BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

CÁC BÀI TOÁN V C C TR
BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Các bài toán v c c tr thu c khóa h c Luy n thi
THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n
này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
(Bài t p t luy n dung chung cho c 2 ph n)

Bài 1. Tìm c c tr c a hàm s sau: y  x3  3x2  9 x  5
Gi i



D=R
y'  3x2  6 x  9

 x  1
Cho y'  0  3x2  6 x  9  0  
x  3
 BBT

V y: hàm s đ t c c đ i t i (-1;10). Hàm s đ t c c ti u t i (3;-22)
1
Bài 2. Cho hàm s y  x3  m  1x2  m2  3m  2x  5 .
3

a. Tìm m đ hàm s đ t c c tr t i x = 0.
b. Tìm m đ hàm s đ t c c đ i t i x = 1.
c. Tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i x = 3.
Gi i
a. TX : D = R
y /  x2  2m  1x  m2  3m  2

y //  2 x  2m  1

m  1
 y / (0)  0
m2  3m  2  0


 m  2  m  2
Hàm s đ t c c tr t i x = 0   //
 y (0)  0
 2m  1  0
m  1

V y Hàm s đ t c c tr t i x = 0
b. TX : D = R
y /  x2  2m  1x  m2  3m  2 và y //  2 x  2m  1
Hàm s đ t c c đ i t i x = 1


5 5
m 
2


 y / (1)  0
m2  5m  5  0
5 5

  //
 
5 5  m
2
 y (1)  0
4  2 m  0
m 
2


m  2
c. TX : D = R
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

y /  x2  2m  1x  m2  3m  2
y //  2 x  2m  1
Hàm s đ t c c ti u t i x = 3
/

m2  9m  17  0
m  
 y (3)  0

 m

  //

m  4
8  2m  0
 y (3)  0
V y không có giá tr nào c a m đ hàm s đ t c c ti u t i x = 3.
1
1
1
Bài 3. Cho hàm s y   x3  ax2  bx  . Xác đ nh a và b đ hàm s đ t c c đ i t i x = 1 và giá tr
3
2
3
c c đ i t i đi m đó b ng 2.
Gi i
* TX : D = R

* y /   x2  ax  b
y //  2 x  a

Hàm s đ t c c đ i t i x = 1 và giá tr c c đ i t i đi m đó b ng 2

 y / (1)  0
 1  a  b  0
a  2
 //
a  2


  y (1)  0   2  a  0
 b  3  
b  3
 y(1)  2
1
a  2


 a b  2
2
a  2
V y
th a mãn đi u ki n bài toán.
b  3

Bài 4. Xác đ nh m đ hàm s

y  x4  2m2 x2  5
a. Hàm s đ t c c ti u t i x = - 1

b. Hàm s đ t c c đ i t i x = - 2.

Gi i

a. TX : D = R

y /  4 x 3  4m 2 x
y //  12 x 2  4m2
 m  1
/
2


m  1

 y (1)  0
 4  4m  0

Hàm s đ t c c ti u t i x = - 1   //

 m  1
2


m  1

 y (1)  0
12  4m  0
m
3
;
3




b. TX : D = R





y /  4 x 3  4m 2 x
y //  12 x 2  4m2
Hàm s đ t c c đ i t i x = - 2
m  2
/
2



 y (2)  0
 32  8m  0
  //

 m  2
 m 2
2



 y (2)  0
48  4m  0

m   ;  2 3  2 3 :  



 



x2  m  1x  m2  4m  2
x 1
a. Xác đ nh m đ hàm s có c c tr .
Bài 5. Cho hàm s y 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

b. Xác đ nh m đ hàm s đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh.
Gi i
a. TX :

y/ 

x 2  2 x  m2  3m  3

x  12

 x  1 (1)
y/  0   2
2
 x  2 x  m  3m  3  0 (2)
Hàm s có c c tr  ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 1
/
2


 m  3m  2  0
  0
1 m 2

 2
 2
2


m  3m  2  0
1  2.1  m  3m  3  0

b. Hàm s đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh
 y /  0 x  1  x 2  2 x  m2  3m  3  0 x  1

1  0
 x 2  2 x  m2  3m  3  0 x  R   /
 m2  3m  2  0  m   ;1  2;   
  0
1 3
x  2m  1x2  1  4mx  1
3
a. Xác đ nh m đ hàm s có c c đ i và c c ti u.

Bài 6. Cho hàm s y 

b. Xác đ nh m đ hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2 sao cho x1  x2  4 .
c. Xác đ nh m đ hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 .
d. Xác đ nh m đ hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2 th a mãn: x1  x2  2.
e. Xác đ nh m đ đ th hàm s có hai đi m c c n m v cùng phía so v i tr c tung.
Gi i
a. TX : D = R
y /  x2  22m  1x  1  4m
2

2

y /  0  x2  22m  1x  1  4m  0 (*)

Hàm s có c c đ i và c c ti u  ph

ng (*) có hai nghi m phân bi t

 /  4m2  0  m2  0  m  0
V y m  0 hàm s có c c đ i và c c ti u.

b. TX : D = R
y /  x2  22m  1x  1  4m
y /  0  x2  22m  1x  1  4m  0 (*)

* Hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2  ph ng (*) có hai nghi m phân bi t
 /  4m2  0  m2  0  m  0
* V i m  0 hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2
Ta có x1 , x2 là nghi m c a ph

 x1  x2  22m  1
ng trình (*) nên 
 x1 .x2  1  4m

2
2
2
Theo đ ta có x1  x2  4  x1  x2  2 x1 x2  16  x1  x2   4 x1 x2  16

 m  1 ( n)
2
 22m  1  4.1  4m  16  16m2  16  
 m  1 (n)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

V y m = 1; m = -1 th a mãn đi u ki n bài toán.
c. TX : D = R

y /  x2  22m  1x  1  4m
y /  0  x2  22m  1x  1  4m  0 (*)

* Hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2  ph

ng (*) có hai nghi m phân bi t

  4m  0  m  0  m  0
* V i m  0 hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2
/

2

2

Ta có x1 , x2 là nghi m c a ph

 x1  x2  22m  1 (1)
ng trình (*) nên 
 x1 .x2  1  4m (2)

Theo đ ta có 3x1  x2  4 (3)

4  2 x1  22m  1
c 
 x1 4  3x1   1  4m

T (3)  x2  4  3x1 thay vào (1) và (2) ta đ
 x1  3  2m (3)

2
4 x1  3x1  1  4m (4)

c 43  2m  33  2m  1  4m

Thay x1  3  2m vào (4) ta đ

2

2

m  ( n)

 12m  32m  16  0 
3

 m  2 ( n)
2
V y m  ; m  2 th a T KBT.
3
d. TX : D = R

2

y /  x2  22m  1x  1  4m

y /  0  x2  22m  1x  1  4m  0 (*)

* Hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2  ph

ng (*) có hai nghi m phân bi t

 /  4m2  0  m2  0  m  0
* V i m  0 hàm s có hai đi m c c tr x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghi m c a ph

 x1  x2  22m  1
ng trình (*) nên 
 x1 .x2  1  4m

Theo đ ta có x1  x2  2  x1  x2   2 x1 x2  2  22m  1  21  4m  2
2

2

 16m2  8m  0  0  m 

2

2

1
2

1
th a T KBT.
2
e. TX : D = R

V y 0  m

y /  x2  22m  1x  1  4m
y /  0  x2  22m  1x  1  4m  0 (*)

* Hàm s có hai đi m c c tr  ph

ng (*) có hai nghi m phân bi t

 /  4m2  0  m2  0  m  0
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

* V i m  0 hàm s có hai đi m c c tr . G i x1 , x2 là hai đi m c c tr c a hàm s .

 x1  x2  22m  1
ng trình (*) nên 
 x1 .x2  1  4m
th hàm s có hai đi m c c n m v cùng phía so v i tr c tung
1
 x1 .x2  0  1  4m  0  m 
4
1
K t h p v i đi u ki n m  0 ta đ c m  0; m 
4
1
V y m  0; m  th a T KBT.
4
Bài 7. . Cho hàm s y  x4  2mx2  2
a. Xác đ nh m đ hàm s có ba đi m c c tr .
b. Xác đ nh m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr l p thành m t tam giác vuông cân.
c. Xác đ nh m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr l p thành m t tam giác đ u.
d. Xác đ nh m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr l p thành m t tam giác có di n tích b ng 1.
Gi i
a. TX : D = R
y /  4 x3  4mx
Ta có x1 , x2 là nghi m c a ph

y /  0  4 x3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4 x x2  m  0   2

 x  m (2)
Hàm s có ba đi m c c tr  ph ng trình (*) có ba nghi m phân bi t
 ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m  0
m  0

 2
 m0
m  0
0  m
V y m > 0 th a mãn T KBT.
b. TX : D = R
y /  4 x3  4mx





y /  0  4 x3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4 x x2  m  0   2
 x  m (2)
* Hàm s có ba đi m c c tr  ph ng trình (*) có ba nghi m phân bi t
 ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m  0
m  0

 2
 m0
m  0

0  m





* V i m  0 , ta có (2)  x   m nên đ th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B ( m ; 2  m2 ) , C ( m ; 2  m2 ) .
Ta có AB  m4  m ; AC  m4  m  AB  AC nên tam giác ABC cân t i A.
Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông t i A  AB . AC  0 (**)





Có AB   m ;  m2 ; AC 
Hocmai.vn – Ngôi tr



m ;  m2



ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

m  0 (l )
V y (**)   m. m  (m2 ).(m2 )  0  m  m4  0  
 m  1 ( n)
V y m = 1 đ th hàm s có ba đi m c c tr l p thành m t tam giác vuông cân.
c. TX : D = R
y /  4 x3  4mx
y /  0  4 x3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4 x x2  m  0   2
 x  m (2)
* Hàm s có ba đi m c c tr  ph ng trình (*) có ba nghi m phân bi t
 ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m  0
m  0
 2
 m0

m  0
0  m





* V i m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đ th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B ( m ; 2  m2 ) , C ( m ; 2  m2 ) .
4
4

 AB  AC
 m m  m m
Tam giác ABC đ u  AB  AC  BC  
 m 4  m  4m

4
 AC  BC

 m  m  4m

m  0 (l )
 m4  3m  0  m m3  3  
3
 m  3 ( n)





V y m  3 3 th a mãn KBT.
d. TX : D = R
y /  4 x3  4mx
y /  0  4 x3  4mx  0 (*)
 x  0 (1)
 4 x x2  m  0   2

 x  m (2)
* Hàm s có ba đi m c c tr  ph ng trình (*) có ba nghi m phân bi t
 ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m  0
m  0
 2
 m0

m  0
0  m





* V i m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đ th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B ( m ; 2  m2 ) , C ( m ; 2  m2 ) .
. BC  4m





. BC  2 m ; 0  2 m. 1; 0  vect pháp tuy n c a đ
Nên BC có ph

ng th ng BC là n  0;1

ng trình: y  m2  2  0

d( A; BC)= m2  m2
1
Ta có, S ABC  .BC . d ( A; BC )  1
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

1
 . 4m.m2  1  m5  1  m  1 (n)
2
V y m = 1 th a KBT.

Bài 8. Cho hàm s y 
TX : D  R \  m

y/ 

x2  mx  1

. Ch ng minh r ng v i m i m hàm s có c c tr .
x m
Gi i

x2  2mx  m2  1

x  m2

 x  m (1)
y/  0   2
2
 x  2mx  m  1  0 (2)
Hàm s có c c tr  ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t
/

1  0
  0


 m R
2
2

 1  0
 m  2m.(m)  m  1  0
V y v i m i m hàm s luôn có c c tr .
Bài 9. Cho hàm s y  x4  2( m  1 )x2  m . Tìm m đ đ th hàm s (1) có
ba đi m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, O là g c t a đ , A là c c tr thu c
tr c tung, B và C là hai đi m c c tr còn l i.
Gi i

3
y’ = 4x – 4(m + 1)x
 x  0 (1)
y’ = 0   2
 x  m  1 (2)
Hàm s có 3 c c tr  ph ng trình y/ = 0 có hai nghi m phân bi t
 ph ng (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m  1  0
 2
 m > -1


0
m
1

Khi đó đ th hàm s có 3 c c tr A (0; m), B ( m 1 ; -m2 – m – 1),
C (- m 1 ; -m2 – m – 1)
Ta có: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m = 2  2 2 (th a m > -1)
1
Bài 10. Cho hàm s y  x3  ( m  2 )x2  ( 5m  4 )x  3m  1 . Tìm m đ hàm s đ t c c tr t i x1, x2 sao
3
cho x1 < 2 < x2 .
Gi i
* TX : D = R.
* y/  x2  2( m  2 )x  5m  4

y/  0  x2  2( m  2 )x  5m  4  0 (*)
* Hàm s có hai c c tr  ph ng trình (*) có hai nghi m phân bi t
  /  ( m  2 )2  ( 5m  4 )  m2  9m  0  m  0 ho c m  9 (1)

* Khi m  0 ho c m  9 , hàm s đ t c c tr t i x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s

 ( x1  2)( x2  2)  0  x1x2  2 x1  2 x2  4  0  x1x2  2( x1  x2 )  4  0
 5m  4  2.(2)(m  2)  4  0  9m  0  m  0 (2)
i chi u (1) và (2) ta đ c m < 0.
V y m < 0 th a đi u ki n bài toán.

Giáo viên
Ngu n

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN






Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-