chuyên đề hàm số by đêm đông

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

1. Dạng 1: Bài toán gốc - tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Đây là bài toán cơ bản nhất mà bất kỳ học sinh nào cũng phải biết làm và làm một
cách thành thạo, vì nó chính là cơ sở để làm các bài toán nào liên quan đến tiếp
tuyến.
- Bài toán: Cho hàm số y = f(x), viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ
thị hàm số tại điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số.
- Bài làm: PTTT của đồ thị hàm số tại M0 có dạng:
y = k.(x - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) .(x - x0) + 𝑓(𝑥0)
Trong đó k = 𝑓′(𝑥0) gọi là hệ số góc của tiếp tuyến.
Để viết được PTTT ta phải tìm được x0. Như vậy mọi bài toán viết PTTT đều quy
về bài toán đi tìm tiếp điểm của tiếp tuyến.
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Viết PTTT với đồ thị hàm số tại điểm
M(1;4)?
Giải: Ta có: y’ = 6x2 – 6x => hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k = y’(1) = 0
PTTT tại M là: y = 0.(x - 1) + 4 =4
Vậy PTTT tại M là: y = 4
Bài tập đề nghị:
Viết PTTT của đồ thị các hàm số sau:
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 1


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

1) y =

𝑥+1
𝑥−1

2015

tại A(2;3).

2) y = x3 + 4x2 – 1 tại điểm có hoành độ bằng -1.
3) y = x2 – 4x + 4 tại điểm có tung độ bằng 1.
4) y =

3𝑥−2
𝑥−1

tại B(2;4).

2. Dạng 2: Viết PTTT đi qua một điểm cho trước.
Các em cần phân biệt rõ tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến đi qua một điểm là
khác nhau. Tiếp tuyến tại M có nghĩa là M chính là tiếp điểm (M thuộc đồ thị hàm
số), còn tiếp tuyến đi qua M thì M chưa chắc đã thuộc đồ thị hàm số.
- Bài toán: Cho hàm số y = f(x). Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
đi qua điểm A(x1;y1)
- Bài làm: Gọi M0(x0;y0) là tọa độ của tiếp tuyến cần tìm. PTTT có dạng:
y = k.(x - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) .(x - x0) + 𝑓(𝑥0)
Do tiếp tuyến đi qua A(x1;y1) nên tọa độ của A phải thỏa mãn PTTT, tức là:
y1 = k.(x1 - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) .(x1 - x0) + 𝑓(𝑥0 )
Như vậy ta được một phương trình với ẩn là x0, giải phương trình này ta tìm
được x0, vậy bài toán trở thành dạng 1.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – x – 6. Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi
qua A(2;0)?

Giải: Gọi M0(x0;y0) là tọa độ của tiếp tuyến cần tìm. PTTT có dạng:
y = (3𝑥02 – 1)(x-𝑥0 ) + y0 = (3𝑥02 – 1)(x-𝑥0 )+ 𝑥03 − 𝑥0 − 6
Do tiếp tuyến đi qua A(2;0) nên ta có:
0 = (3𝑥02 – 1)(2-𝑥0 ) + 𝑥03 − 𝑥0 − 6
 2𝑥03 - 6𝑥02 + 8 = 0



[ 𝑥𝑥0 ==−1
2
0

+ Với x0 = -1, PTTT là: y = (3 – 1)(x + 1) + (-1) + 1 – 6 = 2x – 4
+ Với x0 = 2, PTTT là: y = (12 - 1)(x – 2) + 8 – 2 – 6 = 11x -22
Bài tập đề nghị:
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 2


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

1) Cho hàm số y = x3 – 3x + 1. Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm
2

A( ; −1).
3

2) Cho hàm số y = -x3 + 3x2 -2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó kẻ
được đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
1
3

3) Cho hàm số: y  x3  2 x 2  3x

viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua

4 4
A( , )
9 3

4) Cho hàm số y 

x2
x2

; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm

A(6,5)

5) Cho hàm số y  x3  12 x  12 (C ) . Tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó
vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị ( C)
6) Cho hàm số: y  x3  3x 2  2 (C ) , tìm trên đường thẳng y  2 các điểm mà từ đó có
thể kẻ đến đồ thị hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau .

3. Dạng 3: Viết PTTT khi biết trước hệ số góc của nó hoặc một điều kiện nào
đó.
- Bài toán: Cho hàm số y = f(x). Viết PTTT biết hệ số góc bằng k ?

