Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử j đơn điệu trong không gian banach

Đại Học Thái Ngun
Trường Đại Học Khoa Học

Trần Xn Thiện

TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH
PHƯƠNG TRÌNH VỚI TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun Nghành: TỐN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bường

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường

Phản biện 1: PGS. TS Đỗ Văn Lưu

Phản biện 2: GS. TS Trần Vũ Thiệu

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun
Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Có thể tìm hiểu tại
Thư Viện Đại Học Thái Ngun

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. Một số vấn đề cơ bản
1.1. Khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Sự hội tụ trong khơng gian Banach . . . . . . .
1.1.3. Khơng gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Khơng gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin) . . . . . . .
1.1.8. Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . .
1.2.2. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu
Chương 2. Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương

tốn tử J-đơn điệu trong khơng gian Banach
2.1. Giới thiệu sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
5
5
5
5
6
7
7

8
8
8
9
9
10

trình với
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

15
15
18
24
25


2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại
học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Nguyễn
Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
q trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Học viên

Trần Xn Thiện

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

3

Mở đầu

Rất nhiều bài tốn nảy sinh trong thực tiễn, khoa học, cơng nghệ
là các bài tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed), khi đó nghiệm khơng phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính khơng ổn định này của bài
tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số bài tốn đó gặp khó khăn. Lý do
là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài tốn có thể dẫn đến một sai số
bất kì trong lời giải bài tốn. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phương
pháp giải ổn định cho các bài tốn đặt khơng chỉnh sao cho khi sai số
của dữ kiện ban đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài tốn ban đầu. Một trong các phương pháp
hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.
Mục đích của đề tài này là: chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật tốn của
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong khơng gian Banach lồi chặt với
một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu
cho nghiệm hiệu chỉnh.
Ngồi phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo nội dung
của luận văn gồm hai chương.
Trong chương 1 chúng tơi trình bày một số vấn đề cơ bản của khơng
gian Banach và lý thuyết của bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử
J-đơn điệu và một số định lí, bổ đề quan trọng có liên quan đến nội
dung nghiên cứu của đề tài.
Trong chương 2 chúng tơi trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của
thuật tốn của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong khơng gian
Banach lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá
tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

4

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi những thiếu
sót, tơi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cơ
và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Tác giả

Trần Xn Thiện

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

5

Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
Trong chương này chúng tơi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của
giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các khái
niệm này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2].
1.1.
1.1.1.

Khơng gian Banach
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Khơng gian định chuẩn là khơng gian tuyến tính X
trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X có một số ||x|| gọi là chuẩn của x,
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ||x|| > 0, ∀x = 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. (Bất đẳng thức tam giác)
3. ||αx|| = |α|.||x||, ∀x ∈ X, α ∈ R.
Khơng gian định chuẩn đầy đủ gọi là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.1.1. Khơng gian Lp [a, b] với 1 ≤ p < ∞ là khơng gian Banach
với chuẩn
1
b

p

|ϕ (x)| dx

ϕ =

p

, ϕ ∈ Lp [a, b] .

a

1.1.2.

Sự hội tụ trong khơng gian Banach

Dãy các phần tử xn trong khơng gian Banach X được gọi là hội tụ
đến phần tử xo ∈ X khi n → ∞, nếu ||xn − x0 || → 0 khi n → ∞, kí hiệu
là xn → x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu xn
x0 , nếu
với ∀f ∈ X ∗ -khơng gian liên hợp của X, ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

6

Tính chất 1.1.1. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau
1. Từ sự hội tụ mạnh của một dãy xn suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó.
2. Giới hạn yếu nếu có của một dãy là duy nhất.
3. Nếu xn

x thì sup

xn < ∞ và x ≤ lim xn .

1≤n<∞

n→∞

Nhận xét 1.1. Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ
mạnh là:
1. X là khơng gian hữu hạn chiều.

2. {xn } ⊂ M với M là một tập compact trong X.
1.1.3.

