TÀI LIỆU ÔN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN THPT QUỐC GIA 2016

TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Tài liệu của học sinh: ……………………………………………………………………………………………………… Lớp: (12A5) (12A9)

Chủ đề 1. Khảo sát hàm số và câu hỏi liên quan. (2 điểm đầu tiên)
Theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thi THPT QG năm 2015 thì nội dung
này có 2 điểm, thuộc Câu 1 là Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, câu 2là câu hỏi
liên quan về sự biến thiên của hàm số; tiếp tuyến của đồ thị hàm số; cực trị của hàm số; GTLN –
GTNN của hàm số; sự tương giao của hai đồ thị hàm số; … Đây là nội dung có yêu cầu ở mức độ
nhận biết, thông hiểu nên cũng là phần câu hỏi để học sinh “chống điểm liệt”. Các bài tập sau
tôi biên tập để phù hợp với mục đích củng cố vững chắc phần kiến thức cơ bản này.
Bài 1. Cho hàm số: y  x 3  3x 2  4 .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3  3x 2  2m  1  0
Bài 2. Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  2 có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo  2 .
Bài 3. Cho hàm số y   x3  3x 2  4 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình  x3  3x 2  m  4 .
Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo  2 .
Bài 5. Cho hàm số y   x 3  3x 2  1 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo  1 .
Bài 6. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực đại của nó.
Bài 7. Cho hàm số y  x3  3x có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2.Dùng (C), tìm các giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm thực x 3  3x  m  2  0 .
Bài 8. Cho hàm số y   x3  3x 2  4 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục hoành và hai đường thẳng x  0 và x  1 .
Bài 9. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x  2 và x  1 .
Bài 10. Cho hàm số y  x 3  3x  4 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo là nghiệm của phương trình y / / ( xo )  6 .
1
Bài 11. Cho hàm số y   x 4  x 2 có đồ thị (C)
4
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
x4
2.Dùng đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình sau có bốn nghiệm thực   x 2  2m  0 .
4
4
2
Bài 12. Cho hàm số y   x  2 x  3 có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Dùng đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4  2 x 2  m  0
Bài 13. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 , gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

1


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 14. Cho hàm số y  x 4  2 x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  2 .
1
Bài 15. Cho hàm số y  f ( x )  x 4  2 x 2
4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 biết f ''( x 0 )  1 .
2x 1
Bài 16. Cho hàm số y 
có đồ thị (C).
x 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)
3x  4
Bài 17. Cho hàm số y 
có đồ thị (C).
2x  3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M (1;7) .
x 1
Bài 18. Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2x 1
Bài 19. Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).

x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
3x  2
Bài 20. Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2
2x 1
Bài 21. Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5.
3x  1
Bài 22. Cho hàm số y 
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  1 .
2x 1
Bài 23. Cho hàm số y 
2x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  x  2 .
2x 1
Bài 24. Cho hàm số y 
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 5.

Bài 25. Một số câu hỏi về cực trị của hàm số:
1. Cho hàm số y  x 3  (m  3) x 2  mx  5 . Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x0  2
1
2. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m 2  m  1) x  1 . Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x0  1 .
3
3. Cho hàm số y  x3  3mx 2  (m 2  1) x  2 . Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x0  2 .
4. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  2 x 2  mx  1 đạt cực tiểu tại x  1 . (TN 2011)

2


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

1 3
x  (m  1) x 2  (3m2  4m  1) x  m . Xác định m để :
3
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
(Đáp số: 0  m  1 )
b. Hàm số luôn đồng biến trên  .
(Đáp số: m  0 hoặc m  1 )
3
2
6. Cho hàm số y  (m  2) x  3 x  mx  5 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

5. Cho hàm số y 

7. Cho hàm số y  mx 3  3x 2  (2m  2) x  2 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
8. Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m . Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 26. Một số câu hỏi về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 3  3 x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2007)

10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 4  2 x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2008 – lần 1)
11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  2 x3  6 x 2  1 trên đoạn  1;1 (TN THPT 2008 – lần 2)
12. Tìm GTNN và GTLN của hàm số f  x   x 2  ln 1  2 x  trên đoạn  2;0 . (TN THPT 2009)
1 3
x  2 x 2  3 x  7 trên đoạn  0; 2 .
3
4x 1
 5

14. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 
trên đoạn   ; 2 .
2x  3
 2

4
2
15. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  8 x  16 trên đoạn  1; 3 .

13. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 

16. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x 3  4 x 2  2 x  2 trên đoạn [1; 3] .
17. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x3  4 x 2  2 x  1 trên đoạn [2;3] .
18. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x 3  3x 2  9 x  3 trên đoạn  2; 2 .
1 x
trên đoạn [-2;-1].
x
1
2x

20. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 

trên đoạn  1;   .
3x  1
2


19. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 

21. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
bằng 2 . (TN – 2012)

x  m2  m
trên đoạn  0;1
x 1
Đ/S: m  1; m  2 .

22. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 2  3  x.ln x trên đoạn 1; 2 .(TN – 2013)
Đ/S: min y  y  2   7  2 ln 2, max y  y 1  2 .
1;2

3

1;2


GIO VIấN: BI PH T. T TON TRNG THPT NAM DUYấN H

Ch 2. Phng trỡnh, bt phng trỡnh m lụgarit. (0,5 im)
Theo cu trỳc cõu hi trong thi THPT QG nm 2015 thỡ Cõu 3 cú ni dung dnh cho
ch ny. Do ni dung ny cng ch yờu cu mc thụng hiu nờn õy cng l phn m a s
hc sinh cú th kim c im. Chỳc cỏc em t c im tuyt i trong cõu hi ny.

I) Gii PT, BPT m v Lụgarit.
Phng trỡnh m
a. Phng trỡnh m c bn:
Dng: a x b ( a 0, a 1)
+ vi b > 0, ta cú: a x b x log a b
+ vi b < 0, suy ra: phng trỡnh vụ nghim
b. Phng phỏp gii PT m thng gp:
+ a v cựng c s.
+ t n ph (t a x , t 0)
+ Lụgarit húa.

Phng trỡnh lụgarit
a. Phng trỡnh lụgarit c bn:
Dng: log a x b , ( a 0, a 1)
Ta cú:

log a x b x a b

b. Phng phỏp gii PT lụgarit thng gp:
+ a v cựng c s.
+ t n ph (khụng cn t iu kin cho n ph)
+ M húa.