- Bài làm: Gọi M0(x0;y0) là tọa độ của tiếp tuyến cần tìm. Giải phương
trình: k = f’(x0) tìm được x0, từ đó viết được PTTT như dạng 1.
Ở dạng toán này, chủ yếu hệ số góc k sẽ được cho trước một cách gián tiếp
(Ví dụ như cho tiếp tuyến song song, vuông góc hoặc tạo với đường thẳng nào đó 1
góc bằng ∝, khoảng cách từ điểm nào đó đến tiếp tuyến bằng … )
Xin nhắc lại một số kiến thức cần nhớ khi làm dạng toán này:
+ Cho 2 đường thẳng: (d1):ax + by + c = 0, (d2): a’x + b’y + c’ = 0

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 3


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

̂
 Góc giữa 2 đường thẳng: cos(𝑑1;
𝑑2) =

2015

|𝑎𝑎′ +𝑏𝑏′ |
√𝑎2 +𝑏2 .√(𝑎′)2 +(𝑏′)2

+ Cho 2 đường thẳng: (d1): y = k1x + b1, (d2): y = k2x + b2
 (d1) // (d2) => k1 = k2
 (d1)vuông góc với (d2) => k1.k2 = -1
𝑘1 −𝑘2
̂
 Góc giữa 2 đường thẳng: tan(𝑑1;

𝑑2) = |
|
1+𝑘1 𝑘2

+ Cho đường thẳng: (d): ax + by + c = 0 và điểm M(x0 ;y0)
 Khoảng cách từ M đến (d) là: d(M ;(d)) =

|𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐|
√𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2

+ Một đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt A,B mà cùng gốc tọa độ
O tạo thành 1 tam giác cân thì đường thẳng đó sẽ song song với phân giác của góc
phần tư thứ nhất hoặc góc phần tư thứ (II). Hai đường phân giác đó có phương
trình: y = ±𝑥, do đó đường thẳng đó sẽ có hệ số góc k = ±1 và không đi qua gốc
tọa độ.
+ Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với:
 Trục Ox: Cho y = 0, giải phương trình f(x) = 0 => x.
 Trục Oy: Cho x = 0 => y = f(0).
1
3

Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x3  x 
1
3

đường thẳng: y   x 

2
3

, viết PTTT biết tiếp tuyến vuông góc với

2
(d ) .
3

Giải: Gọi k là hệ số góc và M0(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến phải tìm.
−1

Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) => k.( ) = -1 => k = 3
3

Ta có: y’ = x2 – 1 => k = y’(x0) = 𝑥02 – 1 = 3

 x0 = ± 2
+) Với x0 = 2 => y0 =

4
3

=> PTTT: y = 3(x – 2)+

4
3

= 3x -

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

14

3

Page 4


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

+) Với x0 = -2 => y0 = 0 => PTTT: y = 3(x + 2)+ 0 = 3x + 6
Ví dụ 2: Cho hàm số: y =

2𝑥−1
𝑥−1

, viết PTTT với đồ thị hàm số biết khoảng cách từ

điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng √2.
Giải: Gọi M0(x0;y0),( x0≠ 0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến phải tìm.
PTTT có dạng: y =

 (𝑥

1

0 −1)

−1
(𝑥0 −1)2

(x – x0) +

x+y2

2𝑥0 −1
𝑥0 −1

2𝑥02 −2𝑥0 +1
(𝑥0 −1)2

=0

 x + (𝑥0 − 1)2 .y - 2𝑥02 + 2𝑥0 – 1 = 0
Khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến bằng √2



|1+2 (𝑥0 −1)2 − 2𝑥02 + 2𝑥0 – 1|
√1+(𝑥0 −1)4
|2−2𝑥0 |
√1+(𝑥0 −1)

= √2

𝑥 =0

= √2  [ 𝑥0 = 2
4
0

+) Với x0 = 0 => PTTT: x+ y – 1 = 0
+) Với x0 = 2 => PTTT: x + y – 5 = 0

Bài tập luyện tập:
Bài 1: Cho hàm số: y  x3  3x 2  9 x  5 (C ) , trong tất cả các tiếp tuyến của (C ),
tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ?
Giải:
Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 9
=> hệ số góc của tiếp tuyến tại x0: k = 3𝑥02 + 6𝑥0 − 9

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 5


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Xét hàm số: g(x0) = 3𝑥02 + 6𝑥0 − 9
g’(x0) = 6x0 + 6 = 0  x0 = -1
BBT:

x0
g’(x0)
g(x0)

-∞

-1
0

-

+∞
+

Từ bảng biến thiên ta thấy k đạt giá trị nhỏ nhất  x0 = -1 và kmin = g(-1) = -12
x0 = -1=> y0 = 16
PTTT tại điểm có x0 = -1 là: y = -12(x + 1) + 16 = -12x + 4
Nhận xét: tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 2: Cho hàm số y  3x3  4 , viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến
tạo với đường thẳng (d): 3 y  x  6  0 một góc 300 .
Giải:
Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm và k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm.
Ta có: y’ = 3√3x2 => k = 3√3𝑥02
(d): y =

1
√3

x - 2 √3

Vì tiếp tuyến tạo với (d) 1 góc 30° nên ta có:
tan 30° = |

1
√3

1
1+𝑘.
√3

𝑘−

|=|

𝑘 √3−1
√3+𝑘

|=

1
√3

 3(𝑘√3 − 1)2 = (√3 + 𝑘)2
 8k2 - 8√3𝑘 = 0

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 6


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

[ 𝑘=0

 𝑘= 3
√
+) Với k = 0: 3√3𝑥02 = 0  x0 = 0 => y0 = 4
 PTTT: y = 4
+) Với k = √3: 3√3𝑥02 = √3  x0 = ±
 Với x0 =

1
√3

=> y0 =

 PTTT: y = √3(x  Với x0 =

−1
√3

√3

=> y0 =

Bài 3: Cho hàm số y 

√3

13

1

 PTTT: y = √3(x +

1

3

)+

13
3

= √3 x +

10
3

11
3

1
√3

)+

11
3

= √3 x +

14
3

2x
(C ) tìm điểm M  (C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị
x 1

hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng

1
.
4

Giải:
Gọi M ( x0 , y0 )  (C )  y0 

2 x0
,
x0  1

x0 ≠ −1, y ' 

2
( x  1) 2

Tiếp tuyến tại M có dạng :
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y 

2 x0
2 x02
2

2
(
x

x
)


y

x

(d )
0
( x0  1) 2
x0  1
( x0  1) 2
( x0  1) 2

Gọi A  (d )  ox  tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

2 x02
2
y

x


( x0  1)2
( x0  1) 2


y  0


 x   x02

 A( x02 , 0)
y  0

Gọi B  (d )  oy  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 7


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2 x02
2
y

x


( x0  1)2
( x0  1) 2

x  0


2015

 x  0 2 x02
2 x02


B
(0,
)
2
( x0  1) 2
 y  ( x0  1)

Tam giác OAB vuông tại O ; OA =  x02  x02 ; OB =
Diện tích tam giác OAB : S =

2 x02
2 x02

( x0  1)2 ( x0  1)2

1
OA.OB
2

=
1

 2 x02  x0  1

 2 x02  x0  1  0
x0    y0  2
1 2 x04
1
4
2

.
  4 x0  ( x0  1)   2
 2

2

2 ( x0  1) 2 4
 2 x0   x0  1  2 x0  1x0  1 (vn)
 x0  1  y0  1

1
2

Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : M 1 ( ; 2) ; M 2 (1,1)
Bài 4: Cho hàm số y 

x2
(1) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x  3

(1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B
và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .
Giải:

Gọi M0(x0;y0), x0 ≠
=> y0 =

𝑥0 +2
2𝑥0 +3

−3
2

, là tiếp điểm và k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm

, k = y’(x0) =

−1
(2𝑥0 +3)2

Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ lần lượt tại A,B và tạo thành tam giác OAB cân tại O
=> tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ (I) và (II), tiếp
tuyến không đi qua gốc tọa độ.
=> k = ± 1  k = -1 (do k =



−1
(2𝑥0

+3)2

−1
(2𝑥0 +3)2

< 0 ∀𝑥)

−1
= -1  (2𝑥0 + 3)2 = 1  [𝑥𝑥0 =
= −2
0

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 8


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

+) x0 = -1 => y0 = 1 => PTTT: y = -1(x + 1) + 1 = -x (loại do đi qua gốc tọa độ)
+) x0 = -2 => y0 = 0 => PTTT: y = -1(x + 2) + 0 = -x – 2
Bài 5: Cho hàm số: y 

x 1
(C ) . Tìm m để đường thẳng (d ) : y  2 x  m cắt đồ thị
x 1

hàm số (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với
nhau.
Giải:
ĐK: x ≠ 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

𝑥+1
𝑥−1

= 2x + m  2x2 +(m-3)x – m – 1 = 0 = f(x) (*)

Để (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
∆ = (𝑚 − 3)2 + 8(𝑚 + 1) > 0
{
𝑓(1) = 2 + 𝑚 − 3 − 𝑚 − 1 ≠ 0
2
 {𝑚 + 2𝑚 + 17 > 0  ∀𝑚
−2 ≠ 0
Vậy ∀𝑚 thì (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A,B có hoành độ là nghiệm của
phương trình (*).
Gọi A(x1;y1), B(x2;y2), x1 ≠ x2, với x1, x2 là 2 nghiệm của (*)
Tiếp tuyến tại A có hệ sô góc là: k1 = y’(x1) =
Tiếp tuyến tại B có hệ số góc là: k2 = y’(x2) =

