Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ
SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ
SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG
Mã số : 60 46 01 12

DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - 2013


Mục lục
Mở đầu
1

3

KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng . . . . . . .
1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . . . . . . . . .
1.1.2 Các không gian hàm khả tổng . . . . . . . .
1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương . . . . . . . .
1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . .
1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) . . . . . . . . . .
1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt .
1.2.4 Không gian Hok (Q) . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii)
1.3.1 Không gian H s (Rn ) . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) . . .
1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng .
1.4.1 Các không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . .
1.4.2 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA TRONG MẶT
PHẲNG
2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green . . . . . . .
2.1.1 Phương trình điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Các công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . .

1

5
5
5
6
7
7
7
7
8
8
8
11
12
12
13

14
14

14
15
15
16


2.2

2.3
2.4
2.5

2.6

Hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . .
Phát biểu bài toán biên của phương trình điều hòa trong
miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các
điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp phương trình tích phân biên . . . . . . . . .
2.5.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền ngoài
2.6.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . .

. 18

. 18
. 19
. 21
.
.
.
.
.
.
.
.

3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
3.1 Phát biểu bài toán hỗn hợp đối với phương trình song điều
hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Hệ phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . . .

22
23
23
23
24
24
24
25

26
26
26
27
28
30

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

2


Mở đầu
Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô
hình toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản
có thể tìm thấy nghiệm tường minh bằng các phương pháp giải tích. Còn
đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh hoặc không có hoặc
rất phức tạp. Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương
trình điều hòa và song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút
sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà toán học. Việc
nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài toán điều hòa và song
điều hòa là một lĩnh vực cần được nghiên cứu .
Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả về lý thuyết đối với

phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hòa và
song điều hòa. Luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái
quát về phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa.
Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số kiến thức
bổ trợ về các không gian hàm khả vi và khả tổng, không gian Sobolev
cấp nguyên dương H k (Q), H0k (Q), không gian Sobolev cấp thực H s (Rn ),
H s (Ω), các không gian Sobolev đối ngẫu và các định lý nhúng. Đây là nền
tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn.
Chương hai chúng tôi giới thiệu về phương pháp phương trình tích phân
biên đối với phương trình điều hòa trong mặt phẳng, công thức biểu diễn
hàm điều hòa trên mặt phẳng, các công thức Green và các hàm cơ bản.
Đồng thời cũng trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối
với các bài toán Dirichlet, bài toán Newmann và bài toán hỗn hợp.
Chương ba của luận văn chúng tôi giới thiệu về phương trình song điều
hòa và hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài toán.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học 3


Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
Khoa Toán ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,
khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên,
giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013.
Người thực hiện
Trần Đức Anh

4


Chương 1
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chuong này trình bày một số khái niệm bổ trợ cần thiết về các hàm khả
tổng, khả vi, hàm suy rộng và không gian Sobolev. Nội dung của chương
này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [7], [8].

1.1
1.1.1

Các không gian hàm khả vi và khả tổng
Hàm liên tục và hàm khả vi

• Giả sử Ω là một miền mở trong không gian Euclid Rn . Ký hiệu C(Ω)
là lớp các hàm liên tục trong Ω. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn ,
ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω, tức là Ω = Ω ∪ ∂Ω. Khi đó C(Ω) là không
gian định chuẩn với chuẩn:
f

C

= max|f (x)|.

(1.1)

x∈Ω

• Giá của hàm f (x) ∈ C(Rn ) được kí hiệu là suppf là bao đóng của tập
hợp tất cả các điểm x ∈ Rn mà tại đó f (x) = 0. Vậy
suppf := {∀x ∈ Rn , f (x) = 0}
là một tập đóng trong Rn . Nếu suppf là tập bị chặn trong Ω thì ta nói f
là hàm có giá compact trong Ω.
• Ký hiệu C m (Ω) là tập hợp của tất cả các hàm f (x) liên tục trong Ω cùng
với các đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m. Như vậy, C 0 (Ω) = C(Ω). Tập hợp của
các hàm trong C m (Ω) có các đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m được thác triển
5


liên tục vào Ω được ký hiệu là C m (Ω). Chuẩn trong C m (Ω) được xác định
theo công thức
m

f

C m (Ω)

|Dα f (x)|.

= sup
Ω |α|=0

• Ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp của các hàm khả vi vô hạn trong Ω. Tập
hợp của các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω được ký hiệu

là Co∞ (Ω). Tập hợp các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Rn ký
hiệu là Co∞ . Tập hợp các hàm tiêu hạn trong Ω của lớp C m (Ω) ký hiệu là
Com (Ω). Tập hợp của các hàm từ C m (Ω) bằng không trên biên ∂Ω cùng
với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m được ký hiệu là Com (Ω). Cuối cùng,
m
ký hiệu C o là lớp các hàm thuộc C m (Rn ) bằng không tại vô cùng với tất
cả các đạo hàm cho đến cấp m.
1.1.2

Các không gian hàm khả tổng

• Tích phân Lebesgue của hàm f trên tập Ω được ký hiệu là
f (x)dx,
Ω

f (x)dx =

f (x)dx.