* Chỳ ý: Cn nm tht vng hai phng phỏp (pp a v cựng c s v pp t n ph gii PT, BPT
m v lụgarit). Cũn pp th 3 tng i khú, ch nờn tham kho thờm.
II) Mt s phng trỡnh (Bt phng trỡnh) m v lụgarit thng gp:
a. Cỏc dng c bn:
a 0; a 1
a 1
0 a 1

* Phng trỡnh m:
* Bt phng trỡnh m:
* Bt phng trỡnh m:
f ( x)
g ( x)
f ( x)
g ( x)
a
a
f ( x) g ( x )
a
a
f ( x) g ( x )
a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x )
* Phng trỡnh lụgarit:
* Bt phng trỡnh lụgarit:
*Bt phng trỡnh lụgarit:
log a f ( x) log a g ( x)
log a f ( x) log a g ( x)
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) 0

g ( x) 0
f ( x) g ( x)


g ( x) 0

f ( x) g ( x)

(Chiu bpt khụng i)

f ( x) 0

f ( x ) g ( x)

(Bpt i chiu)

b. Vn dng:
Dng toỏn
Dng 1: Phng trỡnh m bc 2.
x
m.a 2 x n.a p 0 (1).
Phng phỏp:
+ t t a x , (t 0). Ta c pt: m.t 2 n.t p 0
+ Gii pthng trỡnh trờn tỡm nghim t (k: t > 0)
+ Gii phng trỡnh: t a x x log a t .
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh (1).

Vớ d
Vớ d: Gii phng trỡnh: 32 x 1 4.3x 1 0
Gii:
2 x +1
x
Ta cú: 3
4.3 1 0 3.32 x 4.3x 1 0
t: t 3x (t 0) , ta c phng trỡnh:
1
3.t 2 4.t 1 0 t 1; t (tha món t 0 )
3

x
+ Vi t 1 3 1 x log 3 1 0
1
1
1
+ Vi t 3x x log3 1
3
3
3
Vy PT ó cho cú 2 nghim: x = 0; x = 1.
Vớ d: Gii phng trỡnh: 6 x 61 x 5 0 .
Gii:
6
Ta cú: 6 x 61 x 5 0 6 x x 5 0
6
x
t: t 6 (t 0) , ta c phng trỡnh:
t 6 (thoỷa maừn)
6
t 5 0 t 2 5t 6 0
t
t 1 (loaùi)

n


Dng 2: m.a x n.a x p 0 m.a x x p 0
a

Phng phỏp:
1 1
+ t t a x , (t 0). Khi ú: a x x
a
t
+ Thay vo pt ó cho, gii tỡm t (t > 0). Ri tỡm x.
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh.

+ Vi t 6 6 x 6 x log 6 6 1
Vy PT ó cho cú 1 nghim: x = 1.

4


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Dạng toán
Dạng 3: BPT mũ a f ( x )  a g ( x ) (1) , (0  a  1).
Phương pháp:
+ Nếu 0 < a < 1: thì pt (1)  f ( x )  g ( x)
(BPT đổi chiều)
+ Nếu a > 1: thì pt (1)  f ( x )  g ( x)
- Đối với BPT: a f ( x )  c .
+ Nếu 0 < a < 1, ta có f ( x)  log a c
(BPT đổi chiều)
+ Nếu a > 1, ta có f ( x)  log a c .
Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng:
log a f ( x)  log a g ( x) (lôgarít hóa 2 vế)
Phương pháp:
+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ lôgarit

để biến đổi.
+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức dưới
dấu lôgarit.

Ví dụ
Ví dụ: Giải bất phương trình: 2 x

2

3 x



1
4

Giải:
1
 2 x  3 x  2 2  x 2  3 x   2
4
 x 2  3x  2  0  1  x  2
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: 1; 2

Ta có: 2 x

2

3 x

2



Ví dụ: Giải phương trình: log 3 (9 x)  log 9 x  5 .
Giải:
x  0
Điều kiện: 
 x  0 . Khi đó:
9 x  0
log 3 (9 x)  log 9 x  5  log 3 32  log 3 x  log 32 x  5

1
3
 2  log3 x  log 3 x  5  log 3 x  3
2
2
2
 log 3 x  2  x  3  9.
Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lôgarit
Vídụ: Giải PT: 4 log 22 x  3log 2 x  10  0 .
2
m.log a f ( x )  n.log a f ( x )  p  0
Giải:
ĐK:
x
>
0.
Phương pháp:
+ ĐK: f(x) > 0.

Đặt t  log 2 x , ta được: 4t 2  3t  10  0 .
+ Đặt t  log a f ( x ) , ta được: m.t 2  n.t  p  0 .
5
Giải pt ta tìm được: t  2; t  
Giải phương trình tìm t.
4
+Giải pt: log a f ( x )  t  f ( x)  a t để tìm x.
*Với t  2  log 2 x  2  x  4
5
+ Kết luận nghiệm của PT.

5
5
*Với t    log 2 x    x  2 4
4
4
Dạng 6: Bất phương trình lôgarit.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau.
log a f ( x)  log a g ( x), (0  a  1).
a). log 2 x  log 2 (3 x  1).
Phương pháp:
b). log 1 (2 x  1)  log 1 ( x  2).
3
3
 f ( x)  0
+ ĐK: 
Giải:
 g ( x)  0
x  0
1

+ Nếu 0  x  1 ,ta có: f ( x)  g ( x )
a). ĐK: 
 x  . Khi đó:
3
3 x  1  0
(BPT đổi chiều)
1
+ Nếu a  1 , ta có: f ( x)  g ( x )
log 2 x  log 2 (3x  1)  x  3 x  1  x  .
2
- Đối với BPT: log a f ( x )  c .
Kết
hợp
với
ĐK,
ta
được
tập
nghiệm
là:
+ Nếu 0  x  1 , ta có: f ( x)  a c (BPT đổi chiều)
1 1
T  ; 
+ Nếu a  1 , ta có: f ( x )  a c .
 3 2
2 x  1  0
1
b). ĐK: 
 x  . Khi đó:
2

x  2  0
log 1 (2 x  1)  log 1 ( x  2)  2 x  1  x  2  x  3 .
3

3

Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là:
1 
T   ;3 
2 

5


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
1. TN THPT 2006 Giải phương trình 22 x 2  9.2 x  2  0
2. TN THPT 2007 lần 1 Giải phương trình log 4 x  log 2 (4 x)  5

ĐS: x  1; x  2
ĐS: x  4

3. TN THPT 2007 lần 2 Giải phương trình. 7 x  2.71 x  9  0

ĐS: x  1; x  log 7 2

4. TN THPT 2008 lần 1 Giải phương trình 32 x 1  9.3x  6  0 .
5. TN THPT 2008 lần 2 Giải phương trình log 3 ( x  2)  log3 ( x  2)  log 3 5

ĐS: x  0; x  log 3 2
ĐS: x  3

6. TN THPT 2009 Giải phương trình 25 x  6.5 x  5  0

ĐS: x  0; x  1

7. TN THPT 2010 Giải phương trình 2 log 22 x  14 log 4 x  3  0
8. TN THPT 2011 Giải phương trình 72x+1 – 8.7x + 1 = 0.
9. TN THPT 2012 Giải phương trình log 2 ( x  3)  2log 4 3.log 3 x  2

ĐS: x  8; x  2
ĐS: x  0; x  1
ĐS: x  4

10.