−2
(𝑥1 −1)2
−2
(𝑥2 −1)2

Để tiếp tuyến tại A và B song song ta phải có:
k1 = k2  (𝑥1 − 1)2 = (𝑥2 − 1)2  𝑥1 − 1 = −𝑥2 + 1 (vì x1 ≠ x2)
 x1 + x2 = 2
3−𝑚

Theo Vi-et: x1 + x2 =
= 2  3 – m = 4  m = -1

2
Vậy với m = -1 thì (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A,B mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó
song song với nhau.
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1. Tìm 2 điểm A,B thuộc đồ thị hàm số sao cho
tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và độ dài AB = 4√2.
Giải:
2
2
3
3
Giả sử A(a;a -3𝑎 +1), B(b; b -3𝑏 +1) là 2 điểm thỏa mãn đề bài, a ≠ b.
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên ta có:
y’(a) = y’(b)  3𝑎2 – 6a = 3𝑏 2 – 6b  (a – b)(a + b – 2) = 0  b = 2 – a
Vì a ≠ b nên a ≠ 2 – a  a ≠ 1
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 9


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Lại có: AB = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 3 − 3𝑏 2 + 1 − 𝑎3 + 3𝑎2 − 1)2
= √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 [𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 − 3(𝑏 + 𝑎)]2
= √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 [(𝑏 + 𝑎)2 − 𝑎𝑏 − 3(𝑏 + 𝑎)]2
Thay a + b = 2 ta được:
AB = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 (−2 − 𝑎𝑏)2 = 4√2
 (𝑏 − 𝑎)2 [1 + (−2 − 𝑎𝑏)2 ] = 32
 (2 − 2𝑎)2 [1 + (𝑎2 − 2𝑎 − 2)2 ] = 32

 (𝑎 − 1)2 {1 + [(𝑎 − 1)2 − 3]2 } = 8
 (𝑎 − 1)2 [(𝑎 − 1)4 - 6(𝑎 − 1)2 + 10] = 8
 (𝑎 − 1)6 - 6(𝑎 − 1)4 + 10(𝑎 − 1)2 – 8 = 0
Đặt (𝑎 − 1)2 = t, t > 0. Ta có phương trình:
t3 – 6t2 + 10t – 8 = 0  t = 4

[ 𝑎=3=>𝑏= −1

 (𝑎 − 1)2 = 4  𝑎= −1=>𝑏=3

Vậy 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: A(3;1), B(-1;-3) hoặc A(-1;-3), B(3;1)
7) Cho hàm số: y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2
Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): x + y + 7 = 0 một
1
góc ∝, biết cos ∝ =
√26

2𝑥−1

8) Cho hàm số y =
, lập PTTT của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến này cắt
𝑥−1
trục Ox, Oy lần lượt tại 2 điểm A,B thảo mãn OA = 4OB.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 10


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

1. Nhắc lại định lý về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a ∀x
+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a ∀x ≠

−𝑏
2𝑎

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2, khi đó ta có:
 Trong khoảng 2 nghiệm thì f(x) trái dấu với a (“trong trái”)
 Ngoài khoảng 2 nghiệm thì f(x) cùng dấu với a (“ngoài cùng”)
2. Định lý về tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D
 Hàm số đồng biến trên D  y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 D và y’ = 0 chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm thuộc D
 Hàm số nghịch biến trên D  y’ ≤ 0, ∀𝑥 𝜖 D và y’ = 0 chỉ xay ra tại một số
hữu hạn điểm thuộc D
Như vậy để xét tính đơn điệu của một hàm số ta cần xét dấu đạo hàm của nó.
Chú ý: Hàm phân thức bậc nhất y =

𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑

khi xét tính đơn điệu ko có dấu “=”

3. Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán cô lập được tham số:
Giả sử ta cần tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình g(x,m) ≥ 0 hoặc

g(x,m) ≤ 0 ∀𝑥 𝜖 (a;b)
Trường hợp tham số m có bậc một, ta có thể cô lập được m về một vế, khi đó ta có:
 g(x) ≤ m, ∀x 𝜖 (a;b)  m ≥ max 𝑔(𝑥)
(𝑎;𝑏)

 g(x) ≥ m, ∀x 𝜖 (a;b)  m ≤ min 𝑔(𝑥)
(𝑎;𝑏)

Bài toán trở về tìm min, max của hàm số g(x) trên (a;b)
4. Một số trường hợp so sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với một số:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 11


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

 x1 ≤ x2 < d  {

𝑆
2

2015

∆≥ 0
−𝑏
=
<𝑑

2𝑎

(𝑥1 − 𝑑)(𝑥2 − 𝑑) > 0
∆≥0
𝑆
−𝑏
=
>𝑑
 d < x 1 ≤ x2  {
2
2𝑎
(𝑥1 − 𝑑)(𝑥2 − 𝑑) > 0
 x1 < d < x2  a.f(d) < 0
So sánh với số 0:

∆≥0
−𝑏
𝑆
=
<0
 x1 ≤ x2 < 0 (2 nghiệm đều âm)  {
𝑎
𝑐
𝑃= >0
𝑎
∆≥0
−𝑏
𝑆
=
>0

 0 < x1 ≤ x2 (2 nghiệm đều dương)  {
𝑃=
 x1 < d < x2 (2 nghiệm trái dấu)  ac < 0

𝑎
𝑐

𝑎

>0

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – mx – 4. Tim m để hàm số đồng biến trên khoảng
(-∞; 0)
Giải: TXĐ: D = R
y’ = 3x2 +6x – m, ∆’ = 9 + 3m
Để hàm số đồng biến trên (-∞;0) thì y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 (-∞;0)
+) Cách 1: Dùng tam thức bậc hai:
 TH1: ∆’ ≤ 0  m ≤ -3, y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 R => Hàm số đồng biến trên R, tức là
cũng đồng biến trên (-∞;0). Vậy m ≤ -3 thỏa mãn.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 12


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

 TH2: ∆’ > 0  m > -3 => Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

(x1 < x2). Khi đó với hệ số a = 3 > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng
(-∞; 𝑥1 ), (𝑥2 ;+∞)
Do đó để hàm số đồng biến trên (-∞;0) thì phải có 0 ≤ x1
∆′ > 0
 {𝑆 = −2 ≥ 0
−𝑚
𝑃=
>0

(vô nghiệm)

3

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có: m ≤ -3
+) Cách 2: Dùng min, max
Ta thấy bậc của m trong biểu thức của y’ bằng 1 nên có thể cô lập được m
Để hàm số đồng biến trên (-∞;0) thì y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 (-∞;0)
 3x2 +6x – m ≥ 0, ∀x 𝜖 (-∞;0)
 m ≤ 3x2 +6x, ∀x 𝜖 (-∞;0)

 m ≤ min 𝑔(𝑥) với g(x) = 3x2 +6x
(−∞;0)

Ta có: g’(x) = 6x + 6 = 0  x = -1
Bảng biến thiên:
x0
g’(x0)
g(x0)

-∞
-

-1
0

0
+

Từ BBT ta có min 𝑔(𝑥) = g(-1) = -3
(−∞;0)

Vậy m ≤ -3
Nhận xét: Cả 2 cách làm đều cho ta một kết quả giống nhau nhưng cách làm thứ 2
sẽ gọn hơn và không phải xét nhiều trường hợp. Như vậy đối với những bài cô lập
được m ta sẽ ưu tiên sử dụng cách 2.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 13


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Bài tập luyện tập:

Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + 1.
Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+∞)

Giải
TXĐ: D = R
y’ = 6x2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1)
Hàm số đồng biến trên (2;+∞)  y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (2;+∞)
 x2 – (2m+1)x + m(m+1) ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (2;+∞)
∆ = (2𝑚 + 1)2 − 4𝑚(𝑚 + 1) = 1 > 0
y’ = 0  [

𝑥=𝑚
𝑥 = 𝑚+1

 y’ ≥ 0  x 𝜖 (−∞; 𝑚) 𝑈 (𝑚 + 1; +∞)
Vậy để y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (2;+∞) thì phải có: m+1 ≤ 2  m ≤ 1
Đáp số: m ≤ 1
Chỗ này có thể sẽ nhiều em khó hiểu vì sao m+1 ≤ 2 . Muốn hiểu rõ các em nên
biểu diễn dấu của y’ trên trục số như sau:

Bài 2: Cho hàm số y = x3 + (1-2m)x2 + (2-m)x + m + 2.
Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +∞)
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 14


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Giải
TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 2(1-2m)x + 2 – m
(ta thấy m trong biểu thức y’ là bậc một nên ta nghĩ đến cách cô lập m)
Hàm số đồng biến trên (0; +∞)  y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (0; +∞)
 3x2 + 2(1-2m)x + 2 – m ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (0; +∞)
 3x2 + 2x + 2 – m(4x+1) ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (0; +∞)
m≤

3𝑥 2 +2𝑥+2
4𝑥+1

= 𝑓(𝑥), ∀𝑥 𝜖 (0; +∞) (chú ý ở đây vì 𝑥 𝜖 (0; +∞) nên 4x+1 >

0 nên mới thực hiên được phép chia 4x+1 xuống mẫu)
 m ≤ min 𝑓(𝑥)
(0;+∞)

Ta có f’(x) =

6(2𝑥 2 +𝑥−1)
(4𝑥+1)2

= 0  2x2 + x – 1 = 0  [

𝑥 = −1
1
𝑥=
2

 Bảng biến thiên:


x0

1

0

f’(x)
f(x)