Rn

• Với 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu
Lp (Ω) = {f : Ω → C, f

p
Lp (Ω)

|f (x)|p dx < +∞},

:=

Ω

L∞ (Ω) = {f : Ω → C, f

L∞ (Ω)

:= essupΩ |f (x)| < +∞},

trong đó essupΩ |f (x)| = inf K {|f (x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω}.
• Nếu f ∈ Lp (Ω ) đối với mọi Ω
Ω thì hàm f được gọi là p- khả tích
tổng địa phương trong Ω. Tập hợp của tất cả các hàm p- khả tích tổng địa
phương trong Ω được ký hiệu là Lploc (Ω).
• Hàm f (đo được) được gọi là có hạn trong Ω nếu nó bằng không hầu
khắp ở ngoài Ω
Ω. Tập hợp của các hàm tiêu hạn trong Ω thuộc Lp (Ω)
được ký hiệu là Lpo (Ω).

6


1.2

Không gian Sobolev cấp nguyên dương

1.2.1

Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev

Định nghĩa 1.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong Rn với biên trơn từng

mảnh ∂Q và α = (α1 , α2 , · · · , αn ) là bộ đa chỉ số. Hàm f (α) ∈ L1loc (Q)
được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L1loc (Q), nếu

f (x)Dα g(x)dx = (−1)|α|

< f, Dα g > :=
Q

=< f

f (α) (x)g(x) dx
Q

(α)

, g >, ∀g ∈

Co|α| (Q).

Nếu f ∈ C |α| (Q), thì đạo hàm suy rộng f (α) tồn tại và f (α) = Dα f (x) hầu
khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f là
Dα f .
1.2.2

Không gian Sobolev H k (Q)

Định nghĩa 1.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng
cho đến cấp k thuộc L2 (Q) được gọi là không gian Sobolev cấp k và được
ký hiệu là H k (Q). H k (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn

Dα f Dα g dx,

(f, g) =
Q

|α|≤k

|Dα f |2 dx

f =
Q

1/2

.

|α|≤k

Rõ rằng là H 0 (Q) = L2 (Q).
Các tính chất quan trọng của không gian Sobolev:
1) C ∞ (Q) trù mật trong H k (Q) theo tiêu chuẩn của H k (Q).
2) H m+1+[n/2] (Q) ⊂ C m (Q).
1.2.3

Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt

Định nghĩa 1.3. Giả sử Q là miền giới nội trong Rn và S là một mặt
n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f (x) xác định tại
7

từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một
hàm f |x∈S được xác định tại mỗi điểm của S . Nếu chúng ta xét trong Q
hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của f trên mặt S được xác
định không đơn trị vì mesS = 0. Tuy nhiên, trong một nghĩa hoàn toàn
xác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1
chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi.
Giả sử f ∈ H 1 (Q) và fk ∈ C 1 (Q), (k = 1, 2, ...) hội tụ đến f trong
H 1 (Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh (mỗi một mảnh được chiếu đơn
trị xuống mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho

|fk − fm |2 dx ≤ C fk − fm

H 1 (Q) .

S

Vì L2 (S) là không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử fS ∈ L2 (S)
là giới hạn trong L2 (S) của dãy fk (xS ), xS = x ∈ S . Hàm fS không phụ
thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f trong H 1 (Q) và được gọi là vết
của hàm f trên mặt S .
1.2.4

Không gian Hok (Q)

Định nghĩa 1.4. Tập hợp của các hàm trong H k (Q) có vết trên biên
Γ bằng không được ký hiệu là Hok (Q). Chuẩn trong Hok (Q) được sinh bởi
chuẩn trong H k (Q). Khi đó Hok (Q) là không gian con đóng của H k (Q).

1.3

Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii)

1.3.1

Không gian H s (Rn )

Định nghĩa 1.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Không gian Sobolev-Slobodeski
H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S = S (Rn ), có
biến đổi Fourier u
ˆ(ξ) thỏa mãn điều kiện:

u

2
s

(1 + |ξ|)2s |ˆ
u(ξ)|2 dξ < ∞.

=
Rn

8

(1.2)


Ảnh Fourier của H s được ký hiệu là H s . Công thức (1.1) xác định chuẩn
cả trong H s lẫn trong H s . Nhận xét là H s là không gian Hilbert với tích

vô hướng

v (ξ)dξ.
(1 + |ξ|)2s uˆ(ξ)ˆ

(u, v)s =

(1.3)

Rn

Các không gian H s , H s là những không gian đầy đủ. Với u ∈ H s , ϕ ∈ S ,
ta có
∞
∞
1
ˆ
(1.4)
(u, ϕ) =
u(x)ϕ(x)dx =
uˆ(ξ)ϕ(ξ)dξ.
(2π)n −∞
−∞
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakovski vào (1.4), ta được

|(u, ϕ)| ≤

1
u
(2π)n

s

ϕ

−s .

