Các phuong phap xac dinh khoang cach tu 1 diem den 1 mat phang cho hoc sinh 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH
TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH LỚP 11”

Người thực hiện: Lê Thị Thanh Hoa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2014


Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học không gian là một phần quan trọng trong chương trình Toán
THPT. Ở chương trình lớp 11, học sinh đã được trang bị đầy đủ các khái niệm
về khoảng cách trong không gian: khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Tuy nhiên, học sinh chưa
được học một cách đầy đủ các phương pháp giải các bài toán về khoảng cách
nói chung và về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng. Nhưng
đây lại là một nội dung quan trọng trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, TH
chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trước đến nay.
Khi giải các bài toán về tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, chúng ta
thường phải tính chiều cao của chúng, tức là phải tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng. Một số bài toán về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với

nó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cũng phải quy về tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Qua quá trình dạy hình học không gian lớp 11 và luyện thi Đại học, cao
đẳng, tôi nhận thấy rằng, đa số các em học sinh rất lúng túng khi giải các bài
toán về tính khoảng cách trong không gian và các em thường “bỏ qua” khi gặp.
Nguyên nhân cơ bản là các em mới chỉ nắm được các khái niệm chứ chưa có
phương pháp giải cụ thể. Vì vậy, việc trang bị đầy đủ cho học sinh các phương
pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là điều cần thiết.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, nhằm hệ
thống lại các phương pháp giải toán, tạo sự tự tin cho các em học sinh, giúp các
em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập cụ
thể, với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đưa
ra sáng kiến kinh nghiệm “Các phương pháp xác định khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng cho học sinh lớp 11". Sáng kiến kinh nghiệm này đã
và đang phục vụ đắc lực cho tôi trong việc giảng dạy.

2


Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ.
Để giải được các bài toán về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta
cần nắm vững các kiến thức sau:
1. Các khái niệm:
Định nghĩa 1.1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
(P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H
là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Định nghĩa 1.2: Khoảng cách giữa đường thẳng a
và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến (P).

2. Các tính chất:
Định lý 2.1:
( P ) ⊥ (Q) = ∆ 
 ⇒ a ⊥ (P)
a ⊂ (Q), a ⊥ ∆ 

Tính chất 2.2:
a / /( P) 
 ⇒ d ( A, ( P)) = d(B, (P))
A, B ∈ a 

Tính chất 2.3:
AB ∩ ( P ) = I ⇒

d ( A, ( P )) IA
=
d ( B, ( P )) IB

3. Các kiến thức của hình học phẳng:
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Định lý sin và định lý côsin trong tam giác.

3


II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Nghiên cứu chương trình SGK THPT, nghiên cứu tài liệu về hình học không
gian.
2. Thông qua hoạt động dạy và học giáo viên hệ thống lại tri thức cần thiết.

3. Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm.
III. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
- Trong chương trình THPT, do thời lượng chương trình có hạn mà phương
pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chưa được trình bày
rõ ràng, đầy đủ. Ngược lại còn rất sơ lược, chỉ mang tính chất giới thiệu qua một
số bài tập đơn giản.
- Do chưa được hệ thống kiến thức và chưa được học đầy đủ các phương pháp
để giải các bài toán về tính khoảng cách nên khi gặp, hầu hết học sinh thấy lúng
túng và không có hướng giải.
- Tuy nhiên, các dạng bài tập về khoảng cách nói chung và về khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng nói riêng thì rất phong phú, đa dạng, phức tạp và
thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng.
Chính vì vậy, đa số học sinh chưa có phương pháp để giải các dạng bài tập về
khoảng cách nên rất nhiều em thường "bỏ qua" khi gặp loại bài tập này.

4


IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
CHƯƠNG 1
XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN MẶT PHẲNG (P) BẰNG
CÁCH XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN (P)
(PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP)
Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Để tính khoảng
cách d ( M, (P) ) từ M đến mặt phẳng (P), ta xác định hình chiếu vuông góc H của
M trên mặt phẳng (P). Khi đó d ( M, (P) ) = MH
PHƯƠNG PHÁP 1: Xác định H thuộc (P) sao cho MH ⊥ (P)

1.1

Ví dụ 1:
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc SDA
= 300 .
Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ S đến
mp (ABCD).

