BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Khoảng cách từ điểm tới mặt thuộc khóa học: Luyện
thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; AB  a . Biết mặt phẳng ( SAB)
và mặt phẳng ( SAC ) cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
S
600 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) .
Giải:
( SAB)  ( ABC )

 SA  ( ABC )
Do ( SAC )  ( ABC )
( SAB) ( SAC )  SA

K
600
A
Suy ra góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABC ) là ABS  600 .
B
a
Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI .
Khi đó BC  AI ; BC  SA  BC  (SAI )  BC  AK

I

Mặt khác AK  SI  AK  (SBC )  d ( A,(SBC ))  AK .

C

Xét tam giác SAB có : SA  AB tan ABS  a.tan 600  a 3
Xét tam giác tam giác ABC có AI 
Xét tam giác SAI có:

AC a 2

2
2

1
1
1
1
2
7
a 21
a 21

 2  2  2  2  AK 
 d ( A, ( SBC )) 
2
2
AK

AS
AI
3a a
3a
7
7

Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a.
Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) .
Giải:
A'C
a
Do tam giác A’AC vuông cân, suy ra AA '  AC 

2
2
A'
Kẻ AH  A ' B ( H  A ' B ) (1)
B'
Do CB  ( ABB ' A ')  CB  AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH  ( BCD ' A ')
 d ( A,( BCD '))  d ( A,( BCD ' A '))  AH
Ta có ABCD là hình vuông nên AB 

H

D'

AC a


2 2

C'
A

B

Xét tam giác ABA ' ta có:

D
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

C
- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

1
1
1
2
4
6
a 6



 2  2  2  AK 
2
2
2
AH
AA '
AB
a
a
a
6

Vậy d ( A,( BCD ')) 

a 6
.
6

Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  1200 ,
M là trung điểm của cạnh BC và SMA  450 . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ) .

Giải:
Kẻ AN  DC ( N  DC )

S

Do ABCD là hình thoi cạnh a và BAD  1200
nên ABC, ADC đều là các tam giác đều cạnh a

Suy ra AM  AN 

a 3
2

a 3
a 3
.tan 450 
2
2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SN , khi đó:
CD  AN
 CD  ( SAN )  CD  AH

CD  SA
mà AH  SN  AH  (SCD)  d ( A,(SCD))  AH

Khi đó SA  AM tan BAD 

Xét tam giác SAN ta có:

H

A

B
450

1200

M
D

C

N

1
1
1
4
4
8
a 6
a 6
hay d ( A, ( SCD)) 


 2  2  2  AH 
2
2
2
AH
AS
AN
3a 3a
3a
4
4

Bài 4. Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD  a 3 . Hình chiếu
vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt
phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ tâm của hình chữ nhật ABCD đến
mặt phẳng ( A1CD) .
A1

Giải:
Gọi AC

D1

BD  H   A1H  ( ABCD)

Dựng HM  AD ( M  AD )  AD  ( A1HM )
Suy ra góc tạo bởi mặt phẳng ( ADD1 A1 )

B1

C1

và ( ABCD) là HMA1  600 .
Ta có HM 

AB a

2
2

a
a 3

 A1 H  HM .tan HMA1  .tan 600 
2
2
Kẻ HI  CD ( I  CD) và HK  A1I ( K  A1I )

 CD  ( A1HI )  CD  HK  HK  ( ACD
)
1

600

A

K

M

D
I

H
B

C

))  HK .
hay d ( H ,( ACD
1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Ta có HI 

Hình học không gian

AD a 3
.

2
2

Xét tam giác A1HI ta có:

1
1
1
4
4
8
a 6

 2  2  2  2  HK 
2

2
HK
A1H
HI
3a 3a
3a
4

a 6
.
4
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB  AD  2a , CD = a; góc
giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng

Vậy d (H ,( ACD
)) 
1

( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , tính theo a khoảng cách từ I tới mặt phẳng
( SBC ) .