(1.5)

Rõ ràng là tôpô trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn H s , nghĩa là nếu
ϕk → ϕ, trong S , thì hiển nhiên ϕk − ϕ s → 0. Mặt khác, vì có (1.5)
nên nếu uk − u s → 0, thì (uk , ϕ) → (u, ϕ), ∀ϕ ∈ S , nghĩa là uk → u
trong S .
Các trường hợp riêng của H s (Rn )
1) s = 0. Khi đó H s (Rn ) ≡ L2 (Rn ). Theo Định lý Planchel, ta có
H 0 (Rn ) = F −1 [H s ] = L2 (Rn ).
2) s = m > 0 - nguyên. Khi đó thì (−iξ)k u(ξ) ∈ L2 (Rn ), 0 ≤ |k| ≤ m.
Suy ra Dk u = F −1 [(−iξ)k u(ξ)](x) ∈ L2 (Rn ), 0 ≤ |k| ≤ m. Như vậy
không gian H m = H m (Rn ) sẽ là

H m = {u|u ∈ L2 , Dk u ∈ L2 , 0 ≤ |k| ≤ m}.
Khi đó chuẩn (1.1) tương đương với chuẩn sau đây
∞

u

2
m

|Dk u(x)|2 dx =

=
|k|≤m

−∞

1
(2π)n

∞

|ξ k u(ξ)|2 dξ.
|k|≤m

(1.6)

−∞

Như ta đã biết H m là không gian Sobolev cấp m và thường được ký hiệu
là W2m (Rn ).
3) Trường hợp s = −m, m > 0 - nguyên. Đặt v(ξ) = (1 + |ξ|)−m u(ξ).
Vì u ∈ H m , nên v(ξ) ∈ L2 . Vậy ta có u(ξ) = (1 + |ξ|)m v(ξ). Có thể biểu
diễn u(ξ) ở dạng

u(ξ) = (1 + |ξ|)m v(ξ) =

(−iξ)k vk (ξ), vk (ξ) ∈ L2 .
|k|≤m

9

(1.7)


Lấy biến đổi ngược hai vế của (1.7), ta được

Dk vk (x), vk (x) ∈ L2 .

u(x) =

(1.8)

|k|≤m

Như vậy H −m (Rn ) bao gồm các hàm suy rộng là đạo hàm theo nghĩa hàm
suy rộng của các hàm trong L2 với cấp không vượt quá m. Dễ thấy rằng

S ⊂ H s1 ⊂ H s2 ⊂ S , s1 > s2 .
Ví dụ.
1) Cho u(x) = δ(x), u(ξ) = F [δ] = 1. Suy ra

δ

2
s

(1 + |ξ|)2s dξ < ∞.

=
Rn

Nếu chọn −2s = n + ε , ε > 0. Suy ra s = − n2 − ε, ε = ε /2. Vậy ta có
δ(x) ∈ H− n2 −ε , ε > 0.
1
1
1
2)Xét u(x) = P . Ta có F [P ] = πi.signξ . Từ đó suy ra P ∈
x
x
x
H−1/2−ε , ε > 0.
Định lý 1.6. Tập hợp C0∞ (Rn ) trù mật trong H s theo chuẩn của H s .
Chứng minh. Giả sử

α(x) ∈ C0∞ (Rn ), α(x) ≥ 0, α(x) = 0 (|x| ≥ 1),

α(x)dx = 1.
Rn

1
x
α
. Hàm αε (x) thường được gọi là hạch làm đều.
εn ε
Giả sử u là hàm tùy ý của H s . Đặt uε = u ∗ αε . Ta có uε ∈ C ∞ , ngoài ra
uε = u.αε . Do đó
Ký hiệu αε (x) =

αε =

x iξ.x dx
e
=
ε
εn

α
Rn

α(y)eiy.εξ dy = α(εξ),
Rn

ngoài ra

|αε | ≤

α(y)dy = α0 = 1.

(1.9)

|u(ξ)|2 (1 + |ξ|)2s |1 − α(εξ)|2 dξ → 0.

(1.10)

Rn

Do đó uε ∈ H s và khi ε → 0, thì

u − uε

2
s

≤
Rn

10


Thật vậy, 1 − α(εξ) → 0 khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 − α(εξ)| ≤ 2,
nên theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong
(1.10).
Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε1 > 0, sao cho

u − uε

s

< δ/2.

(1.11)

Vì α(ε1 ξ) ∈ S(Rn ), nên α(ε1 ξ)u(ξ) ∈ H N với mọi N . Giả sử χ(x) ∈
C0∞ (Rn ), χ(x) = 1, khi |x| ≤ 1. Ký hiệu vε (x) = χ(εx)uε1 (x).Khi đó
vε (x) ∈ C0∞ (Rn ), vì uε1 (x) ∈ C ∞ (Rn ). ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi N và
ε → 0, uε1 − vε N → 0. Thật vậy, sử dụng chuẩn (1.6) tương đương với
chuẩn (1.1), khi ε → 0, ta có

uε1 − vε

2
N

=
|k|≤N

|x|≥1/ε

|Dk [(1 − χ(εx))uε1 (x)]|2 dx → 0.

Vậy, nếu N ≥ s, thì tìm được ε2 , sao cho

vε2 (x) − uε1 (x)

s

≤ vε2 (x) − uε1 (x)

N

< δ/2.

(1.12)

Từ (1.11) và (1.12), suy ra tồn tại hàm vε2 (x) ∈ C0∞ (Rn ), sao cho u −
vε2 s < δ . Định lý 1.6 được chứng minh.
1.3.2

Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω)

Định nghĩa 1.7. Giả sử Ω là một miền mở trong Rn . Ký hiệu Hos (Ω) là
không gian con của H s (Ω), được định nghĩa như bao đóng của C0∞ (Ω) theo
chuẩn của H s (Rn ).
Như vậy, chuẩn trong Hos (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.1)
và mọi hàm u ∈ Hos (Ω) có giá suppu ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω).
Theo định nghĩa, tồn tại dãy {uk ∈ C0∞ (Ω)}, hội tụ đến u theo chuẩn của
H s (Rn ). Ký hiệu Ω = Rn \ Ω. Như vậy, ta có (uk , ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω ).
Do tính liên tục , suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω ). Điều đó chứng tỏ
suppu ⊂ Ω.
Bằng cách tương tự, dễ dàng chứng tỏ rằng Hos (Ω) là không gian con
đóng của H s (Rn ). Ta chuyển sang định nghĩa không gian H s (Ω).

11


Định nghĩa 1.8. Giả sử f ∈ H s (Rn ). Ký hiệu fΩ là hạn chế của f trên
Ω, nghĩa là
(fΩ , ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Ký hiệu r, l tương ứng là các toán tử hạn chế và toán tử thác triển trên Ω.
Như vậy, fΩ = rf, f = lfΩ .
Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc H s (Rn ) được ký hiệu là
H s (Ω). Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo công thức

f

s,Ω

= inf lf s ,
l

(1.13)

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ H s (Rn ) của f ∈ H s (Ω).

1.4

Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý
nhúng

1.4.1

Các không gian đối ngẫu

Ký hiệu (H s )∗ là không gian đối ngẫu của H s , nghĩa là không gian
của các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H s . Như trong trường hợp của
không gian Banach bất kỳ, không gian (H s )∗ được xác định một cách chính
xác đến đẳng cấu. Nói riêng, vì không gian H s (Rn ) đẳng cấu với không
gian Hilbert với tích vô hướng (1.3), nên (H s )∗ đẳng cấu với chính H s . Khi
đó theo Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên
tục trong không gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ H s , được cho bởi
phần tử v ∈ H s , sao cho chuẩn Φ = sup u s=1 = (v, v)s = v s .
Ký hiệu
w(ξ) = (1 + |ξ|)2s v(ξ), w = F −1 w.
(1.14)
Khi đó w ∈ H s , w

−s

=

(v, v)s , (u, v)s = (u, w)0 , trong đó
u(ξ)w(ξ)dξ, u ∈ H s , w ∈ H −s .

(u, w)0 =

(1.15)

Rn

Như vậy (1.14) thiết lập sự đẳng cấu giữa (H s )∗ và H s , ngoài ra giá trị
của phiếm hàm w ∈ H −s trên phần tử u ∈ H s , được cho bởi công thức
(1.15). Sau này chúng ta luôn luôn hiểu (H s )∗ H −s .
12


Định lý 1.9. Giả sử (Hos (Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos (Ω), s ∈ R.
Khi đó (Hos (Ω))∗ đẳng cấu với H −s (Ω), ngoài ra giá trị của phiếm hàm
f ∈ H −s (Ω) trên phần tử u ∈ Hos (Ω) được cho bởi công thức

(u, lf )0 =

u(ξ)lf (ξ)dξ

(1.16)

Rn

trong đó lf là thác triển bất kỳ của f từ Ω ra R.
1.4.2

Các định lý nhúng

Các định lý nhúng của các không gian Sobolev-Slobodeskii vào không
gian các hàm liên tục có một vị trí đặc biệt quan trọng khi chúng ta cần
đến giá trị tại từng điểm của các hàm số, đặc biệt là khi ta cần có các kết
quả số. Trong mục này chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý nhúng nói
trên.
Định lý 1.10. Ký hiệu Cok = Cok (Rn ) là tập hợp các hàm từ C k , triệt tiêu
ở vô tận cùng với các đạo hàm cho đến cấp k . Ta có

