Dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo quan điểm tích hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
------  -------

TRẦN THANH HÀ

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11
THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

CẦN THƠ, 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tự bản thân thực hiện với sự hướng
dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, không sao chép các công trình nghiên cứu của
người khác để làm sản phẩm của riêng mình.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm
về tính xác thực và nguyên bản của luận văn.

Tác giả luận văn

Trần Thanh Hà

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất tới PGS.TS. Lê
Thị Hoài Châu, cô là người đã bỏ nhiều thời gian, công sức, tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp đến tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Sư Phạm Toán
Trường Đại học Cần Thơ đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập, đặc
biệt là PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu và PGS.TS. Nguyễn Phú Lộc đã truyền thụ cho
chúng tôi những kiến thức cơ bản và những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên
cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán
Trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi tiến hành
nghiên cứu thực nghiệm.
Xin thân gửi đến các bạn cùng lớp lời cảm ơn vì những chia sẻ, đoàn kết trong
suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã
luôn là nguồn động viên lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt thời
gian học tập.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn.
Trần Thanh Hà


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………1
1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………..1
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát…………………………..1

1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm….3
1.3. Hướng nghiên cứu đặt ra – Mục tiêu nghiên cứu……………………….7
2. Khung lí thuyết tham chiếu……………………………………………………….8
3. Câu hỏi nghiên cứu……………………………………………………………….8
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….8
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………….11
1.1. Thuyết nhân học trong Didactic Toán…………………………………………11
1.1.1. Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân……………………………………11
1.1.2. Tổ chức toán học……………………………………………………..12
1.2. Lí thuyết về dạy học tích hợp………………………………………………….13
1.2.1. Dạy học tích hợp là gì………………………………………………..13
1.2.2. Vì sao phải tích hợp trong dạy học…………………………………..13
1.2.3. Các phương thức tích hợp……………………………………………15
1.2.4. Tích hợp trong dạy học toán…………………………………………15
1.2.5. Mô hình hóa toán học………………………………………………...16
1.3. Lí thuyết tình huống – Biến dạy học…………………………………………..18
CHƯƠNG 2. TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU CỦA KHÁI NIỆM
ĐẠO HÀM………………………………………………………………………...19
2.1. Mục đích nghiên cứu của chương……………………………………………..19
2.2. Tổng hợp các nghiên cứu đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển và
nghĩa của khái niệm đạo hàm………………………………………………………19
2.2.1. Nguồn gốc toán học của khái niệm đạo hàm………………………...20


2.2.2. Nguồn gốc vật lí của khái niệm đạo hàm…………………………….24
2.3. Ứng dụng của khái niệm đạo hàm trong thực tiễn và các khoa học khác……..27
2.4. Kết luận chương 2……………………………………………………………..29
CHƯƠNG 3. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VẤN ĐỀ TÍCH HỢP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11……………………………………………30
3.1. Mục đích nghiên cứu của chương……………………………………………..30

3.2. Phân tích SGK Toán lớp 11 của Việt Nam……………………………………30
3.2.1. Quan điểm tích hợp trong cách xây dựng khái niệm đạo hàm của SGK
Toán lớp 11………………………………………………………………………..30
3.2.2. Các tổ chức toán học có mặt trong thể chế dạy học khái niệm đạo hàm
ở lớp 11 và vấn đề tích hợp………………………………………………………...38
3.3. Phân tích SGK phổ thông của Canada………………………………………...51
3.3.1. Quan điểm tích hợp trong cách xây dựng khái niệm đạo hàm của SGK
Canada……………………………………………………………………………...52
3.3.2. Các tổ chức toán học có mặt trong SGK Canada và vấn đề tích hợp..57
3.4. Kết luận chương 3……………………………………………………………..59
CHƯƠNG 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM………………………………..61
4.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………61
4.2. Đối tượng thực nghiệm………………………………………………………...61
4.3. Xây dựng các vấn đề sử dụng trong thực nghiệm……………………………..62
4.4. Dàn dựng kịch bản. Phân tích tiên nghiệm các hoạt động của thực nghiệm…….67
4.5. Phân tích hậu nghiệm…………………………………………………………..85
4.6. Kết luận chương 4……………………………………………………………..95


KẾT LUẬN………………………………………………………………………..96
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………...97
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Quan điểm được thừa nhận rộng rãi về mục tiêu của việc dạy học toán ở trường

phổ thông là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào thực
tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác. Quan điểm này được thể hiện rõ qua
chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International Student
Assessment) do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD (Organization for
Economic Cooperation and Development) khởi xướng và chỉ đạo. Đây là một chương
trình được tổ chức định kì ba năm một lần, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính
hiệu quả, chất lượng giáo dục của mỗi nước tham gia. Ba lĩnh vực được đánh giá là
năng lực đọc hiểu, toán học và khoa học của học sinh độ tuổi 15. Mục đích của chương
trình là qua kết quả đánh giá mà rút ra chiến lược giáo dục cho bậc phổ thông. Đối
với lĩnh vực toán học, chương trình này quan tâm đến năng lực toán học phổ thông
(Mathematical literacy).
“Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến
thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải
quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai
một cách linh hoạt” (Tài liệu tập huấn PISA 2015, tr.15).