Khơng gian phản xạ

Giả sử X là khơng gian định chuẩn trên R, X ∗ là khơng gian liên hợp
của X, X ∗∗ = L(X ∗ , R) là khơng gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho
tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên
X ∗∗ nhờ hệ thức
x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ ,
ở đây x∗∗ , f là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗
tại x ∈ X. Ta có ||x|| = ||x∗∗ ||. Đặt h(x) = x∗∗ , nếu h : X → X ∗∗ là tồn
ánh thì khơng gian X được gọi là khơng gian phản xạ.
Ví dụ 1.1.2. Khơng gian Lp [0, 1], p > 1 là khơng gian phản xạ. Mọi
khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Định lý 1.1.1. (xem[2]) Nếu X là khơng gian Banach thì các khẳng
định sau là tương đương:
1. X phản xạ.
2. Mọi dãy giới nội là Compact yếu, tức là ∀ {xn } ⊂ X : xn ≤ K ⇒
∃ {xnk } , xnk
x∈X
3. Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu.
4. Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu.
5. Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

7

1.1.4.

Đạo hàm Fréchet

Giả sử f : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng
gian Banach Y . Tốn tử f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ X nếu tồn
tại A ∈ L(X, Y ) sao cho
lim

h→0

f (x + h) − f (x) − A (x) h
h X

Y

= 0.

Tốn tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và được ký hiệu là
A = f (x), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi
điểm x ∈ X.
1.1.5.

Khơng gian Hilbert

Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích vơ hướng trong
X là một ánh xạ ., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
1. x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;

3. αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R
4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Khơng gian tun tính X cùng với tích vơ hướng ., . được gọi là khơng
gian tiền Hilbert. Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là khơng gian
Hilbert.
Ví dụ 1.1.3. Các khơng gian Rn , L2 [a, b] là các khơng gian Hilbert với
tích vơ hướng được xác định tương ứng là
n

ξi ηi , x = (ξ1 , ξ1 , ..., ξn ) , y = (η1 , η1 , ..., ηn ) ∈ Rn

x, y =
i=1

b

ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b]

ϕ, ψ =
a

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

8

1.1.6.

Khơng gian lồi chặt

Khơng gian Banach X được gọi là khơng gian lồi chặt nếu mặt cầu
đơn vị S = S(x) = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2. Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt.
Ví dụ 1.1.4. Khơng gian Lp [a, b] là khơng gian lồi chặt.
1.1.7.

Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin)

Khơng gian Banach X được gọi là Khơng gian Ephimov Stechkin (hay
khơng gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu
các phần tử (xn
x) và sự hội tụ chuẩn ( xn → x ) ln kéo theo sự
hội tụ mạnh ( xn − x → 0).
Ví dụ 1.1.5. Khơng gian Hilbert có tính chất E − S.
1.1.8.

Ánh xạ J-đơn điệu

Cho E là khơng gian Banach thực và E ∗ là khơng gian đối ngẫu.
Để cho đơn giản, chuẩn của E và E ∗ được ký hiệu là ||.||.
Ký hiệu x, x∗ là giá trị của x∗ ∈ E ∗ với x ∈ E.
Ánh xạ J : E −→ E ∗ đươc gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu
thỏa mãn điều kiện sau:
x, J(x) = ||x||2 , ||J(x)|| = ||x||, ∀x ∈ E.
∗ Tốn tử A : E −→ 2E gọi là m-J-đơn điệu nếu A là tốn tử đơn điệu
và (A + λI) = E với mọi λ > 0.
∗ Cho A là ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu trên E.
Khi đó ánh xạ A : E −→ E có các tính chất:
(i) A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E ở đây j(x − y) ∈ J(x − y) và

(ii) (A + λI) = E với mọi λ > 0 trong đó (A) là miền ảnh của A và I
là tốn tử đơn vị của E.
Nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α||x − y||2 ∀x, y ∈ E
thì A gọi là J-đơn điệu mạnh với hằng số α. Khi α = 0 thì A gọi là
J-đơn điệu.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

9

1.2.
1.2.1.

Bài tốn đặt khơng chỉnh
Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh

Chúng tơi trình bày khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh trên cơ
sở xét một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử
A(x) = f.