H s (Rn ) ⊂ Com , s > n/2 + m.
Phép nhúng là liên tục.
Định lý 1.11. Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn , và có biên là siêu mặt
n − 1 chiều trơn. Khi đó không gian Hos (Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi
n
và chỉ khi s > .
2
Định lý 1.12. Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn và có biên trơn. Khi
n
đó H s (Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s > .
2
Định lý 1.13. Giả sử Ω ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện trong định lý 1.11. Khi
đó
H s (Ω) ⊂ C m (Ω), s > n/2 + m.
Định lý 1.14. Giả sử Ω là miền giới nội có biên ∂Ω ∈ C m+1+[n/2] . Khi
đó H m+1+[n/2] (Ω) ⊂ C l (Ω), ngoài ra

f

C m (Ω)

≤C f

H m+1+[n/2] (Ω) ,

trong đó m là số nguyên không âm.
13

C = const,


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI
VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU
HÒA TRONG MẶT PHẲNG
Chương này giới thiệu về phương trình điều hòa và phương pháp phương
trình tích phân biên để giải nghiệm bài toán. Nội dung chính của chương
được hình thành từ tài liệu [2]

2.1

Phương trình điều hòa và các công thức Green

2.1.1

Phương trình điều hòa

Phương trình
n

uxk xk = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn ,

u=

(2.1)

k=1

được gọi là phương trình điều hòa, hay phương trình Laplace trong miền
Ω. Nghiệm của phương trình Laplace trong Ω được gọi là hàm điều hòa
trong Ω. Toán tử u, được xác định bởi vế trái của (2.1) được gọi là toán
tử Laplace, hay Laplacian. Hàm u điều hòa trong Ω, nếu u điều hòa trong
Ω và liên tục trong Ω.
14


2.1.2

Công thức tích phân từng phần

Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên ∂Ω. Ký hiệu Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Giả sử f (x), g(x) là các hàm khả vi liên tục trong Ω và có thác triển liên
tục trong Ω:
f (x), g(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω).
Khi đó công thức

fxi (x)g(x)dx = −
Ω

f (x)gxi (x)dx +
Ω

f (x)g(x)νi ds,

(2.2)

∂Ω

trong đó νi = cos(νx , xi ) là thành phần thứ i của vectơ pháp tuyến ngoài
đơn vị νx = (ν1 , ν2 , · · · , νn ) đối với Ω tại điểm x ∈ ∂Ω, ds là phần tử mặt
nguyên tố.
Công thức (2.2) còn được gọi là công thức Gauss - Ostrogadski.
2.1.3

Các công thức Green

Định lý 2.1 (Công thức Green thứ nhất). Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩
C 1 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω). Khi đó có công thức
n

v(x)∆u(x)dx = −

uxi (x)vxi (x)dx +

Ω

trong đó

x ∈ ∂Ω:

Ω i=1

v(x)
∂Ω

∂u(x)
ds,
∂νx

(2.3)

∂u(x)
là đạo hàm của u(x) theo pháp tuyến ngoài đơn vị νx tại
∂νx
∂u(x)
=
∂νx

n

uxi νi , νi = cos(νx , xi ).

(2.4)

i=1

Chứng minh. Áp dụng công thức (2.2) với f (x) = uxi , g(x) = v(x) (i =
1, 2, . . . , n), ta được

v(x)uxi xi (x)dx = −
Ω

uxi (x)vxi (x)dx+
Ω

v(x)uxi νi ds (i = 1, 2, . . . , n).
∂Ω

Cộng các đẳng thức trên đây theo i từ 1 đến n và chú ý công thức (2.4),
ta có công thức (2.3). Định lý được chứng minh.

15


Định lý 2.2 (Công thức Green thứ hai). Giả sử u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩
C 1 (Ω). Khi đó ta có công thức

(v

u−u

v)dx =

Ω

v
∂Ω

∂v

∂u
−u
ds.
∂νx
∂νx

(2.5)

Chứng minh. Áp dụng công thức Green thứ nhất với sự hoán đổi vai trò
của u(x) và v(x), ta có công thức
n

u(x)∆v(x)dx = −
Ω

uxi (x)vxi (x)dx +
Ω i=1

u(x)
∂Ω

∂v(x)
ds.
∂νx

(2.6)

Trừ các vế của các đẳng thức (2.3) và (2.6), ta được công thức (2.5). Định
lý được chứng minh.
2.1.4

Một số tính chất của hàm điều hòa

Định lý 2.3. Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong Ω và
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. Khi đó u(x) ≡ 0 trong Ω.
Chứng minh. Sử dụng công thức Green thứ nhất (2.3). Trong công thức
trên cho v(x) = u(x). Do u(x) = v(x) = 0 trong Ω và u(x) = v(x) = 0
trên ∂Ω, nên:
n

Ω i=1

u2xi (x)dx = 0.