Giải:
Vì (SAB) và (SAD) ⊥ (ABCD),
(SAB) I (SAD) =SA
nên SA ⊥ (ABCD)
⇒ SA là khoảng cách từ S đến (ABCD)

Trong tam giác vuông SAB:
SA = AD.tan 300 =

a 3
3

Nhận xét: Hình chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao
của hình chóp chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC, đáy là ∆ ABC đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc
với đáy, ∆ SAB là tam giác cân tại S, SA =2a. Tính khoảng cách từ S đến
(ABC).

5

Giải: Gọi H là trung điểm của AB.
Vì (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) I (ABC)=AB,
SH ⊥ AB ( do ∆ SAB cân, SH là trung tuyến)
nên SH ⊥ (ABC).
Vậy khoảng cách từ S đến (ABC) là SH.
SH = SA2 − HA2 =

a 15
2

Nhận xét: Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là
đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống giao tuyến của mặt bên đó và đáy.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O; góc
·
nhọn BAD
= 600. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 . Tính khoảng cách từ
S đến mp (ABCD).
Giải:
Vì SA = SC nên VASC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC
SB = SD nên VBSD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD
⇒ SO ⊥ (ABCD) nên SO là khoảng cách từ S

đến (ABCD)
1
2

Ta có VABD đều nên DB = a, OB = DB =
SO = SB − OB =
2

2

( a 3)

2

a
2

2

a 11
a
− ÷ =
2
2

Ví dụ 4:
·
Cho hình chóp S.ABC, BC = a, BAC
= α . Các cạnh bên SA, SB, SC cùng
ϕ
hợp với đáy góc . Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).

Giải:
Gọi O là hình chiếu của S trên đáy ABC.
Ta có OA, OB, OC là hình chiếu của các cạnh
bên SA, SB, SC trên đáy
·

·
·
⇒ SAO
= SBO
= SCO
=ϕ .

Các tam giác vuông SAO, SBO, SCO bằng nhau vì:
·
·
·
SO chung, các góc SAO
= SBO
= SCO
=ϕ

6


⇒ OA= OB= OC.
⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

Ta có

BC
a
= 2R ⇔ R =
.
sin A
2sin α

Vậy d(S,(ABC)) = SO = OA.tan ϕ =

a tan ϕ
2sin α

Nhận xét: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo
với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy.
Ví dụ 5:
Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a, góc
B = α . Các mặt bên của hình chóp nghiêng đều trên đáy một góc β . Tính
khoảng cách từ S đến (ABC) biết hình chiếu O của S trên mp(ABC) thuộc miền
trong của tam giác ABC.
Giải:
Từ O kẻ OH, OI, OK lần lượt vuông góc với
AB, AC, BC.
·
·
·
Do đó SHO
= SIO
= SKO
=β

(là góc của mặt bên và đáy)
Ta được các tam giác SOH; SOI; SOK là các tam
giác vuông tại O và bằng nhau.
⇒ OH= OI =OK ⇒ O cách đều ba cạnh của ∆ABC ,

O thuộc miền trong ∆ABC nên O là tâm đường tròn
nội tiếp ∆ABC , bán kính r = OH = OI = OK
1
SVABC = p.r = AB.AC với 2p=AB+CA+BC, AB = a cos α ,CA = a sin α ,BC = a
2
r=

AB.AC
a 2 sin α cosα
=
AB + BC + CA a(1 + sin α + cosα )

Tam giác vuông SOI cho ta:
SO = OI tan β = r tan β =

a 2 sin α cosα tan β
a(1 + sin α + cosα )

Nhận xét: Hình chóp có các mặt bên đều tạo với đáy một góc bằng nhau thì
chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