THPTQG 2015 Giải phương trình log 2 x 2  x  2  3

BÀI TẬP CỦNG CỐ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a). 3.9 x  3x  2  0
i ). 32 x1  9.3x  6  0
b). 2

2 x 2

x

 9.2  2  0

6x

o). 3x 1  5.33 x  12

3x

j ). e  3.e  2  0

c). 9 x 1  36.3x 1  3  0

k ). 3x  33 x  12  0

d ). 4 x  10.2 x 1  24

l ). 5x 1  53 x  26

e). 52 x 1  5 x 1  250

m). 2 x  21 x  3  0

3x

1
1

q).     
4
8



r ). 2  3

x 1

 128  0

x

  2  3

x

 14

s ). 31 x  3x  2  0 (tn 2013)
f ).22 x  6  2 x  7  17  0
n).6 x  61 x  5  0
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a). log 4 (5  2 x )  log 4 ( x  3)
f ).log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  log 2 12
b). log 2 ( x  1)  1  log 2 x
g ). log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  1
c). log 4 x  log 2 (4 x)  5

h).log 2 x  log 2 ( x  1)  1

d ). log 3 (9 x )  log 9 x  5

i ). log 6 ( x  4)  log 1 ( x  1)  1
6

e). log 3 ( x  2)  log 3 ( x  2)  log 3 5

j ). log 4 ( x  3)  log 4 ( x  1)  2

6


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Chủ đề 3. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng. (1,0 điểm)
Theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi THPT QG năm 2015 thì Câu 4 trong đề thi có nội dung
dành cho chủ đề này. Để đạt được điểm tuyệt đối trong câu hỏi này, học sinh chỉ cần nắm được
các kỹ năng cơ bản trong tính tích phân như sử dụng tính chất và bảng nguyên hàm các hàm số
thường gặp; phương pháp đổi biến số cho dạng biểu thức đơn giản và phương pháp tích phân
từng phần cho dạng hàm số hỗn hợp đơn giản.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT
I. TÍCH PHÂN
x 3  3x 2  3x  1
1
Bài: TN THPT 2003. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 
biết rằng f (1)  .
2
x  2x 1

3
2
x
2
13
ĐS: F ( x )   x 

2
x 1 6

2

Bài: TN THPT 2005. Tính tích phân I   ( x  sin 2 x) cos xdx

ĐS:

 2

2 3

ĐS:

26
3

0

ln 5

Bài: TN THPT 2006 - Phân ban. Tính tích phân I 



(e x  1)e x

ln 2

x

dx

e 1

2

Bài: TN THPT 2006 - Không phân ban. Tính tích phân I  
0
2

sin 2 x
dx
4  cos2 x
2x

Bài: TN THPT 2007 - Phân ban Lần 1. Tính tích phân J  

dx
2
x


1
1
e
ln 2 x
Bài: TN THPT 2007 - Không phân ban Lần 1. Tính tích phân 
dx
x
1

ĐS: I  ln

4
3

ĐS: J  2( 5  2)
ĐS: J 

1
3

1

3x 2
0 x3  1 dx

Bài: TN THPT 2007 - Không phân ban Lần 2. Tính tích phân

ĐS: I  ln 2

3

Bài: TN THPT 2007 - Ban KHXH&NV Lần 1. Tính tích phân K   2 x ln xdx . ĐS: K  9 ln 3  4
1

1

Bài: TN THPT 2008 - Không phân ban lần 1. Tính tích phân  (1  e x ) xdx

ĐS: I 

3
2

ĐS: I 

14
9

0
1

Bài: TN THPT 2008 - Không phân ban lần 2. Tính tích phân



3 x  1dx

0



2

Bài: TN THPT 2008 - Ban KHXH-NV Lần 1. Tính tích phân J   (2 x  1) cos xdx 

ĐS: J    3

0

1

Bài: TN THPT 2008 - Ban KHTN Lần 1. Tính tích phân I   x 2 (1  x 3 )4 dx
1

ĐS: I 

32
5

2

Bài: TN THPT 2008 - Ban KHXH&NV Lần 2. Tính tích phân J   (6 x 2  4 x  1)dx

ĐS: J  9

1

1

Bài: TN THPT 2008 - Ban KHTN Lần 2. Tính tích phân I   (4 x  1)e x dx

ĐS: I  e  3

0



Bài: TN THPT 2009. Tính tích phân I   x(1  cos x )dx
0

7

2  4
ĐS: I 
2


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ
1

ĐS: I 

1
30

4  5lnx
dx .
x

ĐS: I 

38
15

e

ĐS: I 

1
3

Bài: TN THPT 2010. Tính tích phân I   x 2 ( x  1)2 dx
0

e

Bài: TN THPT 2011: Tính tích phân I  
1

Bài: TN THPT 2012: Tính tích phân I  

ln2

0

x

 1 2 e x dx.

1

Bài: THPT QG 2015: Tính tích phân I    x  3 e x dx
0

II. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

2 x 2  10 x  12
và đường thẳng
x2
y  0.
ĐS: S  63  16 ln 8
Bài: TN THPT 2006 - Không phân ban. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các ham số
y  e x , y  2 và đường thẳng x  1 .
ĐS: S  e  2 ln 2  4
Bài: TN THPT 2007 - Ban KHXH&NV Lần 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y   x 2  6 x, y  0
ĐS: S  36
Bài: TN THPT 2007 - Ban KHTN Lần 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y  sin x, y  0,
Bài: TN THPT 2003. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y 

2

. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. V 
2
4
III. BÀI TẬP CỦNG CỐ Tính các tích phân: (Hãy kiểm tra kết quả bằng máy tính bỏ túi)
x  0, x 

e



2

1)

I =  cos3 x.dx .
0
1

2)

0

2

I =  cos 4 x.dx
0


4

4)
5)

I=

e tan x
0 cos2 x dx

 4x

16) I = 

I =  sin 2 2 x.dx
dx



x ( x  1)2

sin 2 x
I= 
.dx
1
0  cos x
e

3

(1  ln x)
1 x .dx
1

11) I   x 5 1  x 3 dx
0

7


0

 1 .xdx

0

17) I    ecos x  x  sin xdx

0

x2

3

1 x

2

38) I   x (1  x)5 dx
1
3

1
1

40) I   x 2 e  x dx
0

28) I   (cos4x.sin x  6x)dx




2

0

41) I   esin x .cos xdx
0
e

3

x3  1

dx

29) I   x3 x2  1dx
0

42) I   x ln xdx
1


2

19) I   x x  1dx

3

43) I 

30) I   x cos xdx

1

2 
dx


20) I   cos  3x 
3



0


2


2

0
1

e



0

31) I   sin 2 x.sin 2 xdx

22) I   x x 2  3dx

33) I   x 2 ln xdx

46) I 

0
e

1
ln 3


2

34) I 

23) I   3cos x  1sin xdx


0

0

2

x

(e  1)