Suy ra uxi (x) = 0 (i = 1, 2, . . . , n), do đó u = const. Vì u ∈ C 1 (Ω) và
u = 0 trên ∂Ω, nên const = 0, tức là u(x) ≡ 0, trong Ω. Định lý được
chứng minh.
Hệ quả 2.4. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó bài toán Dirichlet

u(x) = 0, x ∈ Ω,
u|Ω = g
trong lớp hàm C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) không thể có quá một nghiệm.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của bài toán. Đặt u =
u1 − u2 . Khi đó u thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3, vậy u(x) ≡ 0
trong Ω, tức là u1 (x) = u2 (x).
16


Định lý 2.5. Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong Ω và thỏa
∂u

mãn điều kiện
= 0, x ∈ Ω, trong đó ν = νx là pháp tuyến ngoài của
∂ν
Ω tại x. Khi đó u(x) = const.
Chứng minh. Sử dụng công thức Green thứ nhất với v = u. Vì
∂u
∂v
trong Ω và
=
trên ∂Ω, nên
∂ν
∂ν

u=

v

n
Ω i=1

u2xi (x)dx = 0.

Vì u ∈ C 1 (Ω), nên uxi = 0 (i = 1, 2, . . . , n) trong Ω, do đó u = const
trong Ω. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.6. Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong miền giới
nội Ω với biên ∂Ω. Khi đó

∂u
dsx = 0.
∂Ω ∂νx

Chứng minh. Trong công thức Green thứ nhất cho v(x) ≡ 1. Do
0, vxi = 0 trong Ω, nên suy ra

(2.7)

u=

∂u
dsx = 0.
∂Ω ∂νx
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.7. Để bài toán Neumann:

u(x) = 0, x ∈ Ω,
∂u
|∂Ω = g(x)
∂νx

(2.8)

có nghiệm cần thiết phải có điều kiện

g(x)dsx = 0.

(2.9)

∂Ω

Chứng minh. Thật vậy, theo Định lý 2.6, thì u(x) thỏa mãn điều kiện
(2.7), nếu có là hàm điều hòa trong Ω. Từ các điều kiện (2.7), (2.8), suy

ra điều kiện (2.9).
17


2.2

Hàm cơ bản

2.2.1

Hàm cơ bản và hàm điều hòa

Giả sử x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ). Khoảng cách giữa x và
ξ là khoảng cách Euclid bình thường
1
2

n

(xi − ξi )2

|x − ξ| =

.

i=1

Ta đưa vào hàm số sau:





1
,
E(x, ξ) = (n − 2)|x − ξ|n−2

− ln |x − ξ|,

n ≥ 2,
(2.10)

n = 2.

Mệnh đề 2.2.1. Ta có các khẳng định sau:

∂E(x, ξ)
xi − ξi
=−
, ∀x = ξ
∂xi
|x − ξ|n

(2.11)

∂E(x, ξ)
∂E(x, ξ)
=−
, ∀x = ξ
∂ξi
∂xi

(2.12)

Hơn nữa, hàm E (x, ξ) là hàm điều hòa theo x với x = ξ và là hàm điều
hòa theo ξ và ξ = x.
Chứng minh. Ta có

|x − ξ|2 = (x1 − ξ1 )2 + ... + (xi − ξi )2 + ... + (xn − ξn )2 .
Lấy đạo hàm theo xi hai vế đẳng thức trên ta có :

2|x − ξ|
Do đó :

∂|x − ξ|
= 2(xi − ξi ).
∂xi

∂|x − ξ|
x i − ξi
=
,
∂xi
|x − ξ|

(2.13)

từ đó dễ dàng suy ra (2.11). Công thức (2.12) là hiển nhiên. Để chứng
minh phần sau ta lấy đạo hàm hai vế của (2.11) theo xi , từ (2.13) ta nhận
18

được :

|x − ξ|n − (xi − ξi )n|x − ξ|n−1

∂ 2 E(x, ξ)
=−
∂ξi2
|x − ξ|2n
|x − ξ|2 − n(xi − ξi )2
=
, x=ξ
|x − ξ|n+2

xi − ξi
|x − ξ|
(2.14)

Tổng các vế của (5) theo i từ 1 đến n, ta có
x E(x, ξ)

2.2.2

= 0, x = ξ.

Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa

Định lý 2.8. Giả sử u (x) là hàm điều hòa trong miền Ω và u (x) ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 Ω . Khi đó ∀x ∈ Ω :

u(x) =

1
ωn

[E(x, ξ)
∂Ω

∂u(ξ)
∂E(x, ξ)
− u(ξ)
]dsξ ,
∂νξ
∂νξ

(2.15)

trong đó ωn là diện tích của mặt cầu đơn vị trong Rn .
Chứng minh. Ta lấy x0 ∈ Ω là điểm cố định. Ta chứng minh công thức
(2.15) cho trường hợp x = x0 .
Với ε > 0 ta đặt :

Bε (x0 ) = {x; |x − x0 | < ε},
Sε (x0 ) = {x; |x − x0 | = ε}
Ta lấy ε đủ nhỏ sao cho Bε x0 ⊂ Ω. Đặt

Ωε = Ω\Bε (x0 ).
Ta có ∂Ωε = ∂Ω ∪ Sε x0 . Ta áp dụng công thức (2.12) với v (x) =
E x0 , x . Do u(x) và v(x) là những hàm điều hòa trong Ωε nên

∂u(ξ)
∂E(x0 , ξ)
0
[
E(x , ξ) − u(ξ)
]dsξ = 0,
∂νξ
∂Ωε ∂νξ
19

(2.16)


trong đó νξ là pháp tuyến ngoài đơn vị đối với Ωε tại ξ ∈ ∂Ωε. Từ đó ta
suy ra
∂E(x0 , ξ)
∂u(ξ)
E(x0 , ξ) − u(ξ)
]dsξ
[
0
∂ν
∂ν
ξ
ξ
Sε (x )

∂E(x0 , ξ)
∂u(ξ)
0

E(x , ξ) − u(ξ)
]dsξ ,
=
[
∂νξ
∂Ω ∂νξ

(2.17)

trong đó νξ ở vế trái và vế phải của (8) tương ứng là các pháp tuyến ngoài
đơn vị tại ξ đối với Sε x0 và ∂Ω. Ta nhận xét rằng đối với ξ ∈ Sε x0

ξ − x0
.
νε =
|ξ − x0 |

(2.18)

Mặt khác, từ các công thức (1) và (2) mục §3 ta có

∂E(x0 , ξ)
ξ − x0
=−
∂ξ
|ξ − x0 |n , ξ = x0

(2.19)

Do đó đối với ξ ∈ Sξ x0 :

∂E(x0 , ξ)
∂E(x0 , ξ)
ξ − x0 ξ − x0
=<
, νξ >=< −
,
>
∂νε
∂ξ
|ξ − x0 |n |ξ − x0 |
1
1
=−
=
−
.
(2.20)
|ξ − x0 |n−1
εn−1
Do u (x) = C 1 Ω , nên |uxi (x)| ≤ M, ∀x ∈ Ω. Ta thấy rằng E x0 , ξ
là hàm số phụ thuộc khoảng cách ξ − x0 . Do đó khi ξ ∈ Sε x0 , tức
ξ − x0 = ε thì
E(x0 , ξ) = f (n, ε),
(2.21)
trong đó εn−1 f (n, ε) → 0 khi ε → 0.
Vế phải của (2.17) không phụ thuộc ε. Ta cho ε → 0 ở vế trái của (2.17)

|

∂u(ξ)
E(x0 , ξ)dsξ | ≤ |
Sε (x0 ) ∂νξ
≤|

Do đó

<
Sε (x0 )

∂u(ξ)
, νξ > E(x0 , ξ)dsξ |
∂ξ

√
∂u(ξ)
||νξ |E(x0 , ξ)dsξ ≤ M nf (n, ε)
∂ξ
Sε (x0 )
√
= M nf (n, ε)ωn εn−1 → 0 khi ε → 0.
|

∂u(ξ)
E(x0 , ξ)dsξ → 0, ε → 0
Sε (x0 ) ∂νξ
20

dsξ
Sε (x0 )

Mặt khác, từ công thức (1.11) ta có

−

u(ξ)
Sε (x0 )

∂E(x0 , ξ)
dsξ = −
∂νξ

[u(x0 ) + u(ξ) − u(x0 )]
Sε (x0 )

u(x0 )

=

1

dsξ +
n−1

ε
1
= ωn u(x0 ) + n−1
ε
Sε (x0 )

∂E(x0 , ξ)
dsξ
∂νξ

[u(ξ) − u(x0 )]
Sε (x0 )

1
εn−1

[u(ξ) − u(x0 )]dsξ .
Sε (x0 )

(2.22)
Do u(x) là hàm liên tục tại x0 , nên u (ξ) − u x0

|

1
εn−1

[u(ξ − u(x0 )]dsξ | ≤
Sε

(x0 )

1
εn−1

<δ

ωn εn−1 δ = ωn δ.

và do đó số hạng thứ hai ở vế phải (13) tiến tới 0 khi ε → 0.

2.3

Phát biểu bài toán biên của phương trình điều
hòa trong miền bị chặn

Trong mục này trình bày phương pháp đưa bài toán biên hỗn hợp hai
chiều về phương trình tích phân biên một chiều.
Xét phương trình Laplace hai chiều
2

∂ 2Φ ∂ 2Φ
Φ(x, y) =
+ 2 = 0, (x, y) ∈ Ω+ ,
2
∂x
∂y

(2.23)

trong đó Ω+ ⊂ Rn là một miền bị chặn được giới hạn bởi biên Γ trơn từng
khúc. Ký hiệu (xs , ys ) là điểm trên Γ tại cung nguyên tố chiều dài s và ký
hiệu
φ(s) = Φ(xs , ys ).
(2.24)

Ký hiệu νs là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại s ∈ Γ. Ta định nghĩa đạo
hàm pháp tuyến tại s ∈ Γ:

ψ(s) =

∂Φ(s)
=
lim νs .
(x,y)→(xs ,ys )
∂νs

Φ(x, y).

