BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ SONG SONG THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

QUAN H VUÔNG GÓC – QUAN H SONG SONG
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Quan h vuông góc – quan h song song thu c khóa

h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m

Bài 1. Cho t di n ABCD và G là tr ng tâm tam giác ABD . Trên đo n BC l y đi m M sao cho
MB  2MC . Ch ng minh r ng MG // ( ACD) .
Gi i:
A
G i N là trung đi m c a AD .
BG
Khi đó:
2
GN
N
BM
BG BM
G
Mà ta có

2

B
C
MC
GN MC
M
Khi đó theo h qu đ nh lý Ta – let ta có:
MG / / NC  ( ACD)
Suy ra MG // ( ACD) (đpcm).
D
Bài 2. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' . G i M là trung đi m c a A' B ' . i m N thay đ i trên đo n BB ' . G i
P là trung đi m c a C ' N .
a. Ch ng minh r ng MP // ( AA' C ' C ) .
b. Ch ng minh r ng MP luôn thu c m t m t ph ng c đ nh, khi N thay đ i.
c. Tìm v trí c a N thu c BB ' sao cho MP / / A' C .

a. G i B ' P

Gi i:
CC '  Q . Khi đó B ' C ' QN là hình bình hành và

P là trung đi m c a B ' Q
Suy ra MP là đ ng trung bình trong tam giác B ' QA'
Suy ra MP / / A' Q  ( AA' C ' C ) nên MP // ( AA' C ' C ) (đpcm)
b. Ta có MP đi qua đi m M c đ nh và MP / /( AA' C ' C)
Suy ra MP  ( ) , trong đó ( ) là m t ph ng đi qua M
và song song v i ( AA' C ' C ) nên ( ) (đpcm).
c. Ta có MP / / A' Q nên MP / / A' C khi và ch khi Q  C  N  B

B
Q

A

C
N

P

A'

B'
M
C'

Bài 3. Cho t di n ABCD . G i O, O ' l n l t là tâm đ ng tròn n i ti p các tam giác ABC, ABD . Ch ng
A
BC AB  AC
.
minh r ng OO '/ /( BCD) khi và ch khi

BD AB  AD
Gi i:
G i AO BC  M và AO ' BD   N
O
O'
OA O ' A
C
(1)

Khi đó OO '/ /( BCD)  OO '/ / MN 

D
OM O ' N
M
M t khác theo tính ch t đ ng phân giác ta có:
N
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

OA AB AC
AB  AC AB  AC
(2)





OM MB MC MB  MC
BC
O ' A AB  AD
T ng t ta đ c:
(3)

O'N
BD
Thay (2); (3) vào (1) ta đ c:
AB  AC AB  AD
BC AB  AC
(đpcm).



OO '/ / MN 
BC
BD
BD AB  AD

Bài 4. Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' . G i M , N, P l n l
Ch ng minh r ng MP  C ' N .
Gi i:
G i E là trung đi m c a CC ' . Khi đó:
ME / / A' D ' hay ME / / PD '  MP  (MED ' A') (*)
D th y: C ' CN  D ' C ' E
 CNC '  C ' ED '  CC ' N  C ' NC  900  C ' N  ED ' (1)
M t khác: ME / / BC  ME  (CDD ' C ')  ME  C ' N (2)
T (1) và (2), suy ra: C ' N  (MED ' A') (2*)
T (*) và (2*), suy ra C ' N  MP (đpcm).

t là trung đi m c a BB ', CD, A' D ' .
A'

P

D'
C'

B'

E

M

D

A
N
B

C

Bài 5. Cho hình chóp t giác đ u S. ABCD . G i E là đi m đ i x ng c a B qua trung đi m c a SA. G i
M , N l n l t là trung đi m c a AE, CD . Ch ng minh r ng MN  BD .
E
Gi i:
Ta có SEAD là hình bình hành, do đó:
SE  AB  CD và SE / / AB / /CD
Suy ra SEDC là hình bình hành , khi đó: ED / / SC

S
G i AC BD  H   SH  ( ABCD)  SH  BD
M
Ta có : BD  AC , suy ra: BD  (SAC ) (*)
G i P là trung đi m c a AD , khi đó:
 MN / / AC
 ( MNP ) / /( SAC ) (2*)

 MP / / ED / / SC
D
P
A
T (*) và (2*), suy ra: BD  (MNP )  BD  MN
hay MN  BD (đpcm).
N
H
B
C
Bài 6. Cho hình h p ch nh t ABCD.A' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông ABCD c nh a và AA'  b . G i
a
đ hai m t ph ng ( A' BD) và ( MBD) vuông góc v i nhau.
M là trung đi m c a CC ' . Xác đ nh t s
b
Gi i:
G i O là tâm c a hình vuông ABCD
A'
D'
Ta có A' B  A' D  A' O  BD . L i có MB  MD  MO  BD
 A' O  BD
C'