35) I   ( x  1)e

24) I   e x cosxdx

2
ln 5

36) I 

dx



ln 2

8



x 2  2. x3 dx

0

ex
3

dx

x2  2 x

e

47) I  
1
5

3


2

dx

ln 2 x
dx
x
1

45) I  

1

x2  1

0
e

32) I   ln(1  x )dx

1
2

4x

44) I   (2 x  5) cos 3xdx

21) I   ( x 2  1) ln xdx

0

x3

0
2

39) I   2 x ln xdx

dx
2
x x2


3

3


2

12) I 

0

3

2
3

cos 2 x
I= 
dx
1

sin 2 x
0

10) I =

2

27) I  

2


2

9)

1
1

2

4

8)

0
1

18) I  

I=

e2

26) I    x 2  x  ln xdx

3

I =

0
9

7)

0
1

0
2


2

6)

14) I   ( x  1).e x dx


4

sin 2 x
dx .
0 1  cos 2 x

37) I   x ln(1  x 2 )dx

0

15) I =   2x 2  1 xdx


2

3)

25) E   ( x  sin 2 x) cos xdx

1

I =  ( x  1)e x .dx

1


2

1  ln x
dx
x
1

13) I  

dx

48) I   2 x ln( x  1)dx
2

e

2x

ex 1

dx

1  ln x
dx
x


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Chủ đề 4. Số phức. (0,5 điểm)
Theo cấu trúc câu hỏi trong và đề thi THPT QG năm 2015 thì Câu 3a trong đề thi có nội
dung dành cho chủ đề này. Đây là nội dung mà học sinh thường chọn để hoàn thành trước khi
làm những phần khác vì mức độ yêu cầu trong đề thi khá nhẹ nhàng. Tuy nhiên do chỉ có 0,5
điểm nên các em cũng cần thận trọng trong lập luận để không bị trừ điểm đáng tiếc vì lỗi này.
Chúc các em ôn tập tốt.
I) SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT
Bài: TN THPT 2006 - Phân ban. Giải phương trình 2 x 2  5 x  4  0 trên tập số phức. ĐS: x 

5
7
i
4
4

Bài: TN THPT 2007 - Phân ban lần 1. Giải phương trình x 2  4 x  7  0 trên tập số phức.
ĐS: x  2  3i
2
Bài: TN THPT 2007 - Phân ban lần 2. Giải phương trình x  6 x  25  0 trên tập số phức.
ĐS: x  3  4i
2

2
Bài: TN THPT 2008 - Phân ban lần 1. Tính giá trị của biểu thức P  (1  3i)  (1  3i )
ĐS: P  4
2
Bài: TN THPT 2008 - Phân ban lần 2. Giải phương trình trên tập số phức x  2 x  2  0 ĐS: x  1  i
1
Bài: TN THPT 2009 Ban KHTN. Giải phương trình 2 z 2  iz  1  0 trên tập số phức. ĐS: z  i, z   i
2
2
Bài: TN THPT 2009 - Ban KHXH&NV. Giải phương trình 8 z  4 z  1  0 trên tập số phức.
1 1
ĐS: z   i
4 4
Bài: TN THPT 2010 - Ban KHTN. Cho hai số phức z1  2  5i và z2  3  4i . Xác định phần thực và
phần ảo của số phức z1 .z2 .
ĐS: z1 z2  26  7i
Bài: TN THPT 2010 Ban KHXH&NV. Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Xác định phần thực
và phần ảo của số phức z1  2 z 2 .
ĐS: z1  2 z2  3  8i
Bài: TN THPT 2011 Ban KHXH&NV. Giải phương trình (1- i)z + (2 - i) = 4 - 5i trên tập số phức.
ĐS: z  3  i
Bài: TN THPT 2011 Ban KHTN. Giải phương trình (z – i)2 + 4 = 0 trên tập số phức.
ĐS: z1  3i, z 2  i
25i
Bài: TN THPT 2012 Chương trình chuẩn: Tìm các số phức 2z  z và
, biết z  3  4i
z
25i
ĐS: 2 z  z  9  4i;
 4  3i

z
1  9i
Bài: TN THPT 2012 Nâng cao: Tìm các căn bậc hai của số phức z 
 5i
ĐS: 2i, 2i
1 i
Bài: THPT QG 2015: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  5i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của z.
II) BÀI TẬP CỦNG CỐ

Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức z , biết:
a) z   2  3i  z  1  9i ;
b)  2 z  11  i    z  1 1  i   2  2i ;
c)
e)
g)

1  2i  z   2  3i  z  2  3i ;
1  2i  z  2 z  3  10i ;
2
2
3 z  1  i   1  i   iz ;

d)
f)
h)

9

2

1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z ;
2iz   2  3i   1  i  z  1  3i  ;
z  1  4i    2  3i  z .


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
2i
1  3i
a)
z
.
1 i
2i

22 4
 i
25 25
12
8

i
Đs :
3
3
5
Đs :  5i
2
42 19

Đs :
 i
25 25
5 1
Đs :   i
2 2
3 1
Đs :   i
2 2
Đs : 1  i

Đs :

b)  5  7i   3z   2  5i 1  3i  .
c) 5  2iz   3  4i 1  3i  .
d) (3  4i ) z  (1  2i)(4  i ) .
e) (1  i ) z  (2  i )(1  3i )  2  3i .
f) 2iz  (4  3i )  5  6i .
g) (4  i) z  (3  3i)  (4  2i) z .
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a/ z 2  2 z  5  0

e) z 3  8  0

Đs 1  2i
1  i 23
Đs :
6
3 1
Đs :

 i
2
2
3  i 11
Đs :
2
Đs: 2; 1  i 3

f) x 3  1  0

Đs: 1;

e) z 4  2 z 2  8  0

Đs:

1 i 3
2
2;  i 2

Đs:

1;  i 3

Đs:

 2;  2 2i

b/ 3 z 2  z  2  0
c) z 2  3.z  1  0

d) x 2  3x  5  0

4

2

f) z  2 z  3  0
4

2

g) x  6 x  16  0

Bài 4. Tìm số phức z, biết z  2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Đs: z = 2 + 4i; z = -2 - 4i
Bài 5. Tìm hai số phức, biết:
3i 7
3i 7
a)Tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Đs : z1 
, z2 
2
2
b) Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 16.
Đs : z1  3  i 7, z 2  3  i 7
Bài 6. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn:
a) z  3  4i   2
e)

z 1 i  z  3  i

i)

z2  z



2

0

2

b) z  2  3i 

z  z  3  4i

d) z  2  i  1

z 1  i  2

g) 2i  2 z  2 z  1

h)

