BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bất đẳng thức và cực trị đại số

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI TUYỂN
SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. CMR x3 + y3 + z3  x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho x,y,z dương và x + y + z  1. Min A = x+y+z+ 1  1  1
x

4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x,y dương và x + y =

5
.
4

y

z

4 1
.

x 4y

Tìm Min A =

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
d

<2



abc

bc d

c da

d ab

 1

2



6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2  x 2  x  1  16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho a,b,c>0 CMR:

abc a bc ab c


9
a
b
c

8. (CĐKTYTế1 2006) Cho y  0; x2 + x = y + 12.Tìm cực trị A = xy + x + 2y + 17

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm Min A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001) CMR a + b + c = 1 thì:

1
a

3



1
b

3



1

b
c 
 a
 3 a  b  c 
3
3
3
3 
c

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:

a
2

b c

2



b
2

c a

2



c
2

2

a b



3 3

2

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Cho các số a, b, c thoả:

a 2  b2  c 2  2

ab  bc  ca  1

Chứng minh:



4
4 4
4 4
4
 a  ;  b  ;   c 
3
3 3
3 3
3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. CMR:

1
1
1
 1 1 1



 2   
p a pb pc
a b c

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
2 x
3

x y

2



2 y
3

y z

2



2 z
3

z x

2



1
x

2



1
y

2



1
z2

15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a  logca b  logab c  1
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

a3
3

b



b3
c

3



c3
a3



a b c
 
b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b  1  b a  1  ab
(*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có
chu vi bằng 3 thì:3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
2

2

2

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)Cho a,b,c dương và a + b = c. CMR a 3  b3  c 3

20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với kiện a + b + c = 0. CMR:8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2 c
21. (ĐHQG HN khối D 2000) Cho a,b,c dương và ab + bc + ca = abc. CMR
b2  2a2
c2  2b2
a 2  2c 2


 3
ab
bc
ca


Bất đẳng thức và cực trị đại số

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. CMR:

a3  b3  a  b 


2
 2 

3

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho a,b,c dương và abc = 1. Tìm Min P =

bc
a2b  a2c



ca
b2c  b2a



ab
c2a  c2b

1 3 abc 

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho a,b,c dương CMR:(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
26. (ĐH Y HN 2000) Cho

2 3
  6.
x y

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.

27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac+1 + bc+1 ≥ ab(ac–1 + bc–1)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Cho x, y, z dương và x + y + z = 1
CMR: xy + yz + zx >

18xyz
2  xyz

29. (ĐH An Ninh khối A 2000) CMR với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:A = a  1  b  1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Cho x,y,z khác 0 CMR:

1
x

2



1
y

2



2

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: a2
b



1
z

2

b2
c

2




9
2

x  y 2  z2

c2
a2



a b c
 
b c a

33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
x
1 x

2



y
1 y

2



z
1 z

2



3
1
1
1



2 1 x 1 y 1 z

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1].
CMR: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3

(*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a 2  b2  c 2
2R

x y z

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?

36. (Đại học 2002 dự bị 3) Cho x,y dương và x + y =

5
.
4

Tìm Min:S =

4 1

x 4y

37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:

a c b2  b  50
 
b d

50b

S=

và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a c
 .
b d

38. (Đại học 2002 dự bị 6)
3
. ha, hb, hc tương ứng
2
1
1
 1 1 1  1
 3
    
a
b
c
h
h
h

 a
b
c

Cho tam giác ABC có diện tích bằng

đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

là độ dài các đường cao kẻ từ các

39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1. Chứng minh rằng:
x2 

1
x2

 y2 

1
y2

 z2 

1
z2

 82

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm cực trị của hàm số:

y = sin5x +

3 cosx


Bất đẳng thức và cực trị đại số

41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
4p(p  a)  bc

 A
B
C 2 3 3
sin sin sin 
2
2
2
8


(1)
(2)

trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
1 1 1
   4.
x y z

42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
Chứng minh rằng:

ab c
.
2

1

1
1


1
2x+y+z x  2y  z x  y  2z
x

43. (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:

x

x

 12   15   20 
x
x
x
 5   4   3   3 4 5
    


44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1.CMR:

1 x3  y 3
1 y3  z3
1 z3  x3



3 3
xy
yz
zx

45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho x + y + z = 0. CMR:

3  4x  3  4y  3  4z


46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)CMR x, y > 0 ta có: 1 x   1 y   1


x 

9 

y 

 256

47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
CMR:

3

6

2

3
.
4

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh rằng nếu 0  y  x  1 thì

x y y x 

1
.
4

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
x2
y2
z2
3



1 y 1 z 1 x 2

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:

50. (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 và (x + y)xy = x2 + y2 – xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=

1
x

3



1
y3

.

51. (Đại học khối B 2006) Tìm Min:A =  x  12  y2   x  12  y2  y  2
52. (ĐH 2007A) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

P

x 2 ( y  z)



y 2 (z  x )



z2 ( x  y )

.

y y  2z z z z  2 x x x x  2y y
53. (ĐH 2007B) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 1 
y 1  z 1 
P  x     y     z   .
 2 zx   2 xy 
 2 yz 
b

a


1  
1 
54. (ĐH 2007D) Cho a  b  0 . Chứng minh rằng:  2 a     2 b   .
a

2  
2b 
55. (ĐH 2007A–db2) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x
y
z 
P  3 4( x 3  y 3 )  3 4( y 3  z3 )  3 4( z3  x 3 )  2     .
2
2
z
x2 
y
56. (ĐH 2007D–db1) Cho a, b là các số dương thoả mãn ab  a  b  3 . Chứng minh:

3a
3b
ab
3


 a 2  b2  .
b 1 a 1 a  b
2
57. (ĐH 2008B) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá


Bất đẳng thức và cực trị đại số

trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2( x 2  6 xy )

.
1  2 xy  2 y 2
58. (ĐH 2008D) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
( x  y )(1  xy )
biểu thức: P 
.
(1  x )2 (1  y )2
59. (CĐ 2008A) Cho hai số thực thay đổi x,y thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P  2( x 3  y 3 )  3xy
60. (ĐH 2009A) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x ( x  y  z)  3yz , ta
có:

( x  y)3  ( x  z)3  3( x  y )( x  z)( y  z)  5( y  z)3 .
61. (ĐH 2009B) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn ( x  y)3  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 .
62. (ĐH 2009D) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức S  (4 x 2  3y )(4 y 2  3 x )  25 xy .
63. (CĐ 2009A) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0  a  b  1 .Chứng minh rằng:
a 2 ln b  b 2 ln a  ln a  ln b
64. ĐH 2010B) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn: a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
M  3(a2 b2  b2c2  c2 a2 )  3(ab  bc  ca)  2 a2  b2  c2 .
65. Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn 3x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
A 
x
xy
66. (ĐH 2010D) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 .

67. (ĐH 2011 A) Cho x,y,z là 3 số thực thuộc đoạn [1;4] và x  y; x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
x
y
z
P



2x  3 y y  z z  x
68. (ĐH 2011 B) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2( a 2  b 2 )  ab  (a  b)(ab  2) . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
 a3 b3   a 2 b2 
P  4 3  3   9 2  2 
c  b
a 
b
69. (Khối A -2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x  y  z  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  3| x  y |  3| y  z|  3| z  x|  6 x 2  6 y 2  6 z 2

70. (Khối B-2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P  x5  y 5  z 5
2

71. (Khối D-2012) Cho các số thực x,y thỏa mãn  x  y   ( y  4) 2  2 xy  32 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: A  x3  y 3  3( xy  1)( x  y  2)