7


Chú ý: Việc xác định hình chiếu H của M trên (P) không phải lúc nào cũng dễ
dàng. Khi đó, ta có thể sử dụng định lý 2.1 (trang 2) để xác định H như sau:
1.2 PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng định lý 2.1 (trang 2) để xác định hình
chiếu H của M trên (P)
a) Phương pháp:
- Bước 1: Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc

với mặt phẳng (P).
- Bước 2: Xác định giao tuyến V của
hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Bước 3: Từ điểm M kẻ MH vuông góc
với giao tuyến V , với H Î V .
Khi đó MH ^ ( P) ⇒ MH = d(M, (P)).
b) Các ví dụ:
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O;
·
góc nhọn BAD
=600. Các cạnh bên SA=SC; SB=SD= a 3 . Tính khoảng cách từ
O đến mp (SBC).
Hướng dẫn:
Tìm mặt phẳng chứa O và vuông góc với (SBC)
Giải: Trong mp(ABCD), kẻ OI ⊥ BC (I ∈ BC).
Từ Ví dụ 3, ta có SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC.
⇒ BC ⊥ (SOI) ⇒ (SOI) ⊥ (SBC),

(SOI) I (SBC) = SI.
Kẻ OK ⊥ SI ( K ∈ SI) thì OK ⊥ (SBC).
Vậy OK= d(O,(SBC)).
Từ ví dụ 3, ta có OS=

a
a 11
a 3
, OB= , OI = OB.sin 600 =
2
2
4

Xét tam giác SOI vuông tại O có OK là đường cao:
1
OK

2

=

1
1
a 33
+ 2 ⇔ OK=
2
OS OI
2 47

Vậy d (O, (SBC)) =

a 33
2 47

8


Ví dụ 7: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC
vuông cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD’) theo a.
Hướng dẫn:
Tìm mặt phẳng chứa A và vuông góc với (BCD’)

Giải:
Ta có mp(BCD’) chính là mp(BCD’A’).
BC ⊥ BA và BC ⊥ BB’ nên BC ⊥ (ABB’A’)
⇒ (BCD’) ⊥ (ABB’A’) theo giao tuyến A’B.

Kẻ AH ⊥ A’B ( H∈ A’B) thì AH ⊥ (BCD’)
Vậy AH = d(A,(BCD’))
Tam giác A’AC vuông cân tại A, A’C = a nên
AA’ = AC =

a
.
2

Tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC =

a
.
2

Trong ∆ ABA’ ta có:
1
1
1
a 6
=
+
⇔ AH =
2
2

AH
AA '
AB 2
6

Vậy d(A,(BCD’)) =

a 6
6

Ví dụ 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc mp(ABCD), SA= a 6 .
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Giải:
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a nên
ta có AD//BC, AB = BC = CD = a
AC ⊥ CD, AC= a 3
Ta có:

CD ⊥ AC 
 ⇒ CD ⊥ (SAC)
CD ⊥ SA 

9


⇒ (SAC) ⊥ (SCD) , (SAC) I (SCD) = SC

Kẻ AH ⊥ SC tại H thì AH ⊥ (SCD).
Vậy AH = d ( A, (SCD) )
Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao nên:
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
2 =
AH
SA AC
(a 6) (a 3)
2a 2
⇔ AH 2 = 2a 2 ⇔ AH = a 2

b) Qua A kẻ AE ⊥ BC (E thuộc BC) ⇒ (SAE) ⊥ BC
⇒ (SAE) ⊥ (SBC) mà (SAE) I (SBC) = AE

Qua A kẻ AF ⊥ SE (F ∈ SE) ⇒ AF ⊥ (SBC).
Vậy AF = d ( A,(SBC) ) .

AE = AB.sin600 =

a 3
2

Xét tam giác vuông SAE ta có:
1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
2
AF SA AE
(a 6)  a 3 2 = 9 ⇒ AF2 = 6a ⇒ AF = a 6
2

÷
9
3
÷ 6a
2



a 6
Vậy d ( A;(SBC) ) =
3

Nhận xét: Trong nhiều trường hợp, việc xác định mặt phẳng (Q) chứa M và
vuông góc với (P) trở nên phức tạp. Khi đó ta nên lựa chọn phương pháp gián
tiếp được trình bày ở chương 2 sau đây.

10


CHƯƠNG 2
XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
THÔNG QUA KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM KHÁC ĐẾN MẶT
PHẲNG ĐÓ (PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP)
2.1 PHƯƠNG PHÁP 3: (Sử dụng tính chất 2.2 trang 2)
a) Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta làm như sau:
- Tìm 1 đường thẳng a chứa M và song song với mặt phẳng (P). Khi đó:
d(M, (P)) = d(a, (P)) = d(I, (P)), với mọi I ∈ a.
- Chọn điểm I sao cho ta có thể tính khoảng cách từ I đến (P) một cách dễ
dàng.
b) Các ví dụ:
Ví dụ 9: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học D-2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
·
·
với đáy, BAD
= 1200 , M là trung điểm của BC và SMA

= 450 . Tính khoảng cách từ
điểm D đến mp(SBC).
Hướng dẫn: Ở ví dụ này, việc xác định một mặt phẳng chứa D và vuông góc
với (SBC) là khó khăn. Trong khi đó ta có thể dễ dàng thấy đường thẳng AD
chứa D và song song với mp(SBC). Vậy để tính khoảng cách từ D đến (SBC), ta
chỉ cần chọn 1 điểm thuộc đường thẳng AD sao cho ta có thể xác định và tính
được khoảng cách từ điểm đó đến (SBC).
Giải: Vì AD//BC nên d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)).
Sử dụng phương pháp 2 để xác định d(A,(SBC))
Ta có AM ⊥ BC (vì ∆ ABC đều có AM là
trung tuyến đồng thời là đường cao)
SA ⊥ BC (vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ (SAM) ⊥ (SBC) = SM.

Kẻ AH ⊥ SM tại H thì AH ⊥ (SBC)
⇒ AH = d(A, (SBC))

AM =

a 3 ·
a 6
, SMA = 450 ⇒ AH=AM.sin450 =
2
4

Vậy d(D,(SBC)) =

a 6
4

11


Ví dụ 10: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn: Ta thấy đường thẳng AB chứa A và song song với mp(SCD). Vậy
ta chỉ cần chọn 1 điểm H thuộc đường thẳng AB sao cho ta có thể xác định và
tính được khoảng cách từ H đến (SCD).
Giải: Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có SH ⊥ AB, (SAB) vuông góc với (ABCD)
theo giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABCD)
Vì AB//CD nên AB//(SCD)
H ∈ AB nên d(A,(SCD)) = d(H, (SCD))
Bằng cách sử dụng phương pháp 2 để xác định
d(H,(SBC)).
Ta có (SHK) chứa H và ⊥ (SCD) (Vì CD ⊥ HK và ⊥ SH nên CD ⊥ (SHK))
⇒ (SHK) ⊥ (SCD) = SK.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên SK thì HI ⊥ (SCD) ⇒ HI = d(H,(SCD)).
Ta có SH =

a 3
, HK = a
2

Trong tam giác SHK vuông tại H có HI là đường cao nên:
1
1

1
⇔ HI= a 21
=
+
2
2
2
HI
HS
HK
7

Vậy d(A,(SCD)) =

a 21
7

Ví dụ 11: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2011)
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mp(ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mp(A1BD) theo a.
Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ A1O ⊥ (ABCD)

Ta có B1C / / A1D ⇒ B1C / /( A1BD)
⇒ d ( B1 , ( A1 BD)) = d (C, ( A1BD))

Kẻ CH ⊥ BD (H∈ BD),
12

mà CH ⊥ A1O ⇒ CH ⊥ (A1BD)
⇒ d(C, (A1BD)) = CH

Tam giác BCD vuông tại C, CH ⊥ BD,
CB = a 3 , CD = a
Vậy d ( B1 , ( A1BD)) = CH =

CD.CB
CD 2 + CB 2

=

a 3
2

Nhận xét: Không phải lúc nào ta cũng tìm được điểm I thuộc đường thẳng a
chứa M và song song với (P) mà việc tính d(I,(P)) thực hiện được. Khi đó ta nên
dùng phương pháp sau.
2.2 PHƯƠNG PHÁP 4: (Sử dụng tính chất 2.3 trang 2)
a)

Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

ta làm như sau:
- Tìm 1 đường thẳng ∆ chứa M và cắt (P) tại I.
- Chọn điểm B ∈ ∆ ( B ≠ I , ≠ M ) sao cho ta có thể
tính được khoảng cách từ B đến (P) .
Khi đó:

d ( M, ( P ) )
d ( B, ( P ) )

=

IM
IM
⇔ d ( M, ( P ) ) =
.d ( B, (P) )
IB
IB

b) Các ví dụ:
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính
khoảng cách từ G đến mp(SAC).
Hướng dẫn:
- Gọi F là trung điểm của SA . Ta có đường
thẳng BG chứa G và cắt (SAC) tại F.
- Tính d(B,(SAC))
- Suy ra d(G,(SAC))
Giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD,
F là trung điểm của SA .
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.

13


Khi đó:
Mà

d ( G, ( SAC ) )
d ( B, ( SAC ) )

=

FG 1
=
FB 3

OB ⊥ SA 
a 2
 ⇒ OB ⊥ (SAC) nên d ( B,(SAC) ) = OB =
OB ⊥ AC 
2
1 a 2 a 2
=
.
3 2
6

Vậy d ( G,(SAC) ) = .

Ví dụ 13: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D - 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a;
·
mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
= 300 . Tính khoảng
cách từ B đến mp(SAC) theo a.
Hướng dẫn:

- Ta có đường thẳng BC chứa B và cắt (SAC)
tại C.
- Tìm 1 điểm H thuộc BC sao cho d(H,(SAC))
có thể tính được. Từ đó suy ra d(B,(SAC))
Giải:
Ta có đường thẳng BC chứa B và cắt (SAC)
tại C. Kẻ SH ⊥ BC(H ∈ BC ). Khi đó:
d ( B, ( SAC ) )

d ( H, ( SAC ) )

=

CB
CH

Ta có (SBC) ⊥ (ABC) = BC, SH ⊥ BC
⇒ SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AC

Kẻ HD ⊥ AC (D∈ AC)
⇒ AC ⊥ (SHD) ⇒ (SAC) ⊥ (SHD) theo giao tuyến SD.

Kẻ HK ⊥ SD (K ∈ SD) ⇒ HK ⊥ ((SAC)
Vậy HK = d(H,(SAC))
·
·
SH = SB.sin SBC
= a 3 , BH = SB.cos SBC
= 3a, HC =BC – BH = a

AC = BA2 + BC 2 = 5a
∆ CDH đồng dạng với ∆ CBA nên: HD =

CH
3a
.AB =
CA
5

Tam giác SHD vuông tại H có HK là đường cao nên:

14


1
1
1
3a 7
=
+
2
2
2 ⇔ HK =
HK
SH
HD
14
⇒ d(B,(SAC)) =

4a

6a 7
.d(H,(SAC)) =
a
7

Vậy khoảng cách từ B đến mp(SAC) là

6a 7
.
7

Ví dụ 14:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
đường thẳng SC và mp(ABC) bằng 60 0. N là hình chiếu của H trên đường thẳng
qua A và song song với BC. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAN).
Giải:
Vì HC là hình chiếu của SC trên (ABC)
·
nên SCH
= 600 .

Ta có BH ∩ (SAN) = A nên
d ( B, (SAN)) AB
=
d ( H , ( SAN )) AH
⇔ d(B,(SAN)) =

3
d(H,(SAN))

2

Vì AN ⊥ NH và AN ⊥ SH nên AN ⊥ (SNH)
⇒ (SAN) ⊥ (SNH) theo giao tuyến SN.

Kẻ HK ⊥ SN (K thuộc SN) ⇒ HK ⊥ (SAN)
Vậy HK = d(H,((SAN))
Trong ∆ HBC ta có: HB =

a
, BC = a,
3

HC = HB 2 + BC 2 − 2.HB.BC.c os600 =
HS = HC.tan600 =

a 7
3

a 21
a 3
, HN = AH.sin600 =
3
3

Tam giác vuông SHN có HK là đường cao:
1
1
1
a 42

=
+
2
2
2 ⇔ HK =
HK
HN
HS
12

Vậy d(B,(SAN))=

a 42
8

15


V. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1. Tổ chức thực hiện.
- Thông qua bài dạy trong chương trình SGK Hình học 11, qua quá trình làm bài
tập trong SGK và SBT để đánh giá năng lực của học sinh.
- Trước và sau khi thực hiện giảng dạy: "Các phương pháp xác định khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho học sinh lớp 11", cho học sinh làm
bài kiểm tra và thống kê kết quả để thấy hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh
nghiệm.
- Đối tượng đánh giá: học sinh lớp 11A2 - Trường THCS&THPT Thống Nhất.

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (Thời gian: 60 phút)
(Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, AD=a, mặt
bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABCD) .
2) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Tính khoảng cách từ điểm G đến
mặt phẳng ( ABCD) .
3) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC) .
Đáp án và thang điểm đề kiểm tra số 1.
Câu

Đáp án

Điểm

16


1 Gọi I là trung điểm của AD. Vì ∆ SAD đều nên SI ⊥ AD.
(3đ) Mà (SAD) ⊥ (ABCD) = AD nên SI ⊥ (ABCD)
Vậy d(S,(ABCD)) = SI = SA2 − IA2 =

a 3
2

1.0
1.0
1.0

2 Gọi J là trung điểm của BC.
(3đ) Đường thẳng SG chứa G và cắt (ABCD) tại J
d (G, ( ABCD)) JG 1

=
=
d ( S , ( ABCD)) JS 3

2.0

1 a 3 a 3
⇔ d (G, ( ABCD)) = .
=
3 2
6

1.0

3 Vì AD//BC nên AD//(SBC)
(4đ) ⇒ d(D,(ABCD))= d(I,(ABCD))
Ta có BC ⊥ IJ và ⊥ SI nên BC ⊥ (SIJ)
⇒ (SIJ) ⊥ (SBC) = SJ
Kẻ IH ⊥ SJ (H ∈ SJ) thì IH ⊥ (SBC)
Vậy IH = d(I,(SBC))

1.0

1.5

Tam giác SIJ vuông tại I có IH là đường cao:
1
1
1
2 57 a

1
1
1 ⇔
= 2 + 2 ⇔ IH =
2
=
+
3a
IH
4a
19
IH 2 IS 2 IJ 2
4

Vậy d(D,(SBC))=

1.5

2 57 a
19

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 (Thời gian: 60 phút).
(Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và có tâm
O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 . H là hình chiếu vuông góc của
A trên SO.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
2) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC) .
3) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC) .

Đáp án và thang điểm đề số 2.
17


Câu

1
(3đ)

Đáp án

Ta có BD ⊥ AC và ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC)
⇒ (SAC) ⊥ (SBD) = SO
Do AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD)
Vậy AH = d(A, (SBD))
AO =

1
1
1
a 10
=
+
2
2
2 ⇔ AH =
AH
AS
AO
5

1.5

Vì AD//BC nên AD//(SBC) ⇒ d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))

1.0

Ta có BC ⊥ BA và ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC)
⇒ (SAB) ⊥ (SBC) (theo giao tuyến SB)
Kẻ AK ⊥ SB (K ∈ SB) thì AK ⊥ (SBC)
Vậy AK = d(A,(SBC))
Tam giác SAB vuông tại A có AK là đường cao:
1
1
1
a 6
=
+
⇔ AK =
2
2
2
AK
AS
AB
3

Vậy d(D,(SBC)) =
3
(3đ)

1.5

AC a 2
=
2
2

Tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao:

2
(4đ)

Điểm

1.5

1.5

a 6
3

Đường thẳng AO cắt (SBC) tại C nên:
d (O, ( SBC )) CO 1
=
=
d ( A, ( SBC )) CA 2
1 a 6 a 6
⇔ d (O, ( SBC )) = .
=

2 3
6

1.5
1.5

18


Kết quả thu được thể hiện qua bảng sau:
Giỏi

Khá

Lớp
11A2

Tổng
số

SL

%

SL

Đề 1

45

0

0.0

Đề 2

45

4

8.9

TB

Yếu – kém

%

SL

%

SL

%

5

11.1

11

24.5

29

64.4

13

28.9

19

42.2

9

20.0

2. Bài tập củng cố.
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA = a 3 . Gọi O là tâm của đáy.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABC) .
b) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường cao OH của tam giác SOM. Tính
khoảng cách từ điểm O và điểm A đến mặt phẳng ( SBC) .
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AC = a, AB = a 2 và SA = SB = SC = a 3 . Gọi O là trung điểm của cạnh BC.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABC) .
b) Kẻ đường cao BH của tam giác OAB. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng ( SAO) .
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt
phẳng ( SAO) .
Bài 3: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC).
Bài 4: (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2007)
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ·ABC = BAD
= 900 ,BA = BC =
a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD).

Phần 3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
1. Kết quả nghiên cứu.
19


Thông qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 11A2 và ôn luyện cho đối tượng
học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:
- Đa số học sinh có khả năng nhìn nhận chính xác cách giải một bài toán về
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Học sinh tự tin khi phân tích đề bài để lựa chọn phương pháp giải hay, ngắn
gọn cho từng bài toán.
- Hình thành được tư duy logic, kỹ năng xác định khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng. Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh.
Cụ thể, qua hai bài kiểm tra trước và sau khi học: "Các phương pháp xác
định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho học sinh lớp 11", tôi

đã thống kê kết quả và thấy hiệu quả rõ rệt của sáng kiến kinh nghiệm này.
2. Kiến nghị và đề xuất.
- Trong quá trình dạy học về hình học không gian nói chung, tôi thấy phương
pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chưa được trình bày
một cách đầy đủ, rõ ràng. Vì vậy, không chỉ học sinh lớp 11 mà ngay cả học
sinh lớp 12 vẫn thấy “ngại” và không có hướng giải khi gặp các bài toán có liên
quan như: tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ; các bài toán về khoảng cách
của hình không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đại học, cao đẳng. Rất
mong có thêm nhiều tài liệu hơn nữa viết về đề tài này để góp phần cho việc dạy
và học đạt hiệu quả cao hơn.
- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích đối với giáo
viên và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh. Hy vọng nó sẽ trở
thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm
đến vấn đề này. Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của người đọc.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn
thành sáng kiến kinh nghiệm này!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 11
20


2. Sách bài tập hình học 11
3. Sách giáo viên hình học 11
4. Toán nâng cao hình học 11- Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
5. Tạp chí toán học tuổi trẻ.
6. Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng các năm từ 2006 - 2013.

MỤC LỤC

Trang
Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................1

21


Phần 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ..........................................................................2
I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ…………………………………...…..2

II.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……………………………………..….3

III.

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỂ…………………………………...…….3

IV.

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG………………………………………………..4

Chương 1. XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN MẶT PHẲNG
(P) BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN
(P)………………………………………………………………………………..4
1.1 PHƯƠNG PHÁP 1………………………………………………………….4
1.2 PHƯƠNG PHÁP 2 ………………………………………………………. ..7
Chương 2. XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT

PHẲNG THÔNG QUA KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM KHÁC ĐẾN MẶT
PHẲNG ĐÓ …………………………………………………………………....10
2.1 PHƯƠNG PHÁP 3……………………………………………………...…10
2.2 PHƯƠNG PHÁP 4………………………………………………………...12
V. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN……………………………….15
Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………..…………………………....20
MỤC LỤC …………………………………………………………………… 21
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm
2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Thị Thanh Hoa

22