(1.1)

ở đây A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng
gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là một định nghĩa của
Hadamard ( Xem [1] )
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một tốn tử từ khơng gian X vào khơng
gian Y . Bài tốn (1.1) được gọi là bài tốn đặt chỉnh nếu

1. Phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y .
2. Nghiệm này là duy nhất.
3. Và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên khơng thỏa mãn thì bài
tốn (1.1) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh. Đối với các bài tốn
phi tuyến thì điều kiện 2 hầu như khơng thỏa mãn. Do vậy hầu hết bài
tốn phi tuyến đều là bài tốn đặt khơng chỉnh. Hơn nữa điều kiện cuối
cùng cũng khó thực hiện.
Chú ý 1.2.1. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp khơng gian này
nhưng lại đặt khơng chỉnh trên cặp khơng gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác của f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của
nó thỏa mãn fδ − f ≤ δ.
Chú ý 1.2.2. Giả sử xδ là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết
rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài tốn đặt
khơng chỉnh thì xδ nói chung khơng hội tụ đến x.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

10

1.2.2.

Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu

1. Tốn tử đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ là một tốn tử với
miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗ .

Định nghĩa 1.2.2. Tốn tử A được gọi là
1. Đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
2. Đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y;
3. Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm khơng âm δ(t) khơng giảm với
t ≤ 0, δ(t) = 0 và A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A);
Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì tốn tử A được
gọi là đơn điệu mạnh.
Ví dụ 1.2.1. Tốn tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi
A = B T B. với B là một ma trận vng cấp M , là một tốn tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.3. Tốn tử A được gọi là
1. h-liên tục trên X nếu A(x + ty)

Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X;

2. d-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn

Ax khi n → ∞.

Ví dụ 1.2.2. Hàm hai biến ϕ (x; y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 khơng liên tục,
nhưng liên tục theo từng biến tại (0; 0) do đó nó h-liên tục tại (0; 0).
Định nghĩa 1.2.4. Tốn tử A được gọi là tốn tử bức (coercive) nếu
lim

x →+∞

Ax, x
= +∞, ∀x ∈ X.
x

Định nghĩa 1.2.5. Ánh xạ U s : X → X ∗ (nói chung đa trị) xác định
bởi
U s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ . x ; x∗ = x

s−1

, s ≥ 2.

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng qt của khơng gian X. Khi s = 2 thì
U s thường được viết là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

11

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho bởi mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó:
1. U (x) là tập lồi, U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R;
2. Nếu X ∗ là khơng gian lồi chặt thì U là ánh xạ đơn trị.
Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu, nó
tồn tại trong mọi khơng gian Banach.
Định lý 1.2.1. Nếu X ∗ là khơng gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là tốn tử đơn điệu, bức và d-liên tục. Hơn
nữa, nếu X là khơng gian Banach lồi chặt thì U là tốn tử đơn điệu chặt.
Sau đây là một kết quả của lý thuyết tốn tử đơn điệu được sử dụng
trong phần sau.
Bổ đề 1.2.1. Cho X là một khơng gian Banach thực, f ∈ X ∗ và A là

tốn tử h-liên tục từ X vào X ∗ . Khi đó nếu
A(x) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X
thì A(x0 ) = f .
Nếu A là tốn tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với
A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bổ đề trên có tên là bổ để Minty, tên một nhà tốn học Mỹ, người
đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp khơng gian Hilbert và sau
này chính ơng và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong khơng
gian Banach.
Định nghĩa 1.2.6. Hàm F : X → R được gọi là
1. lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có
F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ;
2. lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên khơng xảy ra dấu bằng với
x = y;

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

12

3. nửa liên tục dưới trên X nếu
lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X;
y→x

4. nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {xn } : xn
lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X

x thì

n→∞

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.1) được cho bởi định lý sau
Định lý 1.2.2. Cho A là một tốn tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ
khơng gian Banach phản xạ X vào X ∗ . Khi đó phương trình A(x) = f
có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ .
2. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ là khơng gian liên hợp
của X. Với f ∈ X ∗ cho trước, phương trình (1.1) là phương trình tốn
tử. Nếu A : X → X ∗ là một tốn tử đơn điệu thì phương trình tốn tử
(1.1) nói chung là bài tốn đặt khơng chỉnh.
Ví dụ 1.2.3. Xét phương trình tốn tử (1.1) với A là một ma trận vng
cấp M = 5 được xác định bởi


1
1
1
1
1
 1 1.0001

1
1
1



A=
1

1
1.0001
1
1


 1

1
1
1.0001 1
1
1
1
1
1.0001
và vế phải f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 khi đó phương
trình có nghiệm duy nhất
x = (1; 1; 1; 1; 1)T ∈ R5
Nếu

A = Ah1



=



1

1
1
1
1 1.0001
1
1
1
1
1.0001 1
1
1
1
1.0001
1
1
1
1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
1
1
1
1

/>









13

và f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5)T ∈ R5 thì phương
nghiệm.
Nếu

1
1
1
1
1
 1 1.0001
1
1
1

A = Ah2 = 
1
1.0001 1
1
 1
 1
1
1
1.0001 1

1
1
1
1
1

trình có vơ số








và f = (5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 .
thì phương trình vơ nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số
trong phương trình ban đầu kéo theo những thay đổi đáng kể là nghiệm.
3. Phương pháp hiệu chỉnh
Giả sử A−1 khơng liên tục và thay cho f ta chỉ cho fδ thỏa mãn
fδ − f ≤ δ.
Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng tin về (A, fδ ) và δ sai số, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Rõ ràng khơng thể xây dựng phần tử
xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ vì A−1 có thể khơng xác định hoặc A−1 tồn
tại nhưng khơng liên tục nên A−1 fδ khơng xấp xỉ nghiệm đúng x0 .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình
(1.1). Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp
xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương
thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm
đúng x0 .

Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử xấp
xỉ tương ứng thuộc X. Tức là tồn tại một tốn tử nào đó tác động từ
khơng gian Y vào khơng gian X.
Định nghĩa 1.2.7. Cho A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian
Banach X vào khơng gian Banach Y . Tốn tử T (f, α) phụ thuộc vào
tham số α tác động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh cho

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

14

phương trình (1.1), nếu:
- Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho tốn tử T (fδ , α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y thoả mãn
fδ − f ≤ δ.
- Tồn tại một hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0
ln tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thoả mãn
fδ − f ≤ δ ≤ δε .
thì xδα − x0 ≤ ε ở đây x0 là nghiệm có x∗ chuẩn nhỏ nhất của bài tốn
(1.1) và xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) .
Tốn tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1.1), còn α = α (δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, fδ ) phải được chọn sao cho
lim α (δ, fδ ) = 0.

δ→0

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu. Như vậy việc
tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1)
gồm các bước:
1) Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T (f, α);
2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn
về phần tử fδ và mức sai số δ.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

15

Chương 2
Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh
phương trình với tốn tử J-đơn điệu
trong khơng gian Banach
Trong chương này trình bày một số vấn đề về tốc độ hội tụ trong hiệu
chỉnh phương trình với tốn tử J-đơn điệu trong khơng gian Banach. Các
khái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [4].
2.1.

Giới thiệu sơ bộ

Chúng tơi quan tâm giải phương trình tốn tử sau:
A(x) = f, f ∈ E

(2.1)

với A là J-đơn điệu đơn trị trên E. Trong tồn bộ luận văn này chúng

tơi kí hiệu tập nghiệm của (2.1) là S (ta giả thiết S = ∅). Nếu A khơng
có tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều, phương trình (2.1) nói
chung là bài tốn đặt khơng chỉnh. Để giải (2.1) ta phải dùng một số
phương pháp ổn định, một trong các phương pháp hiệu quả là phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Dạng tốn tử của phương pháp này cho
phương trình (xem [1]).
A(x) + α(x − x+ ) = fδ , ||fδ − f || ≤ δ → 0

(2.2)

