Bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy hình học chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (hình học 10)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HÀ DUY HÒA

BỒI DƢỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HÌNH HỌC CHƢƠNG
“PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”
(HÌNH HỌC 10)

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên, 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HÀ DUY HÒA

BỒI DƢỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HÌNH HỌC CHƢƠNG
“PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”
(HÌNH HỌC 10)
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Cao Thị Hà

Thái Nguyên, 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi; các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Hà Duy Hòa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

i




LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được hoàn
thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Cao Thị Hà.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy cô
giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán.
Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc
của tác giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường
THPT Tháng 10, huyện Yên Sơn, tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện trong quá trình
tác giả thực hiện đề tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm
nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013
Tác giả

Hà Duy Hòa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ii




MỤC LỤC
Lời cam đoan .............................................................................................................. i
Lời cảm ơn .................................................................................................................ii
Mục lục .................................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................... 1
3. Giả thuyết khoa học ............................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 3
6. Cấu trúc luận văn ................................................................................................... 3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................... 4
1.1. Tư duy................................................................................................................. 4
1.2. Tư duy sáng tạo ................................................................................................... 4
1.3. Một số yếu tố chính của tư duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng ở trường
phổ thông ................................................................................................................... 5

1.3.1. Tính mềm dẻo .................................................................................................. 5
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn ........................................................................................... 7
1.3.3. Tính độc đáo .................................................................................................... 8
1.3.4. Tính hoàn thiện ................................................................................................ 8
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề ...................................................................................... 8
1.4. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh ....... 9

1.5. Thực trạng việc dạy và học Hình học lớp 10 ở trường THPT............................. 10
1.6. Kết luận chương 1 ............................................................................................. 11
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM BỒI DƢỠNG CÁC YẾU
TỐ CHÍNH CỦA TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC PHẲNG Ở TRƢỜNG THPT ............................................................ 12
2.1. Các yêu cầu có tính định hướng xây dựng biện pháp sư phạm ........................... 12
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo
trong DH giải bài tập Hình học phẳng ở trường THPT ............................................. 13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

iii




2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh biết khai thác kiến thức hình học tổng hợp
trong giải quyết các bài toán..................................................................................... 13
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng để giải một số bài toán đại số ......................................................... 22
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng quy lạ về quen khi giải các bài tập 32
2.2.4. Biện pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập “Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng” nhằm rèn luyện một số yếu tố của tư duy sáng tạo ....................................... 41
2.4.1. Véc tơ............................................................................................................. 41

2.4.2. Phương trình đường thẳng .............................................................................. 51
2.4.3. Đường tròn ..................................................................................................... 58
2.4.4. Ba đường conic .............................................................................................. 65
2.3. Kết luận chương 2 ............................................................................................. 68
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 69
3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 69
3.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................... 69
3.3. Tổ chức thực nghiệm ......................................................................................... 85
3.3.1. Chọn lớp thực nghiệm .................................................................................... 85
3.3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm....................................................................... 86
3.4.1. Đánh giá định tính .......................................................................................... 86
3.4.2. Đánh giá về mặt định lượng............................................................................ 87
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 91

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

iv




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, ở nước ta cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là
quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm vụ và mục
tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi
mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống
công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
ở các trường phổ thông của những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.

"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển
toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý
tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm
chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật
giáo dục 1998, Chương I, điều 2); theo điều 28 "Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh".
Theo Quyết định số 1483/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ về:
“Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 đến 2020”,
đã nêu rõ: “Phát triển nền Toán học Việt Nam mạnh mẽ về mọi mặt: Nghiên cứu,
ứng dụng và giảng dạy, cả về số lượng lẫn chất lượng, tương xứng với tiềm năng trí
tuệ của người Việt Nam, đáp ứng nhu cầu phát triển của đất nước trên các lĩnh vực
khác nhau như: Khoa học, công nghệ, giáo dục và đào tạo, kinh tế và củng cố quốc
phòng; phấn đấu đến năm 2020 Toán học nước ta có thể xếp vào hàng các nước tiên
tiến trên thế giới”.
Điều đó càng khẳng định Đảng và Nhà nước rất quan tâm đến việc phát hiện và
bồi dưỡng năng lực học toán của học sinh, trong đó biểu hiện cơ bản là suy nghĩ và
vận dụng sáng tạo trong khi học toán. Vậy làm thế nào để bồi dưỡng, phát triển năng
lực sáng tạo cho học sinh khá giỏi, đáp ứng được mục tiêu của giáo dục phổ thông.
Câu hỏi đó luôn mang tính cấp thiết và không hề đơn giản. Việc học tập tự giác tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1




cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và

tạo được động lực trong việc thúc đẩy bản thân họ tư duy để đạt được mục đích đó.
Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, môn Toán
đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các
ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có có ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội
hiện đại; Toán học còn là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.
Vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán
được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như: V.A.Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc
năng lực toán học của học sinh; các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm
Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,... đã có
nhiều công trình giải quyết những vấn đề lý luận và thực tiễn trong việc phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
qua dạy học Hình học phẳng ở trường Trung học phổ thông thì các tác giả chưa khai
thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể. Với các lý do trên, để góp phần bồi dưỡng tư
duy sáng tạo cho Học sinh lớp 10 trường Trung học phổ thông, tôi lựa chọn đề tài:
“Bồi dƣỡng một số yếu tố của tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy Hình học
chƣơng “Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng” (Hình học 10)”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu
tố của tư duy sáng tạo trong dạy học giải bài tập Hình học ở lớp 10 trường Trung
học phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp và vận dụng chúng một
cách hợp lí trong dạy học Hình học lớp 10 thì có thể góp phần bồi dưỡng được một số
yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trường Trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm rõ hơn khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu tố chính của
tư duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng lớp 10.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2




- Xây dựng và khai thác hệ thống lý thuyết, bài tập Hình học lớp 10 phù hợp
với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,
tính hiệu quả của đề tài.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học
môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán; các công trình nghiên cứu có liên
quan trực tiếp đến đề tài.
- Phương pháp điều tra: Tiến hành tìm hiểu, điều tra năng lực nhận thức và kĩ
năng giải bài tập Hình học lớp 10 ở trường THPT Tháng 10, tỉnh Tuyên Quang.
- Phương pháp Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án
tại trường THPT Tháng 10, tỉnh Tuyên Quang nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
6. Cấu trúc luận văn
Phần mở đầu
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các yếu tố chính của tư duy
sáng tạo cho trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở trường THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

3

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
Khái niệm tư duy được nhiều ngành khoa học khác nhau tiếp cận theo nhiều
quan điểm như sinh học, triết học, tâm lí học. Theo quan điểm tâm lý học: “Tư duy
là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước
đó ta chưa biết” [1].
Những đặc điểm cơ bản của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích
cực thế giới khách quan.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được
phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm
phản ánh đối tượng.
1.2. Tƣ duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết
vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm
hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như
vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo
thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái
mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người.
Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao ... Tư duy sáng tạo là
tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó
bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của
tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”[15].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

4




Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đối
với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết” [17]. Như
vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu
người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi
chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Như vậy, tư duy sáng tạo là tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải
quyết vấn đề cao.
1.3. Một số yếu tố chính của tƣ duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng ở
trƣờng phổ thông
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … tư duy sáng tạo có 5
yếu tố chính như sau ([17]):
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của
hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, suy
nghĩ không rập khuôn, máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới.
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này

sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác , dễ
dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy
nghĩ khi gặp trở ngại.
Như vậy, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, một điều kiện không thể
thiếu là rèn luyện tính mềm dẻo trong tư duy của các em. Để làm được điều đó, người
giáo viên phải đưa các bài tập sao cho khi áp dụng theo cách giải thông thường học
sinh không thể tìm được lời giải hoặc có tìm được thì lời giải dài, phải áp dụng nhiều
nội dung kiến thức.
1
3

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có tâm I (2;1), AC 2BD . Điểm M (0; ) thuộc
đường thẳng AB , điểm N (0;7) thuộc đường thẳng CD . Tìm tọa độ điểm B, biết B có
tung độ dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

5




Giải:
Khi giải bài toán trên, để tìm được tọa độ điểm B , học sinh thường coi B như là
giao điểm của các cạnh BC, BD hoặc BC, BA hoặc BD, BA . Tuy nhiên trong bài này để
tìm được phương trình các đường thẳng BC, BA, BD theo cách thông thường (biết một
điểm và véc tơ chỉ phương, hoặc véc tơ pháp tuyến) là không thể mà nó được tìm thông
qua khai thác một cách mềm dẻo các tính chất của hình thoi. Do vậy ta có lời giải bài
toán trên như sau:
Phương trình đường thẳng AB qua M có dạng: ax b y

1
3

0 (a 2 b 2

0) .