-

0

1
2

Dựa vào BBT ta có: min 𝑓(𝑥) = f( ) =
(0;+∞)

Vậy m ≤

+∞

2

+

5
4

5
4

1

Bài 3: Cho hàm số y = (𝑚2 − 1)𝑥 3 + (𝑚 − 1)𝑥 2 − 2𝑥 + 1
3

Tìm m để hàm số nghịch biến trên (2;+∞)
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 15


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Giải
TXĐ: D = R
y’ = (𝑚2 − 1)𝑥 2 + 2(m-1)x – 2
Hàm số nghịch biến trên (2;+∞)  y’ ≤ 0, ∀𝑥 𝜖 (2;+∞)
 (𝑚2 − 1)𝑥 2 + 2(m-1)x – 2 ≤ 0, ∀𝑥 𝜖 (2;+∞)
+) Xét 𝑚2 − 1 = 0  m = ± 1
- Với m=1 => y’ = -2 < 0, ∀𝑥 => Hàm số nghịch biến trên R => m = 1 thỏa
mãn.
- Với m = -1 => y’= -4x – 2 ≤ 0  x ≥
[

−1
2

−1
2

=> Hàm số nghịch biến trên

; +∞) => m= -1 thỏa mãn

+) Xét m ≠ ± 1:
∆′ = (𝑚 − 1)2 + 2(𝑚2 − 1) = 3𝑚2 − 2𝑚 − 1
2
−1 < 𝑚 < 1
 TH1: {𝑚 − 1 < 0  { 2
3𝑚 − 2𝑚 − 1 ≤ 0
∆′ ≤ 0

−1 < 𝑚 < 1
−1
 { −1 ≤ 𝑚 ≤ 1  ≤ 𝑚 < 1
3

3

−1 < 𝑚 <

2

𝑚 −1<0

 TH2: { ∆′ > 0
{
𝑥1 < 𝑥2 ≤ 2

−1 < 𝑚 <
{

1−𝑚
𝑚2 −1

𝑆
2

−1
3

<2

(𝑥1 − 2)(𝑥2 − 2) ≥ 0
−1
3

<2

𝑥1 𝑥2 − 2(𝑥1 + 𝑥2 ) + 4 ≥ 0

 { −2

−1 < 𝑚 <

𝑚2 −1

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

−

1−𝑚
𝑚2 −1

−1
3

+4≥0

Page 16


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông
 −1 < 𝑚 <

−1
3

(Chỗ này nên nhận xét: với −1 < 𝑚 <
và

2
𝑚2 −1

2015

< 0 nên

1−𝑚
𝑚2 −1

< 2 và

−2
𝑚2 −1

−

−1

thì ta có

3
1−𝑚

𝑚2 −1

1−𝑚
𝑚2 −1

<0

+ 4 ≥ 0 luôn thỏa mãn,

nếu không nhận xét được ta sẽ phải đi giải từng bất phương trình, rồi hợp

nghiệm sẽ rất dài và dễ sai).
Vậy kết hợp lại ta có điều kiện là: −1 ≤ 𝑚 ≤ 1

Bài 4: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Giải
TXĐ: D = R
y’ = 3x2 + 6x + m , ∆′ = 9 − 3𝑚
 TH1: ∆′ ≤ 0  m ≥ 3 => y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 𝑅 => hàm số đồng biến trên R
 m ≥ 3 không thỏa mãn.
 TH2: ∆′ > 0  m < 3 => y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2),
y’ ≤ 0  x 𝜖 [x1;x2] => hàm số nghịch biến trên [x1;x2]
Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 thì ta phải có:
x2 – x1 = 1  (𝑥2 − 𝑥1 )2 = 1  (𝑥1 + 𝑥2 )2 - 4𝑥1 𝑥2 =1
TheoVi-ét ta có: 𝑥1 + 𝑥2 = -2, 𝑥1 𝑥2 =
Do đó (𝑥1 + 𝑥2 )2 - 4𝑥1 𝑥2 =1  4 Vậy m =

9
4

𝑚
3

4𝑚
3

=1m=

9
4

(thỏa mãn < 3)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 17


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Bài 5: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 – 3m + 1
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).
Giải
TXĐ: D = R
y’ = 4x3 -4mx = 4x(x2 – m)
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)  y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (1;2)
 4x(x2 – m) ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (1;2)
 TH1: m ≤ 0 thì x2 – m ≥ 0 ∀𝑥, do đó y’ ≥ 0  x ≥ 0, hàm số đồng biến trên
[0;+∞), nghĩa là cũng đồng biến trên (1;2) => m ≤ 0 thỏa mãn.
 TH2: m > 0, khi đó y’ ≥ 0  x(x - √𝑚)(x + √𝑚) ≥ 0
 x 𝜖 (−√𝑚; 0)𝑈 (√𝑚; +∞)
Đê hàm số đồng biến trên (1;2) thì √𝑚 ≤ 1  0 < m ≤ 1
Kết hợp 2 trường hợp ta có: m ≤ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 6: Cho hàm số y =