Ở đây α > 0 gọi là tham số hiệu chỉnh, và x+ ∈ E là thành phần cho
trước.
Vì A là m-J-đơn điệu, phương trình (2.2) cho nghiệm duy nhất xδα với
mỗi giá trị cố định α > 0 và δ > 0.
Hơn thế nưa, từ (2.1), (2.2) và tính J-đơn điệu của A dễ dàng thu được
kết quả sau :
||xδα − y|| ≤ ||y − x+ || + δ/α

Số hóa bởi trung tâm học liệu

∀y ∈ S

/>
(2.3)


16

Trong [1], người ta đã chứng minh được hàm số ρ(α) = α||xδα − x+ || là
liên tục, đơn điệu khơng giảm. Nếu A liên tục tại x+ thì:

lim ρ(α) = 0, lim ρ(α) = ||A(x+ ) − fδ ||

α→∞

α→∞

Hơn thế nữa, bằng lập luận tương tự dễ dàng kiểm tra nếu
||A(x+ ) − fδ || > Kδ p K > 2; 0 < p ≤ 1
thì tồn tại một giá trị bé nhất α = α(δ) sao cho:
||A(xδα(δ) ) − f (δ)|| = Kδ p và (K − 1)δ p /α(δ) ≤ 2||y0 − x+ ||.
Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y − x+ ||δ 1−p /(K − 1) → 0 khi
δ → 0. Nên J liên tục yếu thì xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2]).
Rất tiếc lớp khơng gian Banach thực, vơ hạn chiều có J với các tính chất
trên là rất nhỏ ( duy nhất lp ). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuật
tốn (2.2) có thể áp dụng cho khơng gian Banach khác được khơng ?.
Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα tới
nghiệm của (2.1) trong khơng gian Banach, khơng có ánh xạ đối ngẫu
liên tục yếu J. Khi A là liên tục yếu:
||A(x) − A(y∗ ) − QA (y∗ )∗ J(x − y∗ )|| ≤ τ ||A(x) − A(y∗ )||

∀y ∈ E (2.4)

Ở đây τ là hằng số dương, A (x) kí hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại
x ∈ E và Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và tồn tại phần tử
v ∈ E sao cho
x+ − y∗ = A (y∗ )v
(2.5)
Trong luận văn này khơng u cầu tính liên tục yếu của J, chúng tơi
chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật tốn (2.2) trong khơng gian Banach
lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ

hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh, khi tham số hiệu chỉnh là lựa chọn
cho trước.
Một số kiến thức cần chuẩn bị cho việc chứng minh kết quả.
Cho E là khơng gian tuyến tính định chuẩn thực. Cho
S1 (0) := {x ∈ E : x = 1} .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

17

Khơng gian E gọi có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc trơn) nếu giới hạn
||x + ty|| − ||x||
t→0
t

lim

tồn tại với x, y ∈ S1 (0). Khơng gian E gọi là chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên đều với x ∈ S1 (0). Khơng gian E gọi lồi chặt nếu
x, y ∈ S1 (0) với x = y ta có:
||(1 − λ)x + λy|| < 1 ∀λ ∈ (0, 1)
Chúng ta biết rằng (xem [1-3]) nếu E là trơn thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc là đơn trị. Nếu chuẩn của E là khả vi Gâteaux đều thì ánh xạ
đối ngẫu là liên tục yếu đều trên tập hợp giới nội của khơng gian E.
Trong phần tài liệu kí hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng qt đơn trị là j.
Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ .
Ta viết µk (ak ) thay cho µ((a1 , a2 , ...)). Gọi µ là giới hạn Banach khi µ
thỏa mãn ||µ|| = µk (1) = 1 và µk (ak+1 ) = µk (ak ) với mỗi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ .

Đối với giới hạn Banach µ ta có:
lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak
k→∞

k→∞

với mọi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ .
Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ...) ∈ l∞ và ak → c (tương ứng
ak − bk → 0), khi k → ∞, ta có µk (ak ) = µ(a) = c (tương ứng µk (ak ) =
µk (bk )).
Bổ đề 2.1.1. Cho C là tập lồi của khơng gian Banach E, có chuẩn là
khả vi Gâteaux đều. Cho {xk } là giới nội của E, cho z là phần tử của
C và µ là giới hạn Banach. Khi đó
µk ||xk − z||2 = min µk ||xk − u||2
u∈C

nếu và chỉ nếu µk u − z, j(xk − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Với một ánh xạ m-J-đơn điệu A trong E và phần tử cố định bất kỳ
f ∈ E, ta có thể xây dựng một ánh xạ u = Tf (x) bằng
Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
(2.6)


18

với mỗi x ∈ E.

Vì Af cũng là J-đơn điệu, việc tồn tại của Tf là hiển nhiên.
Khơng khó để kiểm tra Tf có các tính chất sau:
1. D(Tf ) = E.
2. Tf là khơng giãn, có nghĩa là ||Tf x − Tf y|| ≤ ||x − y||.
3. F ix(Tf ) = S ở đây F ix(Tf ) kí hiệu là tập điểm bất động của Tf có
nghĩa là
F ix(Tf ) = {x ∈ E : x = Tf (x)} .
Nhắc lại rằng một ánh xạ T trong E gọi là giả co nếu
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y

2

với mọi x, y ∈ D(T ), miền xác định của T.
Dễ dàng thấy mọi ánh xạ khơng giãn là giả co và nếu A là J-đơn điệu
thì T = I − A cũng là giả co.
Bổ đề 2.1.2. Với F là ánh xạ đơn điệu, tuyến tính và giới nội trong một
khơng gian Banach phản xạ, ta có ||F (F + αI)−1 || ≤ 2 với mỗi α > 0.
2.2.

Kết quả chính

Định lý 2.2.1. Cho E là khơng gian Banach phản xạ thực và lồi chặt
với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là một ánh xạ m-J-đơn điệu
trên E. Khi đó mỗi α > 0 và một cố định f ∈ E thì phương trình
A(x) + α(x − x+ ) = f

(2.7)

có một nghiệm duy nhất xα và thêm nữa nếu tập nghiệm của (2.1) là
S = ∅, thì dãy xα hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ E, là nghiệm bất đẳng

thức biến phân sau:
y∗ ∈ S :

y∗ − x+ , j(x − y) ≤ 0

∀y ∈ S.

Mặt khác ta có:
||xδα − xα || ≤ δ/α
ở đây xδα là nghiệm duy nhất của (2.2) với mọi α > 0 và fδ ∈ E.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
(2.8)


19

Chứng minh
Vì A là m-J-đơn điệu, phương trình (2.7) có một nghiệm kí hiệu xα
với mỗi α > 0. Nghiệm là duy nhất, bởi vì ánh xạ A + α(I − x+ ) là J-đơn
điệu mạnh với hằng số α.
Tiếp theo từ (2.7) ta có:
A (xα ) − A (y) , j (xα − y) + α xα − x+ , j (xα − y) = 0
với mọi y ∈ S. Vì vậy
xα − y

2

≤ x+ − y, j (xα − y)

∀y ∈ S.

(2.9)

Do đó ||xα − y|| ≤ ||x+ − y||. Có nghĩa là xα giới nội. Một lần nữa từ
(2.7) suy ra ||A(xα ) − f || = α||xα − x+ || ≤ 2α||x+ − y|| và do đó
lim ||A(xα ) − f || = 0

α→0

(2.10)

Tiếp theo xét ánh xạ T f := I − Af . Rõ ràng p ∈ S nếu p ∈ F ix(T f )
Ngồi ra, ta chú ý rằng ánh xạ 2I − T f có ánh xạ nghịch đảo khơng giãn,
kí hiệu ξ. Thực vậy, vì
2I − T f = I + I − T f = I + Af
Từ (2.6) ta có: ξ = Tf = (I + Af )−1 , đây là một ánh xạ khơng giãn đơn
trị. Vì vậy ta có F ix(ξ) = F ix(Tf ) = S. Theo đó từ
xδα − T f xδα = (2I − T f )xδα − xδα = A(xδα ) − f
và
ξ(2I − T f )xδα = (I + Af )−1 (I + Af )(xδα ) = xδα
Ta sẽ có
||xδα −ξxδα || = ||ξ(2I −T f )xδα −ξxδα || ≤ ||(2I −T f )xδα −xδα || = ||A(xδα )−f ||.
Bất đẳng thức này cùng với (2.10) kéo theo ||xα − ξxα || → 0 khi α → 0.
Cho xk là dãy con bất kỳ của xα với αk → 0 khi k → ∞.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