Khi đó, phương trình đường thẳng CD song song với AB qua N có dạng:
ax b( y 7) 0 .

Do AB và CD đối xứng qua I nên ta có:
2a

2
b
3

2a 6b
2a

a 2 b2
a 2 b2
2
(2a
b)(2a 6b) 0
3

2
3b

(2a 6b)

4a

16
b
3

Chọn a 4;b=3 ta được PT AB : 4x 3 y 1 0 .
Do ABCD là hình thoi nên AC
tan 
ABI

AI
BI

AC
BD

BD , do đó

1
5

cos 
ABI

2

cos(AB,BD)

Đường thẳng BD : m( x 2) n( y 1) 0, n 2 m 2

1
5

0.

Ta có:
cos( AB, BD)

3m 4n
5 m

2

n

2

1
5

5(m2 n 2 ) 9m 2 24mn 16n 2

m
4m2 24mn 11n 2

0
m

Chọn m 1, n

1
n
2
11
n
2

2 hoặc m 11, n

2 ta được phương trình đường thẳng

BD : x 2 y 0 hoặc BD :11x 2 y 20 0

Do B là giao điểm của AB và BD và B có tung độ dương nên B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

6

2 1
;
.
11 11




1.3.2. Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả
thuyết mới. Tính nhuần nhuyễn thể hiện rõ nét là tính đa dạng của các cách xử lý
khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn
nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được
phương án tối ưu.
7
4

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A( ;3), B(1; 2), C ( 4;3) . Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A.
Chúng ta có thể hướng dẫn học sinh làm theo một số cách như:
Cách 1: Sử dụng công thức tính khoảng cách để giải, theo cách này lời giải
gồm các bước sau:
Bước 1: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC
Bước 2: Gọi điểm M(x;y) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng AB, AC khi đó, ta có d (M , AB) d (M , AC) . Từ đó ta suy ra phương trình 2
đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc tạo bởi AB, AC.
Bước 3: Thử điều kiện hai điểm B, C nằm về hai nửa mặt phẳng bờ là đường
phân giác trong của góc A để suy ra đường phân giác đó.
Cách 2: Sử dụng tính chất đường phân giác để tìm tọa độ chân đường phân giác
+ Xác định tọa độ điểm D:
Ta có

DB
DC

AB
AC


DB

A

AB 
DC từ đó suy ra
AC

tọa độ điểm D

B

D

C

+ Viết phương trình đường thẳng AD
Cách 3:
+ Xác định tọa độ điểm D:

A

Tham số hóa phương trình đường BC. Tọa độ
điểm D phụ thuộc 1 tham số t.
B

Điểm D thỏa mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

7

D

C




 
 
cos( AB, AD) cos( AC, AD) từ đây suy ra t từ đó

có tạ độ D
+ Viết phương trình đường thẳng AD
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được biểu hiện bởi khả năng nhìn ra những mối liên
hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau; khả
năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
7
4

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A( ;3), B(1; 2), C ( 4;3) . Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A.
Trong phần trên ta đã phân tích và tìm được 3 cách giải của bài toán này, tuy
nhiên ta nhận thấy

ABC đã biết tọa độ của 3 đỉnh nên tam giác đó hoàn toàn xác

định. Do vậy ta hoàn toàn có thể dựng được một tam giác
cạnh AB, AC của

AMN cân nằm trên hai

A sẽ đi qua trung
ABC . Khi đó đường phân giác trong của góc 

điểm của cạnh MN . Do vậy ta có thể giải bài toán trên như sau:


+ Xác định tọa độ điểm M, N sao cho: AM


và AN

1 
AC , ta có AM
AC

1 
AB
AB

A
N

M
I

AN 1 nên tam giác
B

AMN cân

D

C

Gọi I là trung điểm của MN thế thì AI là phân giác
của góc ABC.
+ Viết phương trình đường thẳng AI
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có
nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