1  i  z  4  2

j)

2 z  i  z

k) z  2  i  2

l)

z  2i  1

o) z  z  1  i  2

p) 2 z  i  z  z  2i

s) 2  z  1  2i  3

t)

z 1  z  i

w) z  i  2  z  i  9

x)

z i
 1.
zi

n) z  z  3  5

q) z  i  1  i  z

r)

z
 2
z i

c)

f)

m) z  3z  3z  0

u)

3
2

2 z  2 z

v) z  3  1

10


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Chủ đề 5. Lượng giác. (0,5 điểm)
Theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi minh họa thì Câu 2a trong đề thi có nội dung dành cho
chủ đề này và trong kì thi THPTQG 2015 thì nội dung này thuộc câu 6a. Tuy nhiên hằng năm thì
đề thi đều hỏi về phương trình lượng giác, trong đề thi minh họa lại hỏi về giá trị lượng giác
khiến cho chủ đề này sẽ bao gồm các phần kiến thức cần ôn tập rộng hơn các năm trước nhưng

chắc chắn yêu cầu của đề cho chủ đề này là thông hiểu và vận dụng thấp nên các em cũng khá
dễ kiếm điểm trọn vẹn cho phần này. Chúc các em ôn tập tốt.
Tài liệu của học sinh: …………………………………………… Lớp: ……..

Tôi trích dẫn một số khẩu quyết võ công do các bậc tiền bối để lại, các trò có đủ nội công để học môn võ này không? Chúc các trò
thành công.
1) Môn phái: Cung liên kết.
“cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém pi tan (cot)”
* Liên quan đối (a và – a)
Nếu 2 góc đối nhau
Cos của chúng bằng nhau
Sin,tan cotan đối
Hãy viết vào mau mau .
* Liên quan bù (a và  - a)
Nếu hai góc mà bù
Cos phải thêm dấu trừ
Tan cotan cũng vậy (*)
Sin bằng nhau rõ chưa ?
* Hơn kém một  (a và a +  )
Nếu hơn kém một 
Chuyện đó có khó gì
Sin cos đổi dấu đi
Tan cotan vẫn vậy

11


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

* Hơn kém một vuông (a và a +


)
2

Nếu hơn kém một vuông (


)
2

Chuyện này khó khăn hơn
Sin lớn bằng cos nhỏ
cos lớn bằng trừ sin con .


-a)
2
Phụ nhau thì dễ ghê
Sin này bằng cos kia
Tan này cotan nọ
Nhớ được chưa các em ?

* Liên quan phụ (a và

2) Môn phái: Cộng cung.
“Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin khó gì
Bạn ơi hãy nhớ hãy ghi
Cos thời đổi dấu sin thì giữ nguyên.”

“Tan của tổng 2 tầng cao rộng
Trên thượng tầng là tổng hai tan
Dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
Dám trừ đi tích tan tan oai hùng .”
3) Môn phái: Cung nhân đôi.
“Cos2x chẳng thích tí nào,
Yêu hai anh cos bình bớt một
Ghét thì bình cos bình sin đối đầu
Điên lên một bớt tới hai sin bình.”
(Made by Tụ tôi!
“Cos bình khi đứng một mình
Cos hai cộng một , chia đôi tổng này ”
Sin bình cũng đứng một mình
Chia đôi của hiệu một cùng cos đôi.
4) Môn phái: Biến đổi tổng thành tích
“Sin cộng sin bằng 2 sin cos
Sin trừ sin bằng 2 cos sin
Cos cộng cos bằng 2 cos cos
Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin”

Môn võ công lượng giác cũng đáng yêu chứ nhỉ!

12


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

BÀI TẬP ÔN TẬP
Bài 1:

Giải các phương trình:

1
2

1)

sin x 

2)

2 sin x  3

3)

cos x 

16) cos 2x  5 sin x  3  0
17) cos 2x  cos x  1  0

3
2

18) 6 sin2 3x  cos12x  14

3
2

19) sin 2x  sin x  0

4)

sin 2x 

5)

tan x  3

6)

1
sin 2x  
2

20) 5 sin x  cos 2x  2  0
21) 6 cos2 x  5 sin x  7  0
22) cos 2x  cos x  1  0

7)

cot 3x  

8)

3 tan2 x  1  0

9)

23) 3 sin2 2x  7 cos 2x  3  0

1

24) 4 sin x  3 cos x  5

3

25)

3 cos x  sin x  2

2

2 sin x  1  0

26) sin x  3 cos x  1

10) 4 cos2 x  3  0
11) 2 sin2 2x  sin 2x  0
12) 6 cos2 x  cos x  1  0
13) 2 cos2 2x  cos 2x  0

27) 4 sin x  cos x  4
28) sin 2x  cos 2x  1
2

29) cos x  3 sin x . cos x  1  0

14) 2 sin2 x  3 sin x  5  0

30) sin2 x  3 sin x cos x  1  0

15) 6 cos2 x  5 sin x  7  0

31) cos2 x  sin2 x  3 sin 2x  1

a). Cho sin  =

Bài 3:

a). Cho cos a 



1  tan x  2 2 sin x  

4 

35) 2013B

sin 5x  2 cos2 x  1
36) 2013D
sin 3x  cos 2x  sin x  0
37) 2014A
sin x  4 cos x  2  sin 2x
38) 2014B
2 sin x  2 cos x   2  sin 2x

1
1
, cos b  . Tính giá trị biểu thức A  cos(a  b).cos(a  b ) .

3
4

1  sin2 x
 1  2 tan2 x
2
1  sin x

5 


a). Cho cos a 
0  a   . Tính cos 2a, cos a  
13 
2 
3 

b). Chứng minh rằng:

1  cos 2x  sin 2x
.
1  cos 2x  sin 2x
a). Cho tan   3 . Tính giá trị các biểu thức:
b). Đơn giản biểu thức: A =

Bài 5:

34) 2013A

4



, với     . Tính cos  , sin 2  , tan (  ) .
5
2
4
b). Chứng minh đẳng thức: 1  sin a  cos a  tan a  (1  cos a )(1  tan a )

Bài 2:

Bài 4:

32) 2012CĐ
2 cos 2x  sin x  sin 3x
33) 2013CĐ


cos   x   sin 2x  0
2


A  sin2   5 cos2  và B 

sin x  3 cos x
3 sin x  cos x

13


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ





b). Rút gọn biểu thức: A = sin(x )  sin(  x )  sin   x   sin   x 
2

2

Bài 6:

a). Cho cos 

4
cot   tan 
vaø 00    900 . Tính A 
.
5
cot   tan 

Bài 7:

1  2 sin2 
2 cos2   1

cos   sin  cos   sin 
a). Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin A sin B sin C
1  cos 2x
b). Rút gọn biểu thức P 

5
2 cos2 x

Bài 8:

Cho sin   

b). Rút gọn biểu thức: B =

Bài 9:

 3

3
với 
   2  . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc  .
2

3

3 
3 


 . Tính cos , tan , cos    , sin
a). Cho sin    ,    

4 
2
6 

2
cos3   sin3 

. Sau đó tính giá trị biểu thức A khi   .
1  sin  cos 
3
 3




2   




2

.
Tính
sin

,
tan

,
sin
2

,

cos
 2


3 

b). Rút gọn biểu thức A 
Bài 10: a). Cho cos  

3
5

cos   sin 
 1  cot   cot2   cot3    k , k   .
3
sin 


Bài 11: a). Cho tan x  4 vaø 00  x  900. Tính sin , cos , cos 2  

4 
b). Chứng minh:

b). Cho biết tan   3 . Tính giá trị của biểu thức :

2 sin   cos 
.
sin   2 cos 

Bài 12: a). Tìm các giá trị lượng giác của cung  biết: sin  

1
5

và



sin(  x) cos  x   tan(7  x)

2
b). Rút gọn biểu thức A 
.
 3

cos(5  x ) sin 
 x  tan(2  x )
 2


14


 .
2


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Chủ đề 6. Tổ hợp. Xác suất. (0,5 điểm)

Theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi THPT QG năm 2015 thì Câu 6b trong đề thi có
nội dung dành cho chủ đề này. Với ý tưởng thông qua câu hỏi tính xác suất của biến cố, người ta
hoàn toàn có thể kiểm tra các kiến thức về tổ hợp. Đây là dạng bài có liên quan trực tiếp đến các
hiện tượng trong cuộc sống thực tế nên thí sinh cũng cần có hiểu biết nhất định về vấn đề được
hỏi thì mới lập luận làm bài tốt được. Chúc các em ôn tập tốt.
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT
1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :
Yêu cầu học sinh tư duy lại các kiến thức cơ bản về xác suất theo sơ đồ:
Phép thử ngẫu nhiên: Là
một thí nghiệm hay hành
động mà kết quả của nó
không đoán trước được
nhưng có thể xác định được
tập hợp tất cả các kết quả
có thể xảy ra của phép thử
đó. Ký hiệu T

Xác suất

Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép
thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của
phép thử T. Tập hợp các kết quả thuận lợi
của A ký hiện là  A. Số kết quả thuận lợi
của biến cố A ký hiện là n(  A ) hoặc n A

Không gian mẫu: Là tập
hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử.Ký
hiệu: .

Số phần tử của không gian
mẫu ký hiệu: n()

Các biến cố đặc biệt:
 Biến cố không: Tập hợp  được gọi
là biến cố không
 Biến cố chắc chắn: Tập hợp  được
gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất: Gỉa sử
phép thử T có không gian mẫu  là một tập
hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng
khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan
đến phép thử T và  A là tập hợp các kết
quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến
cố A là một số ký hiệu là P(A)

Xác suất của biến cố

P ( A) 
II/ Các dạng bài tập.
DẠNG 1 XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI.
Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để
a/ A và B ngồi đầu bàn.
b/ A và B ngồi cạnh nhau.
Giải 1.
a/ A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.
Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120

Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn:

15

n( A )
n ( )


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

+ Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách.
+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách
Nên n (M) = 2.3!
Vậy P (M) =
b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn.
+ Buộc A vào B có hai cách là AB;BA
+ Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách
Nên n (M) = 2.4! cách.
Vậy P (M) =
Bài 2 Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
a/ Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1)
b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2)
Bài 3 Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.
Tính xác suất sao cho:
a/ Nam, nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3)
b/ Nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS: 1/3)
Bài 4 Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:
a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15)
b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15)
c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15)

d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15)
DẠNG 2 CHỌN QUẢ CẦU.
Bài 1 Có hai hộp chứa các quả cầu .Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng,4 quả đen.
Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen.Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.
Gọi A là biến cố :” Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”.và B là biến cố:”Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.
a/Xét xem A và B có độc lập không.(ĐS: Độc lập)
b/Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu.(ĐS:12/25)
c/ Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra khác màu.(ĐS:13/25)
Bài 2 Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất
sao cho:
a/Bốn quả lấy ra cùng màu.(ĐS: 8/105)
b/Có ít nhất một quả màu trắng.(ĐS:209/210)
Bài 3 Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đên 10. 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đên 20.
Lấy ngẫu nhiên 1 quả.Tìm xác suất sao cho quả được chọn:
a/ Ghi số chẵn.(ĐS: 1/2)
b/ Màu đỏ.(ĐS: 1/3)
c/ Màu đỏ và ghi số chẵn.(ĐS: 1/6)
d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ.(ĐS: 5/6)
DẠNG 3 GIEO SÚC SẮC VÀ ĐỒNG XU.
Bài 1 Một con súc sắc cân đối và đông chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao cho:
a/Tổng số chấm của hai lần gieo là 6.(ĐS: 5/36)
b/ It nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm.(ĐS:11/36)

16


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Bài 2 Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập.Tính xác suất để
a/ Cả 3 đồng xu đều sấp.

b/Có ít nhất một đồng xu sấp.
c/Có đúng một đồng xu sấp.
Bài 3 Gieo 2 đồng xu A và B.Đồng xu A chế tạo cân đối, đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất
xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.Tính xác suất để:
a/ Khi gieo 2 đồng xu một lần thì 2 đồng xu đều ngửa.
b/Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa.
Bài 4 Gieo đồng thời 6 đồng xu cân đối. Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp.
Bài 5 Gieo 2 con súc sắc cân đối.Tính xác suất để được ít nhất một mặt xuất hiện là mặt 6 chấm (ĐS:
11/36)
Bài 6 Gieo 3 con súc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên các mặt của 3 súc sắc đó bằng
nhau (ĐS: 1/36)

Một số đề thi thử
ĐỀ 1. THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh
Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt
buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học,
Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20
học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong 3 học
n
120
sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học.
PA  A 
n 247
ĐỀ 2. THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh
Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng
làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và
n   A  11075 443
nữ. P  A  



 0,875
n    12650 506
ĐỀ 3. THPT Lê Duẩn – Tây Ninh
Trong một thùng có chứa 7 đèn màu xanh khác nhau và 8 đèn đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 đèn
mắc vào 3 chuôi mắc nối tiếp nhau. Tính xác suất A: “mắc được đúng 2 đèn xanh
24
” n  A   C72 .C81  P  A  
65
ĐỀ 4. THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh
Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Người
ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác , tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn phải có nữ và có
C 2 .C 1 .C 1  C81 .C52 .C31  C81.C51 .C32 3
đủ ba bộ môn. P  8 5 3