Giải:

S

( SBI )  ( ABCD)

Ta có ( SCI )  ( ABCD)  SI  ( ABCD)
( SBI ) ( SCI )  SI


Kẻ IM  BC (M  BC )  BC  (SIM ) , suy ra góc tạo bởi
mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD) là SMI  600 .
Dựng IH  SM ( H  SM )  BC  IH  IH  (SBC )
 d ( I ,(SBC ))  IH
Ta có S ABCD 

( AB  DC ). AD (2a  a).2a

 3a 2
2
2

S IAB  S IDC
Suy ra S IBC

A

B

H

I

AI . AB ID.DC 3a 2



2
2
2

M
D

3a 2
 S ABCD  ( S IAB  S IDC ) 
2

C

3a 2
2S
2  3 5a
Mặt khác: BC  ( AB  DC )2  AD2  a 5  IM  IBC 
BC
5
a 5
2.

Xét tam giác IHM ta có: IH  IM .sin HMI 

3 5a
3 15a
3 15a
hay d ( I , ( SBC )) 
.
.sin 600 
5
10
10

Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng
( ABC ) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC  600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt

phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ( ABC ) . Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng
( BCC ' B ') .

Giải:
Gọi I là trung điểm của AC . Do B ' G  ( ABC ) , suy ra
góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng ( ABC ) là B ' BG  600

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

B'


a 3
 B ' G  BB '.sin B ' BG 
2

 BG  BB '.cos B ' BG  a  BI  3 BG  3a


2
2
4
Do BAC  60 nên BC  AC.tan 60  3 AC
2

 AC  9a
Ta có: BC 2  CI 2  BI 2  3 AC 2  
 
16
 2 

2

A'

C'

0

0

Hình học không gian

B

600

H
A

G

3a 13
3a 13
 AC 
 CI 
26
52

I

K

C
GK BG 2
2
a 13
Kẻ GK  BC ( K  BC )  GK / /CI 
và BC  ( B ' GK ) (1)

  GK  CI 
CI
BI 3
3
26
Kẻ GH  B ' K ( H  B ' K ) (2) . Theo (1) suy ra BC  GH (3)
Từ (2) và (3) suy ra GH  ( BCC ' B ')  d (G,( BCC ' B '))  GH
Ta có

1

1
1
4 52 160
a 30
a 30
hay d (G, ( BCC ' B ')) 
.


 2  2  2  GH 
2
2
2
GH
GB ' GK
3a
a
3a
40
40

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng
( SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và H là hình
chiếu vuông góc của S trên AB . Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN ) .
Giải:
( SAB)  ( ABCD)

Ta có ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD)
 SH  AB


Do AB2  4a2  SA2  SB2 , suy ra tam giác SAB vuông tại S . Khi đó:
1
1
1
1
1
4
a 3
 2  2  2  2  2  SH 
2
SH
SA SB
a 3a
3a
2

S

Gọi I , K lần lượt là hình chiếu của H trên MN , SI , khi đó :
MN  (SHI )  MN  HK  HK  (SMN )  d ( H ,(SMN ))  HK
Ta có CM  CN  a  MN  a 2
và AH 

2

A K

D

2

SA
a
a
3a

  BH  AB  AH 
AB 2a 2
2

H

Suy ra

S AHND  S HBM  S NCM

N

I
B

M

C

a

 a  .2a 3a .a

( AH  DN ). AD HB.BM CN .CM  2

a.a 11a 2

2







2
2
2
2
2
2
4

 S HNM  S ABCD  ( S AHND  S HBM  S NCM  4a 2 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

11a 2 5a 2

4
4
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Khi đó HI 

Hình học không gian

2S HNM
5a 2
5a 2


MN
8
4.a 2

Xét tam giác SHI , ta có:
Vậy d ( H , ( SMN )) 

1
1
1
32
4
196
5a 3



 2 

 HK 
2
2
2
2
2
HK
HI
SH
25a 3a
75a
14

5a 3
.
14

Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A , AC  a 3 , BC  a 7 . Gọi M
là trung điểm của AB và MA ' C  600 . Hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là
trung điểm H của MC . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA ' C ') .
Giải:
Ta có A ' H  ( ABC ) , suy ra tam giác A ' MC cân tại A , mà MA ' C  600 nên A ' MC là tam giác đều.
AB
 a và MC  MA2  AC 2  2a
2