8




Các yếu tố chính trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật
thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được

nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc
sắc (tính độc đáo). Tất cả các yếu tố chính nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng
tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
1.4. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo
cho học sinh
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là một trong những
yếu tố quan trọng, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến
thức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo
và khả năng sáng tạo.
Khi dạy chủ đề hình học phẳng cho học sinh, bên cạnh việc giúp học sinh giải
quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng to lớn trong
việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh, đó là thông qua việc xây
dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cho học sinh phát hiện
vấn đề mới qua đó giúp phát triển năng lực sáng tạo của mình. Các dạng bài tập nhằm
bồi dưỡng tính mềm dẻo bao gồm: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn, máy móc; khả năng nhận ra vấn đề mới
trong điều kiện quen thuộc. Các dạng bài tập nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn bao
gồm: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau;
khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau. Các dạng bài tập nhằm
bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề bao gồm: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm
ra kết quả mới, tạo được bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu
thuẫn, thiếu logic.
Việc phát triển tư duy hình học luôn gắn liền với việc phát triển của phương
pháp suy luận; việc phát triển tư duy ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển tư duy đại
số. Như vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho
học sinh là rất lớn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

9

1.5. Thực trạng việc dạy và học Hình học lớp 10 ở trƣờng THPT
- Về nội dung:
Chương I. Véc tơ.
Chương II. Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Về kiến thức:
Trong chương trình Hình học lớp 10 THPT đề cập đến các kiến thức mở đầu
về tọa độ trong mặt phẳng, tiếp đó sử dụng công cụ vectơ như là phương pháp Toán
học mới. Phương pháp vectơ, ngoài dùng để giải các bài toán hình học còn được áp
dụng để giải một số bài toán đại số về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải một số
phương trình, bất phương trình chứa căn thức, chứng minh các bất đẳng thức. Đây là
phương pháp mới được ứng dụng để giải nhiều nhiều loại bài toán nên học sinh gặp
rất nhiều khó khăn khi tiếp thu kiến thức.
- Về tình hình dạy và học:
Qua tham khảo sổ điểm, các bài kiểm tra khảo sát chất lượng của học sinh;
qua trao đổi trực tiếp với các giáo viên bộ môn và học sinh chúng tôi thu được kết
quả như sau:
+ Đối với giáo viên:
Đã áp dụng các phương pháp dạy học khác nhau khi giảng dạy nhưng chưa
nhiều. Đại bộ phận giáo viên dạy theo phương pháp truyền thống, chưa quan tâm hết
đến các đối tượng học sinh, ít trú trọng đến việc phát huy tính tự giác tích cực của học
sinh; việc đầu tư chuyên môn chưa cao, chưa chịu khó học hỏi và trau dồi chuyên
môn, nghiệp vụ. Trong dạy học, giáo viên chưa quan tâm tới việc giúp học sinh tự
mình phát hiện, khám phá, tự mình vận dụng kiến thức tìm tòi mở rộng các vấn đề,
chưa đặt vấn đề tự học vào đúng vị trí của nó, điều này ảnh hưởng nghiêm trọng đến
chất lượng học tập của học sinh.

Thời gian lên lớp hạn chế (45 phút/tiết), khối lượng kiến thức và yêu cầu truyền
đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối chương trình nên chưa phát
huy được tính độc lập của học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập
khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

10




+ Đối với học sinh:
Chất lượng học tập Hình học 10 của học sinh còn thấp; đa số học sinh cho rằng
Hình học 10 là môn học trừu tượng, khó hiểu nhưng vì bắt buộc phải học nên chưa có
hứng thú trong học tập; khả năng tự học còn kém, thường thì chỉ học những nội dung
mà giáo viên giảng dạy trên lớp chứ chưa chịu khó tìm tòi khám phá thêm kiến thức;
đối với các hình thức dạy học tích cực khi được thực hiện học sinh chưa thật sự tham
gia vào hoạt động; kỹ năng vận dụng vào thực tiễn yếu.
1.6. Kết luận chƣơng 1
Trong chương này luận văn đã làm rõ hơn các khái niệm tư duy, tư duy sáng
tạo; nêu được các yếu tố chính của tư duy sáng tạo, đồng thời nêu được tiềm năng của
chủ đề Hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh; chỉ ra được thực
trạng của việc dạy và học Hình học 10 ở trường phổ thông. Qua đó, việc bồi dưỡng tư
duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần
thiết, giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh
trong học tập và trong cuộc sống.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

11

Chƣơng 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM BỒI DƯỠNG CÁC YẾU TỐ
CHÍNH CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC PHẲNG Ở TRƯỜNG THPT
2.1. Các yêu cầu có tính định hƣớng xây dựng biện pháp sƣ phạm
Hoạt động tư duy đóng vai trò chủ yếu trong hoạt động học tập sáng tạo của học
sinh, đó là hoạt động nổi bật bởi tính phân kỳ của tư duy để giải quyết các vấn đề mở nên
năng lực tư duy, trí tưởng tượng, các hoạt động trí tuệ toán học của học sinh được phát
triển tự do đa chiều. Tuy nhiên trong môi trường sư phạm, người giáo viên với chức
năng và vai trò của mình cần phải tổ chức, thiết kế và định hướng hoạt động rèn luyện tư
duy và tư duy sáng tạo cho học sinh sao cho góp phần mang lại hiệu quả cao nhất. Do đó
các biện pháp sư phạm cần được xây dựng theo những yêu cầu sau đây:
- Thể hiện rõ tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập và nghiên cứu toán học
của học sinh, tạo lập môi trường học tập hợp tác và sáng tạo giúp họ phát triển được
năng lực tư duy sáng tạo của mình.
- Dựa trên khung chương trình đã quy định, bám sát nội dung sách giáo khoa.
- Biện pháp sư phạm phải xuất phát từ cơ sở khoa học và thực tiễn của quá
trình hình thành và phát triển tư duy sáng tạo kiến thức thông qua dạy học bài tập
hình học không gian.
- Cần phải căn cứ vào mức độ tư duy, căn cứ vào đặc điểm nhận thức, quá trình
phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo toán học của học sinh để xây dựng các biện
pháp sư phạm phù hợp góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học bài tập hình học không gian.
- Mang tính khả thi, tính thực tiễn và tránh khuynh hướng lý thuyết hóa, có thể
vận dụng thực hiện hiệu quả trong mỗi điều kiện thực tế của quá trình dạy học.

- Có phổ ứng dụng rộng trong dạy học nói chung, có thể áp dụng ở mức độ nào
đó đối với dạy học một số môn học khác chứ không chỉ đơn thuần chỉ với bài tập
hình học không gian.
- Quán triệt các nguyên lý giáo dục trong môn Toán, phải hướng hoạt động dạy
học bài tập hình học không gian vào phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

12




- Các biện pháp sư phạm nằm trong một chỉnh thể logic, đồng bộ, không mâu
thuẫn, tác động và hỗ trợ nhau để thực hiện mục tiêu xuyên suốt là rèn luyện tư duy
logic, tư duy biện chứng và tư duy sáng tạo cho học sinh.
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm bồi dƣỡng các yếu tố cơ bản của tƣ duy
sáng tạo trong DH giải bài tập Hình học phẳng ở trƣờng THPT
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh biết khai thác kiến thức hình học tổng
hợp trong giải quyết các bài toán
a) Mục tiêu của biện pháp: Nhằm rèn luyện cho học sinh tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo.
b) Cơ sở lý luận: Việc rèn luyện cho học sinh thói quen khai thác các kiến
thức hình học tổng hợp để giải các bài toán là một yếu tố quan trọng vì có nhiều bài
toán học sinh dễ dàng làm được bằng phương pháp tọa độ thuần túy mà không cần vẽ
hình cũng như sử dụng các kết quả được suy luận ra dựa trên hình vẽ và các tính chất
hình học. Tuy nhiên cũng có không ít bài toán có lời giải phức tạp thậm chí không
giải được nhưng khi học sinh biết phân tích đề bài, mềm dẻo, linh hoạt trong việc kết
hợp các giả thiết của bài toán với các kiến thức đã biết để tìm ra một số giả thiết mới
có lợi cho bài toán thì việc giải bài toán đó sẽ đơn giản hơn nhiều. Do vậy, việc rèn
luyện cho học sinh khả năng khai thác các kiến thức hình học tổng hợp trong việc giải

quyết các bài toán hình học phẳng là một trong các biện pháp quan trọng trong rèn
luyện một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh.
c) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Viết đường phân giác của 2 đường thẳng cắt nhau d1 và d2.
Phân tích: Đây là dạng bài toán tìm đường phân giác của 2 đường thẳng cắt
nhau, do đó học sinh cần nhớ lại khái niệm về đường phân giác, tính chất của đường
phân giác và công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải.
Như vậy, học sinh có thể giải theo 2 cách như sau:
Cách 1:
- Tìm tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng

B2
I

d1 và d2.
- Lấy điểm A d1 ; A I . Trên d2 tìm được 2
điểm B1 và B2 sao cho IA IB1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

d1
B1

I2
A

IB2

13

I1

d2




- Tìm được tọa độ 2 điểm I1, I2 lần lượt là trung điểm của AB1 và AB2.
Từ đó ta có 2 đường phân giác là II1 và II2.
Cách 2: Gọi I ( x; y) . Điểm I thuộc đường phân giác của góc giữa 2 đường
thẳng d1 và d2 khi và chỉ khi: d ( I , d1 ) d ( I , d 2 ) .
Từ đó suy ra 2 phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng
d1 và d2.
Qua ví dụ 1, chúng ta nhận thấy dạng bài tập tìm đường phân giác của 2 đường
thẳng giúp cho học sinh rèn luyện tính mềm dẻo trong tư duy sáng tạo.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, biết A( 2; 2

2), B( 2

6
; 2), C ( 2
3

6
; 2) .
3

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phân tích: Với ví dụ trên, học sinh có thể làm theo các cách như:
- Cách 1: Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn.
+ Hướng 1: Tân I là giao điểm của 2 đường trung trực

+ Hướng 2: Tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
- Cách 2: Gọi phương trình đường tròn có dạng:
x2

y2

2ax 2by c

0. ĐK: a2 b2 c 0

Tuy nhiên vì tọa độ các điểm A, B, C lẻ nên việc tính toán khá công kềnh. Nếu
chú ý đến đặc điểm tam giác thì chúng ta có lời giải ngắn gọn hơn. Thật vậy:
Ta có: AB

24
; BC
3

24
; AC
3

24
. Từ đó suy ra tam giác ABC đều, do đó
3

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trọng tâm G của tam giác.
Do đó, đường tròn cần tìm có tâm và bán kính là: G( 2; 2
Vậy, đường tròn cần tìm là: ( x

2) 2 ( y 2

2 2
)
3

2
); r
3

GA

8
.
3

8
9

Qua ví dụ 2, học sinh có thể rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo.
Ví dụ 3:

d:x+ y= 0

, biết A(1;1); B( 2; 4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

14

Giải:
Đối với bài toán trên, nếu học sinh lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng và
sử dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm để biện luận thì gặp rất nhiều khó
khăn. Nhưng nếu học sinh vẽ hình, mềm dẻo, sử dụng linh hoạt về tính chất tổng các
cạnh của một tam giác thì bài toán trên có thể giải dễ dàng. Thật vậy, học sinh có thể
giải theo 2 cách sau:
Cách 1: Sử dụng điều kiện cùng phương:
A

M (x o ; - x o ) Î d : x + y = 0

(MA + MB)min Û M º Mo Û M, A, B
M0

 
MA, MB cùng phương

d

M

uuur
uuur
1 - x0
1 + x0
1 1
Û MA = k.MB Û
=

Û x0 = ( ;- )
- 2 - x0
- 4 + x0
4 4

B

Cách 2: Sử dụng đẳng thức tam giác:
Ta thấy,

M : MA MB

AB . (MA + MB)min khi M là giao điểm của đường

thẳng d và đường thẳng AB.