(2.25)

Giả sử Γj ⊂ Γ (j = 1, 2), Γ1 ∩ Γ2 = ∅, Γ1 ∪ Γ2 = Γ. Trên Γ xét các điều
kiện biên hỗn hợp dưới đây:

Φ(s) = b1 (s), s ∈ Γ1 ,
21

(2.26)

dsξ


ψ(s) = b2 (s), s ∈ Γ2 .

2.4

(2.27)

Công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt
phẳng và các điều kiện biên

Đối với điểm cố định F = (xF , yF ) ∈ Ω, hàm Green, hay nghiệm cơ
bản của phương trình Laplace hai chiều được cho bởi công thức
1
G(x, y, xF , yF ) = − ln[(x − xF )2 + (y − yF )2 ].
2
Ta biết rằng, tại điểm F thì
2

G(x, y, xF , yF ) = 0.

Tại điểm (x, y) ∈ Ω ta có công thức

ψ(s)G(xs , ys ; x, y) − φ(s)

2πΦ(x, y) =

∂G(xs , ys ; x, y)
ds.
∂νs

(2.28)

Γ

Nếu trong công thức (2.28) chuyển qua giới hạn (x, y) → t ∈ Γ và chú

ý tới (2.24) ta có công thức

ψ(s)G(s; t) − φ(s)

πφ(t) =

∂G(s; t)
ds, t ∈ Γ,
∂νs

(2.29)

Γ

trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa chính Cauchy tại s = t. Tại mỗi
điểm t trên cung trơn của Γ có công thức:

πψ(t) =

ψ(s)

∂G(s; t)
∂ 2 G(s; t)
− [φ(s) − φ(t)]
ds, t ∈ Γ,
∂νt
∂νs ∂νt

(2.30)

Γ

Giả sử r là véctơ từ điểm t đến điểm s, còn r = |t − s| là độ dài của véctơ
r . Khi đó công thức (2.29) có thể được viết lại dưới dạng:
ν s .r
πφ(t) =
φ(s) 2 − ψ(s) ln(r) ds, t ∈ Γ,
(2.31)
r
Γ

Tương tự, công thức (2.30) có thể được viết lại dưới dạng

2(ν s .r)(ν t .r) − r2 ν t .ν s
ν t .r
[φ(s)−φ(t)]×
+ψ(s)
ds, t ∈ Γ
r4
r2

πψ(t) =
Γ

(2.32)
22


2.5

Phương pháp phương trình tích phân biên

2.5.1

Bài toán Dirichlet

Giả sử φ(s) = b1 (s) được cho trên toàn bộ Γ. Khi đó từ (2.31) ta có
phương trình tích phân đối với hàm ψ(s):

ψ(s) ln(r) ds = −πb1 (t) +
Γ

b1 (s)

ν.r
ds, t ∈ Γ
r2

(2.33)

Γ

Trong trường hợp này giả thiết rằng b1 (t) ∈ H 1/2 (Γ) và tìm hàm ψ(t) trong
lớp H −1/2 (Γ). Nhận xét rằng phương trình (2.33) là phương trình tích phân
loại một, và là đặt chỉnh (ill-posed) vì nghiệm của nó thường không được
ổn định theo vế phải. Để tìm nghiệm ổn định của các phương trình tích
phân loại một thường vận dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov [7].
Nếu sử dụng công thức (2.32) thì ta có phương trình tích phân:

πψ(t)−

ψ(s)

ν t .r
=
r2

[b1 (s)−b1 (t)]

2(ν s .r)(ν t .r) − r2 ν s .ν t
ds, t ∈ Γ,
r4

Γ

Γ

(2.34)
Phương trình (2.34) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và là
phương trình đặt chỉnh.
2.5.2

Bài toán Neumann

Giả sử ψ(s) = b2 (s) ∈ H −1/2 (Γ) được cho trên toàn bộ Γ. Khi đó từ
(2.31) ta có phương trình tích phân đối với hàm φ(s) ∈ H 1/2 (Γ) :

πφ(t) −

φ(s)

ν.r
ds = −
r2

Γ

b2 (s) ln(r) ds, t ∈ Γ.

(2.35)

Γ

Phương trình (2.35) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và có
cùng dạng với phương trình (2.34). Để bài toán Neumann trong miền bị
chặn Ω+ giải được phải có điều kiện

ψ(s) ds =
Γ

b2 (s) ds = 0.
Γ

23

(2.36)