20

Ta xét phiếm hàm ϕ(x) = µk ||xk − x||2 ∀x ∈ E. Ta thấy ϕ(x) → ∞
∼
khi ||x|| → ∞ và ϕ liên tục và lồi, vì vậy E là phản xạ nên tồn tại y ∈ E
∼
sao cho ϕ(y ) = minx∈E ϕ(x). Do đó tập
C ∗ :=

u ∈ E : ϕ (u) = min ϕ(x) = 0 .
x∈E

Dễ dàng nhận thấy C ∗ là giới nội, đóng, và tập lồi trong E. Mặt khác vì
||xk − ξxk || → 0 ta có:
∼

∼

∼

∼

∼

ϕ(ξ y ) = µk ||xk − ξ y ||2 = µk ||ξxk − ξ y ||2 ≤ µk ||xk − y ||2 = ϕ(y ).
Từ đó ξC ∗ ⊂ C ∗ , trong đó C ∗ là bất biến với ánh xạ ξ. Bây giờ ta chỉ
ra rằng C ∗ điểm bất động của ξ. Vì E là khơng gian Banach phản xạ và
lồi chặt nên bất kỳ tập đóng và lồi trong E là tập Chebyshev(xem [2]).

∼
Khi đó y ∈ F ix(ξ) thì tồn tại duy nhất y ∈ C ∗ sao cho
∼

||y − y || = inf∗ ||y − x||.
x∈C

∼

Với y = ξy và ξ y ∈ C ∗ ta có:
∼

∼

∼

||y − ξ y || = ||ξy − ξ y || ≤ ||y − y ||,
∼

∼

∼

và do đó ξ y = y . Có nghĩa là tồn tại một điểm y ∈ F ix(ξ) ∩ C ∗ = S ∩ C ∗
∼
Từ bổ đề 2.1.1, ta thấy y là cực tiểu của ϕ(x) trong E khi và chỉ khi
µk x − y, j (xk − y) ≤ 0 ∀x ∈ E.
∼

(2.11)

∼

Từ (2.9) với y = y và lấy x = x+ trong (2.11), ta có µk ||xk − y || = 0.
∼
Do đó tồn tại một dãy con xki của xk hội tụ mạnh tới y khi i → ∞.
Một lần nữa từ (2.9) và tính chất của ánh xạ đối ngẫu liên tục mạnh-yếu
j trong tập hợp con bị chặn E thì ta có:
y − x+ , j (y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S.
∼

(2.12)

Từ y và y của F ix(ξ), tập đóng và lồi, thay y trong (2.12) bằng sy +
∼
∼
∼
(1 − s) y với s ∈ (0; 1), sử dụng tính chất đã biết j(s(y −y)) = sj(y −y)
với s > 0 , chia cho s và lấy s → 0 ta có:
y − x+ , j (y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

21
∼

Tính duy nhất của y∗ trong (2.8) đảm bảo y = y∗ . Vì vậy xα hội tụ mạnh
đến y∗ khi α → 0.
Sử dụng (2.3) và (2.7) ta có:

A xδα − A (xα ) , j xδα − xα

+ α xδα − xα

2

= fδ − f, j xδα − xα

,

kéo theo ||xδα − xα || ≤ δ/α.
(Điều phải chứng minh)
Định lý 2.2.2. Cho E, A và f như trong định lí 2.2.1 sao cho S = ∅. Giả
sử (2.5) đúng và đạo hàm Frechet A (.) là liên tục Lípchits địa phương
trong hình cầu
Br (y∗ ) = x ∈ E : x − y∗ ≤ x+ − y∗

.