Đường thẳng AB đi qua A và có VTCP u ( 3; 5)


n(5; 3)

Phương trình đường thẳng AB là: 5x-3y-2=0
Giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng AB là nghiệm của hệ
x

y

5x 3 y

x

0
2

y

1
4
1
4

Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư
duy sáng tạo.
Ví dụ 4: Cho điểm A( 1;3) và đường thẳng
ABCD sao cho 2 đỉnh B, C nằm trên

: x 2 y 2 0 . Dựng hình vuông

và tọa độ của đỉnh C dương. Tìm tọa độ các

đỉnh B, C, D.
Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm tọa độ của một điểm trong mặt phẳng, do đó
chúng ta cần gợi cho học sinh nhớ lại những cách xác định tọa độ của một điểm.
Cách 1: Điểm là giao điểm của 2 đường thẳng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

15

Cách 2: Gọi điểm cần tìm có tọa độ ( x; y) , dựa vào các dữ kiện đã cho của bài
toán tìm x, y.
Đối với bài toán trên học sinh hoàn toàn có thể tìm được tọa độ điểm B là giao
điểm của đường thẳng d đi qua A, vuông góc với

. Nhưng khi tìm tọa độ điểm C

học sinh sẽ không làm được như vậy vì học sinh chưa được học đến cách viết phương
trình đường thẳng khi biết hệ số góc mà cần phải gọi điểm C ( x; y) sau đó dựa vào
điều kiện C nằm trên

và AB BC để tìm tọa độ điểm C.

Từ đó học sinh có thể giải chi tiết như sau:
- Tìm toạ độ điểm B:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
Khi đó d : 2( x 1) ( y 3) 0

2x y 1 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
x 2y 2 0
2x y 1 0

x 0
y 1

B(0;1)

- Tìm tọa độ điểm C:
Gọi tọa độ điểm C ( xC ; yC )
Ta có:

C
AB

xc

2

yC

2

xc
yC

2

BC

xC

2 yC

2 0

xC2

( y C 1) 2

5

C (2; 2)

0

- Tìm tọa độ điểm D:
Gọi D( xD ; yD ) . Ta có:

AB


DC

2 xD

1

xD

1

2 yD

2

yD

4

Vậy, tọa độ các điểm cần tìm là: B(0;1); C(2;2); D(1;4) .
Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy khi tìm tọa độ của một điểm học sinh dễ
dàng chuyển từ cách tìm giao điểm của hai đường thẳng sang cách gọi tọa cần tìm là
( x; y) ; tìm ( x; y) , đó chính là rèn cho học sinh tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

16


Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M (1; 2), N (1;2), P(5;2)
Phân tích: Khi viết phương trình đường tròn, học sinh thường nghĩ đến các
cách sau:
- Cách 1: Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn.
+ Hướng 1: Tâm I là giao điểm của 2 đường trung trực
+ Hướng 2: Tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
- Cách 2: Gọi phương trình đường tròn có dạng:
x2

y2

2ax 2by c

0. ĐK: a2 b2 c 0

Từ điều kiện 3 điểm M, N, P nằm trên đường tròn chúng ta sẽ tìm được
phương trình của đường tròn.
Tuy nhiên, trong ví dụ trên trước khi giải học sinh chú ý đến xét đặc điểm của

tam giác MNP thì sẽ cho cách giải khác như sau:
Cách 3: Xét đặc điểm tam giác: Tam giác trên vuông tại N, từ đó suy ra đường
tròn cần tìm có tâm là trung điểm cạnh MP, bán kính R

MP
. Cụ thể, chúng ta có
2

các lời giải sau:
Cách 1: Gọi I (a; b) và R là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm.
Ta có: IM

IN

IP , hay:

(1 x) 2 ( 2 y ) 2
(1 x)

2

( 2 y)

2

(1 x) 2 (2 y) 2
(5 x)

2

(2 y)

Vậy, đường tròn cần tìm là: ( x 3)2

x 3

2

y
y2

0

8

Cách 2: Gọi d1 , d 2 lần lượt là đường trung trực của đoạn thẳng NM, NP.
Ta có: đường thẳng d1 đi qua I1 (1;0) là trung điểm của NM và vuông góc với
NM là: y 0 ; đường thẳng d 2 đi qua I 2 (3; 2) là trung điểm của NP và vuông góc với
NP là: x 3 0
Tọa độ tâm I của đường tròn cần tìm là nghiệm của hệ:
y 0
x 3 0

x 3
y 0

Vậy, đường tròn cần tìm là: ( x 3)2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

y2

17

8




Cách 3: Gọi đường tròn có dạng: x 2

y2

2ax 2by c

0. ĐK: a2 b2 c 0

Vì đường tròn đi qua 3 điểm N, M, P nên ta có hệ:
1 ( 2)2 2a 4b c

0

1 4 2a 4b 2 0
25 4 10a 4b c 0

a

3

b 0
c 1

Vậy, đường tròn cần tìm là: ( x 3)2

y2

8

Cách 4: Dựa vào đặc điểm MNP :




