Chuyên đề Hệ phương trình toán 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387 KB, 7 trang )
fb.com/ n.v.tiens
SĐT: 0947 285 084
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Phần I. Lý thuyết:
1. Định nghĩa (SGK/9)
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
ax + by = c
(trong đó a, b, c, a’ , b’, c’ có thể chứa tham số)
(I)
a'x + b'y = c'
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm (SGK/9)
- Nghiệm (x0 ; y0) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ
- Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô
nghiệm
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô số
nghiệm, vô nghiệm.
ax + by = c
(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
a'x
+
b'y
=
c'
a b c
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a' b' c '
a b
c
+ Hệ vô nghiệm nếu
a' b' c '
a b
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a' b '
+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là
ab’ – a’b = 0
3. Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn .
ax + by = c
a'x + b'y = c'
a) Phương pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bước1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho
các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối
nhau.
Trường THCS Liêm Phong
Page | 1
fb.com/ n.v.tiens
SĐT: 0947 285 084
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có
một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một
ẩn)
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
*) Tổng quát:
ax by c
(b b')y c c '
+ Nếu có
ax b ' y c '
ax b' y c '
ax by c
(b b')y c c '
+ Nếu có
ax b' y c '
ax b' y c '
ax by c
k.ax kby kc
(kb b ')y k.c c '
+ Nếu có
k.ax b' y c '
k.ax b ' y c '
ax by c
b) Phương pháp thế.
*) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương
trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
*) Tổng quát:
a
c
y
x
a
c
ax by c
b
b
y x
b
b
a' x b' y c '
a' x b ' y c '
a ' x b ' a x c c '
b
b
c) Phương pháp đồ thị
- Vẽ hai đường thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phương trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tương đối của hai dường thẳng
+) Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị
đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của hệ
+) Nếu hai đường thẳng song song thì hệ vô nghiệm
+) Nếu hai đường thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp giải hệ: (áp dụng
cho các hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu, dưới dấu căn bậc hai.)
Trường THCS Liêm Phong
Page | 2
SĐT: 0947 285 084
fb.com/ n.v.tiens
BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giải hệ phương trình bằng phương Giải hệ phương trình bằng phương pháp
pháp thế
cộng đại số
3 x 2 y 4
2 x y 5
3 x 2(5 2 x) 4
y 5 2x
3 x 2 y 4
2 x y 5
3 x 10 4 x 4
7 x 14
y 5 2x
y 5 2x
x 2
x 2
y 5 2 .2
y 1
3x 2 y 4
4 x 2 y 10
7 x 14
x 2
2 x y 5
2 .2 y 5
x 2
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất (x;y) = (2;1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất (x;y) = (2;1)
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 4 x y 2
8x 3y 5
4x 3
x y 5
d)
x 3y 15 9 y
14
b) 3x 2 y 11
4 x 5y 3
x y x y
3
e) 5
x
y
1
4 2
c) 5x 4 y 3
2 x y 4
5x 2 y
19
f) 3 5
4 x 3y 21
2
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
x 2 y 4( x 1)
a)
b) 9 x 6 y 4
5x 3y ( x y) 8
c) 3( x 1) 2 y x
5( x y) 3 x y 5
e) ( 3 2) x y 2
x ( 3 2) y 6
3(4 x 3y) 3x y 7
d) 2(2 x 3y) 3(2 x 3y) 10
4 x 3y 4(6 y 2 x ) 3
f) ( x 5)( y 2) ( x 2)( y 1)
( x 4)( y 7) ( x 3)( y 4)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) 2 x 3 y 13
3 x y 3
4
5
5
x y 1 2 x y 3 2
d)
1
7
3
x y 1 2 x y 3 5
Trường THCS Liêm Phong
b) 3 x 2 y 2
2 x
2
x y
e)
1
x y
y 1
1
3
xy
3
1
xy
c) 2 x 1 y 1 1
x 1 y 1 2
2
f) ( x 1) 2 2 y 2
3( x 1) 3y 1
Page | 3
SĐT: 0947 285 084
fb.com/ n.v.tiens
Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) mx y 2m
b) mx y 3m 1
x my m 1
4 x my m 6
ĐS:
a)
m 2
2m 3 m
;
m2 m2
m2
m 2
x R
y 2x 4
vô
nghiệ m
b)
m 1
3m 1 m 1
;
m 1 m 1
m 1
m 1
x R
y 2 x
vô
nghiệ m
Bài 5. Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
a) mx 2 y m 1
2 x my 2m 1
(m 1) x 2 y m 1
2
2
m x y m 2m
b)
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 4 x 3y 13
5x 3y 31
d) x 5y 5
3x 2 y 11
b) 7 x 5y 19
3x 5y 31
e) 3x 2 y 8
4 x 3y 12
c) 7 x 5y 3
3x 10 y 62
f) 2 x 3y 2
3x 2 y 3
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a) 3( x 1) 2 y x
b) 2 x 5 ( x y)
c) x y 2( x 1)
d) 2 x 3y 1
e) x 2 2 y 5
f ( 2 1) x y 2
5( x y) 3 x y 5
x 3y 2
Bài 8.
2 x y 1 10
7 x 3y x y 5
x ( 2 1)y 1
Giải các hệ phương trình sau:
a) 5x 4 y 3
7 x 9 y 8
d) 2 1 x y 2 1
2 x 2 1 y 2 2
Bài 9.
6 x 3y y 10
b) 2 x y 11
5 x 4 y 8
3
2
4 x 3 y 16
e)
5 x 3 y 11
2
5
c) 3x y 1
6 x 2 y 5
f)
3x y 1
5 x 2 y 3
Giải các hệ phương trình sau:
1 8
x y 18
a)
5 4 51
x y
10
1
x 1 y 2 1
b)
25 3 2
x 1 y 2
27
32
2 x y x 3y 7
c)
45 48 1
2 x y x 3y
d) 2 x 6 3 y 1 5
e) 2 x y x y 9
f) 4 x y 3 x y 8
5 x 6 4 y 1 1
Trường THCS Liêm Phong
3 x y 2 x y 17
3 x y 5 x y 6
Page | 4
SĐT: 0947 285 084
fb.com/ n.v.tiens
Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) mx (m 1)y m 1
2 x my 2
d) (m 4) x (m 2)y 4
(2m 1) x (m 4)y m
mx (m 2)y 5
c) (m 1) x 2 y 3m 1
(m 2) x (m 1)y 2
(m 2) x y 1 m
(m 1) x 2 y m 1
e)
f) mx 2 y m 1
2
2
m x y m 2m
2 x my 2m 5
b)
Bài 11. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
(m 1) x 2 y m 1
m 2 x y m 2 2m
a)
mx y 1
x
4(
m
1)y 4m
b)
c) mx y 3 3
x my 2m 1 0
Bài 12. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a) mx 2 y m 1
2 x my 2m 5
b) 6mx (2 m)y 3
(m 1) x my 2
c) mx (m 1)y m 1
2 x my 2
Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
3 x y z 1
a) 2 x y 2 z 5
x 2 y 3z 0
Trường THCS Liêm Phong
x 3y 2 z 8
b) 2 x y z 6
3 x y z 6
x 3y 2z 7
c) 2 x 4 y 3z 8
3x y z 5
Page | 5
SĐT: 0947 285 084
fb.com/ n.v.tiens
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
mx 4 y 10 m
(m là tham số)
x my 4
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>
0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
(m 1) x my 3m 1
2 x y m 5
Cho hệ phương trình :
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm
nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 3:
3x 2 y 4
2 x y m
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
mx 4 y 9
x my 8
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
x my 9
mx 3 y 4
Cho hệ phương trình:
a)
b)
c)
d)
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =
Trường THCS Liêm Phong
28
-3
m 3
2
Page | 6
SĐT: 0947 285 084
fb.com/ n.v.tiens
Bài 6:
mx y 2
3x my 5
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m 2 .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
hệ thức x y 1
m2
.
m2 3
Bài 7:
3 x my 9
mx 2 y 16
Cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm
nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
a)
b)
c)
d)
Trường THCS Liêm Phong
Page | 7