Ta có: AB  BC 2  AC 2  7a 2  3a 2  2a  AM 
Vậy A ' MC là tam giác đều có cạnh là 2a nên A ' H 

2a 3

a 3
2

Gọi N là trung điểm của BC , suy ra MN // AC mà AC // A ' C '
nên MN // A ' C '
 (MA ' C ')  ( ABC )  MN ( (MA ' C ')  (MA ' C ' N ) )

Có NH là đường trung bình trong tam giác MBC , s

 NH / / AB
MB a

uy ra NH 
và  MN / / AC  NH  MN (1) .

2
2
 AB  AC

Gọi K là hình chiếu của H trên NA ' nên HK  A ' N (*)
Ta có A ' H  MN (2) (do A ' H  ( ABC ) ) .
Từ (1) và (2) suy ra MN  ( A ' HN )  MN  HK (2*)
Từ (*) và (2*) suy ra: HK  (MNA ') hay HK  (MA ' C ')  d ( H ,(MA ' C '))  HK
Xét tam giác vuông A ' HN ta có: HK 

Vậy d ( H , ( MA ' C ')) 

HN .HA '
HN 2  HA '2



a
.a 3
2
2



a
   a 3
2




2

a 3 a 39

13
13

a 39
.
13

Bài 9. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , BC  a 3 . Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm H của tam giác ABC . Góc giữa hai mặt phẳng
( SAB) và ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAC ) .

Giải:
Ta có SH  ( ABC )  AB  SH (1)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học không gian

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên AB , suy ra AB  EH (2)
Từ (1) và (2), suy ra : AB  (SEH ) ,
suy ra góc tạo bởi ( SAB) và ( ABC ) là : SEH  600
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AC
Ta có: BM 
AB ) 

BC a 3
và HE // BM (cùng vuông góc với

2
2

EH
AH 2

2
a 3

  EH  BM 
BM AM 3
3
3

a 3
. 3a
3
Gọi I , K lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SI . Khi đó:

Xét SEH : SH  EH .tan 600 

2
2
2 1
1
a2 3
Vì AH  AM  S AHC  S AMC  . S ABC  S ABC 
3
3
3 2
3
6

a2 3
2S
1

a 3
6
.
 HI . AC  HI  AHC 

2
AC
6
a 2  (a 3) 2
2.

Mặt khác: S AHC

Xét tam giác SHI , ta có: HK 
d ( H , ( SAC )) 

a 3 
 
.a  :
HI 2  SH 2  6

HI .SH

2

a 3
a 13
2
hay


  a 
6
13



a 13
.
13

a
. Gọi M là trung điểm của BC và
2
BC vuông góc với mặt phẳng (SAM ) . Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a

Bài 10. Cho hình chóp S. ABC có BAC  1200 , BC  a 3 , SA 

khoảng cách giữa trung điểm của AM đến mặt phẳng ( SAC ) .
Giải:
Do BC  (SAM ) , suy ra góc tạo bởi SM và mặt phẳng ( ABC ) là SMA  600 (1) S
BC a 3
Ta có MC 
và AM  BC

2
2
Suy ra tam giác ABC cân tại A  CAM  600

K

a 3
a
 AM  MC cot CAM 
.cot 600   SA (2)
2
2
Từ (1) và (2) suy ra tam giác SAM đều.
Khi đó, gọi H là trung điểm của AM  SH  AM
mà SH  BC (do BC  (SAM ) )  SH  ( ABC )  SH  AC

Kẻ HI  AC ( I  AC )  AC  (SHI )

A

I

C

H
M
B

Dựng HK  SI ( K  SI )  HK  (SAC )  d (H ,(SAC ))  HK
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Ta có SAM là tam giác đều cạnh

Hình học không gian

a
a 3
 SH 
2
4

a
a 3
Xét tam giác AHI có HI  AH sin IAH  .sin 600 
4
8

Suy ra

1
1
1
16
64
80
a 15
a 15
hay d ( H , ( SAC )) 

.

 2  2  2  2  HK 
2
2
HK
SH
HI
3a 3a
3a
20
20

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -