ÔN TẬP HÌNH KHÔNG GIANTHẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

ÔN T P CU I CHUYÊN

Hình h c không gian

HÌNH KHÔNG GIAN

Th i gian: 120 phút

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u ch a đ ôn t p – ki m tra cu i chuyên đ hình không gian, c a th y Nguy n Thanh Tùng. Các em t làm
và xem l i gi i chi ti t trong Bài 11. Ch a đ ki m tra cu i chuy n đ trong khóa h c Pen C Toán N3 c a th y Lê Anh
Tu n – Nguy n Thanh Tùng.

Bài 1 (1 đi m). Cho hình l p ph

ng ABCD.A' B ' C ' D ' . Ch ng minh r ng A' C  ( AB ' D ') .
Gi i

G i hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' có c nh b ng a .

 A' A  A' B '  A' D '  a
Khi đó: 

CA  CB '  CD '  a 2
Suy ra A' C là tr c c a tam giác AB 'D'
Khi đó A' C  ( AB ' D ') .
Bài 2 (2 đi m). Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a , m t bên SAB là tam
giác đ u và n m trong m t ph ng . G i I là trung đi m c a AB .

1) Tính th tích kh i chóp S. ABCD theo a .
2) Tính cosin c a góc t o b i BD và m t ph ng ( SAD) .
3) Tính cosin c a góc t o b i SD và m t ph ng ( SCI ) .
4) Tính cosin c a góc t o b i hai đ

ng th ng IC và SD .
Gi i

 SI  AB

 SI  ( ABCD)
1) Ta có ( SAB)  ( ABCD)
( SAB) ( ABCD)  AB


SAB đ u c nh a  SI 
Suy ra VS. ABCD

S

H

a 3
. Ta có SABCD  a 2
2

N

1
1 a 3 2 a3 3

.
 SI .SABCD  .
.a 
3
3 2
6

A

D

I

2) D ng BH  SA (1) ( H  SA).
 DA  AB
 DA  ( SAB)  DA  BH (2)
Ta có 
 DA  SI

B

K
M

C

T (1) và (2), suy ra: BH  (SAD)
Khi đó DH là hình chi u vuông góc c a DB lên m t ( SAD)
Suy ra ( BD,(SAD))  ( DH , DB)  BDH
2

a 3
a 5
3a
Ta có BD  a 2 và BH 
 DH  BD 2  BH 2  2a 2 

2
4
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Khi đó cos BDH 

Hình h c không gian

10
DH a 5
.

:a 2 

2
4
BD

10
.
4
3) G i M là trung đi m c a BC và K là giao đi m c a DM và CI khi đó

V y cosin c a góc t o b i BD và m t ph ng ( SAD) b ng
BIC  CMD  ICB  MDC

Mà DCK  ICB  900  DCK  CDM  900  DM  CI
 DM  CI
V y
 DM  ( SCI ) hay DK  (SCI )
 DM  SI
Suy ra SK là hình chi u c a SD lên m t ph ng ( SCI )  (SD,(SCI ))  (SD, SK)  DSK
Ta có tam giác SAD vuông t i A (do DA  (SAB) - ch ng minh

ý 2) )

Suy ra SD  SA2  AD2  a 2
2

CD 2
2
2a

a 5
a
 a 2.

, khi đó : CD 2  DK.DM  DK 
Ta có DM  CD 2  CM 2  a 2    
DM
2
a 5
5
2
2

4a
a 6

Suy ra SK  SD  DK  2a 
5
5
2

2

2

Xét tam giác SDK ta có: cos DSK 

15
SK
a 6



5
SD
5.a 2

15
.
5
4) D ng đi m N sao cho A là trung đi m c a IN , khi đó ICDN là hình bình hành , suy ra IC // ND
Suy ra ( IC, SD)  ( DN, SD)

V y cosin c a góc t o b i SD và m t ph ng ( SCI ) b ng

2

3a
a 7
a 5
Ta có DN  CI  DM 
và SN  SI 2  IN 2 
 a2 
4
2
2
Áp d ng h qu đ nh lí cosin trong tam giác SND ta có:

cos SDN 

SD  DN  SN


2SD.DN
2

2

2

5a 2 7a 2

4
4  3 10  0
20
a 5
2.a 2.
2

2a 2 

V y cos( IC , SD)  cos( DN, SD)  cos SDN 

3 10
.
20

Bài 3 (2 đi m). Cho hình l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a . Hình chi u vuông góc c a
A' lên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tâm O c a đ

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Bi t BAA'  450 .

1) Tính theo a th tích c a kh i l ng tr ABC. A' B ' C ' .
2) Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng CC ' và AB ' .
Gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1) G i E là trung đi m c a AB , ta có:
OE  AB
 AB  ( A' OE )  AB  A' E

 A' O  AB

Hình h c không gian

B'

Xét tam vuông A' EA ta có: A' E  AE.tan 450 

C'

a
2

A'

Tam giác ABC đ u c nh a nên ta có:
1
1 a 3 a 3
a2 3
và SABC 
OE  CE  .

3
3 2
6
4
2

H
B

C

2

a
a 6
3a
Suy ra A' O  A' E  OE 



4 36
6
2

2

Khi đó VABC . A' B'C '  A' O.SABC

O

E

a 6 a2 3 a3 2


.
6
4
8

A

2) Do CC ' // AA'  CC ' // ( AA' B ' B)  d (CC ', AB ')  d (CC ',( AA' B ' B))  d (C,( AA' B ' B)) (1)
Ta có CO ( AA' B ' B)  E 

d (C , ( AA' B ' B)) CE

 3  d (C , ( AA' B ' B))  3d (O, ( AA' B ' B)) (2)
d (O, ( AA' B ' B)) OE

K OH  A' E ( H  A' E ), khi đó :
OH  A' E
 OH  ( AA' B ' B)  d (O, ( AA' B ' B))  OH

OH  AB (do AB  ( A' OE ))
Ta có

1
1
1
12 6 18
a 2


 2  2  2  OH 
2
2
2
6
OH
OE
A' O
a
a
a

T (1), (2), (3) và (4) ta đ

c: d (CC ', AB ')  3.

(3)

(4)

a 2 a 2

6
2

Bài 4 (3 đi m). Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình ch nh t, AB  a , AD  2a . G i M là m t
đi m trên c nh AB th a mãn MA  2MB ; N là m t đi m trên c nh AD sao cho NA  5ND . Hình chi u
vuông góc c a S trên m t ph ng ( ABC ) là giao đi m c a DM và CN . Bi t góc t o b i hai m t ph ng
( SCD) và ( ABCD) b ng 600 .

1) Tính th tích c a kh i chóp S.MNDC .
2) Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng ( SCD) .
3) Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng SC và DM .
Gi i
G i H là giao đi m c a DM và CN  SH  ( ABCD)
G i K là hình chi u vuông góc c a H lên CD , khi đó:
 HK  CD
 CD  ( SHK )  (( SCD), ( ABCD))  SKH  600

 SH  CD

2a
a

1
AM
ND 3 1
Ta có tan NCD 
 3   tan NCD  tan ADM  NCD  ADM
  ; tan ADM 
AN 2a 3
CD a 3
M t khác ADM  HDC  90  NCD  HDC  90  CHD  90  CN  MD

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

S

T
B

C

M

I
H

A

D

N

K

1) Ta s đi tính di n tích đáy MNDC theo 2 cách sau:
2

a 10
a
và
Cách 1: Ta có CN  CD  ND     a 2 
3
3
2

2

2

2a 10

 2a 
MD  MA2  AD 2     (2a )2 
3
 3 

1
1 a 10 2a 10 10a 2
Do CN  MD  SMNDC  CN.MD  .

.
2
2 3
3
9
1
1

Cách 2: SMNDC  SABCD   SMAN  SMBC   AB.BC   AM . AN  BM .BC 
2
2

2
 1 2a 5a 1 a
 10a
 2a 2   . .  . .2a  
9
2 3 3 2 3


CH CD 2

a2
9



2
2
10a
CN CN
10
9
HK CH 9
9
9 a 3a
Do HK // ND ( cùng vuông góc v i CD ), suy ra

  HK  ND  . 
ND CN 10
10
10 3 10

Ta có CH .CN  CD 2 

Suy ra SH  HK.tan 600 

3a
3a 3
.
. 3
10

10

1
1 3a 3 10a 2 a 3 3
.
V y th tích c a kh i chóp S.MNDC là: VS.MNDC  SH .SMNDC  .

.
3
3 10
9
9

1
1
1
1 9 10
20
a
MD 2a 10 a
:


 2  2  2  DH 



2
2
2

3
DH
DC
DN
a
a
a
HD
10
10 3
20
d ( M , ( SCD)) MD 20
Do MH ( SCD)  D 


 d ( M , ( SCD))  d ( H , ( SCD)) (1)
3
d ( H , ( SCD)) HD 3

2) Ta có

 HI  SK
 HI  ( SCD)  d ( H , ( SCD))  HI  2 
K HI  SK ( I  SK ), khi đó : 
 HI  CD (do CD  ( SHK ))

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có

Hình h c không gian

1
1
1
100 100
400
3a 3
(3)


 2

 HI 
2
2
2
2
2
9a

27a
27a
20
HI
HK
SH

T (1), (2) và (3) ta suy ra: d ( M , ( SCD)) 

20 3a 3
.
a 3.
3 20

 DM  CN
3) D ng HT  SC ( T  SC ). Ta có: 
 DM  ( SHC )  DM  HT
 DM  SH
Nh v y HT là đo n vuông góc chung c a SC và DM , do đó d (SC, DM )  HT .
Ta có CH 

CD 2
a2
3a
. Trong tam giác SHC ta có:


CN a 10
10
3

1
1
1
10
100
130
3a 390
3a 390
V y d ( SC , DM ) 
.


 2

 HT 
2
2
2
2
2
9a
27a
27a
130
HT
HC
SH
130

Bài 5 (2 đi m). Cho hình chóp S. ABC có SA, SB, SC đôi m t vuông góc. G i G là tr ng tâm c a tam
giác ABC và I là tâm c a m t c u ngo i ti p t di n SABC .
1) Nêu cách d ng tâm I .
GI
2) Ch ng minh ba đi m S, G, I th ng hàng và tính t s
.
GS
Gi i
1) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p
t di n SABC c n d ng, khi đó:
 IS  IB  IC (1)
IS  IA  IB  IC  
(2)
 IS  IA

A

G i O là trung đi m c a BC .
Do tam giác SBC vuông t i S nên
O là tâm đ ng tròn ngo i ti p SBC
T O d ng đ ng th ng d sao cho d  (SBC )

d
M
I
G
S

Suy ra d là tr c c a tam giác SBC
và d / / SA (do SA  (SBC )) .

T (1), suy ra I  d (*)
Trong m t ph ng (d , SA) d ng đ
Khi đó, t (2)  I   (2*)

C

O

ng trung tr c  c a SA.
T (*) và (2*), suy ra d

B

  I  .

2) M t khác SOIM là hình ch nh t (v i M là trung đi m c a AS ), do đó IO  MS 

1
IO 1
AS 

AS 2
2

Trong m t ph ng (d , SA) , g i AO SI  G ' . Áp d ng đ nh lý Ta – lét ta có:
G ' O G ' I IO 1


  G ' O  2G ' A  G ' là tr ng tâm tam giác ABC  G '  G
G ' A G ' S AS 2

GI G ' I 1
GI 1
V y ba đi m S, G, I th ng hàng và ta có

 hay
 .
GS G ' S 2
GS 2 Giáo viên
: Nguy n Thanh Tùng
Ngu n
:
Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-