B'

Khi đó:  MO  BD
( A' BD) ( MBD)  BD

M
A
D
Suy ra góc t o b i ( A' BD) và ( MBD) là A' OM
O
V y ( A' BD)  (MBD)  A' OM  900  A' O2  OM 2  A' M 2 (*)
B
C
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

2

a 2

a2
2
2
2
2
2
2
 A' O  A' B  BO  a  b  

b

 2 
2




b2 a 2

Ta có: OM 2  MC 2  CO 2  
.
4 2


b2
2
2
2
2





A
M
A
C
C
M
a
'
'
'
'
2

4


5b2
b2
a
Khi đó (*) 
 a 2  2a 2   b  a (vì a , b  0 ). V y v i  1 thì ( A' BD)  (MBD) (đpcm).
4
4
b

Bài 7. Cho t di n S. ABC có SA  ( ABC ) . G i H , K l n l t là tr c tâm c a tam giác ABC và SBC .
a. Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AH , SK và BC đ ng quy.

b. Ch ng minh r ng SC  ( BHK) và HK  (SBC ) .
c. Kéo dài SA c t HK t i R . Ch ng minh r ng t di n SBCK có các c p c nh đ i vuông góc.
Gi i:
a. G i E là chân đ ng cao h t A c a tam giác ABC
S
Ta có SA  ( ABC )  SA  BC  BC  (SAE )
Suy ra BC  SE
V y ba đ ng th ng AH , SK và BC đ ng quy t i E .
b. Ta có

SA  ( ABC )  SA  BH 
  BH  ( SAC )  BH  SC
AC  BH


K
A

B

Mà BK  SC  SC  ( BHK) (đpcm)

H

Khi đó SC  HK (1)
Mà theo ý a) ta có BC  (SAE )  BC  HK (2)

E
C

T (1), (2), suy ra HK  (SBC ) (đpcm).
c. Trong t di n SBRC có SR  BC
Ta có RB  ( HKB)  SC  RB (vì SC  ( BHK) ch a RB ).
Ch ng minh t

ng t ta đ

R

c RC  SB (đpcm).

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông c nh a và SA  ( ABCD) . G i M , N là hai đi m
l nl

t trên hai c nh BC, DC sao cho BM 

a
3a
, DN  . Ch ng minh r ng (SMN)  (SAM ) .
2
4

Gi i:

S

2

2
 a  5a

Xét tam giác ABM ta có AM 2  AB2  BM 2  a 2    
4
2
2

25a 2
 3a 
Xét tam giác ADN ta có AN  AD  DN  a    
16
 4 
2

2

2

2

2

A

2

2
 a   a  5a
Xét tam giác CMN ta có MN 2  CM 2  CN 2       
16
2 4

25a 2
 AM 2  MN 2
Suy ra AN 
16
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

D
N
M

C

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Suy ra tam giác AMN vuông t i M .
 MN  AM

Khi đó 
 MN  ( SAM ) , suy ra (SMN)  (SAM ) (đpcm)
 MN  SA
Bài 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi và SA  ( ABCD) . K AB '  SB, AD '  SD v i
B '  SB, D '  SD . Ch ng minh r ng B ' D '  (SAC ) .

S

Gi i:
Ta có BD  SA (do SA  ( ABCD) )
và BD  AC (do ABCD là hình thoi)
Suy ra BD  (SAC ) (1)
M t khác SAB  SAD
SB ' SD '


 B ' D '/ / BD (2)
SB SD
T (1) và (2), suy ra B ' D '  (SAC ) (đpcm).

B'
D'
A

B

D

C

Bài 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t và SA  ( ABCD) .
K AB '  SB, AC '  SC, AD '  SD
( B '  SB, C '  SC, D '  SD) . Ch ng minh r ng t giác AB ' C ' D ' n i ti p đ ng tròn.
Gi i
S
+) Tr c tiên ta s ch ng minh 4 đi m A, B ', C ', D '
Ta có CB  AB và CB  SA (do SA  ( ABCD) )
C'
Suy ra CB  (SAB)  CB  AB '
M t khác SB  AB ' , do đó AB '  (SCB)  AB '  SC (1)
D'
Ch ng minh t ng t ta đ c AD '  (SCD)  AD '  SC (2)
Mà theo gi thi t AC '  SC (3)
A
T (1), (2) và (3), suy ra A, B ', C ', D ' đ ng ph ng (*)

B'

B

+) Ta có AB '  (SCB)  AB '  B ' C ' hay AB ' C '  900
và AD '  (SCD)  AD '  D ' C ' hay AD ' C '  900
Suy ra AB ' C '  AD ' C '  1800 (2*)
T (*) và (2*), suy ra t giác AB ' C ' D ' n i ti p đ

D

ng tròn (đpcm)

Giáo viên

Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

C

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.

Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-