Định nghĩa này của PISA cho thấy năng lực vận dụng kiến thức học được ở
nhà trường vào thực tiễn cuộc sống được coi trọng như thế nào. Điều đó cũng phù
hợp với lịch sử toán học: nguyên nhân và động lực làm nảy sinh và phát triển các tri
thức toán học là các vấn đề của thực tiễn và của các khoa học khác. Do đó, dạy học
toán theo kiểu tách biệt với thực tiễn, tách biệt với các môn khoa học khác sẽ khiến
người học họ không hiểu lợi ích của việc học tri thức đó đối với cuộc sống của họ.
Đó chính là lý do khiến mục tiêu dạy học toán được nói tới ở Việt Nam trong
mấy năm gần đây là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào


2

thực tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác. Quan điểm dạy học tích hợp mà chúng
tôi đề cập đến cũng theo xu hướng dạy học này.

Bàn về quan điểm tích hợp trong dạy học toán, tác giả Lê Thị Hoài Châu có
đưa ra kết luận như sau:
“Dạy học tích hợp làm cho việc học tập trở nên ý nghĩa hơn đối với học sinh
so với việc thực hiện riêng rẽ các môn học, các mặt giáo dục khác nhau. Nó
cho phép con người nhận ra những điều then chốt và các mối liên hệ hữu cơ
giữa các thành tố trong hệ thống và trong tiến trình hoạt động thuộc một lĩnh
vực nào đó. Nó giúp nâng cao năng lực của người học trong việc giải quyết vấn
đề của cuộc sống hiện tại. Nó hoàn toàn phù hợp với những quan niệm tích cực
về quá trình học tập” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.12)

Tác giả cũng đưa ra nhận định của Dương Tiến Sĩ về quan điểm tích hợp:
“Thời gian học tập trong nhà trường không thể kéo dài thêm. Học sinh có thể
sẽ học được nhiều hơn nếu được cung cấp đầy đủ các tư liệu học tập được biên
soạn trong khuôn khổ một chương trình tích hợp các khoa học một cách hợp
lý” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.14)

Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là phải tổ chức dạy học theo quan điểm tích hợp
như thế nào để đáp ứng được xu hướng dạy học của toàn cầu nói chung và của nền
Giáo dục Việt Nam nói riêng. Một câu hỏi không dễ trả lời chút nào khi mà
“Xu hướng hiện nay của dạy học toán ở Việt Nam thì lại là trình bày qua loa
khái niệm, rồi công nhận các định lý công thức và dạy học sinh giải toán theo
mẫu… cách dạy này khiến học sinh khó nhận thấy lợi ích thực tiễn của các tri
thức toán học, cho rằng học toán chỉ để giải toán và đi thi”
(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.14)

Chẳng hạn như khái niệm đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống
và các môn khoa học khác, đặc biệt là vật lý. Thế nhưng với cách dạy học, cách kiểm
tra, đánh giá hiện nay thì đạo hàm chỉ dùng để xét tính đơn điệu của hàm số, khảo sát
hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, chứng minh bất đẳng thức,

3

… Những hàm số này lại được cho sẵn, chẳng gắn với một vấn đề thực tiễn nào. Nói
chung là học sinh chỉ được yêu cầu giải những bài toán toán học thuần túy. Điều này
thể hiện rõ qua nội dung của các kì thi ở mọi cấp – trường, tỉnh, quốc gia. Đành rằng
những bài toán thuần túy toán học kiểu như vậy có thể được sử dụng để rèn luyện và
phát triển tư duy cho người học, đồng thời giúp họ biết dùng kiến thức đã biết vào
việc giải quyết những vấn đề cụ thể của toán học. Nhưng chúng không đủ để người
học nhận ra sự cần thiết của tri thức được học đối với cuộc sống.
Từ những ghi nhận ban đầu về xu hướng và tầm quan trọng của quan điểm
tích hợp trong dạy học, về mục tiêu của giáo dục hiện nay, về tiêu chuẩn đánh giá
quốc tế PISA và về thực trạng với thực tiễn về dạy học khái niệm đạo hàm, hàng loạt
câu hỏi đặt ra cho chúng tôi: khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Nó cho phép
giải quyết những loại vấn đề nào của thực tiễn ? Làm thế nào để xây dựng những tình
huống dạy học có tích hợp với các môn khoa học khác và gắn với thực tiễn nhằm
nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh?
1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm
Bàn về dạy học khái niệm đạo hàm, đã có khá nhiều công trình nghiên cứu
trong và ngoài nước. Dưới đây, chúng tôi sẽ tóm lược những kết quả chính từ những
tài liệu trong nước mà chúng tôi có được.
1.2.1. Đạo hàm và mối quan hệ với tiếp tuyến
Đây là một vấn đề được nghiên cứu trong công trình của Bùi Thị Thu Hiền
(2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư
phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TPHCM.
Về phương diện khoa học luận, kết quả nghiên cứu của luận văn cho thấy trong
lịch sử toán học, đạo hàm được hình thành và phát triển từ việc tìm lời giải cho hai
bài toán, một là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong và hai là bài toán
tìm vận tốc tức thời của một chuyển động. Tuy nhiên, tác giả chỉ quan tâm khai thác
và làm rõ nghĩa của đạo hàm ở khía cạnh đạo hàm là công cụ tìm lời giải cho bài toán

4

tiếp tuyến của một đường cong. Tác giả đã kết luận rằng giữa đạo hàm và tiếp tuyến
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Ngoài mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến còn
có mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ
affine.
Về phương diện thể chế, tác giả đã kết luận thể chế dạy học toán ở Việt Nam
(theo chương trình và sách giáo khoa Giải tích 11 năm 2000) đã ảnh hưởng trên mối
quan hệ cá nhân của mỗi học sinh. Cụ thể là
“Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và
xấp xỉ affine, nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện
trong mối quan hệ cá nhân của họ” (Bùi Thị Thu Hiền, 2007, tr.71).

Tuy nhiên thể chế dạy học toán mà tác giả nghiên cứu là bộ SGK chỉnh lý hợp nhất
năm 2000 và bộ SGK thí điểm ban KHTN. Các bộ SGK này, hiện nay đã không còn
được sử dụng.
1.2.2. Một số hợp đồng didactic được hình thành từ thể chế dạy học đạo hàm ở
lớp 11
Lê Anh Tuấn (2009), trong Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở
lớp 11 phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TP HCM, đã tìm
hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh lớp 11 với khái niệm đạo hàm và thử giải thích
quan hệ đó bằng khái niệm hợp đồng didactic.
Về phương diện khoa học luận, tác giả đã giới thiệu định nghĩa và nghiên cứu
vai trò công cụ giải toán của đạo hàm ở một số giáo trình đại học. Tuy nhiên, tác giả
chưa quan tâm làm rõ nghĩa của khái niệm này.
Về phương diện thể chế, luận văn đã nghiên cứu thể chế dạy học khái niệm
đạo hàm bậc Trung học phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành và
ảnh hưởng của nó lên kiến thức và ứng xử của học sinh. Cụ thể là

+ Định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh


5

+ Khi tính đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x  x0 bằng định nghĩa thì việc
tính f '  x0  bằng lim
x  x0

f  x   f  x0 
y
chiếm ưu thế hơn so với việc tính bằng lim

x

0
x
x  x0

Vấn đề là tại sao “định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh”, tại
sao định nghĩa đạo hàm mà SGK trình bày là " f '  x0   lim
x  x0

f  x   f  x0 
" nhưng khi
x  x0

y
" . Ý đồ của SGK là gì
x  0 x

thực hành thì SGK lại đưa ra quy trình tính " f '  x0   lim

mà lại trình bày như vậy thì chưa được tác giả giải thích hay làm rõ.
Hai quy tắc hợp đồng mà tác giả chỉ ra là
-

RE1: “Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã
có”

-

RE2: “Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, học sinh không có
trách nhiệm kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính
đạo hàm”

Những nghiên cứu về thể chế của luận văn đã cho chúng tôi thấy phần nào sự
hiểu biết của học sinh về khái niệm đạo hàm.
1.2.3. Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở trường phổ thông
Đây là vấn đề mà tác giả Ngô Minh Đức (2013), quan tâm nghiên cứu trong
luận văn thạc sỹ của mình.
Về phương diện khoa học luận, tác giả đã làm rõ được động lực nảy sinh, tiến
trình hình thành và phát triển của khái niệm đạo hàm trong lịch sử, từ đó tác giả đã
nêu bật được nghĩa của khái niệm đạo hàm. Về động lực nảy sinh khái niệm đạo hàm,
tác giả đã kết luận khái niệm đạo hàm được hình thành và phát triển nhờ hai động lực
chính, một từ việc tìm lời giải cho bài toán vật lý tìm vận tốc tức thời của một chuyển
động, hai là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong bất kỳ. Về nghĩa của
khái niệm đạo hàm, tác giả đã kết luận:

6

“Trong lịch sử toán học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) có thể
mang nhiều ý nghĩa khác nhau vì gắn với những đặc trưng khác nhau: về mặt
tính số, nó là xấp xỉ affine của hàm số đang xét tại điểm đang xét thông qua
biểu diễn f  x  h   f  x   f '  x  h  hH ; về mặt hình học, nó là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đang xét; về mặt động học (theo nghĩa
tổng quát của Newton), nó là độ biến thiên tức thời của hàm số đang xét tại
điểm đang xét” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.33).