Khi đó tồn tại một hằng số Lípchits L > 0 sao cho ||A (x) − A (z)|| ≤
L||x − z|| ∀x, z ∈ Br (y∗ )cố định.
Với mọi α > 0 ta có:
||xα − y∗ || ≤ 2(L||v||2 + ||v||)α.

Chứng minh
Vì A là đơn điệu, A (y∗ ) cũng đơn điệu. Kéo theo A (y∗ ) cũng là J-đơn
điệu.
Đặt F = A (y∗ ), Rα = α(F + αI)−1 và B = F Rα thì
αF −αB = αF −αF Rα = αF (I−Rα ) = αF [(F +αI)−αI](F +αI)−1 = F B.
Tiếp theo, đặt zα = xα − y∗ ta có: A(xα ) − A(x∗ + Bv) + α(zα − Bv)

= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) − αxα − x+
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(xα − y∗ − Bv) − αBv
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + αF (v) − αBv
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + F Bv
kéo theo
α xα − Bv

2

≤ A (y∗ ) − A (y∗ + Bv) + F Bv, j (xα − (y∗ − Bv)) .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

22

Vì ||A (x) − A (z)|| ≤ L||x − z|| và xα ∈ Br (y∗ ),
||A(x) − A(z) − A (z)|| ≤ L||x − z|| ≤
kéo theo
||zα − Bv|| ≤

L
||x − z||2
2

L
||F α(F + αI)−1 ||2 ≤ 2L||v||2
2α

Mặt khác
||zα || = ||xα − y∗ || ≤ ||zα − Bv|| + ||Bv|| ≤ 2(L||v||2 + ||v||)α
(Điều phải chứng minh)
Định lý 2.2.3. Cho E, A và f như trong định lý 2.2.2. Giả sử điều kiện
(2.5) đúng và mỗi điều kiện khác trong định lý 2.2.2 hoặc tồn tại một
hằng số k0 > 0 sao cho k0 ||x+ − y∗ || < 1 và
A (x)−A (y∗ ) = A (y∗ )k(x, y∗ , w), ||k(x, y∗ , w)|| ≤ k0 ||w||.||x−y∗ ||∀x, w ∈ B∼r (y∗ )
√
∼
với mọi r > r + δ/α. Nếu α là lựa chọn sao cho α = O( δ) thì
√
||xδα − y∗ || ≤ O( δ)

Chứng minh
Hiển nhiên khi điều kiện trong định lý 2.2.1 được thỏa mãn, từ định
lý 2.2.1 và 2.2.2 và (2.3) ta có:
δ
||xδα − y∗ || ≤ + 2(L||v||2 + ||v||)α
α
√
√
Vì ||xδα − y∗ || ≤ O( δ), nếu α là lựa chọn sao cho α = O( δ).
Bây giờ ta đặt xt = y∗ + t(xα − y∗ ) với t ∈ (0; 1).
Rõ ràng ||xt − y∗ || = t||xα − y∗ || ≤ ||x+ − y∗ ||.
Theo cách đó xt ∈ B∼r .
Mặt khác từ (2.7) và
1

A(xα ) − A(y∗ ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) +

(A (xt ) − A (y∗ ))(xα − y∗ )dt
0

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

23
1

= A (y∗ )(xα − y∗ ) +

A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt
0

Kéo theo
1
+

−α(xα − x ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) +

A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt
0

Do đó ta có
1
−1

(F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt

xα − y∗ = α(F + αI) F v −
0

với ||(F + αI)−1 F v|| ≤ 2||v||,
1

1

||(F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )||dt ≤ 2
0

k0 ||xt − y∗ ||||xα − y∗ ||dt
0

≤ k0 ||xα − y∗ ||2 ≤ k0 ||x+ − y∗ ||.||xα − y∗ ||.
Do đó
(1 − k0 ||x+ − y∗ ||)||xα − y∗ || ≤ 2α||v||.
Vì vậy trong trường hợp này chúng ta có:
√
||xδα − y∗ || ≤ O( δ)
(Điều phải chứng minh)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>