Ta có: NM (0;4), NP(4;0), MP 4 2
 

Từ đó suy ra: NM .NP 0


NM


NP

từ đó suy ra đường tròn cần tìm có tâm là trung điểm cạnh MP, bán kính
R

MP
, do đó đường tròn cần tìm là: ( x 3)2
2

y2

8

Cách 5: Theo cách 4, tam giác MNP vuông tại N, do đó chúng ta có thể hướng
dẫn học sinh làm theo cách sau:
 

Gọi A( x; y) thuộc đường tròn đường kính MP, khi đó ta có: AM . AP 0 . Từ đó
ta có: (1 x)(5 y ) ( 2 y )(2 y) 0

x2

y2 6x 1 0

Vậy, phương trình đường tròn cần tìm là: x 2

y2 6x 1 0

Ví dụ trên không chỉ giúp học sinh tìm được phương trình của đường tròn cần
tìm theo cách thông thường mà còn giúp học sinh biết nhận xét đặc điềm của tam giác
để tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, qua đó phát triển tính mềm dẻo trong tư duy sáng tạo
của học sinh.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC biết A(1;2) và 2 đường trung tuyến lần lượt là
x 2 y 1 0, y 1 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .

Phân tích: Với yêu cầu bài toán là xác định tọa độ một điểm trong mặt phẳng
thì cần gợi cho học sinh những cách tìm như sau:
- Tọa độ một điểm là giao điểm của 2 đường thẳng cắt nhau.
- Gọi tọa độ điểm cần tìm là M ( x; y) . Sử dụng các giả thiết của bài toán tìm

được x, y .
Dựa vào cách phân tích trên ta có thể định hướng cho học sinh giải như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

18




Cách 1: Tìm tọa độ điểm dựa vào 2 đường thẳng cắt nhau
Ta thấy điểm A không thuộc 2 đường trung tuyến đã cho, do đó 2 đường trung
tuyến phải xuất phát từ 2 đỉnh B và C.
Gọi d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : y 1 0 lần lượt là các đường trung tuyến hạ từ đỉnh B, C.
Việc tìm tọa độ đỉnh B, C rất khó vì chúng ta mới biết 1 đường thẳng đi qua,
việc tìm đường thẳng còn lại gặp nhiều khó khăn; nếu học sinh biết cách sử dụng tính
chất hình học của trọng tâm tam giác; lấy các điểm phụ linh hoạt, đưa về hình bình
hành thì việc giải bàn toán trên thuận lợi hơn rất nhiều, cụ thể có 2 hướng giải như sau:
- Sử dụng tính chất đối xứng của một đỉnh trong tam giác qua trọng tâm tam
giác đó:
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua G (G là trọng tâm tam giác), khi đó
A’CGB là hình bình hành.
+ A ' B // d 2 ; A ' C // d1 .
+ Khi đó, ta có: B

d1 và C

A' B

A 'C

d2

- Sử dụng tính chất về tọa độ của trọng tâm tam giác:
+ Chuyển phương trình d1 , d 2 về dạng tham số, từ đó suy ra tọa độ điểm B, C.
+ Từ

xA

xB

xC

3xG

yA

yB

yC

3 yG

tìm được tham số và tìm được tọa độ điểm B, C.

Cách 2: Gọi tọa độ điểm cần tìm là ( x; y) .
Gọi B ( x; y ) d1 ; C1 là trung điểm của AB thì C1 d 2 . Từ đó tìm được tọa độ
điểm B.
Tương tự đối với điểm C.
Từ cách phân tích trên, bài toán có thể giải theo các cách sau:
Cách 1: Ta thấy điểm A không thuộc 2 đường trung tuyến trên, gọi

d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : y 1 0 lần lượt là các đường trung tuyến hạ từ đỉnh B, C; G là

trọng tâm tam giác.
Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:
x 2y 1 0
y 1 0

x 1
y 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

G(1;1)

19