho (Xmk ) → X.
1.1.7
Kì vọng điều kiện
Định nghĩa 1.13. Cho không gian xác suất (Ω, A, P), X là biến ngẫu nhiên khả
tích (X ∈ L1 ), F là σ -đại số con của A. Kì vọng của X với điều kiện F , kí hiệu
là Y = E(X|F) là bnn thỏa mãn
1. Nếu Y là F -đo được tức là Y −1 (A) ∈ F, ∀A ∈ B(R);
2. Y ∈ L1 ;
3.
Y dP, ∀A ∈ F , tức là
XdP =
A
A
E(X · IA ) = E(Y · IA ), ∀A ∈ F.
Mệnh đề 1.5. i. Nếu X = a hầu chắc chắn thì E(X|F) = a hầu chắc chắn;
ii. Nếu X ≥ 0 hầu chắc chắn thì E(X|F) ≥ 0 hầu chắc chắn.
Nếu X ≥ Y hầu chắc chắn thì E(X|F) ≥ E(Y |F) hầu chắc chắn;
iii. E(aX + bY |F) = aE(X|F) + bE(Y |F) hầu chắc chắn, ∀a, b ∈ R;
iv. Nếu X là F -đo được thì E(X|F) = X hầu chắc chắn;
v. Nếu X độc lập với F thì E(X|F) = E[X] hầu chắc chắn;
vi. E (E(X|F)) = E[X];
8
vii. Nếu F1 ⊂ F2 ⊂ A thì
E (E(X|F2 )|F1 ) = E (E(X|F1 )|F2 ) = E(X|F1 ) hầu chắc chắn, ∀X ∈ L1 ;
viii. Nếu X, Y ∈ L1 , X là F -đo được thì
E(XY |F) = X E(Y |F) hầu chắc chắn;
ix. Nếu H độc lập với σ(X, G) thì
E (X|σ(H, G)) = E(X|G) hầu chắc chắn.
Định lý 1.7. Giả sử A1 , A2 , . . . , An là một phân hoạch của Ω thỏa mãn
n
Ai ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j, và
Ai = Ω. Đặt G = σ(A1 , A2 , . . . , An ). Với mọi
i=1
X ∈ L1 ta có
n
E(X|G) =
i=1
1
P(Ai )
XdP · IAi .
Ai
Định lý 1.8. Giả sử X và Y là hai bnn phân phối liên tục tuyệt đối với hàm
mật độ đồng thời là fX,Y tức là
x
FX,Y (x, y) = P [X < x, Y < y] =
y
du
−∞
fX,Y (u, v)dv.
−∞
Đặt
fX|Y (x|y) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
0
khi
khi
fY (y) > 0
,
fY (y) = 0
với fY là hàm mật độ của bnn Y . Đặt
+∞
yfX/Y (y/x)dy.
h(x) =
−∞
Khi đó
E(X|Y ) = h(Y ).
Định lý 1.9. Giả sử ϕ : R2 → R là hàm Borel. Nếu X và Y là hai bnn độc lập
thì
E [ϕ(X, Y )|X] = E [ϕ(x, Y )]
.
x=X
9
1.2
Quá trình ngẫu nhiên
1.2.1
Đại cương về quá trình ngẫu nhiên
Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất.
Định nghĩa 1.14.
• Họ (Ft )t≥0 các σ -đại số con của F được gọi là một lọc
nếu Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0.
Fs với mọi t ≥ 0.
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft =
s>t
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục
phải và F0 chứa tất cả các tập A ⊂ Ω sao cho A ⊂ B ∈ F và P(B) = 0.
Ta sẽ luôn giả sử rằng tất cả các không gian xác suất với lọc được đề cập
đến trong luận văn này đều thỏa mãn điều kiện thông thường.
Định nghĩa 1.15. Họ (Xt )t∈I các bnn nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá
trình ngẫu nhiên (viết tắt là qtnn) với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd .
Tập chỉ số I thường là nửa đường thẳng thực R+ = [0, ∞), đoạn [a, b] hay tập
các số nguyên dương.
Khi I là tập (con của) các số nguyên dương thì (Xt )t∈I được gọi là quá trình
với thời gian rời rạc còn khi I là khoảng con của R+ thì (Xt )t∈I được gọi là quá
trình với thời gian liên tục.
Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I , ánh xạ Ω w → Xt (w) ∈ Rd là một bnn.
Mặt khác, cố định w ∈ Ω, ánh xạ I t → Xt (w) ∈ Rd được gọi là một quỹ đạo
của quá trình X ứng với w.
Định nghĩa 1.16. Qtnn (Xt )t≥0 được gọi là
• liên tục (liên tục trái, liên tục phải) nếu với hầu chắc chắn mọi w ∈ Ω, hàm
t → Xt (w) là liên tục (liên tục trái, liên tục phải) trên đoạn [0, ∞);
• cadlag nếu nó là liên tục phải và với hầu chắc chắn mọi w ∈ Ω giới hạn trái
lims↑t Xs (w) tồn tại và hữu hạn với mọi t > 0;
• khả tích nếu Xt khả tích với mọi t ≥ 0;
• tương thích với lọc (Ft ) nếu Xt là Ft -đo được với mọi t ≥ 0;
• đo được nếu ánh xạ R+ × Ω
được;
(t, w) → Xt (w) ∈ Rd là B(R+ ) × F/B(Rd )-đo
• đo được dần nếu với mọi t > 0, ánh xạ [0, t] × Ω
B([0, t]) × Ft /B(Rd )-đo được.
(s, w) → Xs (w) ∈ Rd là
Định nghĩa 1.17. Giả sử (Xt )t≥0 và (Yt )t≥0 là hai qtnn.
10
• Y được gọi là một bản sao của X nếu P[Xt = Yt ] = 1 với mọi t ≥ 0;
• X và Y được gọi là bất khả phân biệt P[Xt = Yt ] = 1 với mọi t ≥ 0.
Dễ thấy nếu X và Y là bất khả phân biệt thì Y là một bản sao của X . Điều
ngược lại nói chung không đúng.
1.2.2
Thời điểm dừng
Định nghĩa 1.18. Bnn T : Ω → [0, ∞] được gọi là thời điểm dừng nếu với mọi
t, biến cố {T ≤ t} ∈ Ft .
T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu T < ∞ hầu chắc chắn.
T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho T ≤ K
hầu chắc chắn.
Với mỗi qtnn X và thời điểm dừng T , ta kí hiệu XT (w) = XT (w) (w).
Mệnh đề 1.6. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường, ta có
i. T là thời điểm dừng khi và chỉ khi {T < t} ∈ Ft với mọi t;
ii. Nếu T = t hầu chắc chắn thì T là thời điểm dừng;
iii. Nếu S và T là hai thời điểm dừng thì S ∧ T, S ∨ T cũng là các thời điểm
dừng;
iv. Nếu (Tn )n≥1 là dãy các thời điểm dừng thì supn Tn và inf n Tn cũng là các thời
điểm dừng;
v. Nếu s ≥ 0 và S là thời điểm dừng thì T = S + s cũng là thời điểm dừng.
Mệnh đề 1.7. Giả sử T là thời điểm dừng hữu hạn, đặt
Tn (w) = (k + 1)/2n nếu k/2n ≤ T (w) < (k + 1)/2n .
Khi đó (Tn )n≥1 là dãy thời điểm dừng hội tụ hầu chắc chắn đến T . Dãy (Tn ) được
gọi là dãy xấp xỉ rời rạc của T .
Với mỗi tập Borel A, đặt
TA = inf{t > 0 : Xt ∈ A}.
Mệnh đề 1.8. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường và quá trình
ngẫu nhiên tương thích (Xt ) có quỹ đạo liên tục. Khi đó
i. Nếu A là tập mở thì TA là thời điểm dừng;
ii. Nếu A là tập đóng thì TA cũng là thời điểm dừng.
11
Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt
FT = {A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft , với mọi t > 0}.
FT là σ -đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T .
Mệnh đề 1.9. Giả sử lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện thông thường, ta có
i. FT là σ -đại số;
ii. Nếu S ≤ T thì FS ⊂ FT ;
iii. Đặt FT + =
FT + . Khi đó FT + = FT ;
>0
iv. Nếu XT có quỹ đạo liên tục phải thì XT là FT -đo được.
1.2.3
Martingale
Giả sử (Ft )t∈I là một lọc.
Định nghĩa 1.19. Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t∈I được gọi là một martingale
ứng với lọc (Ft ) và độ đo xác suất P nếu
1. E[|Mt |] < ∞ với mọi t;
2. Mt là Ft -đo được với mọi t;
3. E[Mt |Fs ] = Ms hầu chắc chắn với mọi t > s.
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt |Fs ] ≥ Ms hầu chắc chắn với mọi t > s
thì (Mt ) được gọi là martingale dưới. (Mt ) được gọi là martingale trên nếu (−Mt )
là martingale dưới.
Ví dụ 1.1. Giả sử X là một bnn khả tích, (Ft )t∈I là một lọc. Đặt Xt = E[X|Ft ].
Khi đó (Xt ) là một martingale và được gọi là martingale chính quy.
1.2.4
Một số bất đẳng thức
Thời gian rời rạc
Định lý 1.10. Giả sử (Xn ) là martingale dưới. Khi đó với mọi a > 0 và N ∈ N
ta có
1. aP(max Xn ≥ a) ≤ E[ max |XN | ≥ a] ≤ E(|XN |),
n≤N
n≤N
2. aP(min Xn ≤ −a) ≤ E(|X0 | + |XN |),
n≤N
3. aP(max |Xn | ≥ a) ≤ 2E(|XN | + |X0 |).
n≤N
12
Định lý 1.11. Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm
thỏa mãn E[|Xi |p ] < ∞ với mọi i ≤ N . Khi đó
1. P(max |Xn | ≥ a) ≤ a−p E(|XN |p ),
n≤N
2. E[max |Xn |p ] ≤
n≤N
p
p−1
p
E[|XN |p ].
Thời gian liên tục
Định lý 1.12. Giả sử (Mt ) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có
quỹ đạo liên tục phải và có giới hạn trái. Khi đó
1. Với mọi a > 0,
P(sup |Ms | ≥ a) ≤ E[|Mt |]/a;
s≤t
2. Nếu 1 < p < ∞ thì
E[sup |Ms |p ] ≤
s≤t
1.2.5
p
p−1
p
E[|Mt |p ].
Chuyển động Brown
Định nghĩa 1.20. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất với lọc (Ft )t≥0 . Qtnn
(Bt )t≥0 được gọi là một chuyển động Brown ứng với lọc (Ft )t≥0 nếu
1. B0 = 0;
2. B liên tục;
3. Bt − Bs độc lập với Fs với mọi t ≥ 0;
4. Bt − Bs có phân phối chuẩn N (0, t − s).
Định nghĩa 1.21. Giả sử (Bt1 ), . . . , (Btn ) là n chuyển động Brown độc lập. Khi
đó B = ((Bt1 , . . . , Btn )T , t ≥ 0) là một chuyển động Brown n chiều.
Có rất nhiều martingale tương ứng với chuyển động Brown.
Mệnh đề 1.10. Giả sử (Bt ) là một chuyển động Brown. Khi đó các quá trình
sau đều là martingale
i. Mt = Bt ;
ii. Mt = Bt2 − t;
2
iii. Mt = eaBt −a
t/2 .
13
1.3
Giải tích ngẫu nhiên Itô
1.3.1
Xây dựng tích phân Itô
Định nghĩa 1.22. Ta có (Ω, F, P) là không gian xác suất và (Bt , Ft )t≥0 là một
chuyển động Brown, (Ft ) lọc thỏa mãn điều kiện thông thường. Xét họ các quá
trình ngẫu nhiên đơn giản kí hiệu là L0
n−1
ξn (w)I(ti ;ti+1 ] (t),
ft (w) = η(w)I0 (t) +
i=0
trong đó 0 ≤ t0 < t1 < t2 < . . . < tn = T , η là F0 -đo được, ξi là Fti -đo được,
E(η 2 + ξi2 ) < +∞, với mọi i ≥ 0.
Định nghĩa 1.23. Nếu f ∈ L0 thì ta định nghĩa
n−1
T
ξi (Bti+1 − Bti ) .
ft dBt =
0
i=0
T
Mệnh đề 1.11. i. E
ft dBt = 0;
0
2
T
ii. Tính chất đẳng cự: E
ft dBt
T
ft2 dt;
=E
0
0
iii. Tính chất tuyến tính: Nếu f, g ∈ L0 thì
T
T
(aft + bgt )dBt = a
T
ft dBt + b
0
0
gt dBt .
0
Đặt
T
M2[0,T ] =
fs2 ds < +∞ .
f : [0, T ] × Ω → R sao cho ft là Ft -đo được và E
0
Mệnh đề 1.12. Nếu f ∈ M2[0,T ] . Khi đó tồn tại dãy (f n ) ⊂ L0[0,T ] sao cho
T
[fsn − fs ]2 ds → 0
E
khi
n → ∞.
0
Ta đặt
t
t
fs dBs = L2 − lim
0
fsn dBs , ∀t ∈ [0, T ].
0
14
Ta thấy tích phân trên M cũng thỏa mãn các tính chất của Mệnh đề 1.11.
2
Tiếp theo, ta xét P[0,T
] =
f : [0, T ] × Ω → R sao cho ft là Ft -đo được và
T
fs2 ds < +∞ hầu chắc chắn . Ta có M2 ⊂ P 2 . Bằng cách xét dãy quá trình
0
dừng, ta cũng có thể định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu
nhiên thuộc P. Tuy nhiên tích phân trên P 2 không còn giữ được tính chất đẳng
cự.
1.3.2
Công thức vi phân Itô
Định nghĩa 1.24. Giả sử a(t, w) và b(t, w) là hai quá trình ngẫu nhiên tương
thích với lọc Ft và
T
T
|b(s, w)|2 ds < +∞ hầu chắc chắn.
|a(s, w)| ds +
0
0
t
Quá trình ngẫu nhiên Xt = X0 +
t
b(s)dBs (X0 là F0 -đo được) được
a(s)ds +
0
0
gọi là quá trình Itô. Ta viết
(1.3)
dXt = a(t)dt + b(t)dBt .
Định lý 1.13. Cho F : [0, T ] × R → R thuộc không gian C 1,2 . Giả sử (Xt )t∈[0,T ]
là quá trình Itô cho bởi công thức (1.3). Đặt Yt = F (t, Xt ) thì
dYt =
∂F
∂F
1
∂ 2F
∂F
(t, Xt ) + a(t)
(t, Xt ) + b2 (t) 2 (t, Xt ) dt + b(t)
(t, Xt )dBt .
∂t
∂x
2
∂x
∂x
T
f 2 (s)ds < +∞. Đặt
Mệnh đề 1.13. Cho hàm số f : [0, T ] → R sao cho
0
T
T
f (s)dBs . Thì Xt có phân phối chuẩn N
Xt =
0
1.4
f 2 (s)ds
0,
.
0
Phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.4.1
Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên
• Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc {Ft }t≥0 thỏa mãn
điều kiện thông thường.
• B(t) = (B1 (t), B2 (t), . . . , Bm (t))T , t ≥ 0 là chuyển động Brown m chiều xác
định trên không gian (Ω, F, P), Bt là Ft -đo được.
15
• Giả sử 0 ≤ t0 ≤ T < ∞ và ξ là véc tơ ngẫu nhiên, Ft0 -đo được, nhận giá trị
trong Rd và E[|ξ|2 ] < ∞.
• Giả sử
f : Rd × [0, T ] → Rd ,
g : Rd × [0, T ] → Rd×m ,
là các hàm Borel đo được.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều
dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t),
0 ≤ t0 ≤ t ≤ T
(1.4)
x(t ) = ξ,
0
Phương trình trên có thể viết dưới dạng tích phân
t
x(t) = ξ +
t
f (x(s), s)ds +
t0
g(x(s), s)dB(s).
(1.5)
t0
Định nghĩa 1.25. Quá trình ngẫu nhiên {x(t)}t0 ≤t≤T nhận giá trị trên Rd được
gọi là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.4) nếu thỏa mãn
1. x(t) liên tục và là Ft -đo được;
2. f (x(t), t) ∈ L1 [t0 , T ], Rd và g(x(t), t) ∈ L2 [t0 , T ], Rd×m tức là
t
t
|f (x(s), s)|ds < ∞
|g(x(s), s)|2 ds < ∞ hầu chắc chắn;
v`
a
t0
t0
3. x(t) thỏa mãn phương trình (1.5).
Chú ý 1.1. Nếu ta kí hiệu nghiệm của phương trình (1.4) bởi x(t; t0 , ξ) thì từ
phương trình (1.5) ta có với mọi s ∈ [t0 , T ],
t
t
g(x(u), u)dB(u) với s ≤ t ≤ T.
f (x(u), u)du +
x(t) = x(s) +
s
(1.6)
s
Mặt khác, (1.6) lại là một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên đoạn [s, T ] với
giá trị ban đầu là x(s) = x(s; t0 , ξ). Kí hiệu nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t; s, x(s; t0 , ξ)). Khi đó, nếu phương trình vi phân ngẫu
nhiên (1.4) và (1.6) có nghiệm duy nhất thì hai nghiệm này phải trùng nhau
trên đoạn [s, T ], tức là
x(t; t0 , ξ) = x(t; s, x(s; t0 , ξ)),
t0 ≤ s ≤ t ≤ T.
(1.7)
Tính chất (1.7) được gọi là tính chất dòng hoặc tính chất nửa nhóm của nghiệm.
16
1.4.2
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 1.14. Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và K sao cho
1. (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [t0 , T ]
|f (x, t) − f (y, t)|2 ∨ |g(x, t) − g(y, t)|2 ≤ K|x − y|2 .
(1.8)
2. (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi x, y ∈ Rd × [t0 , T ]
|f (x, t)|2 ∨ |g(x, t)|2 ≤ K(1 + |x|2 ).
(1.9)
Khi đó phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất thỏa mãn
T
x(s)2 ds < ∞,
E
(1.10)
t0
trong đó tính “duy nhất” hiểu theo nghĩa: Nếu x¯(t) cũng là nghiệm của
phương trình (1.4) thì
P x(t) = x¯(t), ∀t ∈ [t0 , T ] = 1.
Để chứng minh định lý ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (1.9) được thỏa mãn và x(t) là
nghiệm của phương trình (1.4) thì
sup |x(t)|2 ≤ 1 + 3E[|ξ|2 ] · e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .
E
t∈[t0 ,T ]
Hơn nữa x(t) thỏa mãn điều kiện (1.10).
Để đơn giản về mặt kí hiệu, tất cả các định lý trong phần này sẽ được ta
chứng minh cho trường hợp d = m = 1. Các chứng minh này có thể mở rộng cho
trường hợp nhiều chiều một cách trực tiếp.
Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, xét dãy thời điểm dừng
τn = T ∧ inf t ∈ [t0 , T ] : |x(t)| ≥ n .
Ta có |x(s)| ≤ n với mọi s ∈ [t0 , τn ] và τn ↑ T . Do đó nếu đặt xn (t) = x(t ∧ τn ) thì
xn (t) → x(t) hầu chắc chắn khi n → ∞. Hơn nữa xn (t) thỏa mãn phương trình
t
xn (t) = ξ +
t
g(xn (s), s)It0 ≤s≤τn dB(s), t0 ≤ t ≤ T.
f (xn (s), s)It0 ≤s≤τn ds +
t0
t0
17
2
b
Áp dụng các bất đẳng thức |a + b +
c|2
3(|a|2
≤
+
|b|2
+
|c|2 ),
f (x)dx
≤
a
b
|f (x)|2 dx và điều kiện (1.9) cho hàm f , ta có
(b − a)
a
t
|f (xn (s), s)|2 It0 ≤s≤τn ds
|xn (t)|2 ≤ 3|ξ|2 + 3(t − t0 )
t0
2
t
g(xn (s), s)It0 ≤s≤τn dB(s)
+3
t0
t
≤ 3|ξ|2 + 3K(t − t0 )
(1 + |xn (s)|2 )It0 ≤s≤τn ds
t0
2
t
g(xn (s), s)It0 ≤s≤τn dB(s) .
+3
t0
Lấy sup theo t ∈ [t0 , s] rồi lấy kì vọng hai vế ta được
s
E
2
(1 + E[|xn (u)|2 ])It0 ≤u≤τn du
2
sup |xn (t)|
≤ 3E(|ξ| ) + 3K(s − t0 )
t0 ≤t≤s
t0
2
t
+ 3E
sup
g(xn (u), u)It0 ≤u≤τn dB(s)
t0 ≤t≤s
.
t0
Áp dụng bất đẳng thức Doob và điều kiện (1.9) cho hàm g , ta được
s
E
2
sup |xn (t)|
t0 ≤t≤s
2
(1 + E[|xn (u)|2 ])It0 ≤u≤τn du
≤ 3E(|ξ| ) + 3K(s − t0 )
t0
s
|g(xn (u), u)|2 It0 ≤u≤τn du
+ 12E
t0
s
(1 + E[|xn (u)|2 ])du.
≤ 3E[|ξ|2 ] + 3K(T − t0 + 4)
t0
Suy ra
1+E
sup |xn (s)|2 ≤ 1 + 3E[|ξ|2 ]+
t0 ≤t≤s
s
+ 3K(T − t0 + 4)
1+E
t0
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm u(s) = 1 + E
E
sup |xn (υ)|2
sup |xn (t)|2 ta được
t0 ≤t≤s
sup |xn (t)|2 ≤ 1 + 3E[|ξ|2 ] e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .
t0 ≤t≤T
18
du.
t0 ≤υ≤u
h.c.c
Do xn (t) → x(t), áp dụng Bổ đề Fatou ta có
E
sup |xn (t)|2 ≤ lim inf E
n→∞
t0 ≤t≤T
sup |xn (t)|2
t0 ≤t≤T
≤ 1 + 3E(|ξ|2 ) e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .
Do đó
t
t
t
0
0
1 + 3E[|ξ|2 ] e3K(T −t0 )(T −t0 +4) ds < ∞.
E[|x(s)|2 ]ds ≤
|x(s)|2 ds =
E
0
Bổ đề được chứng minh xong.
Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý 1.14
Tính duy nhất: Giả sử x, x¯ là hai nghiệm của phương trình (1.4). Khi đó
t
t
g(x(s), s) − g(¯
x(s), s) dBs. (1.11)
f (x(s), s) − f (¯
x(s), s) ds +
x(t) − x¯(t) =
t0
t0
Đặt U (t) = E( sup |x(s) − x¯(s)|2 ). Áp dụng bất đẳng thức |a + b|2 ≤ 2(|a|2 + |b|2 )
t0 ≤s≤t
rồi lấy sup và kì vọng hai vế của (1.11) ta được
2
s
U (t) ≤ 2E
f (x(u), u) − f (¯
x(u), u) du
sup
t0 ≤s≤t
t0
2
s
+ 2E
g(x(s), s) − g(¯
x(s), s) dB(u)
sup
t0 ≤s≤t
.
t0
Áp dụng bất đẳng thức Doob và điều kiện (1.8), ta được
s
U (t) ≤ 2E
|f (x(u), u) − f (¯
x(u), u)|2 du
sup (s − t0 )
t0 ≤s≤t
t0
s
|g(x(u), u) − g(¯
x(u), u)|2 du
+ 8E
t0
t
t
E(|x(u) − x¯(u)|2 )du + 8K
≤ 2K(T − t0 )
t0
t
≤ 2K(T + 4)
E(|x(u) − x¯(u)|2 )du
t0
U (s)ds.
t0
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được U (T ) = 0, tức là sup |x(s) − x¯(s)| = 0
t0 ≤s≤t
hầu chắc chắn. Điều này chứng tỏ phương trình có không quá một nghiệm.
Sự tồn tại nghiệm: Với t ∈ [t0 , T ] xét dãy lặp Picard như sau
x0 (t) = ξ,
t
xn (t) = ξ +
t
g(xn−1 (s), s)dB(s), n = 1, 2, . . . (1.12)
f (xn−1 (s), s)ds +
t0
t0
19