C164
7
ĐỀ 5. THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh
Một đội tuyển học sinh giỏi có 18 em, trong đó có 7 em học sinh lớp 12, có 6 em học sinh lớp 11 và
5 em học sinh lớp 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 em học sinh đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất
một em được chọn. C188 -( C138 + C128 + C118 ) cách chọn ra 8 em mà có đủ 3 khối.
ĐỀ 6. THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh
Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 10 phòng thi gồm 6 phòng mỗi phòng có
24 thí sinh và 4 phòng mỗi phòng có 25 thí sinh. Sau 1 buổi thi, 1 phóng viên truyền hình chọn ngẫu
nhiên 10 thí sinh trong số các thí sinh đã dự thi buổi đó để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để
phỏng vấn của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất để trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có
2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phòng thi.

n  X  246.254
P=


 4,37.10 4
10
n
C244

17


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

Chủ đề 7. Hình học không gian tổng hợp. (1,0 điểm)
Theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi THPTQG thì Câu 7 trong đề thi có nội dung dành cho
chủ đề này. Nội dung trọng tâm là tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
HHKG TỔNG HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT
Bài: TN THPT 2006 - Phân ban: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 .
1
3

ĐS: a) V  a 3 2

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài: TN THPT 2007 - Phân ban lần 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối
1
3

ĐS: V  a3

chóp S.ABC.

Bài: TN THPT 2007 - Phân ban lần 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a , cạnh bên SA vuông góc với đáy va SA = AC . Tính thể tích của khối chóp
a3 2
ĐS: V 
3

S.ABCD .

Bài: TN THPT 2008 - Phân ban lần 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh SA vuông góc với BC.
a 3 11
24
Bài: TN THPT 2008 - Phân ban lần 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB  a, BC  a 3, SA  3a

2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.

ĐS: b) V 

a3 3
2
a 13
ĐS: BI 
2
ĐS: V 

1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.

Bài: TN THPT 2009. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
  120o , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC
a3 2
ĐS: V 
36

Bài: TN THPT 2010. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể
a3 6
ĐS: V 
6

tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài: TN THPT 2011. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy
0

một góc 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

2a 3 2
ĐS: V 
3

Bài: TN THPT 2012. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B

và BA= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

ĐS: V 
18

a3 3
2


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

HHKG TỔNG HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
Bài 25(ĐH A2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
7 3
42a
ĐS : VS . ABC 
a ; d  SA, BC  
12
8
Bài 26(ĐH B2012)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh
SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
7 11 3
ĐS : VS . ABH 
a
96

Bài 27(ĐH D2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính
thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
2 3
a 6
ĐS : VA. BB'C ' 
a ; d  A, ( BCD ' )  
48
6
Bài 28(ĐH A2013)
  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC
bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến
mặt phẳng (SAB).
a3
a 39
ĐS : VS . ABC 
; d  C , ( SAB)  
16
13
Bài 29(ĐH B2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (SCD).
a3 3
a 21
ĐS : VS . ABCD 
; d  A, ( SCD)  
6
7

Bài 30(ĐH D2013)
  1200 , M là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy , BAD
  450 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
trung điểm của cạnh BC và SMA
điểm D đến mặt phẳng (SBC).
a3
a 6
ĐS : VS . ABCD 
; d  D, ( SBC )  
.
4
4
Các đề thi năm 2014 – 2015 đã phát!

19


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

Chủ đề 8. Hình học giải tích trong không gian. (1,0 điểm)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng
(P): x + y – 2z + 3 = 0.
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P).
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2),
C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB.
3/ Viết phương trình đường thẳng AD.
4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ;
3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M
đến mp(P).
2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3;1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1;0;11), B(0;1; 10), C(1;1;8).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P).
2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng
(P).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1),
C(1 ; 0 ; -4).
1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành .
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với
(ABC).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),
D(0 ; 0 ; 3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’.
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5).
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB.
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A.
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O.
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A.
Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ.
x  1 y 1 z  2
x2 y2 z
Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d):


và (d’):


.
2
3
1
1
5
2
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d1) và (d2)
Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1).
a). Viết phương trình đường thẳng BC.
b). Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.

20

TÀI LIỆU ƠN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Bài 12 :Cho   : 2 x  5 y  z  17  0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0.
a/ Tìm giao điểm A của (d) và   .
b/ Viết phương trình đường thẳng    đi qua A, vng góc với (d) và nằm trong mp   .
Bài 13 :Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
x + 2y + z –1= 0
a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên (P).
b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Bài 14 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng
 x  2  3t

( d) có phương trình tham số  y  2  2t .
 z  t

a). Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d) .
b). Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M và vng góc đường thẳng (d)
c). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng (d) .
Bài 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) : x  y  2 z  1  0 và mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  8  0 .
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 16: Trong khơng gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng qt đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vng góc
với mặt mp(P).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)
Một số bài tập trích từ các đề thi đại học

x 1 y z  2
Bài 28 : (ĐH A2010−CB) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :
 
và
2
1
1
mặt phẳng (P) : x  2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng cách
từ M đến (P), biết MC = 6 .
1
ĐS : d ( M , ( P)) 
6
Bài 29 : (ĐH A2010−NC) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng
x2 y2 z 3
:


. Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai
2
3
2
điểm B và C sao cho BC = 8.
ĐS : ( S ) : x 2  y 2  ( z  2)2  25
Bài 30 : (ĐH B2010−CB) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0;
0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC)
1
vng góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng .
3
1
ĐS : b  c 

2
x y 1 z
Bài 31 : (ĐH B2010−NC)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 
 .
2
1
2
Xác đònh tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM.
ĐS : M (1;0;0); M (2;0;0)
Bài 32 : (ĐH D2010−CB) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0
và (Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) và (Q) sao cho khoảng
cách từ O đến (R) bằng 2.

21


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

ĐS : ( R ) : x  z  2 2  0; ( R) : x  z  2 2  0
x  3  t

Bài 33 : (ĐH D2010−NC) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:  y  t
và 2:
z  t

x  2 y 1 z

 . Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1.
2

1
2
ĐS : M (4;1;1); M (7; 4; 4)
Bài 34 : (ĐH A2011−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3)
và mặt phẳng (P) : 2x y z 4 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB 3.
6 4 12
ĐS : M (0;1;3); M ( ; ; )
7 7 7
Bài 35 : (ĐH A2011−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 4x
4 y 4z 0 và điểm A(4; 4; 0) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác
OAB đều.