Về phương diện thể chế, tác giả quan tâm làm rõ nghĩa của khái niệm đạo hàm
trong hai thể chế, thể chế dạy học vật lí và thể chế dạy học toán ở trường phổ thông.
Trong thể chế dạy học vật lí, tác giả kết luận đạo hàm xuất hiện ngầm ẩn ngay từ
chương trình vật lí lớp 10 và 11, sau đó là xuất hiện tường minh trong chương trình
vật lý lớp 12 với hai nghĩa “tốc độ biến thiên” và “xấp xỉ”. Chính vì vậy tác giả đưa
ra nhận định
“Việc dạy học khái niệm đạo hàm thật sự cần thiết phải đặt trong mối quan hệ
liên môn với Vật lí” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.46).

Trong thể chế dạy học toán, tác giả kết luận:
+ Đặc trưng tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm không được thể chế hóa
một cách tường minh
+ Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường tiếp tuyến và tương ứng là xấp xỉ
một hàm bằng một hàm tuyến tính đơn giản hơn không được thể chế quan tâm làm
rõ.
Về quan niệm của học sinh đối với khái niệm đạo hàm, tác giả đã đưa ra kết
luận
“Đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm không
xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh trong thể chế dạy học toán
hiện nay” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.68)

7

Ngoài ra tác giả còn kết luận hai thể chế dạy học vật lí và toán “không tạo ra sự khớp
nối hợp lí” cho nghĩa của khái niệm đạo hàm.
Về đồ án didactic, tác giả đã xây dựng một đồ án nhằm bổ sung và giúp học
sinh hình thành hai nghĩa còn thiếu “tốc độ biến thiên” và “xấp xỉ” của khái niệm đạo
hàm cho học sinh lớp 12, để từ đó “… tạo mối dây liên kết hợp lý cho việc ứng dụng
hiệu quả khái niệm đạo hàm trong dạy học vật lí ở trường phổ thông” (Ngô Minh
Đức, 2013, tr.70).
Đồ án dạy học của tác giả Ngô Minh Đức được xây dựng cho học sinh đầu lớp
12, khi các em đã được nghiêncứu khái niệm đạo hàm ở lớp 11. Chúng tôi tự hỏi : có
thể xây dựng các tình huống dạy học cho học sinh lớp 11 tại thời điểm bắt đầu học
khái niệm đạo hàm? Và nếu là các tình huống dạy học cho học sinh lớp 11 thì phải
xây dựng như thế nào?
Luận văn đã cung cấp cho chúng tôi tổng quan về lịch sử hình thành khái niệm
đạo hàm cùng với nghĩa của nó và sự cần thiết phải dạy học khái niệm đạo hàm trong
mối quan hệ liên môn và đồng thời cũng cung cấp cho chúng tôi thực tiễn của việc
vận dụng mối quan hệ liên môn trong dạy học khái niệm đạo hàm hiện nay. Vậy việc
dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo phương thức tích hợp, gắn toán học với
thực tiễn và các khoa học khác thì sao, có được thể hiện trong sách giáo khoa toán
lớp 11 không, nếu có thì thể hiện như thế nào và ở mức độ nào, có nâng cao được
năng lực toán học phổ thông cho học sinh không. Những câu hỏi này đã gợi cho chúng
tôi đặt ra định hướng nghiên cứu tiếp theo cho khái niệm đạo hàm.
1.3. Hướng nghiên cứu đặt ra – Mục tiêu nghiên cứu
Từ việc điểm qua các công trình nghiên cứu đã có cùng với những câu hỏi xuất
phát mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi mong muốn làm rõ vấn đề tích hợp khái
niệm đạo hàm với thực tiễn và các khoa học khác trong dạy học toán ở trường phổ
thông. Chính vì vậy mà chúng tôi xác định vấn đề cần nghiên cứu:

“Dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo quan điểm tích hợp”


8

2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
Để đạt được mục tiêu, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết
Didactic toán (thuyết nhân học), lý thuyết tình huống và lý thuyết về dạy học tích hợp
làm cơ sở cho việc xác định phương pháp luận nghiên cứu để trả lời các câu hỏi đã
nêu.
3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên
cứu của mình như sau:
CH1. Khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Vai trò và chức năng của các
nghĩa đó như thế nào đối với thực tiễn cuộc sống và các khoa học khác.
CH2. Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, khái niệm đạo hàm được
trình bày như thế nào? Những nghĩa nào được hình thành? Những tổ chức toán học
gắn liền với các nghĩa này là gì? Vấn đề tích hợp được thể hiện ra sao?
CH3. Cần xây dựng các tình huống dạy học khái niệm đạo hàm theo quan
điểm tích hợp như thế nào nhằm bổ sung đầy đủ nghĩa của tri thức cho việc học tập
các môn khoa học khác đồng thời nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay nói khác đi là tìm được câu trả lời cho
các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu vừa nêu,
chúng tôi xác định các nhiệm vụ, phương pháp và nội dung nghiên cứu của mình là:
+ Phân tích, tổng hợp những yếu tố lí thuyết chủ yếu về Thuyết nhân học của
Didactic Toán; Lí thuyết tình huống; Lí thuyết về dạy học tích hợp nhằm hình thành
cơ sở lí luận cho luận văn. Nội dung này được trình bày trong chương 1.
+ Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu tri thức luận của
khái niệm đạo hàm, qua đó làm rõ nguồn gốc nảy sinh khái niệm, các nghĩa khác