𝑚𝑥+4

𝑥+𝑚

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1)
Giải
TXĐ: D = R \ {-m}
y’ =

𝑚2 −4
(𝑥+𝑚)2

Hàm số nghịch biến trên (-∞;-m) U (-m;+∞)  y’ < 0
(chú ý hàm phân thức bậc nhất không có dấu “=”)

 m2 – 4 < 0  -2 < m <2 (1)
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 18


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Để hàm số nghịch biến trên (-∞;1) thì ta phải có 1 ≤ -m  m ≤ -1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m ≤ -1

Bài 7: Cho hàm số y = -2x3 + 3mx2 – 1
Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 – x1 = 1
Giải
TXĐ: D = R

y’ = -6x2 + 6mx = 6x(m – x)
+) m = 0: y’ = -6x2 ≤ 0 ∀𝑥 𝜖 𝑅 => hàm số nghịch biến trên R => m = 0 không
thỏa mãn.
+) m ≠ 0:
 TH1: m > 0, khi đó y’ ≥ 0  x 𝜖 (0;m)
Để hàm số đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 – x1 = 1 thì m – 0 = 1
m=1
 TH2: m < 0, khi đó y’ ≥ 0  x 𝜖 (m;0)
Để hàm số đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 – x1 = 1 thì 0 - m = 1
 m = -1
Vậy m = ± 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

1

Bài 8: Cho hàm số y = (𝑚 + 1)𝑥 3 − (2𝑚 − 1)𝑥 2 + 3(2𝑚 − 1)𝑥 + 1
3

Tìm m để hàm số đồng biến trên (-∞;-1)
Giải
TXĐ: D = R \ {

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 19


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

y’ = (m+1)x2 – 2(2m-1)x + 3(2m-1)
Hàm số đồng biến trên (-∞;-1)  y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 (-∞;-1)
 (m+1)x2 – 2(2m-1)x + 3(2m-1) ≥ 0 , ∀x 𝜖 (-∞;-1)
 x2 + 2x – 3 + m(x2-4x+6) ≥ 0, ∀x 𝜖 (-∞;-1)
m≥

−𝑥 2 −2𝑥+3
𝑥 2 −4𝑥+6

, ∀x 𝜖 (-∞;-1) , (vì x2 – 4x + 6 > 0 ∀𝑥)

 m ≥ max 𝑓(𝑥) , với f(x) =
(−∞;−1)

Ta có f’(x) =

6𝑥 2 −18𝑥

−𝑥 2 −2𝑥+3
𝑥 2 −4𝑥+6
𝑥=0

(𝑥 2 −4𝑥+6)2

= 0  6x2 – 18x = 0  [𝑥=3 (đều không thuộc (-∞;-1))

Từ bảng biến thiên ta có max 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) =
(−∞;−1)

Vậy m ≥

4
11

𝑥→−1

4
11

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 20


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

1. Khái niệm về cực trị của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x0 𝜖 𝐷
 x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa
điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ 𝐷 và f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (a;b) \ {x0}. Khi đó
f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
 x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa
điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ 𝐷 và f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (a;b) \ {x0}. Khi đó
f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
 Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số.
 Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số thì ta nói “hàm số đạt cực trị tại điểm

x0”.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu hàm số có
đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0.
Chú ý:
- Đạo hàm f’(x0) có thể bằng 0 nhưng chưa chắc hàm số đã đạt cực trị tại x0.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và có đạo hàm trên
khoảng (a;b)\{x0}. Khi đó:
 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm
x0. Bảng biến thiên như sau:
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 21


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông
x

a

x0

f’(x)

-

2015

b
+

f(x)

 Hàm số đạt cực đại tại x0 nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
x0. Bảng biến thiên như sau:
x

a

f’(x)

x0
+

b
-

f(x)

Định lý 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm
x0, f’(x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. Khi đó:
 Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
 Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
4. Quy tắc tìm cực trị:
 Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2.
- Tìm f’(x).

- Tìm các điểm xi (i = 1,2,3 …) tại đó đạo hàm bằng 0, hoặc tại đó hàm số liên
tục nhưng không có đạo hàm.
- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi đi qua x0 thì hàm số đạt cực trị tại x0.