ĐS : ( AOB) : x  y  z  0;( AOB) : x  y  z   0
Bài 36 : (ĐH B2011−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x  2 y 1 z


và mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 =0 .Gọi I là giao điểm của ∆ và (P).Tìm tọa độ
1
2
1
điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14
ĐS : M (5;9; 11); M (3; 7;13)
Bài 37 : (ĐH B2011−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x  2 y 1 z  5


và hai điểm A(2;1;1), B(3; 1; 2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao
1
3

2
cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5
ĐS : M (2;1; 5); M (14; 35;19)
Bài 38 : (ĐH D2011−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1 ;2 ;3) và đường thẳng
x 1 y z  3
d:
 
viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc với đường thẳng d và cắt
2
1
2
trục Ox
 x  1  2t

ĐS :  :  y  2  2t
 z  3  3t

Bài 39 : (ĐH D2011−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x 1 y  3 z

 và mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường
2
4
1
thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
ĐS : ( S ) : ( x  1) 2  ( y  1)2  ( z  1) 2  1;( S ) : ( x  5) 2  ( y  11)2  ( z  2)2  1
Bài 40 : (ĐH A2012−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x 1 y z  2
 
và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B

1
2
1
sao cho tam giác IAB vuông tại I.
8
ĐS : ( S ) : x 2  y 2  ( z  3)2 
3
Bài 41 : (ĐH A2012−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x 1 y z  2
 
, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường
2
1
1
thẳng  cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
x 1 y 1 z  2
ĐS :  :


2
3
2

22


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

x 1 y
z

 
2
1 2
và hai điểm A(2;1;0), B(-2;3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.
ĐS : ( S ) : ( x  1) 2  ( y  1)2  ( z  2)2  17
Bài 43 : (ĐH B2012−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phương
trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm
thuộc đường thẳng AM.
ĐS : ( P) : 6 x  3 y  4 z  12  0
Bài 44 : (ĐH D2012−CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–
2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính
bằng 4.
ĐS : ( S ) : ( x  2) 2  ( y  1)2  ( z  3)2  25
Bài 45 : (ĐH D2012−NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x 1 y 1 z

 và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam
2
1 1
giác AMB vuông tại M.
7 5 2
ĐS : M ( ;  ; )
3 3 3
Bài 46 : (ĐH A2013−CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x  6 y 1 z  2
:



và điểm A(1;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc
3
2
1
với  . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho AM= 2 30
51 1 17
ĐS : ( P) : 3x  2 y  z  14  0; M ( ;  ; ); M (3; 3; 1)
7
7 7
Bài 47 : (ĐH A2013−NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  3y  z  11  0 và mặt cầu

Bài 42 : (ĐH B2012−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

(S) : x 2  y 2  z 2  2x  4y  2z  8  0 . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S).Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
ĐS : d ( I , ( P))  R; M (3;1;2)
Bài 48 : (ĐH B2013−CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3 ; 5; 0) và mặt phẳng (P) : 2x + 3y – z – 7 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua
(P) .
ĐS : B(1; 1;2)
Bài 49 : (ĐH B2013−NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1 ; -1 ; 1) ;B(-1 ; 2 ;3) Và đường thẳng
x 1 y  2 z  3
:


. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng
2

1
3
AB và  .
x  1 y  1 z 1
ĐS : d :


7
2
4
Bài 50 : (ĐH D2013−CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1 ; −1; −2) ,B(0 ;
1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z – 1 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết
phương trình mặt phẳng đi
qua A,B và vuông góc với (P) .
ĐS : (Q ) : x  2 y  z  1  0
Bài 51 : (ĐH D2013−NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1 ; 3 ; −2) và mặt
phẳng (P) x  2y  2z  5  0 . Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và
song song với (P)
2
ĐS : d ( A, ( P))  ; (Q ) : x  2 y  2 z  3  0
3

23


GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TỐN TRƯỜNG THPT NAM DUN HÀ

Chủ đề 9. Hình học giải tích trong mặt phẳng. (1,0 điểm)
Bài 1 : (ĐH A2002)
Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường

thẳng BC là 3x  y  3  0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2. tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
 7  4 3 6  2 3   1  4 3 6  2 3 
ĐS : G 
;
;
;G 

3
3  
3
3


Bài 2 : (ĐH B2002)
1 
Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm  ; 0  , phương trình
2 
đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng A có hồnh
độ âm.
ĐS : A  2; 0  ; B  2; 2  ; C  3; 0  ; D  1; 2 
Bài 3 : (ĐH D2002)

x2 y 2
 =1. xét
16 9
điểm M chuyển động trên Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN ln tiếp
xúc với (E). Xác định M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho elip (E) có phương trình



 



ĐS : M 2 7;0 ; N 0; 21 ; MN  7
Bài 4 : (ĐH B2003)
  900.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC , BAD
2 
Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G  ; 0  là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A,
3 
B, C.
ĐS : A  0; 2  ; B  4;0  ; C  2; 2 
Bài 5 : (ĐH D2003)
Trong mặt phẳng với tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  4 và
đường thẳng d: x – y – 1 = 0.Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d.Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS : (C ' ) : ( x  3)2  y 2  4; A 1; 0  ; B  3; 2 
Bài 6 : (ĐH A2004)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2), B(  3; 1 ). Tìm tọa độ trực tâm và tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
ĐS : H ( 3; 1); I ( 3;1)
Bài 7 : (ĐH B2004)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng
x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
43 27
ĐS : C (7;3); C ( ;  )
11 11

Bài 8 : (ĐH D2004)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với
m  0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vng tại G.
ĐS : m  3 6

24


TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Bài 9 : (ĐH A2005)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1: x  y  0 và d2: 2 x  y  1  0 . Tìm tọa
độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, C thuộc d2, và các đỉnh B, D thuộc trục
hoành.
ĐS : A 1;1 ; B  0; 0  ; C 1; 1 ; D  2;0  hoặc A 1;1 ; B  2; 0  ; C 1; 1 ; D  0;0 
Bài 10 : (ĐH B2005)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS : (C ) : ( x  2)2  ( y  1) 2  1 hoặc (C ) : ( x  2)2  ( y  7)2  49
Bài 11 : (ĐH D2005)

x2 y2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E):

 1 . Tìm tọa độ các điểm
4
1
A,B thuộc (E), biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác
đều.
2 4 3 2 4 3

2 4 3 2 4 3
ĐS : A  ;
 ; B  ; 
 hoặc A  ; 
 ; B  ;

7
7
7
7
7
7

 


 7 7 
Bài 12 : (ĐH A2006−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0,
d3: x – 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS : M (22; 11); M (2;1)
Bài 13 : (ĐH B2006−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y 2  2 x  6 y  6  0 và điểm M(-3; 1).
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng
T1T2.
ĐS : 2 x  y  3  0
Bài 14 : (ĐH D2006−CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và đường thẳng
d: x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán

kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS : M (1; 4); M (2;1)
Bài 15 : (ĐH A2007−CB)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường
tròn đi qua các điểm H, M, N.
ĐS : (C): x 2  y 2  x  y  2  0
Bài 16 : (ĐH B2007−CB)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0,
d2: x + y – 8 = 0.Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
ĐS : B  1;3  ; C  3;5  hoặc B  3; 1 ; C  3;5 
Bài 17 : (ĐH D2007−CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng

25