giáo án toán 12 bài cực trị hàm số - gv.ng.anh sơn

GIÁO ÁN TOÁN ĐẠI SỐ 12
CỰC TRỊ HÀM SỐ
Tiết 4: Đ2 - Cực trị của Hàm số. (Tiết 1)
Ngày dạy:
A - Mục tiêu:
- Nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu địa phương. Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn
nhất nhỏ nhất.
- Nắm vững các điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
B - Nội dung và mức độ:
- Khái niệm cực đại, cực tiểu.
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lý 1 và quy tắc 1.
- Ví dụ 1
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa và các biểu bảng.
- Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.
• Bài mới:
Hoạt động 1: ( kiểm tra bài cũ)
Chữa bài tập 3 trang 11: Chứng minh rằng hàm số y =
2
x
x 1+
nghịch biến trên từng khoảng (-
∞; 1) và (1; + ∞).
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Hàm số xác định trên R và có y’ =
( )
2

2
2
1 x
1 x
−
+
. Ta có
y’ = 0 ⇔ x = ± 1 và xác định ∀x ∈ R. Ta có bảng:
x
-∞ -1 1 + ∞
y’ - 0 + 0 -
y

1
2
-
1
2
Kết luận được: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
(- ∞; 1) và (1; + ∞).
- Gọi một học sinh lên bảng trình bày
bài tập đã chuẩn bị ở nhà.
- Cho tính thêm các giá trị của hàm số
tại các điểm x = ± 1.
- Dùng bảng minh hoạ đồ thị của hàm số
và nêu câu hỏi: Hãy chỉ ra điểm cao
nhất, điểm thấp nhất của đồ thị so với
các điểm xung quanh ?
- Dẫn dắt đến khái niệm điểm cực trị
của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số y =
2
x
x 1+
I - KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
Hoạt động 2:
Đọc và nghiên cứu định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số. (SGK - trang 12)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc và nghiên cứu định nghĩa cực đại, cực tiểu của
hàm số. (SGK - trang 12)
- Phát biểu ý kiến, biểu đạt nhận thức của bản thân.
- Tổ chức cho học sinh đọc. nghiên cứu
định nghĩa về cực đại, cực tiểu của hàm
số.
- Thuyết trình phần chú ý của SGK.
II - ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Hoạt động 3:(Dẫn dắt khái niệm)
Lấy lại ví dụ trong hoạt động 1, với yêu cầu:
Hàm số y =
2
x
x 1+
có cực trị hay không ? Tại sao ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Chỉ ra được hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, giá trị cực
tiểu y = -
1
2

. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực
đại y =
1
2
.
- Từ bảng, nhận xét được sự liên hệ giữa đạo hàm và
các điểm cực trị của hàm số.
- Gọi học sinh chỉ ra các điểm cực đại,
cực tiểu của đồ thị hàm số:
y =
2
x
x 1
+
- Phát biểu nhận xét về sự liên hệ giữa
đạo hàm và các điểm cực trị của hàm số.
Phát biểu định lí 1.
Hoạt động 4:(Dẫn dắt khái niệm)
Hãy điền vào các bảng sau:

Hoạt động 5:
Chứng minh định lí 1
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Hoạt động theo nhóm: Đọc, thảo luận phần chứng
minh định lí 1 (SGK)
- Phát biểu quan điểm của bản thân về cách chứng
minh định lí, nhận xét về cách biểu đạt, trình bày của
bạn.
- Nêu được quy tắc tìm các điểm cực trị.
- Tổ chức cho học sinh hoạt động theo

nhóm với nhiệm vụ: Đọc, thảo luận phần
chứng minh định lí 1 (SGK)
- Kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh: Gọi
đại diện của nhóm chứng minh định lí
- Phát biểu quy tắc tìm các điểm cực trị
của hàm số ( Quy tắc 1)
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 6: (Củng cố)
Tìm các điểm cực trị của hàm số: y = f(x) = x(x
2
- 3)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Giải bài tập theo hướng dẫn của giáo viên.
- Tham khảo SGK.
- Hướng dẫn học sinh tìm cực trị của
hàm số đã cho theo từng bước mà quy
tắc 1 đã phát biểu.
- Gọi học sinh thực hiện.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 7: (Củng cố)
Tìm cực trị ( nếu có) của hàm số y = f(x) =
x
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
x x
0
- h x
0
x
0
+ h

y’ - +
y
CT
- Ta có y = f(x) =
x
=
x v
x v
íi x > 0
íi x < 0


−

nên hàm
số xác định trên tập R và có:
y’ = f’(x) =
1 v
1 v
íi x > 0
íi x < 0


−

(chú ý tại x = 0
hàm số không có đạo hàm).
- Ta có bảng:
x
-∞ 0 +∞

y’ - || +
y
0
CT
Suy ra hàm đạt CT tại x = 0 ( y = 0)
- Hướng dẫn học sinh tìm cực trị của
hàm số đã cho theo từng bước mà quy
tắc 1 đã phát biểu.
- Gọi học sinh thực hiện.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
- Chú ý cho học sinh thấy được: Hàm số
y = f(x) =
x
không có đạo hàm tại x =
0 nhưng vẫn đạt CT tại đó.


Tiết 5: Cực trị của Hàm số. (Tiết 2)
Ngày dạy:
A - Mục tiêu:
- Nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu địa phương. Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn
nhất nhỏ nhất.
- Nắm vững các điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
- Áp dụng được vào bài tập.
B - Nội dung và mức độ:
- Định lý 2 và quy tắc 2
- Các ví dụ 2, 3.
- Luyện kỹ năng áp dụng các quy tắc 1, 2 để tìm cực trị của hàm số.
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa và các biểu bảng.

- Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.
• Bài mới:
Hoạt động 1: ( Kiểm tra bài cũ và Dẫn dắt khái niệm)
Gọi học sinh chữa bài tập 1 trang 17:
Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
- 36x - 10 c) y = x +
1
x
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Tập xác định của hàm số là tập R.
y’ = 6x
2
+ 6x - 36; y’ = 0 ⇔ x = - 3; x = 2.
Ta có bảng:
x
-∞ - 3 2 +∞
y’
y

+
0
-

0
+
CĐ - 54
71 CT
Suy ra y
CĐ
= y(- 3) = 71; y
CT
= y(2) = - 54
b) Tập xác định của hàm số là R \
{ }
0
.
y’ = 1 -
2
1
x
=
2
2
x 1
x
−
; y’ = 0 ⇔ x = - 1; x = 1.
Lập bảng, suy ra: y
CĐ
= y(-1) = - 2; y
CT
= y(1) = 2
- Gọi 2 học sinh lên bảng trình bày bài

giải đã chuẩn bị ở nhà.
- Giao cho các học sinh bên dưới:
+ ở câu a) tính thêm y”(- 3); y”(2).
+ ở câu b) tính thêm y”(- 1); y”(1).
- Phát vấn:
Quan hệ giữa dấu của đạo hàm cấp hai
với cực trị của hàm số ?
- Giáo viên thuyết trình định lí 2 và Quy
tắc 2 tìm cực trị của hàm số.
Hoạt động 2: (Luyện tập. củng cố)
Tìm các điểm cực trị của hàm số:
y = f(x) =
1
4
x
4
- 2x
2
+ 6
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Tập xác định của hàm số: R
f’(x) = x
3
- 4x = x(x
2
- 4);
f’(x) = 0 ⇔ x = ± 2; x = 0.
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập theo 2
cách: Một học sinh dùng quy tắc 1, một
học sinh dùng quy tắc 2 và so sánh các

kết quả tìm được.
Quy tắc 1: Lập bảng xét dấu của f’(x) để suy ra các
điểm cực trị.
x
-∞ - 2 0 2 +∞
f’ - 0 + 0 - 0 +
f
2 CĐ 2

Suy ra: f
CT
= f(± 2) = 2; f
CĐ
=f(0) = 6
Quy tắc 2: Tính f”(x) = 3x
2
- 4 nên ta có:
f”( ± 2) = 8 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 2 và
f
CT
= f(± 2) = 2.
f”(0) = - 4 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 và f
CĐ

= f(0) = 6.
T 6 CT
- Chú ý cho học sinh:
+ Trường hợp y” = 0 không có kết luận
gì về điểm cực trị của hàm số.
+ Khi nào nên dùng quy tắc 1, khi nào

nên dùng quy tắc 2 ?
- Đối với các hàm số không có đạo hàm
cấp 1 (và do đó không có đạo hàm cấp
2) thì không thể dùng quy tắc 2.
Hoạt động 3: (Luyện tập. củng cố)
Tìm các điểm cực trị của hàm số : y = f(x) = sin
2
x
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
f’(x) = sin2x, f’(x) = 0 ⇔ 2x = k
π
⇔ x = k
2
π
f”(x) = 2cos2x nên suy ra:
f”
k
2
π
 
 ÷
 
= 2cos
kπ
=
2 n
2 n
Õu k = 2l+1
Õu k = 2l
−




l ∈ Z
Suy ra: x =
2
π
+ lπ là các điểm cực đại của hàm số.
- Hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài
tập theo quy tắc 2.
(dễ dàng hơn do không phải xét dấu
f’(x) - là hàm lượng giác).
- Củng cố định lí 2 và quy tắc 2. Phân
biệt các giá trị cực đại, cực tiểu với các
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
x = lπ là các điểm cực tiểu của hàm số.
Hoạt động 4: (Củng cố)
Có thể áp dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số y = f(x) =
x
được không ? Tại sao ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Thấy được hàm số đã cho không có đạo hàm cấp 1
tại x = 0, tuy nhiên ta có:
y’ = f’(x) =
1
n
2 x
1
n

2 x
Õu x > 0
Õu x < 0





−

−

nên có bảng:
x
-∞ 0 +∞
y’ - || +
y
0
CT
- Suy ra được f
CT
= f(0) = 0 ( cũng là GTNN của hàm
số đã cho.
- Hướng dẫn học sinh khá: Hàm số
không có đạo hàm cấp 1 tại x = 0 nên
không thể dùng quy tắc 2 (vì không có
đạo hàm cấp 2 tại x = 0). Với hàm số đã
cho, có thể dùng quy tắc 1, không thể
dùng quy tắc 2.
- Củng cố:

Hàm số không có đạo hàm tại x
0
nhưng
vẫn có thể có cực trị tại x
0
.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập còn lại ở trang 17 - 18 (SGK).
Tiết 6: Cực trị của Hàm số. (Tiết 3)
Ngày dạy:
A - Mục tiêu:
- Có kĩ năng thành thạo tìm cực trị của hàm số.
- Giải được loại toán về cực trị của Hàm số có chứa tham số.
- Củng cố kiến thức cơ bản.
B - Nội dung và mức độ:
- Củng cố kiến thức về cực trị của Hàm số.
- Chữa bài tập cho ở tiết 4 - 5.
- Chú trọng các bài tập có chứa tham số.
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa, sách bài tập.
- Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.
• Bài mới:
Hoạt động 1: ( Kiểm tra bài cũ)
Chữa bài tập 1 trang 17:
Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm cực trị của các hàm số sau:
d) y = f(x) =
2

x 2x 3
x 1
− +
−
e) y = g(x) = x
3
(1 - x)
2

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
d) Tập xác định của hàm số: R \
{ }
1
y’ = f’(x) =
( )
2
2
x 2x 1
x 1
− −
−
; y’ = 0 ⇔
x 1 2
x 1 2

= −

= +



Lập bảng xét dấu của f’(x) và suy ra được:
f
CT
= f(1 +
2
) = 2
2
; f
CĐ
= f(1 -
2
) = - 2
2
.
e) Tập xác định của hàm số: R
y’ = g’(x) = x
2
(1 - x)(3 - 5x); y’ = 0 ⇔
x 0
3
x
5
x 1
=



=



=

Lập bảng xét dấu của g’(x), suy ra được:
g
CĐ
= g
3
5
 
 ÷
 
=
108
3125
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã
chuẩn bị ở nhà.
- Hướng dẫn học sinh tính cực trị của
hàm số phân thức: y = f(x) =
g(x)
h(x)
.
y
CĐ
= f
CĐ
=
( )
( )
C
C

g' x
h' x
§
§
;
y
CT
= f
CT
=
( )
( )
CT
CT
g' x
h' x
- Củng cố quy tắc 1.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 2: ( Kiểm tra bài cũ)
Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
c) y = f(x) = sin2x + cos2x d) y = g(x) =
2
10
1 sin x+
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
c) Hàm số xác định trên tập R.
y’ = f’(x) = 2(cos2x - sin2x).
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã
chuẩn bị ở nhà.
y’ = 0 ⇔ tg2x = 1 ⇔ x =

k
8 2
π π
+
.
y” = f”(x) = - 4(sin2x + cos2x) nên ta có:
f”
k
8 2
π π
 
+
 ÷
 
= - 4
sin k cos k
4 4
π π
 
   
+ π + + π
 ÷  ÷
 
   
 
=
4 2 n
4 2 n
Õu k = 2m m
Õu k = 2m + 1 m


− ∈

∈


Z
Z
Kết luận được: f
CĐ
= f
m
8
π
 
+ π
 ÷
 
= -
2
f
CT
= f
5
m
8
π
 
+ π
 ÷

 
= -
2
d) Hàm số xác định trên tập R.
y’ = g’(x) =
( )
2
2
10sin 2x
1 sin x
−
+
; y’ = 0 ⇔ x = k
2
π
y” =
( )
( )
2 2
3
2
20cos2x 1 sin x 20sin 2x
1 sin x
− + +
+
nên suy ra
g”
k
2
π

 
 ÷
 
=
2
2
20cosk
1 sin k
2
− π
π
 
 
+
 ÷
 
 
 

=
20 0 n
5
Õu k = 2m
> 0 nÕu k = 2m + 1
− <



Kết luận được:
Hàm đạt cực đại tại x = mπ; y

CĐ
= 10.
- Củng cố quy tắc 2.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.
Hàm đạt cực tiểu tại x =
m
2
π
+ π
; y
CT
= 5
Hoạt động 3: ( Kiểm tra bài cũ)
Chữa bài tập 4 trang 18:
Xác định m để hàm số: y = f(x) =
2
x mx 1
x m
+ +
+
đạt cực đại tại x = 2.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Hàm số xác định trên R \
{ }
m−
và ta có:
y’ = f’(x) =
( )
2 2
2

x 2mx m 1
x m
+ + −
+
- Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f’(2) = 0, tức là:
m
2
+ 4m + 3 = 0 ⇔
m 1
m 3
= −


= −

a) Xét m = -1 ⇒ y =
2
x x 1
x 1
− +
−
và y’ =
( )
2
2
x 2x
x 1
−
−
.

Ta có bảng:
x
-∞ 0 1 2 +∞
y’ + 0 - - 0 +
y
CĐ
CT
Suy ra hàm số không đạt cực đại tại x = 2 nên giá trị m
= - 1 loại.
b) m = - 3 ⇒ y =
2
x 3x 1
x 3
− +
−
và y’ =
( )
2
2
x 6x 8
x 3
− +
−
Ta có bảng:
- Phát vấn:
Viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x)
đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x
0
?
- Củng cố:

+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực
đại tại điểm x = x
0
:
Có f’(x
0
) = 0 (không tồn tại f’(x
0
)) và
f’(x) dổi dấu từ dương sang âm khi đi
qua x
0
.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực
tiểu tại điểm x = x
0
:
Có f’(x
0
) = 0 (không tồn tại f’(x
0
)) và
f’(x) dổi dấu từ âm sang dương khi đi
qua x
0
.
- Phát vấn:
Có thể dùng quy tắc 2 để viết điều kiện
cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại
(cực tiểu) tại x

0
được không ?
- Gọi học sinh lên bảng thực hiện bài
tập.
Hoạt động 4: (Củng cố)
Chữa bài tập 3 trang 17: Chứng minh rằng hàm số y = -
x
không có đạo hàm tại x = 0 nhưng
vẫn đạt cực đại tại điểm đó.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Chứng minh được hàm số đã cho không có đạo
hàm tại x = 0.
- Lập bảng để tìm được y
CĐ
= y(0) = 0. Hoặc có thể
lý luận:
y(x) 0 x
y(0) 0
≤ ∀


=


⇒ y
CĐ
= y(0) = 0.
- Gọi học sinh lên bảng thực hiện giải bài
tập.
- HD: Hàm số y = -

x
không có đạo hàm
tại x = 0 vì:
x 0 x 0
x
y(x) y(0)
lim lim
x 0 x
→ →
 
−
= −
 ÷
−
 
=
1 x 0
1 x 0
−
+
→


− →

Bài tập về nhà: Hoàn thiện các bài tập ở trang 17 - 18.