nhau của nó, ứng dụng của khái niệm trong thực tiễn và các khoa học khác, những


9

nghĩa được hình thành trong dạy học. Những nội dung này được trình bày trong
chương 2. Kết quả nghiên cứu của chương cũng là câu trả lời cho câu hỏi CH1.
+ Phân tích chương trình và sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 hiện hành
của Việt Nam. Trên quan điểm so sánh, chúng tôi phân tích thêm một sự lựa chọn
của thể chế dạy học khái niệm đạo hàm của Canada, cuốn “Harcourt Mathematics 12,
Advanced Function and Introductory Calculus (2002)”, tương đương với chương
trình môn toán lớp 11 hiện hành của Việt Nam, nhằm làm nổi bật các yếu tố sau của
thể chế dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 của Việt Nam:
 Những nghĩa nào được hình thành? Những nghĩa nào vắng mặt?
 Những tổ chức toán học nào được đưa vào? Những tổ chức toán học
nào vắng mặt?
 Vấn đề tích hợp với thực tiễn và các khoa học khác được thể hiện ra
sao?
Những nội dung này được trình bày trong chương 3. Kết quả nghiên cứu của
chương sẽ là câu trả lời cho CH2.
+ Xây dựng một số tình huống dạy học khái niệm đạo hàm theo phương thức
tích hợp với các khoa học khác, gắn toán học với thực tiễn, cho phép học sinh lớp 11
tiếp cận khái niệm đạo hàm theo định hướng tích cực, nhằm bổ sung đầy đủ các nghĩa
của khái niệm đạo hàm và nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh. Nội
dung này được trình bày trong chương 4. Kết quả nghiên cứu của chương cũng là câu
trả lời cho câu hỏi CH3.


10

Có thể tóm tắt ngắn gọn phương pháp nghiên cứu của chúng tôi bằng sơ đồ sau
Cơ sở lí luận

Tổng hợp các nghiên cứu
tri thức luận về khái niệm
đạo hàm

Nghiên cứu thể chế dạy
học khái niệm đạo hàm
trên quan điểm so sánh

Làm rõ nghĩa
và ứng dụng
của khái
niệm đạo
hàm trong
thực tiễn và
các khoa học
khác

khác
Xây dựng các tình huống dạy học.
Thực nghiệm


11

CHƯƠNG 1.
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong chương này, chúng tôi trình bày những yếu tố cơ bản nhất làm nền tảng

công cụ lí thuyết cho những nghiên cứu của luận văn.
1.1. Thuyết nhân học trong Didactic Toán
Thuyết nhân học là một công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán. Nói một
cách đầy đủ thì lý thuyết này được gọi là Thuyết nhân học trong Didactic Toán. Trong
phần dưới, chúng tôi sẽ gọi một cách ngắn gọn là Thuyết nhân học. Các khái niệm cơ
bản của Thuyết nhân học là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học,…
1.1.1. Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân
Bởi vì thuyết nhân học quan niệm mỗi một đối tượng tri thức toán học O là
“một sinh vật sống”, và vì vậy mà nó sẽ trải qua các giai đoạn nảy sinh, hình thành
và phát triển. Nó nảy sinh như thế nào, hình thành ra sao và phát triển đến mức độ
nào, tất cả đều phụ thuộc vào môi trường, xã hội mà nó tồn tại trong đó. Môi trường
hay xã hội mà chúng tôi nhắc đến, trong thuyết nhân học gọi là thể chế I.
Trong một thể chế I luôn tồn tại những ràng buộc nhất định nào đó đối với
cuộc sống của tri thức O. Chẳng hạn, một trong những ràng buộc của thể chế I là
những ràng buộc sinh ra từ chương trình, SGK, … Chính những ràng buộc này đã
quyết định cuộc sống của O trong I, tạo ra một mối quan hệ giữa thể chế I và tri thức
O mà thuyết nhân học gọi đó là quan hệ thể chế R (I, O). Như vậy quan hệ thể chế
R(I, O) chỉ rõ cách thức I quyết định O xuất hiện như thế nào, ở đâu, tồn tại ra sao và
có vai trò gì trong I.
Trong mỗi thể chế dạy học I luôn có hai vị trí quan trọng mà một cá nhân X
có thể chiếm giữ: vị trí người dạy (giáo viên) và vị trí người học (học sinh). Quan hệ
thể chế R(I, O) sẽ ảnh hưởng đến sự hiểu biết của chủ thể X về đối tượng tri thức O
qua cách thức mà X hiểu về O, sử dụng O. Những tác động và cách thức mà X tác


12

động lên O, hiểu về O, nghĩ về O, thao tác trên O, … được gọi là quan hệ cá nhân
R(X, O).
Như vậy muốn biết được chủ thể X hiểu đối tượng tri thức O như thế nào, tức

là tìm hiểu quan hệ cá nhân R(X, O), chúng ta cần tìm hiểu thể chế I mà đối tượng tri
thức O đang tồn tại trong đó, hay nói khác đi là tìm hiểu những ảnh hưởng của thể
chế lên đối tượng tri thức O, nói theo thuyết nhân học là tìm hiểu quan hệ thể chế R(I,
O). Câu hỏi đặt ra là quan hệ thể chế R(I,O) được thể hiện dưới hình thức nào, dựa
vào đâu để có thể mô tả được mối quan hệ thể chế với một tri thức? Việc giải đáp cho
câu hỏi này sẽ cung cấp cho chúng ta một phương pháp luận phân tích mối quan hệ
thể chế với đối tượng tri thức được nghiên cứu. Phương pháp này gắn liền với một
khái niệm cơ bản trong Thuyết nhân học, khái niệm mà chúng tôi muốn nhắc đến là
khái niệm “Tổ chức toán học” trong Didactic Toán.
1.1.2. Tổ chức toán học
Trong quan hệ thể chế R(I, O) luôn có các hoạt động để đối tượng tri thức O
tồn tại, các hoạt động đó vận hành như một tổ chức gồm 4 thành phần T , , , 
trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật giải quyết T ,  là công nghệ giải
thích kỹ thuật  ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ  . Thuyết nhân học gọi các
tổ chức này là các praxéologie. Trong trường hợp T là một kiểu nhiệm vụ toán học
thì người ta nói rằng đó là một praxéologie toán học hay một tổ chức toán học
(organisation mathématique). Các tổ chức toán học đó cho chúng ta biết đối tượng O
“sinh sống” như thế nào trong thể chế I. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan
đến đối tượng tri thức O sẽ làm rõ mối quan hệ R(I, O), từ đó hiểu được mối quan hệ
R(X, O).
Rõ ràng thuyết nhân học là một công cụ đặc thù giúp chúng tôi tìm kiếm câu
trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu mà chúng tôi đã nêu.
Khi đã làm rõ được những yếu tố khiếm khuyết trong mối quan hệ cá nhân của
chủ thể về đối tượng tri thức mà chúng tôi quan tâm thì với mục đích nghiên cứu đã


13

xác định, chúng tôi phải tìm cách bổ sung những khiếm khuyết đó thông qua việc
thiết kế và thực hiện các tình huống dạy học. Tuy nhiên để có thể thiết kế được các

tình huống dạy học nhằm nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh, chúng
tôi không thể không có nền tảng của Lý thuyết dạy học tích hợp.
1.2. Lý thuyết về dạy học tích hợp
1.2.1. Dạy học tích hợp là gì?
Bàn về dạy học tích hợp, UNESCO cho rằng:
“Một cách trình bày các khái niệm và nguyên lí khoa học cho phép diễn đạt sự
thống nhất cơ bản của tư tưởng khoa học, tránh nhấn quá mạnh hoặc quá sớm
sự sai khác giữa các lĩnh vực khoa học khác nhau”
(trích theo Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.11)

Theo trích dẫn trên thì dạy học tích hợp nghĩa là dạy học một khái niệm của
một lĩnh vực khoa học cụ thể có sự gắn kết khái niệm đó với các lĩnh vực khoa học
khác giúp người học hiểu được rằng giữa các môn khoa học có sự thống nhất với
nhau, hỗ trợ nhau, giúp người học hình thành năng lực giải quyết tình huống của thực
tiễn. Tác giả Lê Thị Hoài Châu nhận định
“Định nghĩa này nhấn mạnh cách tiếp cận các khái niệm và nguyên lí khoa học
chứ không phải là hợp nhất nội dung. Việc giảng dạy các môn khoa học không
thể chỉ xem là trang bị một số kiến thức mở đầu, chuẩn bị cho cấp học trên, mà
còn là kết thúc, chuẩn bị cho đời sống trưởng thành.” (Lê Thị Hoài Châu, 2014,
tr.11)

1.2.2. Vì sao phải tích hợp trong dạy học?
Mỗi một khoa học không thể tự nó hình thành và phát triển mà là một mối
quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, ràng buộc nhau, thúc đẩy nhau hình thành và phát triển.
Chẳng hạn Toán học là tiền đề, là cơ sở nghiên cứu các khoa học khác. Ngược lại,
các môn khoa học khác là nguồn gốc tạo ra động lực mạnh mẽ để Toán học nảy sinh,
hình thành và phát triển.