-

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3.
Tính f’(x).
Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,3, …) của phương trình f’(x) = 0.
Với mỗi xi tính f’’(xi):
+ Nếu f’’(xi)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
+ Nếu f’’(xi)<0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 22


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông
1

5

3

3

2015

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x3 - x2 - 3x + = f(x)

Giải:
Hàm số xác định trên R

𝑥=−1
y’ = x2 – 2x – 3 = 0  [
𝑥=3
Cách 1: Dùng bảng biến thiên (định lý 2)
x

-∞

f’(x)

-1
+

3

0

-

+∞

0

+

10

+∞

3

f(x)
−22

−∞

3

Từ BBT ta thấy:
- Hàm số đạt cực đại tại x = -1, f(-1) =
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, f(-1) =

10
3
−22
3

Cách 2: Dùng định lý 3
y’’ = 2x – 2
f’’(-1) = -4 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = -1, f(-1) =
f’’(3) = 4 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, f(-1) =

10
3

−22
3

5. Cực trị của hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
TXĐ: D = R
y’ = 3ax2 + 2bx + c
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 23


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

Ta có 3 trường hợp:
 TH1: Phương trình y’ = 0 vô nghiệm (∆< 0) => hàm số không có cực trị
 TH2: Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm kép x0 (∆= 0). Khi đó có thể viết
y’ = 3a(𝑥 − 𝑥0 )2 , tức là y’ luôn âm hoặc luôn dương => hàm số không có
cực trị.
 TH3: Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (∆> 0). Khi đó hàm
số có x1, x2 là 2 điểm cực trị (1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu).
Chú ý:
- Hàm số bậc 3 nếu có cực trị thì phải có 2 cực trị, hoặc là sẽ không có cực
trị. Rất nhiều em hay bị sai trong bài toán tìm điều kiện để hàm bậc 3 có cực
trị. Điều kiện phải là phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt tức ∆> 0
(ko có dấu “=”), chứ không phải là phương trình y’ = 0 có nghiệm, tức là
∆≥ 0.
- Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  yCĐ.yCT < 0 
Phương trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
- Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  Phương trình y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt trái dấu: x1.x2 < 0.

 Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực
tiểu của hàm bậc 3:
- Xét phương trình y’ = 0.
- Trường hợp phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x1, x2 chẵn (không có căn), ta
tìm được x1, x2, sau đó thay vào tìm y1, y2. Khi đó 2 điểm cực trị của hàm số
là A(x1;y1) và B(x2;y2). Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng
AB, các em có thể làm như hình giải tích Oxy đã học ở lớp 10.
- Trường hợp phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x1, x2 không chẵn (có căn),
việc thay x1, x2 vào để tìm y1, y2 là rất khó khăn. Ta làm như sau:
 Thực hiện phép chia đa thức y cho y’, giả sử được thương là p(x) và
phần dư là q(x) (p(x), q(x) sẽ là biểu thức bậc nhất vì đó là thương và
phần dư của phép chia biểu thức bậc 3 cho biểu thức bậc 2).
Khi đó ta viết được: y = y’(x).p(x) + q(x)

Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 24


Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông

2015

 Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó ta
𝑦1 = 𝑦 ′ (𝑥1 ). 𝑝(𝑥1 ) + 𝑞(𝑥1 )
có: {
𝑦2 = 𝑦 ′ (𝑥2 ). 𝑝(𝑥2 ) + 𝑞(𝑥2 )
𝑦 = 𝑞(𝑥1 )
Do 𝑦 ′ (𝑥1 ) = 𝑦 ′ (𝑥2 ) = 0 nên ta có: { 1
𝑦2 = 𝑞(𝑥2 )

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = q(x).

6. Cực trị của hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a≠0)
TXĐ: D = R
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2+b)

𝑥=0
y’ = 0  [ 2 −𝑏
𝑥 =
2𝑎

Dễ thấy hàm số luôn có 1 điểm cực trị là x = 0, y(0)=c. Điểm cực trị này có tọa độ
(0;c) thuộc trục Oy.
Ta có các trường hợp sau:
 TH1: Hàm số có 1 cực trị  Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm  phương
trình 𝑥 2 =

−𝑏
2𝑎

vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 

−𝑏
2𝑎

≤ 0.

 TH2: Hàm số có 3 cực trị  Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
phương trình 𝑥 2 =

−𝑏
2𝑎

có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

−𝑏
2𝑎

> 0.

Chú ý:Hàm số bậc 4 trùng phương chỉ có 1 hoặc 3 cực trị, không xảy ra trường
hợp có 2 cực trị. Trong trường hợp hàm số có 3 cực trị: A(0;c), B(x1;y1), C(x2;y2)
thì tam giác ABC cân tại A (Do đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối
xứng, mà A nằm trên Oy, x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 𝑥 2 =

−𝑏
2𝑎

=>x1 = -x2,

y1 = y2).

Bài tập luyện tập:
Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan

Page 25