14

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, mỗi một khoa học nghiên cứu sự vận động và
phát triển các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên theo những góc độ khác nhau. Mặt
khác, các sự vật, hiện tượng này đều tồn tại và phát triển trong một thể thống nhất
gồm nhiều mối quan hệ. Chính vì vậy, muốn hiểu về nó một cách đầy đủ thì không
thể chỉ dùng một khoa học đơn lẻ nào đó mà phải phối hợp các khoa học khác nhau
để giải thích cho sự tồn tại và vận động của sự vật hiện tượng đó.
Theo Xavier Roegiers, trong thời đại bùng nổ thông tin, sự gia tăng về số lượng
và khả năng dễ tiếp cận của các thông tin đã dẫn đến chức năng truyền thống của
người giáo viên là truyền đạt kiến thức cho người học ngày càng mất ý nghĩa, vì các
kiến thức và thông tin có thể được tiếp nhận một cách dễ dàng bằng nhiều phương
tiện khác nhau. Rõ ràng sự cần thiết phải thay đổi chức năng của người dạy trở thành
phát triển năng lực huy động các kiến thức ở các lĩnh vực khác nhau để giải quyết các
vấn đề của thực tiễn cho người học.
Từ ba lí do trên cho thấy sự cần thiết phải tích hợp trong dạy học bởi vì các
mục tiêu mà nó nhắm đến như sau:
“- Làm cho các quá trình học tập có ý nghĩa bằng cách gắn nó với cuộc sống
hàng ngày, hòa nhập thế giới học đường với thế giới cuộc sống.
- Hình thành năng lực cơ bản, cần thiết cho việc vận dụng vào xử lí các tình
huống của cuộc sống và đặt cơ sở không thể thiếu cho quá trình học tập tiếp
theo của học sinh
- Dạy sử dụng kiến thức trong những tình huống cụ thể. Thay vì tham nhồi nhét
cho học sinh nhiều kiến thức lí thuyết đủ loại, dạy học tích hợp chú trọng tập
dượt cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng học được vào các tình huống
thực tế, có ích cho cuộc sống sau này của một công dân có năng lực sống tự
lập
- Xác lập mối liên hệ giữa các khái niệm đã học. Trong quá trình học tập, học
sinh có thể lần lượt học những môn học khác nhau, những phần khác nhau
trong mỗi môn học. Nhưng họ phải biết biểu đạt các khái niệm đã học trong

15

những mối quan hệ hệ thống thuộc phạm vi từng môn học cũng như giữa các
môn học khác nhau”
(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.11-12)

1.2.3. Các phương thức tích hợp
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra ít nhất là bốn phương thức khác nhau để thực
hiện tích hợp trong dạy học: tích hợp trong nội bộ môn học, tích hợp đa môn, tích
hợp liên môn và tích hợp xuyên môn.
+ Tích hợp trong nội bộ môn học: Phương thức này vẫn cho phép tổ chức các
phân môn của một môn học một cách riêng lẻ, tuy nhiên có thể loại bỏ những nội
dung trùng lắp đồng thời huy động sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các phân môn giúp người
học hiểu rõ bản chất của tri thức.
+ Tích hợp đa môn: Phương thức này cho phép tổ chức những tình huống mà
“việc giải quyết đòi hỏi phải huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng của những môn
học khác nhau” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.15)
+Tích hợp liên môn: Phương thức này chỉ thực hiện trong khuôn khổ một môn
học, cho phép người dạy thiết kế những tình huống học tập có thể tiếp cận trong mối
quan hệ của nhiều môn học.
+ Tích hợp xuyên môn: Phương thức này cho phép người dạy “tổ chức chương
trình học tập xoay quanh các vấn đề và mối quan tâm của người học” hay nói khác đi
là tổ chức chương trình học tập đi vào thực tế cuộc sống. Phương thức tổ chức này
đòi hỏi người học phải vận dụng kĩ năng của tất cả các môn học đồng thời biết linh
hoạt dựa vào đặc điểm tình hình của thực tiễn mà đưa ra cách giải quyết hợp lí.
1.2.4. Tích hợp trong dạy học toán
Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, do kiến thức toán thuộc chương trình THPT
đã đạt đến một mức độ chuyên sâu nào đó (không chỉ là những kiến thức phổ thông,
rất thông dụng như hai bậc học trước) nên việc dạy học toán lúc này nên được thực

16

hiện theo hai phương thức: tích hợp trong nội bộ môn toán, tích hợp liên môn và gắn
toán học với thực tiễn. Cả hai phương thức này đều nhắm đến mục tiêu nâng cao năng
lực toán học phổ thông cho học sinh.
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi quan tâm đến phương thức
tích hợp liên môn và gắn toán học với thực tiễn. Phương thức này được bộc lộ rõ qua
việc gắn dạy học toán với mô hình hóa. Vì lẽ đó mà không thể không kể đến nền tảng
lí thuyết về “Mô hình hóa trong dạy học Toán” hay “Mô hình hóa toán học”.
1.2.5. Mô hình hóa toán học
Khái niệm “Mô hình hóa toán học” thực chất là “Toán học hóa các tình huống
của thực tế”, nghĩa là “xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu
trả lời cho tình huống” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước
“Bước 1. Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý
nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân
theo.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng
ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có
thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống
và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.
Bước 3. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành
ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương
pháp giải cho phù hợp.
Bước 4. Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người
ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế
hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.”
(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)

17

Rõ ràng vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán là một cách dạy học góp
phần nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh. Câu hỏi đặt ra là có những
tiến trình dạy học nào để theo đó người dạy có thể thực hiện xây dựng mô hình toán
học giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra?
Theo nghiên cứu của tác giả Lê Thị Hoài Châu, đối với giáo viên luôn tồn tại
một mô hình toán học của một vấn đề nào đó trong thực tiễn, dẫn đến việc có thể tổ
chức dạy học theo hai tiến trình sau đây:
+ Tiến trình thứ nhất: Giáo viên trình bày tri thức toán học, sau đó yêu cầu
học sinh vận dụng tri thức vừa học tìm lời giải cho một vấn đề nào đó của thực tiễn.
Lẽ tự nhiên, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức
vừa được dạy để giải quyết vấn đề đặt ra. Dạy học theo tiến trình này gọi là dạy học
mô hình hóa. Tuy nhiên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đặt câu hỏi rằng “Liệu vượt ra
khỏi bối cảnh ấy, người học có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp với vấn
đề thực tiễn cần giải quyết hay không?” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.28)
+ Tiến trình thứ hai: Giáo viên xuất phát từ một vấn đề thực tiễn, xây dựng
mô hình toán học phù hợp để tìm câu trả lời cho bài toán thực tiễn đó, sau đó là sự
thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lý, công thức và
cuối cùng là vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép
xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Dạy học theo tiến trình này gọi là dạy học
bằng mô hình hóa.
Tóm lại, cả hai tiến trình dạy học này đều là các con đường nâng cao năng lực
toán học phổ thông cho học sinh. Muốn đạt được mục tiêu nghiên cứu đã đề ra, chúng
tôi cần phải tính đến vấn đề mô hình hóa toán học hay nói khác đi là thực hiện tích
hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn trong việc thiết kế các
tình huống dạy học khái niệm đạo hàm trong nghiên cứu của mình.

18

Chúng tôi muốn làm chủ, điều khiển các tình huống mà chúng tôi đưa ra nhằm
đạt được mục tiêu dạy học. Do vậy sự cần thiết phải có nền tảng lý thuyết về khái
niệm biến của Lý thuyết tình huống.
1.3. Lý thuyết tình huống – Biến dạy học
Biến dạy học có thể hiểu là những yếu tố cấu thành nên một tình huống mà
việc thay đổi giá trị của biến có thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải.
GS TSKH Nguyễn Bá Kim đã nhận định và làm rõ được rằng:
“Học tập là một sự chỉnh lí kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn người
dạy chỉ phải gợi ra sự chỉnh lí đó bằng cách lựa chọn những giá trị của những biến
dạy học” (trích theo Trần Anh Dũng, 2013, tr.35)

Vì vậy vận dụng khái niệm biến trong việc thiết kế các tình huống dạy học là
cần thiết để đạt được mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi.


19

CHƯƠNG 2
TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU
CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
2.1. Mục đích nghiên cứu của chương
Trong chương này chúng tôi tiến hành tổng hợp các công trình đã có về nguồn
gốc hình thành, quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm đồng thời bổ sung thêm
một số phân tích nhằm làm rõ các nghĩa khác nhau của khái niệm này. Ngoài ra chúng
tôi tìm hiểu thêm vai trò và chức năng của các nghĩa đó trong thực tiễn cuộc sống và
các khoa học khác. Kết quả nghiên cứu của chương sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các
câu hỏi CH1:

 Khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào?
 Vai trò và chức năng của các nghĩa đó như thế nào đối với thực tiễn cuộc sống
và các khoa học khác.
Trên cơ sở hiểu rõ về tri thức luận của khái niệm đạo hàm, chúng tôi sẽ có những
cái nhìn tổng quát về quan điểm tích hợp khái niệm đạo hàm với thực tiễn và khoa
học khác có thể được thực hiện như thế nào trong toán học, để từ đó có được sự phân
tích đúng đắn trong việc thực hiện các chương kế tiếp.
2.2. Tổng hợp các nghiên cứu đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến
triển và nghĩa của khái niệm đạo hàm
Tác giả Ngô Minh Đức đã có những nghiên cứu sâu sắc về nguồn gốc hình
thành, quá trình tiến triển và nghĩa của khái niệm đạo hàm trong nghiên cứu “Khái
niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông”. Công trình của Ngô
Minh Đức (năm 2013) sẽ là tài liệu tham khảo chính của chúng tôi. Ngoài ra, chúng
tôi sẽ bổ sung cho phân tích của Ngô Minh Đức thông qua việc tham khảo các tài
liệu sau: